高2018届泸州一诊理数含答案
2017-2018届泸州市高三第一次教学质量诊断性考试理科数学试题及答案
泸州市2017-2018届高三第一次教学教学质量诊断性考试数学（理工类）一、选择题：本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()U M N ð=A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{1，3，5，6，7}D ．{2，4，8}2. 下列命题中的假命题是A ．x ∀∈R ，120x -> B ．x *∀∈N ，2(1)0x -> C ．x ∃∈R ，lg 1x < D ．x ∃∈R ，tan 2x =3. 12lg 2lg25-的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.函数()211sin f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．△ABC 中，若 2AD DB = ，13CD CA CB λ=+，则λ=A ．13B ．23C ．23-D ．13-6．将函数()()sin 2f x x θ=+（其中22ππθ-<<）的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()(),f x g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝⎭，则的值可以是A ．53πB ．6πC ．2πD ．56π7．设数列{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8． 若曲线()12f x x =在点()(),a f a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =A. 64B. 32C. 16D. 89．一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是 A ．1025 B ．1035 C ．1045 D ．105510．定义在R 上的函数()f x 满足()221,11(4)(),()log 22,1 3.x x f x f x f x x x ⎧-+-⎪+==⎨--+<⎪⎩≤≤≤，若关于x 的方程()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是A ．11(,)43B ．11(,)64C．1(16)6-D．1(,86-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．复数22(56)(215)i m m m m +++--（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为 ．12．等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = ． 13．函数()log a f x x=（其中01a <<），则使314f ⎛⎫< ⎪⎝⎭成立的a 的取值范围是 ．14. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[],2x a a ∈+，不等式()()31f x a f x +≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 . 15．已知集合()()()()(){}22|,A f x fx f y f x y f x y x y R =-=+-∈，有下列命题；①若()1,01x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则()f x A ∈；②若()f x kx =，则()f x A ∈；③若()f x A ∈，则()y f x =可为奇函数；④若()f x A ∈，则对任意不等实数12,x x ，总有()()1212f x f x x x-<-成立。
四川省泸州市2018-2019学年高三上学期理数第一次教学质量诊断性考试试卷
四川省泸州市2018-2019学年高三上学期理数第一次教学质量诊断性考试试卷一、单选题 (共12题；共12分)1．（1分）已知集合A={(x,y)|y=−x+2}，B={(x,y)|y=2x}，则A∩B元素的个数为（）A．0B．1C．2D．32．（1分）命题“ ∀x∈R，e x>x+1（e是自然对数的底数）”的否定是（）A．不存在，使B．，使C．，使D．，使3．（1分）已知函数f(x)=tanx1−tan2x，则函数f(x)的最小正周期为（）A．B．C．D．4．（1分）设a=(12)13，b=(13)12，c=ln(3π)，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．5．（1分）函数f(x)=xcosx−sinx的图象大致为（）A．B．C．D．6．（1分）若l,m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“ l⊥m”是“ l//α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（1分）正数a，b，c满足3a=4b=6c，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．8．（1分）在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A．B．C．D．9．（1分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的14，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的函数图象关于直线x=5π6对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．10．（1分）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为9:25，则cos(α−β)的值为（）A．B．C．D．11．（1分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．12．（1分）已知函数 f(x)=e x−1−alnx +(a −1)x +a(a >0) 的值域与函数 f(f(x)) 的值域相同，则 a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）使不等式 log 12(x −2)>0 成立的 x 的取值范围是 .14．（1分）在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 asinA =csinC +(a −b)sinB ，则角 C 的大小为 .15．（1分）已知函数 f(x)={2−x +1,x ≤0−√x,x >0，则 f(x +1)−9≤0 的解集为 . 16．（1分）长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =AA 1=2AD ， E 是 DD 1 的中点， BF =C 1K =14AB ，设过点 E 、 F 、 K 的平面与平面 AC 的交线为 l ，则直线 l 与直线 A 1D 1 所成角的正切值为 .三、解答题 (共7题；共14分)17．（2分）在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，已知 a =6 ， cosA =18 .（1）（1分）若 b =5 ，求 sinC 的值；（2）（1分）ΔABC 的面积为 15√74，求 b +c 的值.18．（2分）已知函数 f(x)=ax −2sinx +xcosx .（1）（1分）求曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线在 y 轴上的截距；（2）（1分）若函数 f(x) 在区间 [0,π2] 上是增函数，求实数 a 的取值范围.19．（2分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) 都在单位圆 O 上， ∠xOA =α ，且 α∈(π3,π2) .（1）（1分）若 sin(α+π6)=1314，求 x 1 的值；（2）（1分）若 ∠AOB =π3 ，求 y =x 12+y 22 的取值范围. 20．（2分）如图，在四棱锥 P −ABCD 中，平面 PBC ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是平行四边形，且 ∠BCD =π4 ， PD ⊥BC .（1）（1分）求证： PC =PD ；（2）（1分）若底面 ABCD 是菱形， PA 与平面 ABCD 所成角为 π6 ，求平面 PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.21．（2分）已知函数 f(x)=(x −a)lnx +12x(a >0) .（1）（1分）若 f′(x) 是 f(x) 的导函数，讨论 g(x)=f′(x)−x −alnx 的单调性；（2）（1分）若 a ∈(12e,2√e) （ e 是自然对数的底数），求证： f(x)>0 .22．（2分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρsin 2θ=2acosθ(a >0) ，过点 P(−2,−4) 的直线 l 的参数方程为{x=−2+5ty=−4+5t（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点. （1）（1分）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）（1分）若|PA||PB|=|AB|2，求a的值.23．（2分）已知定义在R上的函数f(x)=|x−m|+|x|，m∈N∗，若存在实数x使f(x)<2成立.（1）（1分）求实数m的值；（2）（1分）若a>1，b>1，f(a)+f(b)=4，求证：4a+1b>3.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵集合 A ={(x,y)|y =−x +2} ， B ={(x,y)|y =2x } ，∴A∩B={（x ，y ）| {y =−x +2y =2x }={（1，1）}． ∴集合A∩B 的元素个数是1个． 故答案为：B ．【分析】根据集合中元素的特点，求出直线与曲线交点坐标即可.2．【答案】D【解析】【解答】命题““ ∀x ∈R ， e x >x +1 ”的否定是 ∃x ∈R ，使 e x ≤x +1 ，故答案为：D ．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接写出其否定即可.3．【答案】C【解析】【解答】 f(x)=tanx 1−tan 2x =sinxcosx 1−sin 2x cos 2x =sinxcosx cos 2x−sin 2x=12sin2x cos2x =12tan2x ， ∴f(x) 的最小正周期为 π2 ，故答案为：C.【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系，化简，结合正切函数的最小正周期，即可求出函数f （x ）的最小正周期.4．【答案】A【解析】【解答】利用 y =(12)x 与 y =x 12 的单调性可知：a =(12)13>(12)12>(13)12=b >0 ，又 c =ln(3π)<ln1=0∴a >b >c 故答案为：A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间量进行比较即可.5．【答案】D【解析】【解答】因为 f(−x)=−xcosx +sinx =−xcosx −sinx =−f(x) ，所以函数 f(x)=xcosx −sinx 是奇函数， 函数图象关于原点对称，可排除选项 B,C ,由 f(π2)=−1<0 ，可排除选项 A ，故答案为：D.【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊点，逐一排除，即可确定函数的大致图象.6．【答案】B【解析】【解答】若 l ⊥m ，因为 m 垂直于平面 α ，则 l//α 或 l ⊂α ；若 l//α ，又 m 垂直于平面 α ，则 l ⊥m ，所以“ l ⊥m ”是“ l//α 的必要不充分条件， 故答案为：B ．【分析】根据空间直线与平面的位置关系，即可确定充分、必要性.7．【答案】B【解析】【解答】因为 a,b,c >0 ，且3a =4b =6c =k ∴a =log 3k,b =log 4k,c =log 6k∴2c =2a +1b故答案为：B【分析】将指数式转化为对数式，结合对数的运算性质，即可确定正确的关系式.8．【答案】A【解析】【解答】∵在梯形ABCD 中，∠ABC= π2 ，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，∴将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是： 一个底面半径为AB=1，高为BC=2的圆柱减去一个底面半径为AB=1， 高为BC ﹣AD=2﹣1=1的圆锥， ∴几何体的表面积为：S=π×12+2π×1×2+ π×1×√12+12 =（5+ √2 ）π． 故答案为：A ．【分析】根据旋转成的几何体的结构特征，结合圆锥的表面积计算公式，即可求出几何体分表面积.9．【答案】A【解析】【解答】由最大值为 2√3 ，得 A =2√3 ， 由 T 2=43π−π3=π ，得 T =2π=2πω,ω=1 ，f(x)=2√3sin(x +φ) ，∵f(π3)=0,∴π3+φ=kπ ， ∵|φ|<π2,∴φ=−π3 ， f(x)=2√3sin(x −π3) ，将函数 y =f(x) 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 14 ，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移 θ(θ>0) 个单位长度，得到 g(x)=2√3sin[4(x −θ)−π3]=2√3sin(4x −4θ−π3) ， ∵g(x) 图象关于 x =56 对称， ∴4×56π−4θ−π3=kπ+π2 ，4θ=−kπ+5π2 ，k =2 时， θ 最小为 π8 ，故答案为：A.【分析】根据图象最高点的纵坐标求出A ，结合函数的周期求出ω，结合特殊点求出φ ，通过函数的对称轴，即可求出θ 的最小值.10．【答案】D【解析】【解答】设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为9：25， 可得：小正方形的边长为 35，可得：cosα﹣sinα= 35 ，①sinβ﹣cosβ= 35，②由图可得：cosα=sinβ，sinα=cosβ，①×②可得： 925 =cosαsinβ+sinαcosβ﹣cosαcosβ﹣sinαsinβ=sin 2β+cos 2β﹣cos （α﹣β）=1﹣cos （α﹣β），解得：cos （α﹣β）= 1625． 故答案为：D ．【分析】根据图形关系求出三角函数值，结合两角差的余弦公式，即可求出相应的三角函数值.11．【答案】D【解析】【解答】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个 14球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底面，其体积为 13×4×2×2=163. 而 14 球体的体积为 14×43π×(2)3=83π .故组合体的体积为16+8π3故答案为：D【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，根据棱锥的体积公式和球体的体积公式，即可求出组合体分体积.12．【答案】C【解析】【解答】f（x）的定义域为（0，+∞）．f′(x)=e x−1−ax+a−1，在（0，+∞）递增．而f′（1）=e0﹣a+a﹣1=0，则f（x）在（0，1）上单减，在（1，+∞）上单增，f（1）=2a．∴f（x）的值域为[2a，+∞）．要使y=f[f（x）]与y=f（x）的值域相同，只需2a≤1，又a＞0，解得0＜a ≤12．故答案为：C．【分析】求出函数的定义域，求导数，利用导数判定函数的单调性，根据单调性表示函数的值域，即可求出实数a的取值范围.13．【答案】【解析】【解答】∵log12(x−2)>0=log121∴0<x−2<1，即2<x<3故答案为：(2,3)【分析】根据对数函数的真数大于0，解对数不等式，即可求出x的取值范围. 14．【答案】【解析】【解答】∵asinA=csinC+(a−b)sinB，∴由正弦定理可得a×a2a =c×c2R+(a−b)×b2R，化为a2+b2−c2=ab，cosC=a2+b2−c22ab=12，C=π3，故答案为π3 .【分析】根据正余弦定理，边角转化，即可求出角C.15．【答案】【解析】【解答】 ∵ f(x)={2−x +1,x ≤0−√x,x >0 ， ∴ 当 x +1≤0 时， {x ≤−12−(x+1)−8≤0 ，解得 −4≤x ≤−1 ； 当 x +1>0 时， {x >−1−√x +1−9≤0 ，解得 x >−1 ， 综上， x ≥−4 ，即 f(x +1)−9≤0 的解集为 [−4,+∞) ， 故答案为 [−4,+∞) .【分析】对x+1的取值分类讨论，分别代入相应的区间，解不等式组，即可求出不等式的解集.16．【答案】4【解析】【解答】延长KE ，CD 交于M 点，又DE CK =23∴MD MC =23同样延长KF ，CB 交于N 点，又 BF CK =13∴NB NC =13MN 即为过点 E 、 F 、 K 的平面与平面 AC 的交线为 l ，又CN 平行于 A 1D 1 即MN 与CN 所成角为所求，记所成角为 θ则 tanθ=MC NC =3CD32BC=4 故答案为：4【分析】根据正方体的结构特征，通过作平行线得到异面直线所成的角，即可求出相应的正切值.17．【答案】（1）解：由 cosA =18 ，则 0<A <π2 ，且 sinA =3√78，由正弦定理 sinB =b a sinA =5√716，因为 b <a ，所以 0<B <A <π2 ，所以 cosB =916，sinC =sin(A +B) =sinAcosB +cosAsinB =√74（2）解： S ΔABC =12bcsinA =12bc ×3√78=15√74，∴bc =20 ，a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−2×20×18=36 ，∴b 2+c 2=41 ， (b +c)2=b 2+c 2+2bc =41+40=81 ， ∴b +c =9【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式，即可求出sinC ；（2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理，即可求出b+c.18．【答案】（1）解：因为 f′(x)=a −2cosx +cosx −xsinx =a −cosx −xsinx ，当 x =π 时， f(π)=aπ−π ， f′(π)=a +1 ， 所以曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线方程为： y −(aπ−π)=(a +1)(x −π) ， 令 x =0 得： y =−2π ，所以曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线在 y 轴上的截距为 −2π（2）解：因为 f(x) 在区间 [0,π2] 上是增函数， 所以 f′(x)≥0 在区间 [0,π2] 上恒成立，则 a −cosx −xsinx ≥0 ，即 a ≥cosx +xsinx ， 令 g(x)=cosx +xsinx ，则 g′(x)=−sinx +sinx +xcosx =xcosx ≥0 ，所以 g(x) 在区间 [0,π2] 上单调递增， 所以 g(x)max =g(π2)=π2 ， 故实数 a 的取值范围是 [π2,+∞) .【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，结合点斜式，求出切线方程，即可得到切线在y 轴的截距；（2）根据增函数，导函数大于等于0，构造函数g （x ），确定函数的单调区间，求出g （x ）的最大值，即可求出实数a 的取值范围.19．【答案】（1）解：由三角函数的定义有 x 1=cosα ， 因为 sin(α+π6)=1314， α∈(π3,π2) ，所以 π2<α+π6<5π6 ， cos(α+π6)=−3√314，所以 x 1=cosα=cos[(α+π6)−π6]=cos(α+π6)cos π6+sin(α+π6)sin π6=−3√314⋅√32+1314⋅12=17（2）解：由题知 x 1=cosα ， y 2=sin(α+π3)y =x 12+y 22=cos 2α+sin 2(a +π3) =1+cos2α2+1−cos2(α+π3)2， =1+34cos2α+√34sin2α =√32sin(2α+π3)+1 ，α∈(π3,π2) ， 2α+π3∈(π,4π3) ，sin(2α+π3)∈(−√32,0) ， √32sin(2α+π3)+1∈(14,1) .所以 y 的取值范围是 (14,1) .【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，结合两角差是余弦公式，即可求出相应的三角函数值；（2）根据余弦的二倍角公式及辅助角公式，结合不等式的性质，即可求出y 的取值范围.20．【答案】（1）证明：过 P 作 PE ⊥BC ，垂足为 E ，连接 DE ，因为平面 PBC ⊥ 平面 ABCD ，所以 PE ⊥ 平面 ABCD ， 因为 PD ⊥BC ，所以 BC ⊥ 平面 PDE ，所以 DE ⊥BC ，因为 ∠BCD =π4 ，所以 DE =EC ，因为 ΔPED ≌ΔPEC ，所以 PD =PC .（2）解：解法一：因为 BC ∥AD ， BC ⊄ 平面 ADP ， AD ⊂ 平面 ADP ， 所以 BC ∥ 平面 ADP ， 设平面 PBC ∩平面 PAD = 直线 l ，所以 l ∥BC ，因为 BC ⊥ 平面 PDE ，所以 l ⊥PE ， l ⊥PD ，所以 ∠DPE 是平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的平面角， 因为 PE ⊥ 平面 ABCD ，故∠PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即∠PAE=π6，设PE=a，则AE=√3a，PA=2a，设DE=m，则EC=m，DC=√2m，所以(√3a)2=m2+(√2m)2，所以m=a，故∠DPE=π4，所以cos∠DPE=√22，即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为√22.解法二：因为BC⊥平面PDE，PE⊥平面ABCD，故∠PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即∠PAE=π6，且DE⊥BC，DE⊥PE，设PE=a，则AE=√3a，PA=2a，在ΔDEC中，设DE=m，则EC=m，DC=√2m，在ΔEDA中，所以(√3a)2=m2+(√2m)2，所以m=a，以E为坐标原点，分别以ED、DB、EP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D(a,0,0)，A(a,√2a,0)，P(0,0,a)，则平面PBC的法向量a⃗=(1,0,0)，设平面PAD的法向量b⃗=(x,y,z)，因为AP⇀=(−m,−√2m,m)，AD⇀=(0,−√2m,0)，所以{−√2my=0−mx+√2my+mz=0，故b⃗=(1,0,1)，设平面PBD与平面PAC的夹角为θ，则cosθ=b⃗⃗ ⋅a⃗⃗|b⃗⃗ ||a⃗⃗ |=1√2=√22，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为√22.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质证明线面垂直，结合三角形全等，即可证明PC=PD ；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.21．【答案】（1）解：因为 f′(x)=lnx −a x +32 ，所以 g(x)=(1−a)lnx −a x −x +32， g′(x)=1−a x +ax2−1 =−(x−1)(x+a)x (x >0) ，①当 0<a ≤1 时， g ′(x)>0 ， g(x) 在 (0,+∞) 上是增函数；②当 a >1 时，由 g ′(x)>0 得 0<x <aa−1 ，所以 g(x) 在 (0,a a−1) 上是增函数；在 (aa−1,+∞) 上是减函数（2）解：因为 f′(x)=lnx −a x +32 ，令 ℎ(x)=lnx −a x +32 ，则 ℎ′(x)=1x +a x 2 ，因为 a ∈(12e ,2√e) ，所以 ℎ′(x)=1x +a x2>0 ，即 ℎ(x) 在 (0,+∞) 是增函数，下面证明 ℎ(x) 在区间 (a2,2a) 上有唯一零点 x 0 ， 因为 ℎ(a 2)=ln a 2−12， ℎ(2a)=ln2a +1 ，又因为 a ∈(12e ,2√e) ，所以 ℎ(a 2)<ln 2√e 2−12=0 ， ℎ(2a)>ln(2⋅12e )+1=0 ，由零点存在定理可知， ℎ(x) 在区间 (a2,2a) 上有唯一零点 x 0 ，在区间 (0,x 0) 上， ℎ(x)=f′(x)<0 ， f′(x) 是减函数， 在区间 (x 0,+∞) 上， ℎ(x)=f′(x)>0 ， f′(x) 是增函数，故当 x =x 0 时， f(x) 取得最小值 f(x 0)=(x 0−a)lnx 0+12x 0 ，因为 ℎ(x 0)=lnx 0−a x 0+32=0 ，所以 lnx 0=a x 0−32 ，所以 f(x 0)=(x 0−a)(a x 0−32)+12x 0 =1x 0(x 0−a2)(2a −x 0) ，因为 x 0∈(a2,2a) ，所以 f(x)>0 ， 所以 a ∈(12e,2√e) ， f(x)>0 .【解析】【分析】（1）求导数，表示出g （x ），对g （x ）求导数，解不等式，即可求出函数的单调区间；（2）求导数，构造函数h （x ），对h （x ）求导数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，结合零点的存在性定理，即可证明相应的式子成立.22．【答案】（1）解：由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)，所以曲线C的直角坐标方程y2=2ax，因为{x=−2+5ty=−4+5t ，所以x+2y+4=1，直线l的普通方程为y=x−2（2）解：直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数），代入y2=2ax得：t2−2√2(4+a)t+32+8a=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=2√2(4+a)，t1t2=32+8a，t1>0，t2>0由参数t1，t2的几何意义得|t1|=|PA|，|t2|=|PB|，|t1−t2|=|AB|，由|PA||PB|=|AB|2得|t1−t2|2=t1t2，所以|t1+t2|2=5t1t2，所以(2√2(4+a))2=5(32+8a)，即a2+3a−4=0，故a=1，或a=−4（舍去），所以a=1.【解析】【分析】（1）两边同时乘以ρ，将极坐标方程转化为直角坐标方程即可；消去参数t，即可得到直线的普通方程；（2）写出直线的参数方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，即可求出a的值.23．【答案】（1）解：因为f(x)=|x−m|+|x|≥|x−m−x|=|m|，因存在实数x使f(x)<2成立，所以|m|<2，解之得−2<m<2，因为m∈N∗，所以m=1（2）解：因a>1，b>1，所以f(a)+f(b)=2a−1+2b−1=2a+2b−2，因为f(a)+f(b)=4，所以2a+2b−2=4，所以a+b=3，因为4a+1b=13(4a+1b)(a+b)=13(5+4ba+ab)≥13(5+2√4ba⋅ab)=3，a=2且b=1时等号成立，又a>1，b>1，所以等号不成立，4a+1b>3.【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式，将存在实数x使f(x)<2成立进行转化，解不等式，即可求出m的值；（2）根据f(a)+f(b)=4，得到a和b的关系，结合基本不等式，即可证明结论成立.。
泸州市2018届一诊理科综合试题及答案
由几何关系： sin r
即n
sin i 3 ·····················································································④（2 分） sin r
②要使外界 180°范围全被观察到，则应在玻璃砖边界处恰好发生全反射
i 60 ··································································································①（1 分）
则 sin i
3 ··························································································②（1 分） 2 L L2 d 2 1 ····························································③（2 分） 2
代入数据知 p1 2 10 p a ··········································································①（2 分）
4
(2)由 U Q W ····················································································①（2 分） 由于是等温变化，内能不变，则 U 0 ·······················································①（1 分） 知 W Q ······························································································①（2 分）
泸州市泸县2018年中考数学一诊试卷(有答案)
由图可知点 B1 的坐标为（4，﹣2）、C1 的坐标为（1，﹣3）；
（2）∵AB=
=3 ，且∠BAB1=90°，
∴线段 AB 所扫过的图形的面积为 五、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 22． 【解答】解：（1）由题意可得
= π．
11
解得 y=﹣x2﹣2x+3； （2）由题意可知：A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），D（﹣1，4）； 过 D 作 DE⊥AB 于 E S 四边形 ABCD=S△ADE+S 梯形 DEOC+S△BOC= ×AE×DE+ ×（DE+OC）×OE+ ×OB×OC = ×2×4+ ×（4+3）×1+ ×1×3 =9． 23． 【解答】解：（1）总人数为：12÷30%=40（人）， A 级占： ×100%=15%，D 级占：1﹣35%﹣30%﹣15%=20%； C 级人数：40×35%=14（人），D 级人数：40×20%=8（人）， 补全统计图得：
2
三、解答题（每小题 6 分，共 18 分） 17．（6 分）解方程：x（x﹣1）=4x+6． 18．（6 分）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a﹣2=0 有实数根． （1）求 a 的取值范围； （2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解． 19．（6 分）如图，AE 为△ABC 外接圆⊙O 的直径，AD 为△ABC 的高． 求证：（1）∠BAD=∠EAC； （2）AB•AC=AD• AE
∴BD=cos30°×OB= ×4=2 ，
8
∵BD=CD， ∴BC=2BD=4 cm，即它的内接正三角形的边长为 4 cm， ∴⊙O 的内接正三角形的周长 是 4 ×3=12 cm． 故答案为：12 ．
四川省泸州市高2018级高三第一次教学质量诊断性考试物理试题及答案
泸州高2018级高三第一次教学质量诊断性考试物理试题第Ⅰ卷二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一项符合题目要求，第19～21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14. 在光滑的水平面上有一辆平板车，一个人站在车上用大锤敲打车的左端，如图。
在连续的敲打下，车并不会持续地向右运动。
解释此现象的主要规律是A.动量守恒定律B.机械能守恒定律C.牛顿第一定律D.动能定理15. 某原子核A Z X 吸收一个氘核（21H ）后，放出一个中子和一个α粒子。
由此可知A.A=3，Z ＝1B.A=3，Z ＝2C.A=7，Z ＝1D.A=7，Z ＝216. 在下雨天,站在路旁的小明看到匀速竖直下落的雨滴，则此时坐在向左匀速行驶汽车里的小聪看到雨滴下落的轨迹是 17. 四川籍跳水皇后高敏在跳板跳水职业生涯中共斩获70余枚金牌，创造了亚运会、世界大学生运动会、世界杯、世锦赛、奥运会7年全胜的记录。
她在某次比赛中从跳板斜向上跳起，一段时间后落入水中，直至速度为零，如图所示。
不计空气阻力，下列说法中正确的是A.在空中下落过程中，她的惯性越来越大B.即将入水时，她的速度为整个过程的最大值C.入水过程中，水对她的作用力等于她对水的作用力D.在离开跳板后的上升过程中，她处于超重状态18.今年我国已建成覆盖全球的北斗卫星导航系统。
北斗卫星导航系统由 5 颗静止轨道卫星、27 颗中地球轨道卫星及其它轨道卫星共 35 颗组成。
如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a 、b 、c 三颗卫星均做匀速圆周运动，a 是地球同步卫星，轨道半径149a b c r r r ==，则 A.卫星a 的角速度和卫星c 的角速度之比为914B.卫星a 的向心加速度大于卫星b 的向心加速度C.卫星a 的运行速度大于第一宇宙速度D.卫星b 的周期等于地球的自转周期19.2008年9月28日，泸州泰安长江大桥正式通车，该桥类型为单塔双索面不等距离斜拉大桥，其索塔与钢索如图所示。
四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试数学理试题(PDF版,有答案)
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2018年四川省泸州市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版)
2018年四川省泸州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z的共轭复数为z¯，且z(3+i)=10（i是虚数单位），则在复平面内，复数z¯对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 设集合P={(x, y)|y=k}，Q={(x, y)|y=2x}，己知P∩Q=⌀，那么k的取值范围是（）A.(−∞, 0)B.(0, +∞)C.(−∞, 0]D.(1, +∞)3. 阅读如下框图，运行相应的程序，若输入n的值为10，则输出n的值为（）A.0B.1C.3D.44. 已知函数f(x)={g(x),x>02x+1,x≤0是R上的奇函数，则g(3)=()A.5B.−5C.7D.−75. 设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（）A.a // b，b⊂α，则a // αB.a⊂α，b⊂β，α // β，则a // bC.a⊂α，b⊂α，b // β，则a // βD.α // β，a⊂α，则a // β6. 已知函数y＝sin(2x+φ)在x=π6处取得最大值，则函数y＝cos(2x+φ)的图象（）A.关于点(π6, 0)对称 B.关于点(π3, 0)对称C.关于直线x=π6对称 D.关于直线x=π3对称7. 若实数a满足log a23>1>log14a，则a的取值范围是（）A.(23, 1) B.(23, 34) C.(34, 1) D.(0, 23)8. 在△ABC中，角B为3π4，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cos A=()A.2√55B.√55C.23D.√539. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.136πB.144πC.36πD.34π10. 若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（）个．A.53B.59C.66D.7111. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，若FA→=3FB→，则|AF→|=()A.3B.4C.6D.712. 已知偶函数f(x)={|log4x|,0<x≤4f(8−x),4<x<8，且f(x−8)=f(x)，则函数F(x)=f(x)−12|x|在区间[−2018, 2018]的零点个数为（）A.2020B.2016C.1010D.1008二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. (x +1)(x −2)5的展开式中含x 3项的系数为________．14. 若x ，y 满足约束条件{x −y ≤0x +y ≥0y ≤1 ，则z =y+1x+2的最大值为________．15. 已知双曲线C 的中心为坐标原点，点F(2, 0)是双曲线C 的一个焦点，过点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，直线l 交y 轴于点E ，若|FM|=3|ME|，则双曲线C 的方程为________．16. 已知球O 是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，MN 为球O 的一条直径，点P 为正八面体表面上的一个动点，则PM →∗PN →的取值范围是________． 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A =2sin (A +B)，它的面积S =5√716c 2． （1）求sin B 的值；（2）若D 是BC 边上的一点，cos ∠ADB =34，求BDDC 的值．18. 甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元． (I)请将两家公司各一名推销员的日工资y （单位：元）分别表示为日销售件数n 的函数关系式；(II)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图．若记甲公司该推销员的日工资为X ，乙公司该推销员的日工资为Y （单位：元），将该频率视为概率，请回答下面问题： 某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19. 如图，多面体EF −ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，AB =4，∠BAD =60∘，AC ，BD 相交于O ，EF // AC ，点E 在平面ABCD 上的射影恰好是线段AO 的中点． (Ⅰ)求证：BD ⊥平面ACF ；(Ⅱ)若直线AE 与平面ABCD 所成的角为45∘，求平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值．20. 已知动点M(x, y)满足：√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=2√2．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点N(−1, 0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C （点C 与点B 不重合），证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．21. 已知函数f(x)＝(x +2)ln (x +1)−ax(a ∈R)(Ⅰ)若a ＝1，求曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程； (Ⅱ)若f(x)≥0在[0, f(0)）上恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若数列{a n }的前n 项和S n =n 2+3n −1，b n =4a n，求证：数列{b n }的前n 项和T n <ln (n +1)(n +2)．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2=4x ．(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是{x =2+t cos αy =t sin α （t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=4√6，求l 的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数f(x)=|a −3x|−|2+x|． （1）若a =2，解不等式f(x)≤3；（2）若存在实数a ，使得不等式f(x)≤1−a −4|2+x|成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年四川省泸州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 A【考点】 复数的运算 【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ¯的坐标得答案． 【解答】由z(3+i)=10，得z =103+i=10(3−i)(3+i)(3−i)=3−i ，∴ z ¯=3+i ，则复数z ¯对应的点的坐标为(3, 1)，位于第一象限． 2.【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】根据集合的定义与性质，求出k 的取值范围． 【解答】集合P ={(x, y)|y =k}，Q ={(x, y)|y =2x >0}， 且P ∩Q =⌀，∴ k 的取值范围是k ≤0． 3.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】模拟程序的运行，可得：当n =10时，不能被3整除，故n =9，不满足退出循环的条件； 当n =9时，能被3整除，故n =3，满足退出循环的条件； 故输出的n =3，4.【答案】 A【考点】分段函数的应用 【解析】根据题意，由函数的解析式可得f(3)=g(3)以及f(−3)=−5，由奇函数的性质分析可得g(3)=−f(−3)，即可得答案． 【解答】根据题意，函数f(x)={g(x),x >02x +1,x ≤0 ，则f(3)=g(3)，f(−3)=2×(−3)+1=−5， 又由f(x)为奇函数，则g(3)=−f(−3)=5； 5.【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系 空间中平面与平面之间的位置关系【解析】在A 中，a // α或a ⊂α；在B 中，a 与b 平行或异面；在C 中，α与β相交或平行；在D 中，由面面平行的性质定理得a // β． 【解答】由a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知： 在A 中，a // b ，b ⊂α，则a // α或a ⊂α，故A 错误；在B 中，a ⊂α，b ⊂β，α // β，则a 与b 平行或异面，故B 错误； 在C 中，a ⊂α，b ⊂α，b // β，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，α // β，a ⊂α，则由面面平行的性质定理得a // β，故D 正确． 6. 【答案】 A【考点】余弦函数的图象 【解析】由题意可得sin (π3+φ)＝1，故有cos (π3+φ)＝0，由此可得函数y ＝cos (2x +φ)的图象特征． 【解答】∵ 函数y ＝sin (2x +φ)在x =π6处取得最大值，∴ sin (π3+φ)＝1， ∴ cos (π3+φ)＝0，∴ 函数y ＝cos (2x +φ)的图象关于点(π6, 0)对称， 7.【答案】 A【考点】对数函数的单调性与特殊点 指、对数不等式的解法 【解析】 由已知可得得{log a 23>1lpg 14a <1，利用对数函数的单调性分别求解两不等式，取交集得答案．【解答】由log a 23>1>log 14a ，得{log a 23>1log 14a <1， 由①得，当a >1时，a <23，此时a ∈⌀． 当0<a <1时，a >23，则23<a <1； 由②得，a >14． 取交集得：23<a <1．∴ a 的取值范围是(23, 1)．8.【答案】 A【考点】 三角形求面积 【解析】由BC 边上的高AD 恰为BC 边长的一半，即AD =BD =a2，AB =√22a ， 在△ABC 中，由余弦定理得AC ，在△ABC 中，由正弦定理得BCsin A=AC sin B⇒sin A =√15，即可求解．【解答】如图，BC 边上的高AD 恰为BC 边长的一半，即AD =BD =a2∴ AB =√22a 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC cos ∠ABC =52a 2． 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin A=AC sin B⇒sin A =√15，∵ A ∈(0, π4)，⇒cos A =2√55．9.【答案】 【考点】由三视图求体积 【解析】作出几何体的直观图，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心，从而可的外接球的半径，再计算出外接球的面积． 【解答】由三视图可知几何体为四棱锥E −ABCD ，直观图如图所示：其中，BE ⊥平面ABCD ，BE ＝4，AB ⊥AD ，AB =√2， C 到AB 的距离为2，C 到AD 的距离为2√2，以A 为原点，以AB ，AD ，及平面ABCD 过A 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系A −xyz ， 则A(0, 0, 0)，B(0, √2, 0)，C(2, 2√2, 0)，D(4, 0, 0)，E(0, √2, 4)． 设外接球的球心为M(x, y, z)，则MA ＝MB ＝MC ＝MD ＝ME ，∴ x 2+y 2+z 2＝x 2+(y −√2)2+z 2＝(x −2)2+(y −2√2)2+z 2＝(x −4)2+y 2+z 2＝x 2+(y −√2)2+(z −4)2， 解得x ＝2，y =√22，z ＝（2） ∴ 外接球的半径r ＝MA =√4+12+4=√172， ∴ 外接球的表面积S ＝4πr 2＝34π．故选：D ． 10. 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分析可得四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，据此分5种情况讨论，依次求出每种情况下大于2017的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案． 【解答】解：根据题意，四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况， 则分5种情况讨论：①、四个数字为0、1、3、6时，千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A 33＝6种情况， 此时有2×6＝12个“完美四位数”， ②、四个数字为0、1、4、5时，千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A 33＝6种情况， 此时有2×6＝12个“完美四位数”， ③、四个数字为0、1、2、7时，千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A 33＝6种情况， 千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况， 此时有6+5＝11个“完美四位数”， ④、四个数字为0、2、3、5时，千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A 33＝6种情况， 此时有3×6＝18个“完美四位数”， ⑤、四个数字为1、2、3、4时，千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A 33＝6种情况， 此时有3×6＝18个“完美四位数”，则一共有12+12+11+18+18＝71个“完美四位数”， 故选D . 11.【答案】 B【考点】 抛物线的求解 【解析】利用FA →=3FB →，求解A ，B 的坐标，即可求得|AF →|． 【解答】抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ， 设A(−1, a)，B(m, n)，则 ∵ FA →=3FB →，∴ 1−m 2=13，∴ m =13∴ n =±2√33∵ |n||a|=13，∴ a =±2√3∵ y 2=4x 的焦点为F(1, 0) ∴ |AF →|=√(1+1)2+(2√3)2=4 12.【答案】 A【考点】函数与方程的综合运用函数的零点与方程根的关系【解析】作出f(x)一个周期内的函数图象，根据函数周期性判断交点个数． 【解答】当4<x <8时，f(x)=f(8−x)，故而f(x)在(0, 8)上的函数图象关于直线x =4对称， ∵ f(x −8)=f(x)，∴ f(x)的周期为T =8， 作出y =f(x)和y =12|x|的图象在(0, 8)上的函数图象如图所示：由图象可知f(x)在一个周期内与y =12|x|有4个交点， ∴ F(x)在[0, 2018]上有252×4+2=1010个交点， 又f(x)与y =12|x|是偶函数，∴ F(x)在[−2018, 2018]的零点个数为1010×2=2020． 故选：A ．二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】 −40【考点】二项式定理及相关概念 【解析】利用(x −2)5展开式的二次项与x +1的一次项相乘，展开式的三次项与x +1的常数项相乘，即可得到(x +1)(x −2)5的展开式中含x 3项的系数．【解答】∵ (x −2)5展开式的通项公式为T r+1=C 5r⋅x 5−r ⋅(−2)r ， 令5−r ＝2，解得r ＝3，∴ 展开式中含x 2项的系数为C 53⋅(−2)3＝−80； 令5−r ＝3，解得r ＝2，∴ 展开式中含x 3项的系数为C 52⋅(−2)2＝40； ∴ (x +1)(x −2)5的展开式中含x 3项的系数为 1×(−80)+1×40＝−40． 14.【答案】 2【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z 的取值范围． 【解答】作出不等式组对应的平面区域，z =y+1x+2的几何意义为区域内的点到B(−2, −1)的斜率，由图象知，AB 的斜率最大， 由A(−1, 1)，故AB 的斜率k =1+1−1+2=2． 15. 【答案】 x 2−y 23=1【考点】双曲线的离心率 【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程，利用|FM|=3|ME|，可得FM →=3ME →，求出M 的坐标，代入渐近线y =ba x ，求得a ，b 的关系式，再由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，即可得出双曲线的方程． 【解答】如图所示．双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)， 右焦点F(2, 0)，即c =2， 渐近线方程设为y =ba x ． ∵ FM ⊥OM ，∴ 可得直线FM 的方程为y =−ab (x −2)， 令x =0，解得y =2a b，∴ E(0, 2ab)．∵ |FM|=3|ME|，可得FM →=3ME →， ∴ M(21+3, 6a b1+3)， 又M 在渐近线y =ba x 上， ∴3a 2b=b a⋅12，解得√3a =b ， 又a 2+b 2=4， 解得a =1，b =√3， 则双曲线的方程为x 2−y 23=1．16. 【答案】[13，43brack 【考点】空间向量的数量积运算 【解析】设球O 的半径为R ，则12×√2×1=12×√3×R ，解得R =√63.|OP →|∈[1,√2brack ．可得PM →∗PN →=(OM →−OP ¯)⋅(ON →−OP →)=OP →2−R →2． 【解答】设球O 的半径为R ，则12×√2×1=12×√3×R ，解得R =√63． |OP →|∈[1,√2brack ．PM →∗PN →=(OM →−OP ¯)⋅(ON →−OP →)=OP →2−R →2=OP →2−23∈[13，43brack ． 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.【答案】∵ sin A =2sin (A +B)， ∴ sin A =2sin C ，a =2c ， ∴ S =12sin B ⋅c ⋅2c =5√716c 2， 故sin B =5√716； 由(1)sin B =5√716，cos ∠ADB =34，∴ cos B =±916，sin ∠ADB =√74， ∴ sin ∠BAD=sin (B +∠ADB)=sin B cos ∠ADB +cos B sin ∠ADB =5√716×34+916×√74 =3√78， 或sin ∠BAD =3√732， 由BDsin ∠BAD =ABsin ∠ADB ， 得：3√78=√74或3√732=√74，解得：BD =32c 或BD =38c ，故BD DC=3或313．【考点】 三角形求面积 【解析】（1）根据正弦定理以及三角形的面积公式求出sin B 即可；（2）求出sin ∠BAD ，再根据正弦定理求出BD ，求出CD ，从而求出BDDC 的值．【解答】∵ sin A =2sin (A +B)， ∴ sin A =2sin C ，a =2c ， ∴ S =12sin B ⋅c ⋅2c =5√716c 2， 故sin B =5√716； 由(1)sin B =5√716，cos ∠ADB =34，∴ cos B =±916，sin ∠ADB =√74， ∴ sin ∠BAD=sin (B +∠ADB)=sin B cos ∠ADB +cos B sin ∠ADB =5√716×34+916×√74=3√78， 或sin ∠BAD =3√732， 由BDsin ∠BAD =ABsin ∠ADB ，得：3√78=√74或3√732=√74，解得：BD =32c 或BD =38c ，故BD DC =3或313． 18.【答案】（1）由题意得，甲公司一名推销员的日工资y （单位：元）与销售件数n 的关系式为： y =80+n ，n ∈N ．乙公司一名推销员的日工资y （单位：元） 与销售件数n 的关系式为： y ={120,(n ≤45,n ∈N)8n −240,(n >45,n ∈N)．（2）记甲公司一名推销员的日工资为X （单位：元）， 由条形图可得X 的分布列为：记乙公司一名推销员的日工资为Y （单位：元），由条形图可得Y 的分布列为：∵ E(X)=122×0.2+124×0.4+126×0.2+128×0.1+130×0.1=125， E(Y)=120×0.2+128×0.3+144×0.4+160×0.1=136， ∴ 仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司．【考点】频率分布直方图 【解析】（I ）由题意能求出甲公司一名推销员的日工资y （单位：元）与销售件数n 的关系式和乙公司一名推销员的日工资y （单位：元） 与销售件数n 的关系式． (Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为X （单位：元），由条形图可得X 的分布列，记乙公司一名推销员的日工资为Y （单位：元），由条形图可得Y 的分布列，从而求出E(X)=125，E(Y)=136，由此得到仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司． 【解答】（1）由题意得，甲公司一名推销员的日工资y （单位：元）与销售件数n 的关系式为： y =80+n ，n ∈N ．乙公司一名推销员的日工资y （单位：元） 与销售件数n 的关系式为： y={120,(n ≤45,n ∈N)8n −240,(n >45,n ∈N)．（2）记甲公司一名推销员的日工资为X （单位：元），由条形图可得X 的分布列为：记乙公司一名推销员的日工资为Y （单位：元），由条形图可得Y 的分布列为：∵ E(X)=122×0.2+124×0.4+126×0.2+128×0.1+130×0.1=125， E(Y)=120×0.2+128×0.3+144×0.4+160×0.1=136， ∴ 仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司． 19.【答案】（1）取AO 的中点H ，连结EH ，则EH ⊥平面ABCD ∵ BD 在平面ABCD 内，∴ EH ⊥BD又菱形ABCD 中，AC ⊥BD 且EH ∩AC =H ，EH 、AC 在平面EACF 内 ∴ BD ⊥平面EACF ，即BD ⊥平面ACF（2）由(Ⅰ)知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系H −xyz ∵ EH ⊥平面ABCD ，∴ ∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH =45∘，又菱形ABCD 的边长为4，则AO =2√3,AH =√3,EH =√3 各点坐标分别为H(0,0,0),A(√3,0,0),D(−√3,−2,0),O(−√3,0,0)，E(0, 0, √3)易知HE →为平面ABCD 的一个法向量，记n →=HE →=(0,0,√3)，AO →=(−2√3,0,0)，DE →=(√3,2,√3) ∵ EF // AC ，∴ EF →=λAO →=(−2√3λ,0,0)设平面DEF 的一个法向量为m →=(x,y,z),m →⊥DE →,m →⊥EF →（注意：此处EF →可以用AO →替代） 即 m →⋅DE →=√3x +2y +√3z =0，m →⋅EF →=−2√3λx =0 令y =√3,x =0,z =−2，则，∴ m →=(0,√3,−2) ∴ cos ⟨n →,m →>=n →⋅m→|n →|⋅|m →|=√3√3⋅√7=−2√77平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值为2√77．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)取AO 的中点H ，连结EH ，证明EH ⊥BD ，AC ⊥BD ，即BD ⊥平面ACF(Ⅱ)由(Ⅰ)知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系H −xyz ，由EH ⊥平面ABCD ，得∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH =45∘则AO =2√3,AH =√3,EH =√3各点坐标分别为H(0,0,0),A(√3,0,0),D(−√3,−2,0),O(−√3,0,0)，E(0, 0, √3)，求出法向量即可求解． 【解答】（1）取AO 的中点H ，连结EH ，则EH ⊥平面ABCD ∵ BD 在平面ABCD 内，∴ EH ⊥BD又菱形ABCD 中，AC ⊥BD 且EH ∩AC =H ，EH 、AC 在平面EACF 内 ∴ BD ⊥平面EACF ，即BD ⊥平面ACF（2）由(Ⅰ)知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系H −xyz ∵ EH ⊥平面ABCD ，∴ ∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH =45∘，又菱形ABCD 的边长为4，则AO =2√3,AH =√3,EH =√3 各点坐标分别为H(0,0,0),A(√3,0,0),D(−√3,−2,0),O(−√3,0,0)，E(0, 0, √3)易知HE →为平面ABCD 的一个法向量，记n →=HE →=(0,0,√3)，AO →=(−2√3,0,0)，DE →=(√3,2,√3) ∵ EF // AC ，∴ EF →=λAO →=(−2√3λ,0,0)设平面DEF 的一个法向量为m →=(x,y,z),m →⊥DE →,m →⊥EF →（注意：此处EF →可以用AO →替代） 即 m →⋅DE →=√3x +2y +√3z =0，m →⋅EF →=−2√3λx =0令y =√3,x =0,z =−2，则，∴ m →=(0,√3,−2) ∴ cos ⟨n →,m →>=n →⋅m→|n →|⋅|m →|=√3√3⋅√7=−2√77平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值为2√77．20.【答案】解：（1）由已知，动点M 到点P(−1,0)，Q(1,0)的距离之和为2√2，且|PQ|<2√2，所以动点M 的轨迹为椭圆， 而a =√2，c =1， 所以b =1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22+y 2=1． （2）设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则C (x 1,−y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为：y =k(x +1)， 由{y =k(x +1)x 22+y 2=1得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 所以x 1+x 2=−4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，直线BC 的方程为y −y 2=y 2+y 1x 2−x 1(x −x 2)，所以y =y 2+y 1x 2−x 1x −x 1y 2+x 2y 1x 2−x 1，令y =0， 则x =x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1=2kx 1x 2+k (x 1+x 2)k (x 1+x 2)+2k=2x 1x 2+(x 1+x 2)(x 1+x 2)+2=−2，所以直线BC 与x 轴交于定点D(−2,0)． 【考点】 轨迹方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）由已知，动点M 到点P(−1,0)，Q(1,0)的距离之和为2√2， 且|PQ|<2√2，所以动点M 的轨迹为椭圆， 而a =√2，c =1， 所以b =1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22+y 2=1． （2）设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则C (x 1,−y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为：y =k(x +1)， 由{y =k(x +1)x 22+y 2=1 得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0， 所以x 1+x 2=−4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2， 直线BC 的方程为y −y 2=y 2+y 1x 2−x 1(x −x 2)，所以y =y 2+y 1x 2−x 1x −x 1y 2+x 2y 1x 2−x 1，令y =0， 则x =x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1=2kx 1x 2+k (x 1+x 2)k (x 1+x 2)+2k=2x 1x 2+(x 1+x 2)(x 1+x 2)+2=−2，所以直线BC 与x 轴交于定点D(−2,0)． 21.【答案】（1）因为a ＝1，所以f(x)＝(x +2)ln (x +1)−x ，f(0)＝(0+2)×ln 1−0＝0，切点为(0, 0)． 由f′(x)＝ln (x +1)+x+2x+1−1，所以f ′(0)=ln (0+1)+0+20+1−1＝1，所以曲线y ＝f(x)在(0, 0)处的切线方程为y −0＝1×(x −0)，即x −y ＝0． （2）由f ′(x)=ln (x +1)+x+2x+1−a ，令g(x)＝f′(x)，(x ∈[0, +∞)），则g ′(x)=1x+1−1(x+1)2=x (x+1)2≥0，（当且仅当x ＝0取等号）． 故f′(x)在[0, +∞)上为增函数．①当a ≤2时，f′(x)≥f′(0)≥0，故f(x)在[0, +∞)上为增函数， 所以f(x)≥f(0)＝0恒成立，故a ≤2符合题意；②当a >2时，由于f′(0)＝2−a <0，f′(e a −1)＝1+1e a >0，根据零点存在定理，必存在t ∈(0, e a −1)，使得f′(t)＝0， 由于f′(x)在[0, +∞)上为增函数，故当x ∈(0, t)时，f′(t)<0，故f(x)在x ∈(0, t)上为减函数，所以当x ∈(0, t)时，f(x)<f(0)＝0，故f(x)≥0在[0, +∞)上不恒成立， 所以a >2不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围为(−∞, 2]． 证明：(III)由S n =n 2+3n −1， ∴ n ＝1时，a 1＝S 1＝1+3−1＝3，n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+3n −1)−[(n −1)2+3(n −1)−1]＝2n +2，n ≥2，∵ b n =4a n，∴ b n ={43,n =12n+1,n ≥2，由(Ⅱ)知当x >0时，(x +2)ln (1+x)>2x ，故当x >0时，ln (1+x)>2xx+2，故ln(1+2n )>2−2n2n+2=21+n，故∑n k=1ln(1+2k )>∑n k=121+k．下面证明：T n<ln(n+1)(n+2)，因为∑n k=1ln(1+2k )=ln(1+21)+ln(1+22)+ln(1+23)+...+ln(1+2n−1)+ln(1+2n)＝ln(3×42×53×64×⋯×n+1n−1×n+2n)＝ln(n+1)(n+2)2＝ln(n+1)(n+2)−ln2，T n=43+22+1+23+1+⋯+2n+1，∑n k=121+k=21+1+22+1+23+1+⋯+2n+2＝1+22+1+23+1+⋯+2n+2=1+T n−43=T n−13，∴ln(n+1)(n+2)−ln2>T n−13，即数列{b n}的前n项和T n<ln(n+1)(n+2)．【考点】数列与函数的综合利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)由a＝1，得f(x)＝(x+2)ln(x+1)−x，切点为(0, 0)．由f′(x)＝ln(x+1)+x+2x+1−1，得f′(0)＝1，由此能求出曲线y＝f(x)在(0, 0)处的切线方程．(Ⅱ)由f′(x)=ln(x+1)+x+2x+1−a，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2≥0，从而f′(x)在[0, +∞)上为增函数．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a的取值范围．(III)由S n=n2+3n−1，推导出b n={43,n=1 2n+1,n≥2，从而∑n k=1ln(1+2k)>∑n k=121+k，再证明T n<ln(n+1)(n+2)，由此能证明数列{b n}的前n项和T n<ln(n+1)(n+2)．【解答】（1）因为a＝1，所以f(x)＝(x+2)ln(x+1)−x，f(0)＝(0+2)×ln1−0＝0，切点为(0, 0)．由f′(x)＝ln(x+1)+x+2x+1−1，所以f′(0)=ln(0+1)+0+20+1−1＝1，所以曲线y＝f(x)在(0, 0)处的切线方程为y−0＝1×(x−0)，即x−y＝0．（2）由f′(x)=ln(x+1)+x+2x+1−a，令g(x)＝f′(x)，(x∈[0, +∞)），则g′(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2≥0，（当且仅当x＝0取等号）．故f′(x)在[0, +∞)上为增函数．①当a≤2时，f′(x)≥f′(0)≥0，故f(x)在[0, +∞)上为增函数，所以f(x)≥f(0)＝0恒成立，故a≤2符合题意；②当a>2时，由于f′(0)＝2−a<0，f′(e a−1)＝1+1e a>0，根据零点存在定理，必存在t∈(0, e a−1)，使得f′(t)＝0，由于f′(x)在[0, +∞)上为增函数，故当x∈(0, t)时，f′(t)<0，故f(x)在x∈(0, t)上为减函数，所以当x∈(0, t)时，f(x)<f(0)＝0，故f(x)≥0在[0, +∞)上不恒成立，所以a>2不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为(−∞, 2]．证明：(III)由S n=n2+3n−1，∴n＝1时，a1＝S1＝1+3−1＝3，n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+3n−1)−[(n−1)2+3(n−1)−1]＝2n+2，n≥2，∵b n=4a n，∴b n={43,n=12n+1,n≥2，由(Ⅱ)知当x>0时，(x+2)ln(1+x)>2x，故当x>0时，ln(1+x)>2xx+2，故ln(1+2n)>2−2n2n+2=21+n，故∑n k=1ln(1+2k)>∑n k=121+k．下面证明：T n<ln(n+1)(n+2)，因为∑n k=1ln(1+2k)=ln(1+21)+ln(1+22)+ln(1+23)+...+ln(1+2n−1)+ln(1+2n)＝ln(3×42×53×64×⋯×n+1n−1×n+2n)＝ln(n+1)(n+2)2＝ln(n+1)(n+2)−ln2，T n=43+22+1+23+1+⋯+2n+1，∑nk=121+k=21+1+22+1+23+1+⋯+2n+2＝1+22+1+23+1+⋯+2n+2=1+T n−43=T n−13，∴ln(n+1)(n+2)−ln2>T n−13，即数列{b n}的前n项和T n<ln(n+1)(n+2)．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.【答案】解：∵{x=ρcosθy=ρsinθ，代入y2=4x，∴ρsin2θ−4cosθ=0.(2)不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，把直线l 的参数方程代入抛物线方程得： t 2sin 2α−4cos α⋅t −8=0， ∴ Δ=16cos 2α+32sin 2α>0， ∴ t 1+t 2=4cos αsin 2α，t 1t 2=−8sin 2α， 则|AB|=|t 1−t 2|=√16+16sin 2αsin 2α=4√6，∴ sin α=√22， ∴ α=π4或α=3π4．【考点】利用圆锥曲线的参数方程求最值 抛物线的极坐标方程【解析】（1）由x =ρcos θ，y =ρsin θ可得抛物线C 的极坐标方程；（2）不妨设点A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2，根据弦长公式，即可求解． 【解答】解：∵ {x =ρcos θy =ρsin θ，代入y 2=4x ，∴ ρsin 2θ−4cos θ=0.(2)不妨设点A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2， 把直线l 的参数方程代入抛物线方程得： t 2sin 2α−4cos α⋅t −8=0， ∴ Δ=16cos 2α+32sin 2α>0， ∴ t 1+t 2=4cos αsin 2α，t 1t 2=−8sin 2α，则|AB|=|t 1−t 2|=√16+16sin 2αsin 2α=4√6，∴ sin α=√22， ∴ α=π4或α=3π4．[选修4-5：不等式选讲] 23.【答案】a =2时：f(x)=|3x −2|−|x +2|≤3，可得{x ≥233x −2−x −2≤3 或{−2<x <232−3x −x −2≤3 或{x ≤−22−3x +x +2≤3 ，解得：−34≤x ≤72； 故不等式的解集是[−34, 72]；不等式f(x)≤1−a −4|2+x|成立，即|3x −a|+|3x +6|≤1−a ， 由绝对值不等式的性质可得：||3x −a|+|3x +6||≥|(3x −a)−(3x +6)|=|a +6|， 即有f(x)的最小值为|a +6|≤1−a ， 解得：a ≤−52．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a ，即可解出实数a 的取值范围． 【解答】a =2时：f(x)=|3x −2|−|x +2|≤3，可得{x ≥233x −2−x −2≤3 或{−2<x <232−3x −x −2≤3 或{x ≤−22−3x +x +2≤3 ，解得：−34≤x ≤72； 故不等式的解集是[−34, 72]；不等式f(x)≤1−a −4|2+x|成立，即|3x −a|+|3x +6|≤1−a ， 由绝对值不等式的性质可得：||3x −a|+|3x +6||≥|(3x −a)−(3x +6)|=|a +6|， 即有f(x)的最小值为|a +6|≤1−a ， 解得：a ≤−52．。
泸州一诊理科数学试卷(答案附后面)
4．我国的 5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香
农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率 C 的公式
C
W
log2 (1
S ) ”，其中 W N
是信道带宽（赫兹），S
是信道内所传信号的平均功率（瓦），
N 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中 S 叫做信噪比．根据此公 N
A．1 x1x2 2
B． x1x2 2
C． 0 x1x2 1
D． x1x2 1
11．已知三棱锥 A BCD 中， △BAC 和 △BDC 是边长为 2 的等边三角形，且平面 ABD 平
面 BCD ，该三棱锥外接球的表面积为
A． 4
B． 16 3
C． 8
D． 20 3
12．已知函数
f
(x)
1 ax3 3
x2 (a
0)
，若存在实数
x0
(1,0)
且
x0
1 2
，使
f
(x
0)
f (
)1 2
，
则实数 a 的取值范围为 A． ( 2 ,5)
3 C． (18 , 6)
7
B． (2 ,3) (3,5) 3
D． (18 , 4) (4, 6) 7
高三·理数 第 2 页 共 4 页
第 II 卷 （非选择题 共 90 分）
第 I 卷 （选择题 共 60 分）
一、 选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的．
1．已知集合 A {x | x2 4x ≤ 0} ， B x | x 2n 1, n N ，则 A B
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