自控 第8章-3 描述函数法
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精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
19
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
描述函数法讲解
0
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
自动控制原理：第八章 非线性控制系统分析(描述函数)
1 G1
【例8】系统如图，说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值
(A)范围。
【解】等效变换求等效G*(s)。
D(s) 1 N ( A) G1(s) G1(s) 0
N ( A) G1(s) 1 G1(s)
N ( A) G1(s) 1 1 G1(s)
G
*(s)
G1 ( s) 1 G1(s)
N ( A) 8
88
G( j )
2K
j (1 j )
2K
12
1
j
1
8
j
8
K
1
8 0.3927
Ac 8 2 3.6
K A ,
【例7】系统如图，已知
G1
(
s)
N
(
A)
1, s(s 1) 4M 1 A
G2 ( s)
h
2
A
K s
(A
h)
（1）G3 ( s),系1统是否自振？确定使系统自振的K值范围；求 K=2时的自振参数。
A
1
h 2
A
j
4Mh
A2
M h
4h
A
1
h 2
A
j
4h2
A2
1 A
N ( A) 4h
1 1 h 2
j
h
A
4h
1
h
2
A
j
h
A
A A
A
1
h
2
j
4h A 4
4. 自振分析（定性）
穿入 穿出 相切于
不是自振点 的点 是自振点
半稳定的周期运动
自振条件：
名称
【例8】系统如图，说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值
(A)范围。
【解】等效变换求等效G*(s)。
D(s) 1 N ( A) G1(s) G1(s) 0
N ( A) G1(s) 1 G1(s)
N ( A) G1(s) 1 1 G1(s)
G
*(s)
G1 ( s) 1 G1(s)
N ( A) 8
88
G( j )
2K
j (1 j )
2K
12
1
j
1
8
j
8
K
1
8 0.3927
Ac 8 2 3.6
K A ,
【例7】系统如图，已知
G1
(
s)
N
(
A)
1, s(s 1) 4M 1 A
G2 ( s)
h
2
A
K s
(A
h)
（1）G3 ( s),系1统是否自振？确定使系统自振的K值范围；求 K=2时的自振参数。
A
1
h 2
A
j
4Mh
A2
M h
4h
A
1
h 2
A
j
4h2
A2
1 A
N ( A) 4h
1 1 h 2
j
h
A
4h
1
h
2
A
j
h
A
A A
A
1
h
2
j
4h A 4
4. 自振分析（定性）
穿入 穿出 相切于
不是自振点 的点 是自振点
半稳定的周期运动
自振条件：
名称
自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案
8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。
本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。
8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。
严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。
例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。
当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。
实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。
图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。
但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。
图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。
例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。
实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。
自动控制系统—— 第8章-3 描述函数法
r(t) 0 x(t) N ( A)
y (t )
G(s)
c(t )
若非线性环节和线性部分满足描述函数应用的 条件，则描述函数可以作为一个具有可变增益的比 例环节，于是系统近似为一个等效的线性系统
14
1.变增益线性系统的稳定性分析
变增益系统如图
r(t) e(t)
K
c(t )
G(s)
K 为比例环节增益 设G(s)的极点均位于s左半平面，即P=0 闭环系统特征方程的频率特性为
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
6
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
N ( A) N ( A) e jN ( A) Y1 e j1 B1 jA1
A
A
2. 一些性质
1）一般情况下，N(A)是A和ω的函数 若非线性环节无储能元件，则N(A)只是A的函数
N ( A) 1 称为非线性环节的负倒描述函数
N ( A)
18
在复平面上分别绘制
1 N ( A)
曲线和
G 曲线
(1)两条曲线不相交
两条曲线不相交，表明特 征方程
G( j) j
1 N ( A) G( j) 0
无实数ω解
1 0
N ( A)
G(
j)曲线包围
1 N ( A)
曲线
图A
所以，闭环系统不稳定，振幅A会增大
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
5
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
自动控制原理原理第8章
y (t )
KX sint Ka
0 ≤t≤1 1≤ t≤
2
第8章 非线性系统分析
y
y
Ka
a
K
0
a
x
x
0 1 1 2
t
0 1
（a）
（c）
1
1
t （b）
饱和特性及输入、输出波形
第8章 非线性系统分析
（2）由于饱和特性为单值斜对称，所以， A0 0 A1 0 1 0
X a
这是一个与输入正弦函数的振幅有关的复函数，说明输出的 基波分量对输入是有相位差的，输出滞后于输入。
第8章 非线性系统分析
4．继电器特性的描述函数 继电器特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形 y y 如图。 E
0 ma
a x
0 1 2
3 4
2
t
1 2
3
0
x
死区特性描述函数为
N ( X ) B1 2 K a a a arcsin 1 ( ) 2 X 2 X X X
( X a)
3．间隙特性的描述函数
间隙特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形
如图。 其输出表达式为
第8章 非线性系统分析
y
K
y
2
A1 B1
A1
1
2
0
y (t ) costdt
B1
1
2
0
y (t ) sin tdt
第8章 非线性系统分析
2．描述函数定义 非线性元件在正弦输入时，输出的基波分量与输入正弦量的 复数比，称为该非线性元件的描述函数。 描述函数用符号 N 表示，即
KX sint Ka
0 ≤t≤1 1≤ t≤
2
第8章 非线性系统分析
y
y
Ka
a
K
0
a
x
x
0 1 1 2
t
0 1
（a）
（c）
1
1
t （b）
饱和特性及输入、输出波形
第8章 非线性系统分析
（2）由于饱和特性为单值斜对称，所以， A0 0 A1 0 1 0
X a
这是一个与输入正弦函数的振幅有关的复函数，说明输出的 基波分量对输入是有相位差的，输出滞后于输入。
第8章 非线性系统分析
4．继电器特性的描述函数 继电器特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形 y y 如图。 E
0 ma
a x
0 1 2
3 4
2
t
1 2
3
0
x
死区特性描述函数为
N ( X ) B1 2 K a a a arcsin 1 ( ) 2 X 2 X X X
( X a)
3．间隙特性的描述函数
间隙特性的输入、输出特性及在正弦函数输入时的输出波形
如图。 其输出表达式为
第8章 非线性系统分析
y
K
y
2
A1 B1
A1
1
2
0
y (t ) costdt
B1
1
2
0
y (t ) sin tdt
第8章 非线性系统分析
2．描述函数定义 非线性元件在正弦输入时，输出的基波分量与输入正弦量的 复数比，称为该非线性元件的描述函数。 描述函数用符号 N 表示，即
自动控制原理胡寿松 第8章
非线性元件用一个对正弦信号的幅值和相位进行变换的环 节来代替
N ( A) X 1 j1 e A
为A和 的复函数
其中：
A为正弦输入信号的振幅 X 1为输出信号的基波分量 的振幅
1为输出信号基波分量相 对输入正弦信号的相移 当非线性特性为单值奇函数时，A1 0 1 0
N ( A) B1 A
非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性元 件，即称为非线性系统。其特性不能用线性微分方程来描述。
非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性 本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化
非线性系统的主要特征： 系统的稳定性除与结构参数有关 外，还与起始偏差的大小有关 。 系统的响应形式与输入信号的大小 和初始条件有关。
假设线性部分是最小相位环节，非线性系统稳定性判断规则如下：
1 曲线则系统稳定，两者距离越远，稳定程度越高 N ( A) 1 （b） G ( jw) 包围 曲线则系统不稳定 N ( A) 1 （c） G ( jw) 与 曲线相交，则非线性系统存在着周期运动，它 N ( A)
（a） G ( jw) 不包围
4. 非线性系统结构图的简化
（1）由两个并联的非线性部件和线性部分串联而成
可以将两个非线性特性进行叠加，对叠加后的特性求其 描述函数N（A）。也可以先求各非线性特性的描述函数， 之后叠加得总描述函数N（A）,二者完全相同。 非线性环节并联后，总的描述函数等于各非线性环节描述 函数之和。
（2）当两个非线性环节串联时而成
(1)控制系统的稳定性分析
C ( j ) N ( A)G( j ) R( j ) 1 N ( A)G( j )
特征方程为 1 N ( A ) G ( jw ) 0
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N2
N10
N1
图C
所以N10对应的周期运动是不稳定的
27
图D：两个交点
对于N10点，若 A A1 A10 系统不稳定 A A10
若 A A2 A10 系统稳定 A A10
G( j) j
1 N ( A)
N10N1 0
N2
N20
N3 图D
所以N10对应的周期运动是稳定的
同理分析可知，A20对应的周期运动是不稳定的
8.3 描述函数法 8.3.1 描述函数的基本概念 8.3.2典型非线性特性的描述函数 8.3.3 非线性系统稳定性分析的描述函数法
1
8.3 描述函数法
达尼尔(P.J. Daniel)1940年提出描述函数法
描述函数法基本思想： 当系统满足一定条件时，系统中的非线性环
节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来 近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性， 即描述函数。
解：继电特性的特性方程为
M , x 0
y f (x) 0,
x0
M , x 0
y
M
0x
M
继电特性函数为奇函数，因为
f (x) f (x) 所以 A0 0
10
当 x Asin t 时
M ,
y(t) f (Asin t) 0,
M ,
0t t t 2
M , 0 t
描述函数法的应用： 1）分析无外作用时，非线性系统的稳定性和自振 问题 2）不受系统阶次限制 3）只能给出频率响应特性
2
8.3.1 描述函数的基本概念 1. 描述函数的定义 设非线性环节输入输出模型描述为
y f (x)
设非线性环节输入为正弦信号
x(t) Asin t
对稳态输出进行谐波分析，展开为傅里叶级 数，可得
G( j) 1 j0
N ( A)
G( j)
1
N ( A)
G( j) N ( A)
22
由此可解得两曲线相交处的频率ω和幅值A。 系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为 等幅振荡
x(t) Asin t
稳定的周期运动：外界小扰动作用使系统偏离周 期运动，当扰动消失后，系统的运动仍能恢复原 周期运动
3
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 (Yn sin( nt n ) n1
其中，
A0
1
2
2
y(t)d (t)
0
为直流分量
Yn sin( nt n ) 为n次谐波
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
G( j) j
1 N ( A) G( j) 0
无实数ω解
1 0
N ( A)
G(
j)曲线包围
1 N ( A)
曲线
图A
所以，闭环系统不稳定，振幅A会增大
18
G(
j)
曲线不包围
1 N ( A)
曲线
G( j) j
所以，闭环系统稳定，振 幅A会减小
1 N ( A)
非线性系统稳定判据：
0
图B
若 G( j) 曲线不包围 N (1A)曲线,则系统稳定
0
N ( A) B1 4M 继电非线性的描述函数
A A
12
8.3.3 非线性系统稳定性分析的描述函数法
非线性系统整理为如下的典型结构，用描述 函数N(A)近似表示非线性环节
r(t) 0 x(t) N ( A)
y (t )
G(s)
c(t )
若非线性环节和线性部分满足描述函数应用的 条件，则描述函数可以作为一个具有可变增益的比 例环节，于是系统近似为一个等效的线性系统
31
【例8.3.3】具有饱和特性的非线性系统如图，分析
y k2
r(t) x(t)
x y(t)
K
c(t )
a 1
s）欲使系统不出现自振荡，确定K的临界值
解：1)饱和环节的描述函数为
N ( A) 2k
(arcsin
a)
a
1
a
2
,
AA
两曲线相交于 (1, j0)
1 N ( A)
曲线为从不稳定区域进
入稳定区域，所以交点存在稳
j
1 N ( A)
1 0.5 0
定的周期运动
G( j)
根据 1 1
N ( A)
A 2.5
同时 x 7.07
所以，系统处于自振时，非线性环节的输入为
e(t) 2.5sin 7.07t
34
2)为使系统不出现自振，只需两条曲线不相交
N ( A) N ( A) e jN ( A) Y1 e j1 B1 jA1
A
A
2. 一些性质
1）一般情况下，N(A)是A和ω的函数 若非线性环节无储能元件，则N(A)只是A的函数
2）非线性环节为输入x的奇函数，即 y f (x)
满足 f (x) f (x)
6
则非线性环节的正弦响应是关于t的奇对称函数，即
稳定区域
G( j)
j
图A:稳定自振
0
不稳定区域
j
1 N ( A)
0 N1 N0 N2
G( j)
图B:不稳定自振
30
G( j) j
1 N ( A)
N3 N20
0
N2
图C N20为稳定自振 N10为不稳定自振
N10
N1
G( j) j
1 N ( A)
N10N1 0
N2
N20 N3
图D N10为稳定自振 N20为不稳定自振
4
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
0
Bn
1
2
y(t) sin ntd(t)
0
(n 1,2, )
若 A0 0 ， 且 n 1 时，Yn 均很小
则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
5
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
r(t) 0 x(t) N ( A)
y (t )
G(s)
c(t )
系统特征方程为 1 N ( A) G( j) 0 即 G( j) 1 j0
N ( A) 1 称为非线性环节的负倒描述函数
N ( A)
17
在复平面上分别绘制
1 N ( A)
曲线和
G 曲线
(1)两条曲线不相交
两条曲线不相交，表明特 征方程
y(t) f (Asin( t)) y(t )
那么，直流分量 A0 0
A1
2
y(t) costd(t)
0
B1
2
y(t) sin td(t)
0
若y(t)为奇函数，即 y(t) y(t)
那么 A1 0
B1
4
2 y(t) sin td(t)
0
7
3. 非线性系统描述函数法分析的应用条件
调整K值，使 G曲线右移 由 0.02K 0.5
0.3
K 7.5
j
1 N ( A)
1 0.5 0
所以，K的临界值为
Kc 7.5
G( j)
35
作业： 教材 8-17
36
Z P 2N 0
则系统稳定，即 G 曲线不包围(-1,j0)点
15
G( j) 1 j0
K
若K是变化的，如
K1 K K2
11
j
K1 K2
0
G
则 ( 1 , j0) 为实轴上的一段直线
K
若 G不包围这段曲线，则系统稳定，否则系 统不稳定
16
2.应用描述函数分析非线性系统的稳定性 用描述函数N(A)近似表示非线性环节的系统如图
y(t) f (Asin t) 0,
t
M , t 2
y(t) y(t) 所以，y(t)为奇函数
A1 0
11
y
M
0x
M
y(t)
x(t)
0 2 t
1
B1
2 y(t) sin td(t) 2
0
M sin td(t)
0
2M cos(t) 2M (cos cos 0) 4M
28
综合以上分析，可认为复平面上 G 包围的区域 为不稳定区域，G 不包围的区域为稳定区域
周期运动稳定性判据：
在
G
曲线和
1 N ( A)
曲线的交点处，若
1曲
N ( A)
线沿A增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，
该交点对应的周期运动是稳定的，反之，则是不
稳定的
29
1 N ( A)
N2 N0 N1
若 A A3 A20 系统稳定 A A20
G( j) j
1 N ( A)
N3 N20
0
N2
N10
N1
图C
所以N20对应的周期运动是稳定的
26
对于N10点，若 A A1 A10 系统稳定 A 0
若 A A2 A10 系统不稳定 A A20
G( j) j
1 N ( A)
N3 N20
0
若
G(
j) 曲线包围
N
1 ( A)
曲线,则系统不稳定
19
【例8.3.2】非线性系统如图，分析系统的稳定性
r (t )
x(t )
y k 0.5
1
y (t )
10