2019届天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试题 PDF版
{
}
A. Æ
B. {x | x ³ 1 }
C. {x | x ＞1 }
D. {x | x ＞1 或x ＜0 }
ì x - y + 1 ³ 0 ï 2．已知实数 x，y 满足约束条件 í x + y - 1 ³ 0 ，则 z＝x+4y 的取值范围是（ ï x - 2 y £ 0 î
中 f ¢( x ) 是函数 y = f ( x ) 的导函数，则下列不等式成立的是（ ）
æ è
p ö
3 4 p p D. 3 f ( ) < f ( ) 3 6
A. 2 f ( ) < f ( )
p
p
B. 2 f ( ) > f ( )
p
p
3
4
C.
p p 2 f ( ) > 3 f ( ) 6 4
8.已知 A,B,C 是半径为 2 的圆 O 上的三点，若 AB + AC = AO 且 AB - AC ^ AO ,则
(
)
AB × AC = （
二、 填空题：
） A． - 2 3
B. 2 3
C.
-2
D. 2
9．已知 i 为虚数单位，复数 z =
a
1 的最小值是 27 b
12．如图，有 7 个白色正方形方块排成一列，现将其中 4 块涂上黑色，规定从左往右数， 无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有 ________种。
第 12 题图
13．已知三棱锥
的所有顶点都在同一球面上，底面
是正三角形且和球心 在同
一平面内，若此三棱锥的最大体积为
故
且
. 为平行四边形. ，又 平面 . 为正三角形，所以 ，且平面 ，亦即 平面 ，平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以，四边形 所以， 所以，
平面
（Ⅱ）由题意知 又
，所以 ，
所以 设
平面
，故以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， ， ， ， ，令 ，则 ， ， ， ， ，
2p , 0 ) 对称 3
D． 关于点 ( -
2 p , 0 ) 对称 3
6.已知抛物线 C1 : y 2 = 8 ax 直线 l 倾斜角是 45°且过抛物线 C (a ＞0 )， 1 的焦点，直线 l 被抛物
x 2 y 2 线 C 截得的线段长是 16,双曲线 C : - 2 = 1 的一个焦点在抛物线 C 2 1 1 的准线上,则直线 l a 2 b
与 y 轴的交点 P 到双曲线 C 2 的一条渐近线的距离是（ A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 ）
) cos x + f ( x ) sin x = 1 + ln x ，其 7． 已知函数 y = f ( x ) 对于任意的 x Î ç 0, ÷ 满足 f ¢( x 2 ø
所以该网民至少购买 2 种商品的概率为 P ( A3 ) + P ( A2 ) =
17 答：该网民至少购买 2 种商品的概率为 . …………………………5 分 24
（2）随机变量 h 的可能取值为 0,1, 2,3 ,
3 2 1 1 P (h = 0) = (1 - ) ´ (1 - ) ´ (1 - ) = , 4 3 2 24
又 P (h = 2) = P ( A2 ) =
1 11 1 1 11 1 - = . , P (h = 3) = P ( A3 ) = ,所以 P (h = 1) = 1 24 24 4 4 24 4
所以随机变量 h 的概率分布为：
h
0
1 24
1
1 4
2
11 24
3
5．已知函数 函数 图象（ ） A． 关于直线 x =
， (w > 0 , | j | <
p
) 图象相邻两条对称轴的距离为 ，将 2
的
的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 轴对称，则函数
2p 对称 3
B． 关于直线 x = -
2p 对称 3
C． 关于点 (
进行求导，再令
的关系和性质即可得出答案； （3）可利用函数单调性得出 立即可得出结果。 ，在对其变式即可得出 ，两式联
【详解】解： （1）
，
由题意可知：
，
整理得：
，解得
；
（2）
，记
，
令 所以 因为 所以 所以 所以函数 ， ，
，
， 的定义域上为增函数。 时， 在 上是增函数，
2 3
1 3
3.C 9．C
4.C
5.D
6.D
7．B
8.C
考点：复数的运算，复数的模。 10. 2
11． 2 3 12． 答案：14 考点：排列问题，分类讨论的数学思想。
3 解析：（1）三个白块均不相邻，则 N1＝ C 4 ＝4 种；
（2）只有两个白块相邻，例举情况，如果单独白块在 A，两个白块可选 C，D 位置，共有 N2＝2+2+2+2＝8
天津一中 2018-2019 高三年级第三次月考数学试卷（理） 一、 选择题： x ì ü 1.已知集合 M = í x | ³ 0 ，x Î R x 2 + 1 ，x Î R ， 则 M I N 等于（ ） ý，N = y | y = 3 î x - 1 þ
，则由题意知 ，
设平面 则由
的法向量为 得
所以取 由题意：
，显然可取平面
的法向量 .
，
，所以
由于 所以 易知在 所以直线
平面 为直线
，所以 与平面
在平面
内的射影为
，
所成的角， ，从而 ，
中， 与平面 所成的角为 .
18.
19．
20. 【答案】 （1） 【解析】 【分析】 （1）可通过切线斜率就是函数 （2）首先可对函数 在切点处的导数来列出等式求解； 进行二次求导，利用函数与导数之间 ； （2） 上的增函数； （3）详见解析.
（Ⅰ）若 a 4 b ) 的图像上，求数列 {a n } 的前 n 项和 S n ； 1 = -2 ，点 (a 8 , 7 ) 在函数 f ( x
（Ⅱ）若 a ，函数 f ( x 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ) 的图像在点 (a 2 , b 1 = 1 2 )
1 ，求数 ln 2
到直线 AP 的距离为
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设直线 AP 与圆 O： x 2 + y 2 = b 2 相交于点 M（异于点 A），设点 M 关于原点 O 的对称点为 N，直线 AN 与椭圆相交于点 Q（异于点 A）．①若|AP|＝2|AM|，求△APQ 的面积；②设直线 MN 的斜率为 k 1 ，直线 PQ 的斜率为 k 2 ，求证：
1 . 2
, ], f ( x ) = （Ⅰ）若 x Î [0 4
（Ⅱ）在 范围. 中，角
p
3 ，求 3
对边分别是
的值；
，且满足
，求
的取值
16．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的 A，B，C 三种商品有 购买意向．已知该网民购买 A 种商品的概率均为 ，购买 B 种商品的概率均为 ，购买 C 种商品的概率为 ．假设该网民是否购买这三种商品相互独立． （Ⅰ）求该网民至少购买 2 种商品的概率； （Ⅱ）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．
-1 + 2i ，则 | z | ＝ ________ . i
10.在极坐标系中，直线 r cos q - 3 r sin q - 1 = 0 与圆 r = 2 cos q 交于 A，B 两点，则
| AB |= ______.
11. 已知 a, b Î R ，且 2a - 3 b = 1 ，则 9 +
1 4
P
…………………………8 分 故数学期望 E h = 0 ´
1 1 11 1 23 + 1´ + 2 ´ + 3 ´ = .…………………………10 分 24 4 24 4 12
17． 解：（Ⅰ）在棱 为棱 上存在点 ，使得 平面 ，点
的中点． 、 ，
理由如下：取 的中点 ，连结 由题意， 且 且 ， ，
（3）由（2）知当 所以 ，即
所以 因为 ，
（Ⅱ）当 a £ 2 时，讨论函数 f ( x ) 的单调性； （Ⅲ）当 1 < x < 2 时，证明：
2 1 1 > 。 x - 1 ln x ln( 2 - x )
参考答案： 1． C 2．C 考点：线性规划。
解析：不等式组表示的平面区域如下图，当 z＝x+4y 过点 B（ ， ）时，取得最小值 为： zmin＝2，无最大值，所以，取值范围为：［2，+∞）
A．［－6,4］ C.［2，+∞） B.［2,4］ D.［4，+∞）
）
3.执行如图所示的程序框图,则输出的 n 值是（ ） A.5 B.7 C.9 D.11
4.下列判断正确的是（
）
A.“ x＜－2 ”是“ ln ( x + 3 ) ＜0 ”的充分不必要条件 B.函数 f ( x ) = x 2 + 9 +
3 2 1 1 ´ ´ = , 4 3 2 4
P ( A2 ) =
3 2 1 3 2 1 3 2 1 11 ´ ´ (1 - ) + ´ (1 - ) ´ + (1 - ) ´ ´ = ,………………………3 分 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 1 11 17 + = . 4 24 24
天津市第一中学2023届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含答案
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
三､解答题（本大题共5小题，共75分）
【16题答案】
【答案】（1）
（2） ， 或 ，
【17题答案】
【答案】（1）证明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解析
（2）
（3）正弦值为1
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析（3）
C. D.
4.已知函数 是偶函数，则 的值是（）
A. B. C.1D.2
5.已知函数 是 上的偶函数，且 ，当 时， ，则 的值为（）
A.1B.2C. D.0
6 已知函数 ，则（）
A. B.
C. D.
7.已知 且 ，则a的值为（）
A. B. C. D.
8.设函数 ，不等式 对 恒成立，则实数a的最大值为（）
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】B
二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】 ##20立方米
每户每月用水量
水价
不超过 的部分
3元/
超过 但不超过 部分
6元/
超过 部分
9元/
若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（ ） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ， 即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ， 即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件， 故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<， 所以a c b <<， 故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项． 故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =， 由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （ ）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾． 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（ ） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=， 故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（ ）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个 【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确； 对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确， 故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题 分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象： 当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______． 【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==， 所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=， 因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2． 故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为 ；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为 ．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系， 因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=． （2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1． 故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=． （1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ． 【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥， 又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)， 所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)， 设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-， 由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)， 设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=， 则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭， 即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+， 所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >， 所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=， 经检验满足212b >， 所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ； （3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解． 【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==， 则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ． 设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围； （3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-， 由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-． （2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立， 即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立； 当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥， 令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零， 故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥． 综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--， 因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭， 所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=， 又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=， 所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=， 因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减， 故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。
专题15 解三角形综合-2019年高考理数母题题源系列(天津专版)(原卷版)
【母题原题1】【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）14-；（2） 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．【母题原题2】【2018年高考天津卷理数】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知专题15 解三角形综合sin cos()6b A a B π=-．（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值．【答案】（1）π3；（2）b sin(2)A B - 【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（2）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =因为a <c ，故cosA =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214-⨯= 【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．【母题原题3】【2017年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4A +的值．【答案】（1）b sin A 的值为13；（2）26． 【解析】（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =． 由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==．所以，b sin A（2）由（1）及a c <，得cos 13A =， 所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=． 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．【命题意图】主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题．主要考查考生的数学运算能力． 【命题规律】考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用．解三角形是高考的一个必考热点，多为解答题，试题难度不大，多为中低档题．主要命题角度有：（1）以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用；（2）以实际生活为背景（如测量、航海、几何、天体运行和物理学上的应用等）考查解三角形问题，此类考题在近两年高考中虽没涉及，但此类题深受高考命题者的青睐，应给予关注；（3）解三角形与其他知识相交汇问题，常与三角恒等变换、不等式、平面向量等知识相交汇，这一直是高考考查的重点和热点．此类问题出现在解答题的第二问中，属于中档题．【知识总结】1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则2．三角形中的常见结论在△ABC中，常有下列结论：（1）A+B+C=π．（2）大边对大角，大角对大边，如a>b⇔A>B⇔sin A>sin B．（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（4）有关三角形内角的三角函数关系式：sin （A+B ）=sin C ；cos （A+B ）=–cos C ；tan （A+B ）=–tanC ；sin2A B +=cos 2C ；cos 2A B +=sin 2C． （5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B=π3，A+C=2π3． （6）在斜△ABC 中，tan A+tan B+tan C=tan A ·tan B ·tan C ． 3．三角形的面积公式（1）已知三角形一边及该边上的高：S=12ah （h 表示边a 上的高）； （2）已知三角形的两边及其夹角：S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A ；（3）已知三角形的三边：（p=12（a+b+c ））； （4）已知三角形的三边及内切圆半径：S=12r （a+b+c ）（r 表示三角形内切圆半径）．【方法总结】1．判断三角形的形状，主要有如下两种方法：（1）角化边．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，如：①若a=b ，则三角形为等腰三角形；②若c 2=a 2+b 2，则三角形为以角C 为直角的直角三角形； ③若c 2>a 2+b 2，则三角形为以角C 为钝角的钝角三角形；④若c 2<a 2+b 2，则只能得到三角形中角C 为锐角，如果同时有a 2<c 2+b 2，b 2<a 2+c 2都成立，此三角形为锐角三角形；⑤有时可能得到两个结论a=b ，且c 2=a 2+b 2，此时三角形为等腰直角三角形．化简过程中不能随便约分，要把关系找充分，从而正确判断三角形的形状．（2）边化角．利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，常见的关系有： ①sin 2A=sin 2B ，即A=B 或A+B=π2，三角形为等腰三角形或直角三角形； ②A+B=π2，三角形为以角C 为直角的直角三角形； ③A=B=C ，三角形为等边三角形．在这里要注意应用A+B+C=π这个结论，从而判断出三角形的形状．注意：（1）判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断．注意不要轻易两边同除以一个式子．（2）要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2．与三角形面积有关的问题主要有两种：一是解三角形求出有关量，利用公式求面积；二是将面积作为已知条件之一，与正弦定理和余弦定理一起求解三角形中的其他量．解题时主要应用三角形面积公式S=12ab sin C ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，因此可以将正弦定理和余弦定理综合起来求解问题．3．解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．注意：（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．（2）注意题目中的隐含条件，如A+B+C=π，0<A<π，b –c<a<b+c ，三角形中大边对大角等．1．【天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练（一模）数学】在ABC △中，46,cos ,54AC B C π===． （1）求AB 的长；（2）求cos 26A ⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值．2．【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二）数学】在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且a b ¹． （1）求cos B 及a 的值； （2）求cos 23B ⎛⎫+⎪⎝⎭π的值． 3．【天津市南开区2019届高三下学期模拟考试数学】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，B =2C ，sin C =4（1）求cos A 的值；（2）设bc =24，求边a 的长．4．【天津市河西区2019届高三一模数学】在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c ．已知1cos 2a C cb +=． （1）求A ；（2）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值．5．【天津市部分区2019届高三联考一模数学】在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b A B A π===+． （1）求a 的值；（2）求cos2C 的值．6．【天津市河北区2019届高三一模数学】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a c -=，sin B C =．（1）求cos A 的值；（2）求πsin 26A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7．【天津市红桥区2019届高三一模数学】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =． （1）求b 的值； （2）求πcos 23B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 8．【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5cos (cos cos )3A b C c B a +=，sin 62bc A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求ABC △的面积； （2）若2c =，求cos 4B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．9．【天津市实验中学2019届高三第六次阶段考数学】已知函数21()2cos 2f x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =()0f C =，若s i n 2s i n B A =，求a ，b 的值．10．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45B =，b =cos C =． （1）求边a ；（2）求()sin 2A B -．11．【天津市南开中学2019届高三模拟数学】已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1c =，)()cos sin sin cos 0B C B A B +-+=．（1）求角C 的大小；（2）若3a b =，求()cos 2B C -的值．12．【天津市北辰区2019届高考模拟考试数学】在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知145tan 2B bC =︒==，．（1）求边a ； （2）求()sin 2A B -．13．【天津市河北区2019届高三二模数学】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++． （1）求角A 的值；（2）若3a =，b =()sin 2B A +的值．14．【天津市红桥区2019届高三二模数学】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin a b a c C A B+-=-． （1）求角B ；（2）若3b =，cos A =，求ABC △的面积． 15．【天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学】设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,1,2b c A B ===． （1）求a 的值；（2）求cos(2)6A π+的值．16．【天津市和平区2018–2019学年第二学期高三年级第二次质量调查数学】已知函数2()sin cos f x x x x =-．（1）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()sin(2)16f A A π+-=，且ABC △的面积为b c +的最小值．17．【天津市和平区2018–2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学】已知三角形ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且)cos c B -=cos b C ． （1）求角B 的大小及πcos(2)3B +的值；（2）若ABC △的面积为a c +的最小值．18．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二）数学】在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且=tan 2sin a bA B． （1）求角A 的值；（2）若6a =，2b c =，求ABC △的面积．19．【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（二）数学】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin sin cos 2,a A B b A a += （1）求ab的值；（2）若c =，求πsin(2)3C -的值．20．【天津市2019年3月九校联考高三数学】已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若7a =，60A ∠=︒，且sin sin B C +=（1）求bc 的值；（2）若b c <，求cos(2)B A +的值．。
天津市第一中学2023届高三上学期第一次月考物理试题 Word版含答案
C.P所受摩擦力方向先沿斜面向下后沿斜面向上D.斜面对P的作用力先变小后变大
三、实验题
11.某同学用橡皮条与弹簧测力计验证“力的平行四边形定则”，实验装置如图甲所示。其中A为固定橡皮条的图钉， 和 为细绳。
（1）本实验采用的科学方法是“等效替代法”，其含义是___________
4.电梯、汽车等交通工具在加速时会使乘客产生不适感，其中不适感的程度可用“急动度”来描述。急动度是描述加速度变化快慢的物理量，即 。汽车工程师用急动度作为评判乘客不舒适程度的指标，按照这一指标，具有零急动度的乘客，感觉较舒适。图为某汽车加速过程的急动度j随时间t的变化规律。下列说法正确的是（ ）
A.在0~5.0s时间内，汽车做匀加速直线运动
B.“福建舰”在码头补给充足后，它的惯性将变大
C.“福建舰”大角度转弯时，舰上各点的速度相同
D.研究战斗机在航母上的起落时，可以将“福建舰”看成质点
2.如图所示，音乐喷泉竖直向上喷出水流，喷出的水经3s到达最高点，把最大高度分成三等份，水通过起始的第一等份用时为 ，通过最后一等份用时为 。空气阻力不计，则 满足（ ）
A.
B.轻绳上的弹力与弹簧N上的弹力之比为
C.若剪断弹簧M，则在剪断的瞬间，b球处于失重状态
D.若剪断轻绳，则在剪断的瞬间，a球的加速度为
6.“血沉”是指红细胞在一定条件下沉降的速度，在医学中具有重要意义。测量“血沉”可将经过处理后的血液放进血沉管内，由于重力作用，血液中的红细胞将会下沉。设血沉管竖直放置且足够深，红细胞的形状为球体。已知红细胞下落受到血液的粘滞阻力表达式为 ，其中 为血液的粘滞系数，r为红细胞半径，v为红细胞运动的速率。若某血样中半径为r的红细胞，由静止下沉直到匀速运动的速度为 ，红细胞密度为 ，血液的密度为 。以下说法正确的是（ ）
2019年初中数学天津市第一中学届九年级数学下月考试题(三)
天津市第一中学2015届九年级数学下学期月考试题（三）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟．第Ⅰ卷（选择题 共36分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号，用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔填写在“答题卡”上，然后再将准考证号、考试科目用2B 铅笔填涂在“答题卡”相应的信息点上．2．答案答在本张试卷上无效．每小题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．一．选择题:（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.-+︒60tan 2Sin450的值等于（ ） (A) 1 （2+(D) 33-2 2. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）3.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）4.有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白 四个球，现分别从两只口袋中各取一个球，求取出的两个球都是黄球的概率 （ ） （A ）13（B ）16（C ）19（D ）1125.用一个半径为6㎝的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的表面积为（ ）cm 2. （A ）6π+6（B ）12π （C ）27π （D ）18π（A ） （B ） （C ） （D ）6. 如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点E ，AC 与DB 的延长线交于点P ，下列结论中成立的是（ ）（A ）CE ·CD ＝BE ·BA （B ）CE ·AE ＝BE ·DE（C ）PC ·CA ＝PB ·BD （D ）PC ·PA ＝PB ·PD7. 已知二次函数 y =ax 2+bx +c ，且a ＜0，a -b +c ＞0，则一定有（ ）（A ）b 2-4ac ＞0 (B) b 2-4ac =0 (C) b 2-4ac ＜0 (D) b 2-4ac ≤08.如图，所示物体的左视图是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）9. 如图，已知等腰ABC ∆中，顶角∠A =36°，BD 为∠ABC 的平分线，则ADAC的值等于（ ）(A)12（B (C) 1 （D10.正六边形半径为R,则它的边长、边心距、面积分别为（ ） (A)232,,332R R R (B) 232,2,R RR (C) 232,,33R R R (D)R,R 23,2233R 11.关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）（A ）1 （B ）－1 （C ）1或－1 （D ） 212.如图,正△ABC 内接于⊙O,P 是劣弧BC 上任意一点，PA 与BC 交于点E ，有如下结论：①PA =PB +PC ； ②111PA PB PC=+; ③∠BPC=120゜； ④PA ·PE =PB ·PC ；⑤图中共有6对相似三角形.其中，正确结论的个数为（ ）（A ）5个 (B )4个 (C )3个 (D ) 2个第II 卷（非选择题 共84分）注意事项：请将答案直接填在答题纸上，答案答在本张试卷上无效． 二．填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.已知关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为________.14. 已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为6cm ，则弦AB 所对的圆周角的度数为_____.15. 如图，M 为双曲线y ＝x1上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y =－x ＋m 于D 、C 两点，若直线y ＝－x ＋m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ．则AD ·BC 的值为___________．16. 如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE，点F 落在AD 上．若sin∠DFE=13，则 tan∠EBC 的值为_________。
南阳市第一中学2023届高三上学期第三次阶段测数学(理)试卷(PDF版,含解析)
2023届年高三第三次阶段性测试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（ ） A ．2B ．3C ．5D ．62.设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（ ） A ．4B ．2−C ．4或2−D ．4−或23．在等比数列{}n a 中，12318a a a =，且86434a a a =+，则3a =（ ）A ．1B ．2C ．±1D ．2±4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．355．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ ）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ） A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅ 7. 给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 和OB u u u r，它们的夹角为120°.如图所示.点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动.则的最小值为 A. 4− B. 2− C. 0 D. 28．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()()213cos sin 222x f x x ϕϕ+=−++22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当5,1818x ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，函数()g x 的值域为（ ）A ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．()9322− D ．32211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >>B ．2b a >>C ．2b a >>D ．2a b >>12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰.14.2．已知，，且与的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______．15. 在ABC V 中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．16.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. （12分）如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值．19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=.（1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =3AC =，求BDC ∆的面积.20．（12分）已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点． (1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．21. （12分）已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，点()5,0P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.高三第三次阶段性测试理科数学试题解析版一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（ ） A 2B 3C 5D 6【答案】C2．设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（ ） A ．4 B ．2− C ．4或2− D ．4−或2【答案】C【分析】本题先化简集合A 、集合B ，再结合A B ⋂=∅，确定直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)，最后求实数a 的值.【详解】解：集合A 表示直线32(1)y x −=−，即21y x =+上的点，但除去点(1,3)， 集合B 表示直线4160x ay +−=上的点， 当A B ⋂=∅时，直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)， 所以42a−=或43160a +−=， 解得2a =−或4a =． 故选：C.3．在等比数列{}n a 中，1238a a a =，且86434a a a =+，则3a =（ ）A ．1B ．2C ．±1D ．2±【答案】C4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．35【答案】B5．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ D ）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）． D A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅ C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅u u u r u u u rA. 4−B. 2−C. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，以,OA OB u u u r u u u r为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，因此有2()()CB CA CO OB CO OA CO CO OA OB CO OB OA ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2CO OC OA OB OC OB OA =−⋅−⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r422cos 22cos(120)22cos120αα︒︒=−⨯−⨯⋅−+⨯⋅44cos 4cos(120)2αα︒=−−−− 24cos 2cos 23ααα=−+− 22cos 23αα=−−24cos(60)α︒=−−，因为[0,120]α︒∈，所以60[60,60]α︒︒︒−∈−，所以当600α︒︒−=时，即60α︒=，CB CA ⋅u u u r u u r有最小值，最小值为242−=−. 故选：B8．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题 ③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A9．已知函数()()213cos 22x f x x ϕϕ+=−+22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数ππA ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦【答案】B ()()21cos 22x f x x ϕϕ+=−+ ()()1cos sin 26x x x πϕϕϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛−⎫ ⎪⎝⎭，∴36k ππϕπ−++=，∴6k πϕπ=+，∵22ππϕ−<<，∴6π=ϕ，∴()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()sin 332g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，∵51818x ππ−<<，73636x πππ<+<，所以函数()g x 的值域为(]1,2−.故选：B .10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为2，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ）BA ．3 BC．92D．211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2b a >> D ．2a b >>【详解】由题意，31333323log 92lo 12g 4log 9log 4log 4log 1log 4a =+=+=++， 所以3322log 421log 4a −=+−+()333log log 1g 4144lo =+−，因为3log 41>，所以()333414log log 01log 4>+−，即2a >.所以2213512512169b a a >==++,即21313b >， 所以2b >.再来比较,a b 的大小： 因为20a −>， 所以222512135144122511693a a a a a a −−−++⨯−=⨯−⨯22212144122516913a a a −−−<⨯−⨯+⨯221691216931a a −−=−⨯⨯()2216912301a a −−=−<，所以b a <.综上所述，2a b >>. 故选：A.12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】D【详解】解：根据正方体的性质知，F 到平面''ABB A 的距离为4，因为254PF =>，所以FP 的轨迹为圆锥的侧面，P 点在圆锥底面的圆周上，圆锥的底面的圆半径为()222542−=，圆锥的高为4，母线25=PF ，对于①，点P 的轨迹长度为224ππ⨯=，故①错误，对于②，由题意知，平面''A B CD 与圆锥的高不垂直，所以平面''A B CD 截圆锥所形成的曲线为椭圆，所以FP 的轨迹与平面''A B CD 的交线不是圆弧，故②错误，对于③，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，以'AA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以()0,0A ，()4,2N ，P 点所在的圆的圆心为()2,4O ，所以圆的标准方程为()()22244x y −+−=，AE 所在的直线方程为12y x =，所以圆心到直线的距离为222465512−⨯=+，所以圆上的点到直线的距离最小值为6525−，即NP 的最小值为65105−，故③正确；则(0,D 0，0)，'(0,D 0，4)，(0,C 4，0)，(4,G 0，2)，(4,B 4，0)设(4,P y ，)z ，因为'D P CG ⊥，所以'0D P CG =g u u u u r u u u r，即()164240y z −+−=，对于P ，()()22244y z −+−=，tan BC BPC BP∠=，即求BP 的最小值，()222452432BP y z y y =−+=−+，由二次函数的性质知，当24 2.425y −=−=⨯时，BP 取得最小值455，又因为42BC =，所以10BC BP=，所以tan BPC ∠的最大值为10，所以④错误，故选：D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰. 14π+14.已知(),2a k =−r ，() 3,5b =−r ，且a r 与b r的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1066,,355⎛⎫⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;15. 在中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．【答案】3【详解】解：由题得24sin()403a a B π−++=，因为方程有解，所以2216sin ()160,sin ()133B B ππ∆=+−≥∴+≥,所以sin()13B π+=±,因为0.333B B πππππ<<∴<+<+,所以24402a a a −+=∴=，. 由余弦定理得22328=4+22,23240,432c c c c c −⨯⨯⨯∴−−=∴=. 所以的面积为111sin 24323222S ac B ==⨯⨯⨯=. 故答案为：2316.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．【答案】944(2e ,2e )ππ【分析】由已知可得方程e sin x a x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，利用导数研究e sin xy x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，的单调性，作出其函数图象，观察图象可求出a 的取值范围.【详解】因为函数()()e sin 0,0xf x a x x a =−>>有两个零点， 所以方程()e sin 00,0xa x x a −=>>有两个根，所以()2,2N x k k k πππ∈+∈，所以方程e sin xa x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，设e ()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，所以2e sin cos e ()sin x xx x g x x−'=，令()0g x '=可得e sin cos e 0x x x x −=， 化简可得24x k ππ=+，N k ∈，所以当22,N 4k x k k πππ<<+∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当22,N 4k x k k ππππ+<<+∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，作函数()g x 的图象可得，由图象可得，当9()()g a g ππ<<时，直线y a =与函数e()xg x =，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，的图象有且仅有所以当9442e 2e a ππ<<时，函数()()e sin 0xf x a x x =−>()0a >有两个零点，故答案为：944(2e ,2e )ππ．题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 17．解：（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =,故111222n n n n b b q−−==⨯=,┅┅┅┅┅┅4分又由122n a n +=,得1n a n =−. ┅┅┅┅┅┅6分 （2）依题意1(1)2n n c n −=−⨯.┅┅┅┅┅┅7分01221021222(2)2(1)2n n n S n n −−=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,①则12312021222(2)2(1)2n n n S n n −=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n −−−=+++−−⨯=−−⨯−…,┅┅┅┅┅┅10分即2(2)2n n S n −=−+−⨯,故2(2)2nn S n =+−⨯.┅┅┅┅┅┅12分18. 如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （215（1）证明：由AB ＝AC ，则有A 1B 1＝A 1C 1. ∵D 为B 1C 1的中点，∴A 1D ⊥B 1C 1. 由BC ＝2，则有B 1D ＝1，BB 1＝2， ∵1113B BC C BC π=∠=∠，∴2222111112cos21221332BD B B B D B B B D π=+−⋅=+−⨯⨯⨯= ∴BD 2+B 1D 2＝BB 12，∴BD ⊥B 1C 1，∵A 1D ∩BD ＝D ，∴B 1C 1⊥平面A 1DB . ┅┅┅┅┅┅6分（2）取BC 中点为E ，连接AE ，C 1E ， 由AB ⊥AC ，得AE ＝12BC ＝1， 由题意得C 1E ＝BD ＝3，∴222114AE C E AC +==，∴AE ⊥C 1E ，又可知AE ⊥BC ，AE ∩C 1E ＝E ，则AE ⊥平面BB 1C 1C ，如图，以E 为坐标原点，1C E BE AE u u u u r u u u r u u u r，，分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，┅┅┅┅┅┅7分则C （0，﹣1，0），B 1（3，2，0），A 1（3，1，1），B （0，1，0），D （3，1，0），由A 1D ∥AE ，得A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，∴BD ⊥B 1C 1，∵BD ⊥B 1C 1，A 1D ∩B 1C 1＝D ，∴BD ⊥平面A 1B 1C 1， ∴平面A 1B 1C 1的法向量BD u u u r＝（3，0，0），┅┅┅┅┅┅8分设平面A 1B 1C 的法向量n r＝（x ，y ，z ），则，不妨取x ＝﹣3，得n r＝（﹣3，3，3），┅┅┅┅┅┅9分设二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的平面角为θ，由图示θ为锐角. ┅┅┅┅┅┅10分 则cosθ＝，┅┅┅┅┅┅11分 ∴二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值为155．┅┅┅┅┅┅12分 19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=. （1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =，3AC =，求BDC ∆的面积.19．（1）∵1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=， ∴sin cos sin cos 3cos a A C c A A b A +=，由正弦定理得()sin sin cos cos sin 3sin cos A A C A C B A +=， ∴()sin sin 3sin cos A A C B A +=，即sin sin 3sin cos A B B A =， ∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴sin 3cos A A =，显然cos 0A ≠，∴tan 3A =，∵0A π<<，∴3A π=.┅┅┅┅┅┅6分（2）在ADC ∆中，由余弦定理知，2222cos DC AD AC AD AC A =+−⋅，即()222173232AD AD =+−⨯⨯⨯，解得1AD =或2AD =（舍），∵2AB AD =，∴1BD AD ==，∴133313224BDC ACD S S ∆∆==⨯⨯⨯=.┅┅┅┅┅┅12分20．已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点．(1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．20.（1）圆C 的方程为22(4)(2)20x y −++=，圆心(4,2)C −，半径25r =． 若1l 垂直于x 轴，则4MN =不合题意，┅┅┅┅┅┅2分故1l 斜率存在，设为k ，则1l 的方程为2y kx =−，即20kx y −−=．┅┅┅┅┅┅3分8MN =，C 到1l 的距离()222542d =−=，242221k k +−=+，解得33k =±，┅┅┅┅┅┅4分故直线1l 的方程为323y x =±−，即3360x y ±−−=．┅┅┅┅┅┅5分 （2）由已知，2l 斜率不为0，故1l 斜率存在．┅┅┅┅┅┅6分当2l 斜率不存在时，2l 方程为0x =，则(0,0)Q ，此时1l 方程为=2y −，此时45MN =， 1452452QMN S =⨯⨯=△．┅┅┅┅┅┅7分当2l 斜率存在时，设1:2l y kx =−即20kx y −−=，则圆心C 到直线MN 的距离为241k k +．┅┅┅┅┅8分()222222216420522524111k k k MN k k k ++=−==+++，┅┅┅┅┅┅9分 2l 方程为12y x k =−−，即20x ky ++=，()2,0Q k −，则点Q 到MN 的距离为22221k k−−+．┅┅┅┅┅┅10分22222122454545211QMNk k S k k k ++=⨯⨯=+>++△.┅┅┅┅┅┅11分 综上：面积的最小值为45．┅┅┅┅┅12分21. 已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（1）()12ln 1f x x x ⎛⎫'=+− ⎪⎝⎭，令其为()p x ，则()21120p x x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭┅┅┅┅┅┅1分 所以可得()p x ，即单调递增，┅┅┅┅┅┅2分而()10f '=，则在区间()0,1上，，函数()f x 单调递减；┅┅┅┅┅┅3分在区间上，函数()f x 单调递增┅┅┅┅┅┅4分（2）()()2112ln x f x x x a x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，令()212ln x h x x ax −=+，可知()10h =. ()222ax x a h x x++'=，令()22,0g x ax x a x =++>，┅┅┅┅┅┅5分 ①当1a ≤−时，结合()g x 对应二次函数的图像可知，()0g x ≤，即()0h x '≤，所以函数()h x 单调递减，∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x >，()1,∈+∞x 时，()0h x <， 可知此时()0≤f x 满足条件；┅┅┅┅┅┅7分②当0a ≥时，结合()g x 对应的图像可知，()0h x '>，()h x 单调递增， ∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x <，()1,∈+∞x 时，()0h x >， 可知此时()0≤f x 不恒成立，┅┅┅┅┅┅9分 ③当10a −<<时，研究函数()22g x ax x a =++.可知()10g >.对称轴11x a=−>. 那么()g x 在区间11,a ⎛⎫−⎪⎝⎭大于0，即()h x '在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭大于0， ()h x 在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，()()10h x h >=，可知此时()0f x >.所以不满足条件. ┅┅┅┅┅11分综上所述：1a ≤−.┅┅┅┅┅┅12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，点)P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．解：由223645cos ρθ=+得()2245cos 36ρρθ+=， 即()2224536y x x ++=，所以229436x y +=，即22149x y +=，┅┅┅┅┅┅2分∴(2F ，∴直线2PF 1=，即0x y +=；┅┅┅┅┅┅4分（2）解：由（1）知(10,F ，直线l的直角坐标方程为y x =，直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C的标准方程可得：213320t −−=，┅┅┅┅┅┅6分 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=123213t t =−，∴1t ，2t 异号，┅┅┅┅┅┅8分∴111213AF BF t t −=+=．┅┅┅┅┅┅10分 23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.23．(1)()1f x x ≤+，即131x x x −+−≤+.当1x <时，不等式可化为421x x −≤+，解得：1≥x 又∵1x <，∴x ∈∅； ┅┅┅┅┅┅1分当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，解得：1≥x 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.┅┅┅┅┅┅2分当3x >时，不等式可化为241x x −≤+，解得：5x ≤ 又∵3x >，∴35x <≤.┅┅┅┅┅┅3分综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤.┅┅┅┅┅┅4分 ∴原不等式的解集为[]1,5.┅┅┅┅┅┅5分(2)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x −+−≥−−−=， ∴2c =，即2a b +=.┅┅┅┅┅┅6分令1,1a m b n +=+=，则1,1m n >>，114a m b n m n =−=−+=,,，┅┅┅┅┅┅7分()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n −−+=+=+++−=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， ┅┅┅┅┅┅9分 当且仅当2m n ==即1a b ==时等号成立.原不等式得证. ┅┅┅┅┅┅10分。
天津市第一中学2019届高三上学期第三次月考物理试题 PDF版含答案
天津一中 2018—2019—1 学年度高三年级三月考物理学科试卷 本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共120 分。
考生务必将 答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。
第Ⅰ卷（本卷共 8 道题，共 48 分）一、单选题：（每小题 6 分，共 30 分。
每小题中只有一个选项是正确的）1．在物理学的发展过程中，许多物理学家的科学发现推动了人类历史的进步，下列表述 符合物理学史实的是（ ）A．牛顿提出了万有引力定律并准确地测出了引力常量B．安培最早引入了电场概念，并提出用电场线表示电场C．奥斯特发现了电流的磁效应并总结出了判断电流与磁场方向关系的右手螺旋定则 D．法拉第发现了电磁感应现象，宣告了电磁学作为一门统一学科的诞生2．两个等量同种电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线上有 A、B、C 三点，如图所 示。
一个比荷为 2C/kg 的小物块从该水平面内的 C 点静止释放，其运动的 v－t 图象如图 所示，其中 B 点处为整条图线切线斜率最大的位置（图中标出了该切线）。
则下列说法中 正确的是（ ）A．在 A、B、C 三点中，B 点电场强度最大，其电场强度 E＝1V/mB．由 C 到A 的过程中，物块的电势能先增大后减小C．由 C 到 A 的过程中，电势逐渐升高D．A、B 两点电势差U AB＝5 V3．地面附近空间中存在着纸面内水平方向的匀强电场（图中未画出）和垂直于纸面向里 的匀强磁场（如图所示）。
一个带电油滴沿着一条与竖直方向成α角的直线 MN运动。
以下说法中不正确的是（ ）A．油滴一定做匀速直线运动B．油滴一定从 M到 N运动C．油滴一定受水平向左的电场力D．油滴一定受垂直 MN 斜向右上的洛伦兹力4．如图为法拉第做过的电磁旋转实验，图中A 是可动磁铁，B 是固定导线，C 是可动导 线，D是固定磁铁。
图中灰色部分表示汞（磁铁和导线的下半部分都浸没在汞中），下部接在电源上。
天津市第一中学届高三物理下学期第四次月考试题
天津一中 2018—2019 学年度高三年级四月考物理学科试卷 本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 120 分。
考生务必然 答案涂写答题纸或答题卡的规定地址上，答在试卷上的无效。
第Ⅰ卷（本卷共 8 道题，共 48 分）一、单项选择题：（每题 6 分，共 30 分。
每题中只有一个选项是正确的）1．以下说法正确的选项是 （ ）A ．核裂变与核聚变都伴有质量损失，损失的质量转变为能量 B ．β 射线和光电效应中逸出的电子都是原子核衰变产生的C ．真空中的光速在不相同的惯性参照系中都是相同的，与光源、观察者间的相对运动 没有关系D ．原子核所含核子单独存在时的总质量小于该原子核的质量2．如图 a 所示，一根水平张紧的弹性长绳上有等间距的 Q ′、P ′、O 、P 、Q 质点，相 邻两质点间距离为 1 m ．t ＝0 时辰 O 质点从平衡地址开 始沿 y 轴正方向振动，并产生分别 向左、向右流传的波，O 质点振动图像如图 b 所示，当 O 点第一次达到正方向最大位移的 时辰，P 点刚开始振动，则( )图 a 图 bA ．P ′、P 两点距离为半个波长，因此它们的振动步伐向来相反B ．当 Q ′点振动第一次达到负向最大位移时，P 质点经过行程的行程是 20 cm C ．当波在绳中流传时，绳中全部质点沿 x 轴搬动的速度大小相等且保持不变 D ．若 O 质点振动加速，波的流传速度变大3．将一质量为 m 的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为 mg 0；将 该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为 mg .假设地球可视为质量平均分布的球体，半 径为 R ，已知引力常量为 G ，则由以上信息可得出( )gR 2 A ．地球的质量为 G 3 g 0 B ．地球同步卫星的离地高度为 RR C ．地球自转的周期为 2π g 0－g g 0－gD ．地球的第一宇宙速度大小为 gR4．一带负电的粒子只在电场力作用下沿 x 轴正方向运动，其电势 能 E p 随位移 x 变化的关系以下列图，其中 0～x 2段是关于直线 x ＝x 1 对 称的曲线，x 2～x 3 段是直线，则以下说法正确的选项是( )A ．x 1 处电场强度最小，但不为零B ．粒子在 0～x 2 段做匀变速运动，x 2～x 3 段做匀速直线运动C ．在 0、x 1、x 2、x 3 处电势 φ0、φ1、φ2、φ3 的关系为 φ3＞φ2＝φ0＞φ1D ．x 2～x 3 段的电场强度大小和方向均不变5．我国航天事业连续飞速发展，2019 年 1 月，嫦娥四号飞船在太阳系最大的撞击坑 内凑近月球南极的地址着陆月球反面。
第一中学202届高三物理上学期第三次月考试题
B．滑块下滑过程中支持力对B的冲量大小为FNtcosα
C．此过程中斜面体向左滑动的距离为 Lcosα
D．滑块B下滑的过程中A、B组成的系统动水平方向动量守恒
6．如图甲所示，物块A、B的质量分别是mA＝4.0 kg和mB＝3.0 kg，两物块之间用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上,物块B右侧与竖直墙壁相接触，另有一物块C从t＝0时，以一定速度向右运动．在t＝4 s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图象如图乙所示，则( )
21.如图所示，一游戏装置由安装在水平面上的固定轻质弹簧、竖直圆轨道（在最低点E分别与水平轨道EO和EA相连）、高度可调的斜轨道AB组成，各部分平滑连接。某次游戏时,滑块从高为h=1. 0m的斜轨道AB端点B由静止释放，沿斜轨道下滑经过圆轨道后压缩弹簧，然后被弹出，再经过圆轨道并滑上斜轨道，循环往复。已知圆轨道半径r=0。 1m，滑块质量m=20g且可视为质点，CA长 ，EO长 ，滑块与AB、EO之间的动摩擦因数 ,滑块与其它轨道摩擦及空气阻力忽略不计，g取10m/s2。
D．粒子在B点的机械能比在A点多1J
二、多项选择题（本大题共5小题，每小题4分,共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得4分，选对但不全得2分，选错或不选得0分.）
11。一个质量为m的物块放在倾角为θ的斜面体上,斜面体始终不动。现对物块施加一个竖直向下的恒力F，如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．绳OM上的力一直在减小
B．绳ON上的力一直在增大
C．绳ON上的力先减小再增大
D．绳OM上的力先减小再增大
2。如图所示,倾角为θ的斜面静置于地面上,斜面上表面光滑,A、B、C三球的质量分别为m、2m、3m,轻质弹簧一端固定在斜面顶端、另一端与A球相连,A、B间固定一个轻杆，B、C间由一轻质细线连接．弹簧、轻杆与细线均平行于斜面,初始系统处于静止状态，现突然剪断细线．下列判断正确的是( ）
天津市第一中学、滨海一中2023届高三上学期第三次月考历史试题 附解析
一．选择题（每小题3分，共45分）
1.据历史学家研究，古代雅典官员在接受任职资格审查时，要回答：直系亲属姓名及男性亲属所在村社名称、崇拜的神祇及其圣所所在地、墓葬方位、是否善待双亲、是否纳税、是否服兵役等。以下哪些是古代雅典官员任职的前提条件（）
2.英国学者马丁·贝尔纳在其著作《黑色雅典娜：古典文明的亚非之根》中，批判了关于希腊文明起源的传统观点，提出希腊文明的源头在西亚和北非。下列希腊文明成果，能印证这一观点的是（ ）
①字母文字 ②雕刻艺术 ③民主政治 ④冶铁技术
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
【答案】B
【解析】
【详解】古希腊文字来源于腓尼基文字、古希腊的雕刻艺术受到古代埃及的影响、而西亚地区的赫梯人最早掌握冶铁技术，由此可知，①②④能够证明希腊文明起源于西亚和北非，B项正确；民主政治是雅典首先开创的，③错误，排除A、C、D项。故选B项。
A.①②B.③④C.①③D.①④
【答案】C
【解析】
【详解】“把屠宰和包装分成几道独立工序，利用传送带进行流水作业”体现了产业分工的不断细化，①正确；“并雇佣工程师设计冷冻车厢，以便长途运输鲜肉”说明当时铁路运输业得到发展，能够长距离的运输货物，③正确，根据以上分析可知，①③正确，C项正确；通过材料无法证实斯威夫特创办的肉类加工厂是西方近代工厂制度的开端，②错误，排除A项；而且肉类加工本身不属于机械生产，也不属于现代农业，④错误，排除B项；肉类加工不属于现代农业，排除D项。故选C项。
7.1870、80年代，美商斯威夫特创办了肉类加工厂，把屠宰和包装分成几道独立工序，利用传送带进行流水作业，并雇佣工程师设计冷冻车厢，以便长途运输鲜肉。他还陆续开办工厂，利用肉类加工厂的下脚料生产肥料、肥皂和甘油等。斯威夫特的经营模式（）