逻辑代数函数常用的四种表示方法
1.3逻辑代数及其表示方法
复合逻辑运算由基本逻辑运算组合而成，如与非、或非、同或、异或等。
1.3.1与非逻辑
与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的复合,将输入变量先进行与运算,然后再进行非运算。
逻辑表达式：
真值表：与非逻辑真值表如表3.2.1所示。
逻辑符号：与非运算的逻辑符号如图3.2.1所示。
表3.2.1两输入变量与非逻辑真值表
表3.2.5异或逻辑真值表
图3.2.4异或运算逻辑符号
3.小结
由上分析可见，同或与异或逻辑正好相反，有时又将同或逻辑称为异或非逻辑。因此
对于两变量来说，两变量的原变量相同，则取非后两变量的反变量也相同；若两变量的原变量相异,则取非后两变量的反变量必相异。因此，由同或逻辑和异或逻辑的定义可以得到
另外，若变量A和变量B相同，则A必与B相异；若变量A和变量B相异，则A与B相同。因此又有：
1.3.2三种基本逻辑运算
1.与运算
图1.7 (a)表示一个简单与逻辑的电路，电压V通过开关A和B向灯泡L供电，只有A和B同时接通时，灯泡L才亮。A和B中只要有一个不接通或二者均不接通时，则灯泡L不亮，其真值表如图1.7 (b)。因此，从这个电路可总结与运算逻辑关系。
语句描述：只有当一件事情（灯L亮）的几个条件（开关A与B都接通）全部具备之后，这件事情才会发生。这种关系称与运算。
语句描述：当一件事情（灯L亮）的几个条件（开关A、B接通）中只要有一个条件得到满足，这件事就会发生，这种关系称为或运算。
逻辑表达式：
L=A+B
式中符号“＋”表示A、B或运算，又称逻辑加，在某些文献中，也用符号∨、∪来表示或运算。
真值表：同与运算一样，用0、1表示的或逻辑真值表如图3.1.2(c)所示。
2逻辑代数公式定理+3逻辑代数的基本定理+4逻辑函数及其描述方法
2.5.2 逻辑函数的表示方法
• 真值表 • 逻辑式 • 逻辑图 • 波形图 • 卡诺图 • 计算机软件中的描述方式
• 各种表示方法之间可以相互转换
2.5.2 逻辑函数的表示方法
• 真值表
“或”真值表 A BL 0 00 0 11 1 01 1 11
5本继页续完
逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式 1.常量与变量间的运算规则： 或运算一定、律逻辑代数的基本定律 A+0=A；A+1=和1恒；等式 与运算定1律.常数间的运算定律 A•0=0；A •1=A；
令 A=0 和 1 ， 代入逻辑加法各 式,然后参考 “或”真值表和 “与”真值表可 以证明各式成立。
“与”2真.基值本表可 以证明定各律式和成立。
恒等式 表律详是2.3见根.摩1课，据例 根本基逻： 定P本辑2定加4 、 乘、非三律种基本
运算法则，推导 出的逻辑运算的 一些基本定律。
9本继页续完
逻辑代数公式定理及公式化简法
基本定律和恒等式的证明
摩根定律的证明
基本定律和恒等式的证明最 有效的方法是检验等式左边的 函数与右边函数的真值表是否 吻合。
逻辑代数的基本公式和常用公式
一、基本公式 4.摩根定律 例：摩根定律(反演律)
(A·B·C···)’=A’+B’+C’+···
(A+B+C+···)’=A’·B’·C’····
利用摩根定律可以把“与”运算变 换为“或”运算，也可以把“或”运 算变换为“与”运算，其逻辑结果不 变。
令 A=0 和 1 ， 代入逻辑加法各 式,然后参考 “或”真值表和
逻辑代数基础知识讲解
2. 与普通代数相似的定律
交换律 A·B=B·A
A+B=B+A
结合律 (A·B)·C=A·(B·C) (A+B)+C=A+(B+C)
分配律 A·(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。
2007、3、7
一般地说，若输入逻辑变量A、B、 C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的 值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的
逻辑函数，写作：
L=f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、“非”三种基本运算决定的。
“⊙”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两 变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊 函数。
2007、3、7
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1 基本定律
1. 逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定 义，可推得以下关系式。 0-1律： A·0 =0 A+1 =1 自等律：A·1=A A+0=A 重叠律：A·A=A A+A=A 互补律：A·A=0 A+A=1
反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个
函数若的F反函A数B 。 C例 D如：AC, 则 F [(A B) C D](A C);
2.3-2.5 逻辑代数的公式、定理、表示方法
0 1 2 3 4 5 6 7
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合 ① 在输入变量的任何取值下有一个最小 ③ 任意两个最小项的乘积为0。 ② 全体最小项和为1。 并成一项并消去一对因子。 项，而且仅有一个最小项的值为1。
二、最大项
在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之 和，而且这n个变量均以原变量或反变 量的形式在M中出现一次，则称M为该 组变量的最大项。
？
思考： 2 个。 n个变量的最小项有多少个？
n
三变量（A、B、C）最小项的编号表：
相 邻
A' B ' C ' A' B ' C A' BC ' A' BC AB' C ' AB' C ABC' ABC
相 邻
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
证明： A A' B ( A A' )( A B)
A B
两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一 项的因子，则此因子是多余的，可以消去。
(23) AB AB' A
当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B’ 两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且 可将B和B’消去。
(24) A( A B) A
小结： 掌握逻辑代数的基本公式和常用公式。
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外
一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成 立。
例如，已知 ( A B) A B (反演律)，若用B+C代替 等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
逻辑代数基础
Y
R
3．“非”逻辑关系和非门 逻辑关系表达式
“非”运算电路图
+R
U
AY
-
“非”运算电路真值表：
状态表
A
Y
0
1
1
0
由真值表可以得出“非”运算电路的运算规则：
三极管构成的“非”门电路及“非”门逻辑符号： UCC
RA A
RC Y
T
RB -UBB
逻辑符号
A
1
Y
4．基本逻辑关系的扩展 （1）与非运算 （2）或非运算 （3）与或非运算
1. F ABD ABC D A(B C) BC
2. F(A、B、C、D) m(0，1，4，5，6，12，13)
3. F ABC ABC AC
1. F ABC ABC D A(B C) BC AB BC AC AD
2. F(ABCD) m(0，1，4，5，6，12，13) AC BC ABD
一个逻辑函数可以有多种不同的表达式。如果按 照表达式中乘积项的特点，以及各个乘积项之间的关 系进行分类，则大致可分成下列五种：与或表达式、 或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、 与或非表达式等五种。逻辑函数常用标准与或式来表 示，下面介绍最小项的概念。
若由n个变量组成的与项中，每个变量均以原变量或反变量 的形式出现且仅出现一次，则称该“与项”为n个变量的最小项。 n个变量 就有2n个最小项。 例如：设 A，B，C是三个逻辑变量，其最小项为
2. 为什么在晶体管用于数字电路时可等效为一个电子开关？
根据晶体管的开关特性，工作在饱和区时，其间电阻相 当为零，可视为电子开关被接通；工作在截止区时，其间电 阻无穷大，可视为电子开关被断开。
描述逻辑关系的数字工具是逻辑代数，它又称为布尔 代数.或是二值代数。
第四章：逻辑代数及其化简(4)
0 1 1 0
BC
F2
F = AB + C = AB + C = AB ⋅ C 1
F2 = BC + ABC = BC + ABC = BC ⋅ ABC 2、将 F1 和 F2 整体 化简(找公共项 找公共项） 找公共项
AB AB C 00 01 11 10 C 00 01 11 10 0 0 0 0 1 ABC 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 C
尾部代替因子 一个乘积项的尾部因子，可根据需要加以扩展，如果扩 展变量是属于头部内的变量，则该乘积项的值不变。扩展后 的因子，称为原乘积项尾部因子的代替因子。
Ei = abc = abac = abbc = ababc 头部因子可以随意放入尾部因子， 头部因子可以随意放入尾部因子，也可以从尾部因 子中取走。 子中取走。 即：尾部因子的反号可以任意伸长和缩短，伸长将头 部因子 放进去，缩短将头部因子取出来。
例： 证明： 证明： abc = abac = ab(a + c) = aba + abc = abc
abc = abbc = ab b + c = abc abc = ababc = ab a + b + c = abc
(
(
)
(a ⋅a = 0)
)
乘积项合并 如果两个或两个以上乘积项的头部完全相同，则这几个 乘机项可以合并为一个乘积项。 AB
例4:已知 F = ∑m(0,1,3,4,5)求F' 的最小项表达式。
F = B+ A C F' = B A + C = AB + BC
(
1 1 0 1 B = ABC + ABC + ABC A C = ∑m (0,1,5) F和F'号码数目相同，对应之和为7。 变量： F和F'之间的关系： 由此推广到 n 变量： ) F = ∑m (0,1,3,4,5) F( a, b, cL = ∑( i) 最小项编号
逻辑代数--逻辑函数表示方法
A
0
0
1
A⨁1=ҧ
A⨁
ҧ
A⨁0
A 1
0
0
0 1
1
1
0
1
1 1
0
0
1
Y的结果受控于开关K，
, 当闭合
=ቊ
,ҧ 当断开
11
（4）与或表达式→真值表
可以将所有取值依次代入表达
式计算出结果。也可以根据与或运
算的规律填写。
例1-12：列出逻辑函数的真值表。
ഥ
ഥ
Y=A+BC+
①三个输入变量，八种取值组合
写作
Y = f(A、B、C、D……)
A、B、C、D为有限个输入逻辑变量；
f(function)为有限次逻辑运算（与、或、非）的组合。
表示逻辑函数的方法有：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图、
波形图和卡诺图。
6
2. 逻辑函数的表示方法：真值表(truth table)三变量多数表决器的真值表
（1）真值表是将输入逻辑变
若n=2，22=4，二变量的逻辑函数就有4个最小项。
若n=4，24=16，四变量的逻辑函数就有16个最小项……依此类推。
20
② 最小项的下标表示方法
为了叙述和书写方便，通常对最小项进行编号，用符号mi来表示最小
项。
表1-28 三变量全部最小项真值表
A B
C
0 0
0
0 0
1
0 1
0
0 1
1
1 0
m0
m2
m3
m4
m5
m6
m7
1
0
0
0
0
0
0
1．1逻辑代数的基本运算
1．1逻辑代数的基本运算一、 基本概念 1.数字信号的特点数字信号在时间上和数值上均是离散的。
数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。
图1.1 典型的数字信号2、正逻辑与负逻辑数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0） 有两种逻辑体制：正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。
负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。
如果采用正逻辑，图1.1所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。
3、在数字电路中，输入信号是“条件”，输出信号是“结果”，因此输入、输出之间存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。
它可以用逻辑表达式、图形和真值表来描述。
二、基本逻辑运算1．与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。
我们把这种因果关系称为与逻辑。
与逻辑举例：图1.2（a）所示, A、Ｂ是两个串联开关，L 是灯，用开关控制灯逻辑0逻辑1逻辑0逻辑1逻辑0V t (V)(ms)51020304050亮和灭的关系如图2（b）所示。
设1表示开关闭合或灯亮；0表示开关不闭合或灯不亮，则得真值表图2（c）所示V(c)图1.2与逻辑运算（a）电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符若用逻辑表达式来描述，则可写为与运算的规则为： “输入有0，输出为0；输入全1，输出为1”。
数字电路中能实现与运算的电路称为与门电路，其逻辑符号如图（d）所示。
与运算可以推广到多变量：⋅⋅⋅=C B A L ……2．或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。
我们把这种因果关系称为或逻辑。
或逻辑举例：如图1.3（a）所示，或运算的真值表如图1.3（b ）所示，逻辑真值表如图1.3（c ）所示。
若用逻辑表达式来描述，则可写为L ＝A+B或运算的规则为：“输入有1，输出为1；输入全0，输出为0”。
BA L ⋅=(c)图1.3或逻辑运算（a） 电路图（b）真值表（c）逻辑真值表（d）逻辑符号在数字电路中能实现或运算的电路称为或门电路，其逻辑符号如图（d）所示。
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逻辑代数函数是一种重要的抽象数学概念，它用于描述复杂的逻辑关系。
它可以用来描述布尔值、条件语句和其他逻辑操作之间的关系。
在数学中，逻辑代数函数可以用四种不同的表示方法来描述，它们分别是：
1、布尔表示法：布尔表示法是最常用的一种逻辑代数函数的表示方法，它可以用来表示不同的布尔值，包括真假、可能性和否定等。
它是一个由布尔变量和布尔运算符组成的表达式，可以用来表示复杂的逻辑关系。
2、简化表示法：简化表示法是一种简化的布尔表示法，它将原本复杂的布尔表达式简化为更加简洁的表达式，可以更容易地理解和解释。
3、析取表示法：析取表示法是一种布尔表示法，它可以将布尔表达式拆分成多个析取表达式，每个析取表达式只包含一个布尔变量，因此可以更容易地理解和解释。
4、真值表表示法：真值表表示法是一种逻辑代数函数的表示方法，它可以将布尔表达式转换成一个真值表，用来表示每种可能的布尔值。
真值表可以用来构建复杂的布尔表达式，可以更容易地理解和解释。