第1章 线性规划基本模型资料
运筹学第一章线性规划
0
X1
约束条件所组成的可行 域为空集，无可行解。
《运筹学》 第一章 线性规划
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二、线性规划的标准形式
1、目标函数：max z c1x1 c2x2 cnxn
a x11 1 a x12 2 a x1n n b1 a x21 1 a x22 2 a x2n n b2
《运筹学》 第一章 线性规划
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方案 根数
ABC
下料
3m 2 3 0
4m 1 0 2
合计 (m)
10
9
8
料头 (m)
0
1
2
P70 习题1－1： 设按这三种方案下料的原材料
根数分别为x1、x2、x3 。 min x1+x2+x3 S.t. 2x1+3x2>=90 x1+2x3>=60 Xi>=0
minz=2X1＋3X2＋5X3
s.t. X1＋X2－X3>=－5 －6X1＋7X2－9X3=15 ︱19X1－7X2＋5X3︱<=13
X1>=0, X2>=0
令X3=X3`－X3`` -X1－X2＋X3 `－X3`` ＋X4=5 －6X1＋7X2－9X3`＋9X3``=15 19X1－7X2＋5X3`－5X3``+X5=13 －19X1＋7X2－5X3 `＋5X3``＋X6=13 maxz=－2X1－3X2－5X3 `＋5X3`` ＋0X4+0X5+0X6 X1,X2,X3`,X3``,X4,X5,X6>=0 三、线性规划的解的概念（参考P12例1.7） 1、可行解和最优解：满足约束条件的解（X1，X2， …，Xn）T称为线性规划的可行解。而使得目标函数达到 最优值的可行解称为最优解。 2、基：（注意课本P15的定义对“基”的定义有误） 设A是约束方程组m×n维的系数矩阵，其秩为m，B是 矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵（B的行列式│B│≠0），则 称B是线性规划问题的一个基。
线性规划基本模型
目标函数：总利润=总收益-原料总费用
8 x11 x12 x13 6 x21 x22 x23 3 x31 x32 x33 5 x11 x21 x31 -6 x12 x22 x32 -2 x13 x23 x33
1. 决策变量：
设xij表示机床i每个工作日加工零件j的时间（单位：工作日）i 1, 2,3; j 1, 2；
z为A,B两种零件按3: 5的比例配套的数量（套 日）
2. 约束条件： （1）工时约束
x11 x12 1
x21
x22
1
x31 x32 1
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山西大学经济与管理学院 范建平
2020年6月18日星期四
11
山西大学经济与管理学院 范建平
2020年6月18日星期四
1、资源分配模型—小结
建立线性规划模型的一般步骤：
1.正确设立决策变量
设 xj（j=1,2,···,n）为项目j的经营数量。
2.恰当建立目标函数
n
n 项经营活动的总利润（或总产值，总收入）为 z c j x j
3. 适度构建约束方程
山西大学经济与管理学院 《运筹学》
第一章 线性规划基本模型
主讲：范建平 博士
1.1 线性规划的实用模型
2
山西大学经济与管理学院 范建平
2020年6月18日星期四
在管理中一些典型的线性规划应用
合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
第1章线性规划
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第1章 线性规划
1.1 原始问题 1.2 对偶问题 1.3 敏感分析 1.4 模型讨论
• 数学规划（mathematical programming）是 运筹学的一个主要分支，它是研究在一些 给定的条件下（即约束条件下），求的考 察函数（即目标函数）在某种意义下的极 值（极小或极大）。
表1.1 产品组合问题的数据表
生产单位产品所需时间
生产线
生产线每周可用时间
产品甲 产品乙
一
1
0
4
二
0
2
12
三
3
2
18
单位产品 的利润
3
5
此问题是在生产线可利用时间受到限制 的情形下寻求每周利润最大化的产品组合问 题。
在建立产品组合模型的过程中，以下问 题需要得到回答：
（1）要做出什么决策？ （2）做出的决策会有哪些条件限制？ （3）这些决策的全部评价标准是什么？
在使用单纯形法解决问题中，必须对线 性规划的一般形式进行变形，化为标准形式。
线性规划的标准形式： n
max z = c j x j
j 1
s.t.
n
j 1
aij x j
bi
(i 1,2,m)
xj 0
( j 1,2,n)
①目标函数取极大化， ②约束条件全为等式，
③约束条件右端常数项均为非负值，④变量
令非基变量x1＝x2＝0，解得x3＝4， x4＝12， x5＝18，则x＝(0,0,4,12,18)T是一个基解。因该基解 中所有变量取值为非负，满足线性规划问题的所有 约束条件，故也是基可行解。
1.2 对偶问题
例1.3（委托加工）对于例1.1的产品组合问 题，公司从交易市场上得到另一信息：某中 间商得到一笔生产与公司相同产品的合同。 但该中间商并没有生产这些产品的设备，欲 委托该公司为其加工产品。现在的问题是公 司应该让中间商至少付出多少代价，才能放 弃这两种新产品的生产，为中间商委托生产？
线性规划（1）
第一章线性规划一、线性规划的一般模型1、线性规划问题的三个要素•决策变量▪决策问题待定的量值称为决策变量。
▪决策变量的取值要求非负。
•约束条件▪任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。
▪约束条件是决策方案可行的保障。
▪LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。
•目标函数▪衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低。
▪目标函数是决策变量的线性函数。
▪有的目标要实现极大，有的则要求极小。
2、线性规划模型的构建•例1. 生产计划问题某厂生产甲乙两种产品，各自的零部件分别在A、B车间生产，最后都需在C车间装配，相关数据如表所示：建立模型(1)决策变量。
要决策的问题是甲、乙两种产品的产量，因此有两个决策变量：设x1为甲产品产量，x2为乙产品产量。
(2)约束条件。
生产这两种产品受到现有生产能力的制约，用量不能突破。
▪生产单位甲产品的零部件需耗用A车间的生产能力1工时，▪生产单位乙产品不需耗用A车间的生产能力，▪A车间的能力总量为8工时，则A车间能力约束条件表述为x1≤8▪同理，B和C车间能力约束条件为2x2≤123x1 +4 x2≤36(3)目标函数。
目标是利润最大化，用Z表示利润，则maxZ=3x1 +5 x2(4)非负约束。
甲乙产品的产量不应是负数，否则没有实际意义，这个要求表述为x1≥0，x2≥0•综上所述，该问题的数学模型表示为maxZ=3x1 +5 x2x1≤82x2≤123x1 +4 x2 ≤36x1 ≥0, x2 ≥0例2. 运输问题某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从A i到B j的每吨饮料运费为C ij，为发挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
(1)(2)目标函数。
运费最小的目标函数为minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34(3)约束条件。
运筹学第1章-线性规划
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
第1节线性规划的数学模型
第1节线性规划的数学模型线性规划(linear programming,LP)是运筹学中最成熟的一个分支,并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划,即单周期决策,是一种重要的优化工具,能够解决有限资源的最佳分配问题。
一、线性规划的三个要素决策变量(decision variable)是决策问题待定的量值。
决策变量应当完全描述出此问题应当作出的决策。
约束条件(constraint conditions)是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制。
目标函数(objective function)是指决策变量的函数表达式,表示决策者希望实现的目标,它是衡量决策优劣的准则。
线性规划的决策目标是单一的;同时,目标函数也是决策变量的线性函数。
目标函数中变量的系数称为价值系数,反映出每个决策变量单位取值对目标的贡献程度。
二、线性规划模型线性规划模型是目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数的最优化数学模型。
(一)线性规划一般模型[例1—1]生产计划问题某厂生产甲、乙两种产品,生产工艺路线为:各自的零部件分别在设备A,B加工,最后都需在设备C上装配。
经测算得到相关数据如表1—1所示。
表1—1甲、乙单位产品的生产消耗据市场分析,甲、乙单位产品的销售价格分别为73元和75元,试确定获利最大的产品生产计划。
解建立模型过程如下:(1)决策变量:此问题是要确定甲、乙两种产品的产量,这些待定的量值就称为决策变量。
设x1=生产甲产品的产量x2=生产乙产品的产量(2)约束条件:生产产品受到现有设备能力的制约,能力需求量不能突破有效供给量。
如果只考虑目标函数,则随着决策变量x1和x2值的增大,目标函数的值也会很快地增大,但是决策变量x1和x2的值受到三种设备加工能力的限制。
约束条件1:生产单位甲产品需耗2个小时的设备A,设备A加工能力不能超过16个小时,则设备A的约束条件表达为:2x1≤16约束条件2:设备B的加工能力约束条件表达为:2x2≤10约束条件3:设备C的装配能力也有限,其约束条件表达式为:3x1+4x2≤32(3)目标函数:目标是企业利润最大化,用Z表示利润。
第一章 线性规划
常数项bi全为非负。变量xj值非负。
m axz c j x j
j 1
n
s.t.
aij x j bi i 1, , m j 1 x 0 j 1, , n j
n
一般形变成标准形的方法
1、目标函数：求极大值
两边乘以-1，最大变最小。
例
max z x1 2 x2 3x3 3x3 0 x4 0 x5
2 x x x x x 9 1 2 3 3 4 3x x 2 x 2 x x5 4 1 2 3 3 s.t. 3x1 2 x 2 3x3 3x3 6 x1 , x 2 , x3 , x3 , x 4 , x5 0
b
min z 3x1 5 x 2 x3 x1 2 x 2 x3 6 2 x x 3x 16 1 2 3 s.t. x1 x 2 5 x3 10 x1 , x 2 0, x3无约束
1-4线性规划问题的解
1、可行解 2、最优解
一般线性规划的数学模型 线性规划的标准形式 图解法 单纯形法
§ 1、一般线性规划问题的数学模型
1-1 数学模型
例1 用一块边长为a的正 方形铁皮做一个容器， 应如何裁剪，使做成 的容器的容积最大
x
a
v a 2x x，x 0, a 0
2
例2 常山机器厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两 种产品都要分别在A、B、C三种不同设备 上加工.按工艺资料规定，生产每件产品Ⅰ 需占用各设备分别为2h、4h、0h，生产 每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2h、0h、 5h.已知各设备计划期内用于生产这两种 产品的能力分别为12h、16h、15h，又知 每生产一件产品Ⅰ企业能获利2元利润， 每生产一件产品Ⅱ企业能获利3元，问该 企业应安排生产两种产品各多少件，使得 总利润计划期内的产量
第1章_线性规划
2x1 3x2 5x3 300
x1 0，x2 0，x3 0
产品 甲 乙 丙 资源
设备 A 3 1 2 设备 B 2 2 4 材料 C 4 5 1 材料 D 2 3 5 利润（元/件）40 30 50
现有 资源
200 200 360 300
最优解X=(50,30,10)；Z=3400
第1章 线性规划
10
§1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
小结
1、定义？所谓线性规划就是求一个线性函数在一组线性约 束条件下极值的问题。
2、构成？线性规划的数学模型由决策变量 （Decision variables）、目标函数（Objective function）及约束条 件（Constraints）构成。称为三个要素。
例1.10
max Z=x1+2x2
x1 3x2 6 3x1x1x2x246 x1 0、x2 0
无界解(无最优解)
4
6
x1
第1章 线性规划
20
x2
50 40
30 20
10
§1.2 图解法 The Graphical Method
例1.11
max Z=10x1+4x2
2.线性规划数学模型的组成及其特征 3.线性规划数学模型的一般表达式。
作业：教材P31 T 2，3，4，5，6
下一节：图解法
2020-03-11
第1章 线性规划
14
Chapter1 线性规划
§1.2 图解法
Graphical Method
一、图解法的含义 二、图解法的步骤 三、图解法的几种可能结果 四、图解法的几何意义
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所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
2020/9/9
管 理 运9 筹 学
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员
数, 这样我们建立如下的数学模型。
2020/9/9
管 理 运6 筹 学
资源分配模型
例1-1. 某工厂要安排甲、乙两种产品分别在车间A、B生 产，然后都在C车间装配。生产数据如下表：
车间
产品
A B C 单位产品获利(元)
单耗(工时/件)
甲
乙
1
0
0
2
2
3
300 200
最大生产能力 （工时/周）
6 8 18
问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品？
2020/9/9
管 理 1运2 筹 学
甲 乙 丙 资源限制 铸造工时(小时/件) 5 10 7 8000 机加工工时(小时/件) 6 4 8 12000 装配工时(小时/件) 3 2 2 10000 自产铸件成本(元/件) 3 5 4 外协铸件成本(元/件) 5 6 -机加工成本(元/件) 2 1 3 装配成本(元/件) 3 2 2 产品售价(元/件) 23 18 16
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利 最多？
2020/9/9
管 理 运4 筹 学
线性规划模型：
max f = 50 x1 + 100 x2
s.t.
x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000
3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
2020/9/9
管 理 1运4 筹 学
例1.3 永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B 两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工 序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、 B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设备上加 工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设 备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应 如何制定产品加工方案？
资源分配模型 产品配套模型 下料模型 配料模型
2020/9/9
管 理 运3 筹 学
例1.0 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，
已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消
耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ 1 2 0 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
2020/9/9
管 理 1运3 筹 学
解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、 丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司
加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5
s.t.
5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000
2020/9/9
管 理 1运5 筹 学
设备
A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件）
产品单件工时
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
5
10
2020/9/9
管 理 运7 筹 学
解：设 变量（单位）
max z 3x1 2x2
x1
6
s.t.
2
x1
2x2 3x2
8 18
x1, x2 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2020/9/9
管 理 运8 筹 学
例1.1 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
另解：设 xi ( i = 1,2,…,6)表示第1班次至第6班次开始
休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x2 + x3 ≥ 60
x3 + x4 ≥ 70 x4 + x5 ≥ 60 x5 + x6 ≥ 50 x6 + x1 ≥ 20 x1 + x2 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
2020/9/9
管 理 1运0 筹 学
管理运筹学
——模型与方法
赵明霞 山西大学经济与管理学院
管理运筹学
第1章 线性规划基本模型
1.1 线性规划的实用模型 1.2 线性规划的一般模型 1.3 线性规划的图解法 1.4 标准形线性规划的解
2020/9/9
管 理 运2 筹 学
1.1 线性规划的实用模型
线性规划(LP, Linear Programming)的组成： •目标函数 opt（optimize） max z (f) 或 min z(f) •约束条件 s.t. (subject to) 满足于 •决策变量 用符号来表示可控制的因素
2020/9/9
管 理 1运1 筹 学
例1.2 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。 该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工 和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦 可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据 如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各 生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由 外包协作各应多少件？
2020/9/9
管 理 运5 筹 学
线性规划建模过程
1.理解要解决的问题，明确目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一个方 案；
3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最 小化目标；
4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵 循的约束条件