3.2函数表示法
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§4[1].3.2函数的极值及其求法
![§4[1].3.2函数的极值及其求法](https://img.taocdn.com/s3/m/4df853777fd5360cba1adb65.png)
的极大(小)点。(证明从略)
[ 注： （1）若 f ( x ) 在a,b]
[a 上连续，则f ( x ) 在 ,b]
上必
有最大值和最小值。
（2） f ( x ) 在(a,b) 内某点取得“最值” x 是 f ( x ) ，则 的极值点，从而 x 一定是 f ( x ) 的驻点或导数不 存在的点。
2 x2 1 而 f (1) ， lim f ( x ) lim x 2e x lim 2 0, x x x e x e
1 ∴最大值是 f (1) 。 e
例 4．设某银行中的总存款量与银行付给存户年利率的平 方成正比。若银行以 20%的年利率把总存款的 90%贷出， 问银行给存户的年利率定为多少，它才能获得最大利润？
解：设银行付给存户的年利率为 x ，
T 总存款量为Q( x ) ，总利润为 ( x ) ，则
Q( x ) kx 2 （ k 为 常数） ，
T ( x )900 0200 0Q( x ) xQ( x ) ，即
T ( x ) 0.18kx 2 kx 3 ( 0 x 1) ，
T ( x ) 0.36 kx 3kx 2 3kx (0.12 x ) ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极大值；
（2）若当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极小值； （3）若 f ( x ) 在点 x 的左、右邻域内保持同号，
x 0 是 f ( x ) x 3 的驻点，但 x 0 不是极值点。 例如：
（3） 称为可能极值点 。 导数不存在的点 驻点
3.2 函数的表示方法(教案)(2课时)-【中职专用】高一数学同步精品课堂(高教版2021·基础模块
3.2 函数的表示方法（教案）（2课时）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版2021·基础模块上册）【教学目标】1.了解函数的定义和基本特性；2.掌握函数的表示方法，包括显式表示法和隐式表示法；3.了解函数的图像和函数的性质。
【教学重点】1.函数的定义和基本特性；2.函数的表示方法。
【教学难点】1.隐式表示法的定义和应用；2.函数的图像和性质的掌握。
【教学方法】1.讲授法：教师针对学生的基础知识和现状，详细讲解函数的定义和表示方法，帮助学生理解函数的概念和特性。
2.练习法：通过实际的例子，进行练习和演示，帮助学生熟悉和掌握函数的表达。
3.探究法：通过课堂讨论、小组合作等方式，引导学生自主学习和自主探究，掌握函数的图像和性质。
【教学过程设计】第一课时一、引入教师通过给学生展示一些具有明显规律的图像，并提出一些问题，引导学生进入本课的教学内容。
二、概念解释1.函数的概念：教师向学生介绍函数的概念，并通过具体的例子说明函数的定义。
2.自变量和因变量的概念：教师向学生介绍自变量和因变量的定义，并举例说明。
3.函数符号的表示：教师向学生介绍函数的符号表示，并通过示意图说明。
三、函数的表示方法1.显式表示法2.隐式表示法四、函数图像1.函数图像的定义：教师向学生介绍函数图像的概念，并通过具体的例子说明函数图像。
2.函数图像的性质：教师向学生介绍函数图像的性质，并通过具体的例子说明函数图像的基本规律。
五、作业布置第二课时一、作业检查教师向学生布置作业，并对学生的作业进行检查，帮助学生掌握函数的基本知识。
二、隐式表示法1.隐式表示法的定义：教师向学生介绍隐式表示法的定义，并通过具体的例子说明隐式表示法的应用。
2.例题讲解：教师通过例题的演示，向学生说明隐式表示法的具体操作步骤。
三、函数图像的综合应用1.函数的几何特征：教师向学生介绍函数的几何特征，包括函数的单调性、最值点和奇偶性等。
2.例题讲解：教师通过例题的演示，向学生说明函数图像的综合应用。
3.2函数的表示方法
3.2 函数的表示方法党的十八大以来，我国实施精准扶贫、精准脱贫方略，脱贫攻坚取得了的成就，为全面建成小康社会打下了坚实基础．我国成为世界上减贫人口最多的国家，也是世界上率先完成联合国千年发展目标的国家．2015-2019年年，全国农村贫困人口数见下表：此表建立了全国农村贫困人口数与年份之间的对应关系．在义务教育阶段，我们已经学习了利用数学表达式来表示函数，那么是否也可以用这个表格来表示函数？回顾学过的知识，除了表达式、列表，我们还有其他的方式来表示函数吗？函数的表示方法有几种？像这样利用解析式表示函数的方法称为解析法．如义务教育阶段学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数等都是用解析法表示的．用表格表示全国农村贫困人口数与年份之间的对应关系．像这样通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法．3.1“情境与问题（2）像这样利用图像表示函数的方法称为图像法．3.1“情境与问题（3）”中的某地某天的气温与时间的对应关系也是用图像法表示的．3.1“情境与问题（3）综上所述，函数的表示方法通常有三种：解析法，列表法和图像法．函数的三种表示法各自的优势与不足吗？如果想要根据某同学五次考试成绩分析他这一学期的数学学习情况，试选择恰当的方法表示这个问题中的函数关系．（1）列表法表示见表解（1）依题意，得到应缴水费与用水量之间的关系，见下表每户每年用水不超过180m³时，水价为5元/ m³；超过180m³不超过260m³时，超过的部分按7元/m³收费；超过260m³时，超过的部分按9元/m³收费．由表得到函数的解析式：根据这个解析式，可以画出函数的图像．现实生活中，有很多函数是分段描述的．如，阶梯电费、出租车费、个人所得税等．这类函数的特点是：当自变量在不同范围内取值时，需要用不同的解析式来表示，我们称这样的函数为分段函数．分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围的并集，值域是函数在各段不同取值范围的函数值的并集．分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数．作分段函数的图像时，在各段不同取值范围内，根据相应解析式，做出相应部分的图像．练习练习练习1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.再见。
九年级数学二次函数的三种表示方法
一起探究：
一、物理学家在当时经过反复试验，测量后，得到下表数据： t/s
0 1 2 3 4 5
h /m
0
4.9
19.6
44.1
78.4
122.5
1、根据数据的变化，你能判断h是t的函数吗? 解析：（1）我们学过一次函数、二次函数，反比例函数，这 三种情况都有可能出现．我们不妨假设h是t的一次函数，令 h=at+b，把数据t=0，h=0；t=1，h=4.9；t=2，h=19.6代入，可 以验证此假设不成立．而h是t的反比例函数，显然也不成立．
I=1.125 ，3.125 ， 6.125
作业：
课本第7页：习题1、2 预习下一节内容．
下课了!
驶向胜利 的彼岸
；天津妇科 / 天津妇科 2019年01月19日18:55:13 ；
；
有人能够击败鞠言.呐还是鞠言尚未获得善尊法印之前,一旦鞠言得到善尊法印,那么实历只会更加强横.“鞠言小儿,老夫再给你一次机会.现在,只要你交出虚化法术典籍,再乖乖赔礼道歉,那么你先后杀死俺两个徒弟呐件事,俺仍然能够不再追究下去.呐是,你最后一次机会.”吙云善尊沉闷の声音说 道.吙云善尊其实心中也没底气,如果他有绝对の把握,那肯定不会对鞠言多说,直接上去就将鞠言轰杀掉了.鞠言一个人灭掉戮申殿呐件事,确实是太过惊人了.此事他身边虽有多位帮手,但他还是没有太大の把握能杀死鞠言.他现在说の话,倒是没有欺骗鞠言,如果鞠言给他一个台阶下,那么他真の不 想追着鞠言死缠烂打.虽然鞠言杀了闽蓝和泗池两个他の徒弟,他也想杀了鞠言为弟子报仇,但呐需要一个前提,就是不需要拿自身性命冒险.鞠言闻言笑道：“吙云老儿,到了呐一步,你何必再多说呐些废话?据传你脾气吙爆极为护短,俺杀你两个善尊境界弟子,而你在俺面前还犹犹豫豫,你莫非是怕 了?”“你找死！
3.2函数的单调性与奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习
即练即清
1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)函数y= 1 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ( × )
x
(2)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数. ( × )
(3)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( × )
1
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 3 .
因此f(1)≠f(-1), f(-1)≠-f(1),
故f(x)为非奇非偶函数.
(3)由1 x2 0, 得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,
| x 2 | 2,
∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)= lg(1 x2) .
x
又∵f(-x)= lg[1 (x)2]=- lg(1 x2) =-f(x),
1 0
1
+b=ln +b=0,
2 (1 0)
2
∴b=-ln 1 =ln 2,此时f(x)=ln 1 1 +ln 2=ln 1 x ,满足题意.
2
2 1 x
1 x
综上可知,a=-1 ,b=ln 2.
2
答案 -1 ;ln 2
2
即练即清
3.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
1
3x x2
;(2)f(x)=|x|+x;
2.(2024届江苏淮安期中,7)若函数f(x)=(3aax, x1)x1 4a, x 1,是定义在R上的减函数,则a的 取值范围为 ( A )
A. 18
,
1 3
3.2函数的表示方法
上表中，学期序号和成绩是两个变量，表中列出了不同学期序号对应 的数学成绩.
又如，下表也是用列表来表示函数关系的.
表 3-2 我国国内生产总值 年份 1997 1998 1999 2000 2001
单位：亿元 2002 2003 2004 2005
生产 78973.1 84402.3 89677.1 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 183867.9 总值
3.2函数的表示方法
一个函数 y f ( x) 除了直接用自然语言来表述外，常用的表示方法还有解析法、列表 法和图象法三种。
表示方法一：解析法
在上一节开始给出的两个函数 s 100t(t 0,2) 和 V 15h(h 0,10), 都是用等式来表示两个变量 间的函数关系，这种表示函数的方法叫做解析法.例如， y x2 , y 2x, y x 等都是用解析法表示的函 数. 用解析法表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易由自变量的值求出其对应的函数值，便于用解 析式研究函数的性质.
解：这个函数的定义域是集合 1,2,3,4 ，函数解析式为： y 3x, x 1,2,3,4. 它的图象由 4 个离散 的点组成，如图 3-3 所示，这些点的坐标分别是 (1,3),(2,6),(3,9),(4,12).
例题
1 x 1 分析： 函数 y 是初中学过的反比例函数， 图象是双曲线， 它的定义域是 x | x 0. 当 x 0 ，y 0 ， x
表示方法二：列表法
把两个变量之间的对应值列成表格来表示函数的关系， 这种方法叫做列表法 .下表是一个例子，它记录了张超同学 中学期间数学期末考试成绩.
表 3-1 张超同学 12 次数学考试成绩 学期 1 序号 成绩 89 93 85 94 83 87 92 88 90 95 94 96 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
§3.2 求导数的方法——法则与公式
对y=x 两边取对数,得: lny=lnx y 两端对x求导,得: y x
y x y 即得 (x)=x1 x x
五、指数函数y=ax (a>0,且a1)的导数
两边取对数,得: lny=xlna y ln a y=ylna 两端对x求导,得: y 即得 (ax)=axlna 特别, (ex)=ex
sec2 y 0. (tan y )
1 1 1 1 从而 (arc tan x ) 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
1 类似 (arccotx ) 2 1 x
x a 2 x 2 a arcsin x 例18. 求函数 y 2 2 a 的导数 2 ( x a 2 x 2 ) ( a arcsin x ) 解: y 2 2 a 2 2 ( x ) ( a x ) a 2 2 2 a 1 a x x 2 2 2 a2 x2 2 x )2 1 ( a 2 2 2 2 a x x a 2 2 2 2 2 2 a x 2 a x 2 2 a x
u ) uv uv (v( x ) 0) (3) ( 2 v v 1 ) v 特别, ( 2 v v
推论:
(1) [ f i ( x )] f i( x )
i 1 i 1
n
n
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(3) [ f i ( x )] f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dy dy du dx du dx
y x y 即得 (x)=x1 x x
五、指数函数y=ax (a>0,且a1)的导数
两边取对数,得: lny=xlna y ln a y=ylna 两端对x求导,得: y 即得 (ax)=axlna 特别, (ex)=ex
sec2 y 0. (tan y )
1 1 1 1 从而 (arc tan x ) 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
1 类似 (arccotx ) 2 1 x
x a 2 x 2 a arcsin x 例18. 求函数 y 2 2 a 的导数 2 ( x a 2 x 2 ) ( a arcsin x ) 解: y 2 2 a 2 2 ( x ) ( a x ) a 2 2 2 a 1 a x x 2 2 2 a2 x2 2 x )2 1 ( a 2 2 2 2 a x x a 2 2 2 2 2 2 a x 2 a x 2 2 a x
u ) uv uv (v( x ) 0) (3) ( 2 v v 1 ) v 特别, ( 2 v v
推论:
(1) [ f i ( x )] f i( x )
i 1 i 1
n
n
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(3) [ f i ( x )] f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dy dy du dx du dx
3.2函数的表示法
练习 255mL的雪碧每瓶2.5元，假设购买的数量为 x瓶，花了 y元。 （1）请根据题目的条件，用解析式y表示成x的函数。
（2）如果小林花了50元，共购买了多少瓶雪碧？
（3）如果小林要买5瓶雪碧，共要花多少元？
解析法可以精确地表示两个变量之 间的对应关系.但是，对许多有实际背景 的函数关系，很难找到它们的解析式.
3.2 函数的表示法
探究1:大型港口的水位通常随着潮汐的变化升高或降低。下图
给出了某个港口某天整点时的水位数据。根据下表提供的数据 回答下列问题：
时间/时 水位/m 时间/时 水位/m 时间/时 水位/m 时间/时 水位/m
1 14.6
7 19.4 13 14.4 19 19.6
2 15.5
8 19.6 14 15.4 20 19.3
（3）销售量大约为多少时，该公司收支平衡？
（4）销售量在什么范围内，该公司亏损？销售量在什么范围内， 该公司赢利？
图象法可以直观地表示一个函数的 变化过程、变化趋势和整体的变化规律. 但是，仅仅依据函数图象，常常难以求 得一些精确的函数值.
课堂总结:
函数的三种表示法： 1．列表法 2．解析法 3．图象法
5.42
6.72
8.07
9.75 11.07 12.59 13.35
（1）我国人口数首次突破8亿大约在哪一年？ 答：1969年
（2）我国人口数据变化的总趋势是什么？ 答：增长
（3）哪一个十年我国人口增长量最大？ 答：1969年至1979年。
练习 以下是南京地区2010年12月17日至31日的最高气温记录表。
例3 下图中的直线 m反映了某公司产品的销售收入与销售 量之间的关系，直线n反映了该公司产品的销售成本与销售量 之间的关系。根据图象回答下列问题：
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例3 图中的直线m反映了某 公司产品的销售收入与销售 量之间的关系，直线n反映了 该公司的销售成本与销售量 之间的关系。 根据图象回答下列问题：
（1）当销售量为2t时，销售收入和销售成本分别大约是多少 元？此时该公司赢利多少元？
（2）当销售量为5t时，销售收入和销售成本分别大约是多少 元？此时该公司赢利多少元？ （3）销售量大约为多少时，该公司收支平衡？ （4）销售量在什么范围内，该公司亏损？销售量在什么范围 内，该公司赢利？
函数的表示法
1、列 表 法，就是列出表格来表 示两个变量间的对应关系。 2、解 析 法 ，就是用数学表达式 表示两个变量间的对应关系。
3、图 像 法，就是用图像表示两个 变量的对应关系。
探究
大型港口的水位通常随着潮汐的变化升高或降低，下表给出了 某个港口某天整点时的水位数据。
时间/ 时 水位/m 时间/ 时 水位/m
12 14.0 24 14.2
根据上表提供的数据回答下列问题： (1)这一天该港口水位最高是多少米？发生在这一天的什么时间? (2)这一天该港口水位最低是多少米？发生在这一天的什么时间？ (3)这一天什么时段内该港口水位高度的变化最快？ (4)一艘吃水约17m的轮船这一天是否可以停泊该港口？什么时间段停泊比较安 全？
练习：P60 练习1，2
作业：பைடு நூலகம்64 习题1，2
把一根长9.14m的铁丝弯成下 部为矩形、上部为半圆形的框 架，设矩形的底边长为x(m)， 此框架围成的图形的面积为 y(m2). (1)请将y表示成x的函数。 (2)当矩形的底边长为2m时， 该框架的面积为多少(精确到 0.01m2)？
探究
如图给出了某网络公司每 月收取的上网费用标准， 其中x表示上网时间(单位： h)，y表示收取的费用(单 位：元)。根据图象回答下 列问题： （1）若小燕本月上网时间为12h,她应缴纳的上网费 用是多少元？ （2）如果小君本月缴纳了20.4元的上网费用，他本 月的上网时间大约有多少小时？
图像法，就是用图像表示两个变量的对应关系
问题解决：
几名学生准备去某景点旅游，甲旅行社的报价为： 只要1人购买全票，其他人均可购买半票；乙旅行社的报 价为：2人以上参加旅游，所有人均享受原价的7折优惠。 请问：哪家旅行社的报价更优惠？
解：设票价为a元一张，共x名学生参加旅行，由已知可得 x>1. 设甲旅行社的总票价为y1元，乙旅行社的总票价为y2元， 则有 y1=a+0.5a(x-1)=0.5a(x+1), y2=0.7ax。 当y1>y2时，解得x<2.5，即2个人以内（包括2人）旅游， 乙旅行社的报价优惠；2人以上旅游，甲旅行社报价优惠。
图象法可以直观地表示一个函数的变化过程、变 化趋势和整体的变化规律，通过对函数图象特征 的观察，我们可以比较方便地预测它的总体变化 趋势。但是，仅仅依据函数图象，常常难以求得 一些精确的函数值。
时间-水位表 水位/m 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1 14.6 13 14.4
2 15.5 14 15.4
3 17.2 15 18.1
4 18.5 16 18.5
5 19.5 17 19.4
6 21.2 18 20.0
7 19.4 19 19.6
8 19.6 20 19.3
9 16.9 21 17.0
10 15.4 22 15.6
11 14.3 23 14.7
解析法，就是用数学表达式表示两个变量 间的对应关系。
解析法有两个优点：
（1）函数关系清楚; （2）容易从自变量的值求出其对应的函数值； （3）便于研究函数的性质。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用解析法表示函数时, 必须注明函数的定义域.
并不是所有的函数都能用解析法表示。
例2 求解下列问题： (1)一个三角形的底边一定，它的面积可以 看做什么变量函数？如果它的某条边上的高一 定呢？分别分析当自变量的值加1个单位时， 因变量如何随自变量的变化而变化。 (2)一个圆柱的底面半径一定，它的体积可 以看做什么变量的函数？如果它的高一定呢？ 分别分析当自变量的值增加1个单位时，因变 量如何随自变量的变化而变化
根据上表提供的数据回答下列问题： (1)我国人口数首次突破8亿大约在哪一年？ (2)我国人口数据变化的总趋势是什么？ (3)哪一个十年我国人口增长量最大？ 解：（1）由表格可知，我国人口数首次突破8亿大约在 1969年。 （2）由表格可知，我国人口数据变化的总趋势是增长。 （3）对表格的第二行数据采用“后一个数据减前一个数 据”的方法，可以得到如下结果：1.30，1.35，1.68，1.32， 1.52，0.76。因此，1969年至1979年的十年间，我国人口 增长量最大。
h a
h r
解：（1）由三角形的面积公式S=ah/2（a是一条边长，h是这条边上的高）可知，当 a一定时，S可以看做h的函数，而且h每增加1个单位长度，面积S就增加a(h+1)/2ah./2=a/2单位面积；如果h一定，则S可以看做a的函数，而且a每增加1个单位长度， 面积S就增加（a+1）h/2-ah/2=h/2单位面积。 由此可见，高的变化与底边长的变化对三角形面积的变化起到同样的影响。 （2）由圆柱的体积公式V= πr2h(r是底面半径，h是高)可知，当r一定时，V可以 看做h的函数，而且h每增加1个单位长度，体积V就增加πr2 (h +1）-πr2h=πr2单位体 积；如果h一定，则V可以看做r的函数，而且r每增加1个单位长度，体积V就增加 π(r+1)2 h -πr2h=πh(2r+1)单位体积。 由此可见，高的变化与底面半径的变化对圆柱体积的影响不同。
列表法，就是列出表格来表示两个变量间 的对应关系。
例1 下表给出了1949年到2009年间每十年我国人口的统 计数据（精确到了0.01亿）
年份 1949年 1959年 1969年 1979年 1989年 1999年 2009年 人口数 5.42 量/亿
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
一辆客车下午1时从甲地出发，以 60km/h的速度匀速行驶2h后到达乙地，在 乙地停留0.5h,然后以80km/h的速度匀速行 驶3h后到达丙地，请以时间t(h)为横坐标、 客车行驶的路程s(km)为纵坐标建立直角坐 标系，并在坐标系中画出每个整点时对应的 点，再用线段将它们连起来。根据图象提供 的信息回答下列问题： （1）下午3时和6时时，客车行驶的路程分别 是多少？ （2）哪一段时间内，客车行驶的路程没有发 生改变？ （3）甲地经乙地到丙地的路程是多少？
温故知新
f ( x) x 2 x ，则 1.已知函数
2 a a f (2) ___; f ( a) _____; f (2 a 1) 4a 6a 2 _____.
2
2
1 x 2.函数 f ( x) 的定义域为 x 1 {x | x 1且x 1} (或(-,-1) (1,1]) ______________.
420 360 300
240
180 120 60
1
2
3
4
5
6
7
解析法有两个优点：1、简明；2、给自变量 可求函数值。
图象法的优点：直观形象，反映变化趋势。
列表法的优点：不需要计算就可以直接看出 与自变量的值所对应的函数值。 并不是所有的函数都能用解析法表示。
列表法的优点：
不必通过计算就知道当自 变量取某些值时函数的对应值。
探究
生物学研究表明，某种蛇的长度y(cm)是其尾长 x(cm)的一次函数，当蛇的尾长是6cm时，测得蛇长 是45.5cm；当蛇的尾长是14cm时， 测得蛇长为 105.5cm。 （1）写出y与x之间的函数关系式。 （2）若一条该种蛇的尾长是10cm，它的长度是多 少？