人教版数学八年级下册16.3.2二次根式的混合运算 教案
二次根式的混合运算教学案
一、教学三维目标
1．让学生熟练二次根式的混合运算。
2．掌握乘法公式在混合运算中的应用。
3．通过二次根式的混合运算，培养学生的运算能力。
4．通过例题由浅入深，层层深入，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
二、教学方法设计
小结、归纳和习题讲解。
三、重点、难点
1．教学重点：二次根式的混合运算．
2．教学难点：把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、多媒体课件
六、教学过程
（一）复习：
1.计算：（1）；（2）.
解：(1)= = (2)= =
2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来。
答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
用式子表示为
m(a ＋b ＋c)=ma ＋mb ＋mc
多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加。
用式子表示为
(a ＋b)(m ＋n)=am ＋an ＋bm ＋bn,其中a,b,m,n 都是单项式。
完全平方式是；
在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算。
引入新课。
（二）例题解析
例1 计算： （1）8(
53)627-•；（2）(56)(5223)+•- 解：略．
注：①加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于学生理解和掌握．②在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简．例如8(53)627-• ，没有对827
先进行化简的必要，使计算繁琐，而是应先进行乘法运算
88662727•=⨯ ，通过约分达到化简的目的．
（四）总结、扩展
1．强调二次根式混合运算的法则；
2．注意对有理化因式的概括并寻找出它的规律．
（1）如单独一项的有理化因式就是它本身．（2）如出现和、差形式的：的有理化因式为，的有理数化因式为．练习：教材中练习．
（五）布置作业
复习题：第1、3、6题
七、教学反思
通过复习巩固，大部分学生能基本掌握二次根式的混合运算。
在后面的课堂中应该联系学生实际，讲解过程中先易后难，让学生更容易接受新知识新概念。
人教版数学八年级(下)教案设计：16.3.2二次根式的混合运算
3、结果要化为最简二次根式
作业布置：《长江全能学案》
三、难点释疑 拓展延伸
同学们，我们以前学过完全平方公式 ，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（ ）2，5=（ ）2，下（1）；
（2）你会算 吗？
四、反思小结 当堂测评
反思小结：
1、混合运算的运算顺序；
初备人： 审核人：八年级数学组 编写时间：2019-3-5
总课题
第十六章二次根式
总课时
7
第三节二次根式的加减
课题
16.3.2二次根式的混合运算
学习目标
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
重难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
学法指导
学习过程
学 习 内 容
二次备课
课前准备及预习：
一、激趣导入，呈现目标
1、复习：计算：
（1） · · （2） （3）
2、呈现目标：
二、自学探究，交流展示
合作交流（小组互助）
1、探究计算：
（1）（ ）× （2）
2、探究计算：
（1） （2）
计算： （1） （2）
（3） （4）（ - ）（- - ）
最新人教版八年级下册数学精品教案16.3 第2课时 二次根式的混合运算
第2课时 二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确吗？ 二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132； (3)2－(3＋2)÷3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2；(2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；(3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8.方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用 【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型对于任意的正数m 、n 定义运算※为m ※n＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m <n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A ．2－46B ．2C ．25D ．20 解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键． 【类型二】 二次根式运算的拓展应用 请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n 表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可． 解：第1个数，当n ＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1； 第2个数，当n ＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1. 方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键． 三、板书设计1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．2．运用乘法公式和运算律进行计算在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。
人教版数学八年级下册16.3第2课时《 二次根式的混合运算》教学设计
人教版数学八年级下册16.3第2课时《二次根式的混合运算》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.3第2课时《二次根式的混合运算》主要介绍了二次根式的混合运算，包括加减乘除和乘方。
这一节内容是学生学习二次根式的重要部分，也是后续学习更高阶数学的基础。
教材通过具体的例题和练习，帮助学生掌握二次根式的混合运算规则，提高他们的数学运算能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的基本概念和性质，能够进行简单的二次根式运算。
但是，对于复杂的混合运算，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体的例题和练习，引导学生理解和掌握二次根式的混合运算规则，提高他们的运算能力。
三. 教学目标1.理解二次根式的混合运算规则，能够正确进行二次根式的加减乘除和乘方运算。
2.提高学生的数学运算能力，培养他们的逻辑思维能力。
3.通过对二次根式混合运算的学习，激发学生对数学的兴趣和热情。
四. 教学重难点1.二次根式的混合运算规则的理解和运用。
2.复杂二次根式混合运算的解决方法。
五. 教学方法1.采用讲解法，教师通过讲解二次根式的混合运算规则，引导学生理解和掌握。
2.采用示例法，教师通过具体的例题，演示二次根式混合运算的解题过程，帮助学生理解和掌握。
3.采用练习法，教师布置相应的练习题，学生通过练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教师准备相关的教学PPT，包括二次根式的混合运算规则的讲解，例题的演示，以及练习题的布置。
2.学生准备笔记本，用于记录所学知识和做练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次根式的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现二次根式的混合运算规则，讲解并引导学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）教师通过PPT展示具体的例题，引导学生跟随解题，并解释解题思路和步骤。
4.巩固（10分钟）教师布置相应的练习题，学生独立完成，教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
人教版数学八下 16.3.2 二次根式的混合运算 教案
16.3.2 二次根式的混合运算学习目标1、使学生理解实数范围内的运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中仍然适用.2、会利用乘法公式进行二次根式的乘法运算及分母有理化.3、培养学生进行类比的学习思想和理解运算律、乘法公式的广泛意义.4、激发学生的求知欲和提高学生的运算能力.教学重难点教学重点：二次根式的乘除,乘方等运算规律.教学难点：利用乘法公式进行计算及分母有理化.教学过程旧知回顾：1.计算：(1)(3x2＋2x＋2)·4x＝12x3＋8x2＋8x；(2)(2x2y＋3xy2)÷xy＝2x＋3y.2.简便计算：(1)(2x＋3y)(2x－3y)＝4x2－9y2；(2)(2x＋1)＋(2x－1)2＝8x2＋2.探究新知复习引入请大家跟着老师一起回忆一下前面学到的知识:1、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么?m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb2、多项式与单项式的除法法则是什么?(ma+mb+mc)÷m=a+b+c3、思考若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？知识归纳1、对于实数我们学过哪些运算定律？分别用式子表示出来.(1)加法交换律：a+b=b+a ；(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；(3)乘法交换律：ab=ba ；(4)乘法结合律：(ab)c=(ac)b ；(5)乘法对加法的分配律：(a+b)c=ac+bc.1、单项式乘以多项式的法则是什么？(a+b)c=ac+bc ；多项式乘以多项式的法则是什么？(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.2、二次根式的加减法怎样计算？乘除法怎样计算？(口述)(1)加减法：先化简每一个二次根式，再把被开数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变.(2)乘除法：利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质. a ⨯b =ab (a≥0.，b≥0)a b =a b (a>0，b≥0)1、以前我们学过哪些乘法公式？平方差公式ba b a b a 22))((-=-+ 完全平方公式b a b a ab 2222)(+±=±课堂检测1、教材P147例3分析：(1)小题类似单项式乘以多项式，应用分配律后，先做乘法，再做减法，按法则进行，注意化简二次根式；(2)小题类似多项式乘以多项式，利用多项式的乘法法则进行计算.解：(1)2836⨯-）（32323322832628326=-=⨯-⨯=⨯-⨯=(2)()()2-1232+ 242322622323222223-2322-2+-=+--=⨯-+-=⨯+=2、已知a ＝2＋3,b ＝2－3,则1a ＋1b ＝4.3、计算(2＋3)2 016·(2－3)2 0154、计算： ()()2737315225+--+-+ 解：原式=()272731--++-=2472732+-++- =275-。
人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版数学八年级下册 16.3.2 二次根式的混合运算 教案
16.3.2 二次根式的混合运算教学目标1.会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算,进一步提高运算能力.2.正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算,并把结果化简.3、使学生会熟练进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.4、讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点.教学重难点教学重点：二次根式的混合运算.教学难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.教学过程复习引入自主探究阅读教材P14例4,完成下面的内容：1.(1)用了多项式乘法法则；(2)用了公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2.计算：(1)(6＋2)(6－2)；(2)(3＋2)2.解：(1)原式＝(6)2－(2)2＝6－2＝4；(2)原式＝(3)2＋2·23＋22＝3＋43＋4＝7＋43.探究新知让学生阅读教材“做一做”，解决下面的问题.(1)在梯形面积的计算中，包含二次根式的哪几种运算？按什么顺序运算的？(2)计算过程中，每一步的依据是什么？(3)整个计算运算运用了哪些运算律和二次根式的哪些性质？引导学生归纳：二次根式的混合运算是根据实数的运算律和运算顺序进行的.例题讲解1、已知a ＝3＋7,b ＝3－7,求下列各式的值：(1)a 2b ＋ab 2；(2)a 2－b 2；(3)a 2－ab ＋b 2.解：∵a ＝3＋7,b ＝3－7,a ＋b ＝6,a －b ＝27,ab ＝32－(7)2＝2.(1)a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)＝2×6＝12；(2)a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)＝6×27＝127；(3)a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b)2－3ab ＝62－3×2＝30.2、教材P148例4分析：(1)小题可利用平方差公式计算；(2)小题可利用完全平方差公式计算. 解：略 思考：由11212=-+））（（，你发现)12(+与)12(-是什么关系？ 由此可知怎样计算1212-+？ 让学生完成P148的“动脑筋”活动.3、教材P148例5 分析：分子51-与分母51+有什么关系呢？与动脑筋中的问题类似，分子、分母都乘以51-，不该变原式的值，而分母中却不再含有根号.4、计算： ()()223131--+ 解：原式=3131--+=()1331--+=25、计算： ()()()2752314.331201-+---+--π 解：原式=()527321231-+--++- =533321231-++-++- =346231+-+- =2381231+--- =21337-课堂小结这节课主要学习了二次根式的混合运算，对于以前学过的运算律、运算顺序和整式的乘法在二次根式的混合运算中仍然适用.作业布置教材P149练习1、2.。
16.3.2 二次根式的混合运算 教案 人教版数学八年级下册
16.3.2 二次根式的混合运算教案教学目标1．类比整式及数的混合运算进行二次根式的混合运算．2．正确地进行二次根式的混合运算和求含有二次根式的代数式的值．教学重难点重点：掌握二次根式的混合运算的方法．难点：会用二次根式的混合运算法则进行有关的计算．教学过程导入计划在甲、乙两个城市间修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽4 2 m、下底宽6 2 m、高 6 m的梯形．已知这段路基长500 m，那么这段路基的土石方(即路基的体积，路基的体积＝路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米？探究新知探究点二次根式的混合运算类型一二次根式的混合运算【例1】计算：(1)3(6＋8)；(2)(43－36)÷23；(3)(6＋2)(6－3)；(4)(5＋7)(5－7)；(5)(5＋2)2；(6)(23－2)2.【解析】根据单项式乘单项式、多项式乘多项式、多项式除以单项式的法则及乘法公式进行计算．【解】(1)原式＝18＋24＝32＋26(2)原式＝43÷23－36÷23＝2－32 2.(3)原式＝6－36＋26－6＝－ 6.(4)原式＝52－(7)2＝25－7＝18.(5)原式＝5＋45＋4＝9＋4 5.(6)原式＝12－46＋2＝14－4 6.【方法总结】二次根式的混合运算顺序与实数类似，先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式的混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非相同被开方数的最简二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．类型二求二次根式的整数部分和小数部分的运算【例2】已知7＋5和7－5的小数部分分别为a，b，试求代数式ab－a＋4b－3的值．【解析】先明确5的整数部分是2，表示出7±5的整数部分，再由7＋5＝9＋a，7－5＝4＋b，可求得a，b的值，最后代入计算即可．【解】∵5的整数部分为2，∴7＋5＝9＋a，7－5＝4＋b，解得a＝－2＋5，b＝3－5，∴ab－a＋4b－3＝(－2＋5)×(3－5)－(－2＋5)＋4×(3－5)－3＝－11＋55＋2－5＋12－45－3＝0.【方法总结】先估算出二次根式的整数部分，再用二次根式减去整数部分，得出小数部分，最后把a，b的值代入求值．类型三二次根式的化简求值【例3】已知x＝2－3，则x2－4x－3的值为________．【解析】先利用已知条件得x－2＝－3，然后利用整体代入的方法计算即可．∵x＝2－3，∴x－2＝－3，∴x2－4x－3＝(x－2)2－7＝(－3)2－7＝3－7＝－4.【解】－4【方法总结】二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．当堂训练1．计算： (1)(2＋1)(2－1)＋2×8； (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛+64112÷27. 2．已知x ＝2＋3，y ＝2－3，求x 2＋y 2－xy －5x －5y 的值．3．若13－7的整数部分是a ，小数部分是b ，求a 2＋(1＋7)ab 的值． 答案1．解：(1)原式＝2－1＋2×8＝1＋4＝5.(2)原式＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+4632÷33 ＝23＋212. 2．解：∵x ＝2＋3，y ＝2－3，∴x y ＝(2＋3)(2－3)＝4－3＝1，x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy＝(2＋3＋2－3)2－2×1＝16－2＝14，∴x 2＋y 2－x y －5x －5y＝14－1－5(x ＋y )＝13－5(2＋3＋2－3)＝13－20＝－7.3．解：13－7＝3＋7（3－7）（3＋7）＝3＋72.∵2＜7＜3，∴5＜3＋7＜6，∴2.5＜3＋72＜3.∵13－7的整数部分是a，小数部分是b，∴a＝2，b＝3＋72－2＝7－12，∴a2＋(1＋7)ab＝22＋(1＋7)×2×7－1 2＝4＋(7－1)＝4＋6＝10板书设计二次根式的混合运算1．二次根式的混合运算的法则及公式的运用．2．例3、例4讲解．课堂小结本节课学习了二次根式的混合运算的法则，掌握混合运算的顺序，能够正确地进行混合运算．二次根式的四则混合运算应注意以下几点(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似, 可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.教学反思在二次根式的混合运算中，让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．学会进行二次根式的加、减、乘、除的混合运算，对用换元法、公式法等解决二次根式的化简问题还有待加强．。
[人教八下数学《16.3.2_二次根式的混合运算》教学设计2个_]
[人教八下数学《16.3.2_二次根式的混合运算》教学设计2个_]16.3.1 二次根式的加减第二课时一、教学目标 1.核心素养：通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力和应用意识． 2.学习目标（1）类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法. （2）能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 3.学习重点混合运算的方法和步骤，以及运算律的合理使用． 4.学习难点熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务任务1 回顾：什么叫最简二次根式？任务2 阅读教程P12-13，思考：如何对二次根式进行加、减、乘、除混合运算？ 2.预习自测 1．计算的值为（） A. B. C. D. 2．计算的值为（） A. B. C. D. 3. 计算的值是（） A.B. C. D. 预习自测 1.B 2.C 3.D （二）课堂设计 1.知识回顾（1）最简二次根式的条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式. （2）如何进行整式的加减运算？ 2.问题探究如何进行二次根式的加、减、乘、除混合运算？▲★ 例1 已知矩形的长为宽为，求它的面积. 【知识点：二次根式的混合运算】【详解】【点拨】长方形的面积=长×宽例2 计算：【知识点】【详解】原式= ① =② = ③ = ④ 点拨：解题的关键在于会做二次根式的乘法和合并同类项。
观察与思考由上述计算过程可以看出：第①步运用了多项式，实质是乘法律；第③步对被开方数的二次根式进行了合并。
结论：我们发现在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立。
对于化成最简二次根式之后，被开方数不相同的二次根式则不能进行加减运算。
3.课堂小结【知识梳理】（1）二次根式的混合运算的注意事项：运算顺序，结果必须是最简二次根式. （2）分母有理化：乘以分母的有理化因式. 【重难点突破】在进行二次根式的混合运算时，运算顺序与有理数的混合运算相一致，可以把运算中的每一个根式看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和看作“多项式”． 4.随堂检测 1.下列二次根式中可以进行合并的是( ) A. 与B. 与C. 与D. 与【知识点：同类二次根式】【参考答案】D 【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同. 2.计算：的结果是（）.A. B. C. D. 【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】C 【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直接计算即可. 3.若矩形相邻两边长分别是和，则它们的周长是 . 【知识点：二次根式混合运算】【参考答案】【思路点拨】矩形的周长=（长+宽）×2 4. 计算：的结果是（） A. B. C. 6 D. 12 【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】D 【思路点拨】5. 计算：【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【解析】原式= 《二次根式的混合运算》预习导学学习目标 1．能运用运算律进行二次根式的混合运算． 2．能运用乘法公式进行二次根式的混合运算.3．知道有理数的混合运算顺序同样适用于二次根式的混合运算. l 重点：二次根式的四则混合运算． l 难点：明白乘法公式、运算律、运算顺序同样适用于二次根式. 预习导学旧知导入与实数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的运算同样适用以上法. 知识点一运算律的运用阅读课本本课时“例3”，解决下列问题. 1．旧知回顾：乘法分配律(a+b)c= .除法可以转化为乘法，(a+b)÷c=(a+b)，因此，除法（填“满足”或“不满足”）分配律. 2．讨论：(1)在“例3(1)”中，与是两个不同的二次根式，无法合并，运用，分别化简再相加. (2)在“例3(2)”中，4与3是两个的二次根式，运用分别化简再相减. 归纳总结与实数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的运算（填“满足”或“不满足”）分配律. 知识点二乘法公式的运用阅读课本本课时“例4”，解决下列问题． 1．旧知回顾：多项式的乘法法则(a+b)(c+d)= ，完全平方公式(a±b)2= ，平方差公式(a+b)(a-b)= ． 2．思考：“例4”中，若将二次根式当成单项式，是否符合多项式的乘法法则和乘法公式？归纳总结与实数、整式和分式的混合运算一样，二次根式的运算（填“满足”或“不满足”）多项式乘法法则和乘法公式．知识点三二次根式混合运算的顺序 1．旧知回顾：实数的混合运算顺序应满足先算，后算，有括号要先算的． 2．思考：二次根式的四则混合运算顺序是否与实数的一致？归纳总结二次根式的四则混合运算顺序与实数、整式和分式的混合运算．。
2020—2021年人教版版八年级数学下册16.3 第2课时 二次根式的混合运算教案(精品教学案).doc
第2课时二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点) 2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22 cm，43cm，高为6cm，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm2)．他的做法正确吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫132； (3)2－(3＋2)÷3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫6－1332－3424×(－26)．解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3； (3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8.方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】与二次根式的混合运算有关的新定义题型对于任意的正数m 、n 定义运算※为m ※n＝⎩⎪⎨⎪⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m<n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A ．2－4 6B ．2C ．2 5D ．20解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．【类型二】二次根式运算的拓展应用请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用15⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－52n 表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n ＝1时，15⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－52n ＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1；第2个数，当n ＝2时，15⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－52n ＝15⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋52＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1.方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．三、板书设计1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．2．运用乘法公式和运算律进行计算 在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。
二次根式的混合运算(第一课时)教学设计
16.3 二次根式的混合运算（第一课时）一、教学内容人教版八年级下册16.3二次根式的混合运算二、教学目标1.核心素养通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力和应用意识．2.知识与技能（1）．能根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算；（2）．能运用二次根式的混合运算解决实际问题。
3.过程与方法从有理数的运算法则和整式的运算规律过渡到二次根式，运用类比等思想方法。
4.情感态度与价值观体验数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式的通性。
5.教学重点与教学难点根据运算律和相关法则进行二次根式的混合运算。
二、教学过程1.复习回顾计算： （1）12121321⨯÷ （2）12273+- 2.复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:计算：（1）（2x+y ）·x （2）（2x+3y ）（2x-3y ）老师点评：这些内容是八年级上册整式运算．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．3.探索新知若x ＝3，y ＝2；则（32+2）·3和（32+32）（32-32）运算规律是否仍成立呢？•仍成立．老师点评：整式运算中的x 、y 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（32+2）×3 （2）（64－23）÷22分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）（32+2）×3=32×3+2×3=6+6解：（64－23）÷22 =64÷22－23÷22=2332- 例2．计算（1）（2+3）×)52(- （2）（32+32）（32-32）（3）2327)15)(15()3(332-+--++- 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解：（1）（2+3）×)52(-=152523)2(2--+=15222-- =2213--（2）（32+32）（32-32） =22)23()32(-=1812-=6-（3）2327)15)(15()3(332-+--++- ＝23331533+---+- ＝333-三、巩固练习课本练习1、2．四、拓展探索例3．已知23+=x ，23-=y ，求下列各式的值：（1）222y xy x ++； （2）22y x -； （3）20182017y x •例4.请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 25125151表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n ＝1时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 25125151＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+25125151＝15×5＝1；第2个数，当n ＝2时，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 25125151 ＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2225125151 ＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++25125125125151 ＝15×1×5＝1方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．五、归纳小结1.运算顺序：先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，与有理数的运算顺序一样。