比较三角函数的大小的技巧
第28招 三角函数值大小比较
【反馈检测 2 答案】B
【反馈检测
2
详细解析】函数
y
sin
x
在区间 [
,
] 为单调递增函数，在区间[
,
3
] 为单调递增函数，
22
22
5
由
4
sin 5
sin 4
，由
sin( ) sin( ) ，故 A,C 错误； y tan x 在
7 72
7
7
56
5
6
区间[ , ] 为单调递增函数, tan 15 tan(2 ) tan( ) ,
22
8
8
8
由 tan( ) tan( ) ,即 tan(15 ) tan( ) ，故 B 正确；
87
8
7
8
7
cos( 3 ) cos 3 cos( 3 ) cos 2 0,
5
5
5
5
cos( 9 ) cos 0 ，所以有 cos( 3 ) cos( 9 ) ,故 D 错误，综上所述，选 B.
形。
2、三角函数线
（1）由于 sin MP ,所以 MP 就叫角 的正弦线.正弦线的起点在垂足，终点在角的终边与单位圆的
交点.
Hale Waihona Puke （2）由于 cos OM ,所以 OM 就叫角 的余弦线.余弦线的起点在原点，终点在垂足. （3）由于 tan AT ，所以 AT 就叫角 的正切线.正切线的起点在单位圆与 x 轴正半轴的交点 A， 终点在过点 A 的切线与角 的终边或反向延长线的交点.
5
5
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【反馈检测 1】设 a= sin 24 ，b= cos( 39 ) ，c= tan( 43 ) ，则（ ）
2023高考一轮热题---幂指对三角函数值比较大小归纳
02 幂指对三角函数值比较大小归纳【题型一】 临界值比较：0、1临界【典例分析】设0.2515log 4,log 4,0.5a b c −===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【提分秘籍】基本规律因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小。
【变式演练】1.已知120212022202212022,log 2021,log 2021a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b2.若0.3220.32,log 0.3,0.3,log 2a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．a <b <c <d B ．d <b <c <a C ．b <d <c <a D ．d <c <b <a3.9.01.17.01.1,9.0log ,8.0log ===c b a 的大小关系是 （ ） A. c a b >> B. a b c >> C. b c a >> D.c b a >>【题型二】 临界值比较：选取适当的常数临界值（难点）【典例分析】已知3422,log e a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【提分秘籍】基本规律寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律 1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值【变式演练】1.已知 6ln a π=，3ln 2b π=，4ln1.5c π=，则a b c 、、大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<2.已知0.350.11log 2,,0.7log 0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<3.若0.60.590.5,0.6,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【题型三】 差比法与商比法【典例分析】1C ．b c a >>D ．c a b >>【提分秘籍】基本规律1. 一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小2. 作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解【变式演练】1.已知0.40.8a −=，5log 3b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．a c b <<2.已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>3.已知3610a b ==，则2，ab ，a b +的大小关系是（ ） A ．2ab a b <+< B ．2ab a b <<+ C ．2a b ab <+< D ．2ab a b <<+【题型四】 利用对数运算分离常数比大小【典例分析】已知m ＝log 4ππ，n ＝log 4e e ，p ＝e 13−，则m ，n ，p 的大小关系是（其中e 为自然对数的底数）（ ） A ．p ＜n ＜m B ．m ＜n ＜pC ．n ＜m ＜pD ．n ＜p ＜m【提分秘籍】基本规律这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小【变式演练】1.2log 3､8log 12､lg15的大小关系为（ ） A ．28log 3log 12lg15<< B ．82log 12lg15log 3<< C ．28log 3log 12lg15>> D ．82log 12log 3lg15<<2.已知b 0,b 1a a >>=，若()21,log ,2a b x y a b z a b ==+=+，则()log 3x x ，()log 3y y ，()log 3z z 的大小关系为（ ）A ．()()()log 3log 3log 3x y z x y z >>B ．()()()log 3log 3log 3y x z y x z >>C ．()()()log 3log 3log 3x z y x z y >>D ．()()()log 3log 3log 3y z x y z x >>log 15a =log 40b =c【题型五】 构造函数：lnx/x 型函数【典例分析】设24ln 4e a −=，1eb =，ln 22c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【提分秘籍】基本规律学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练。
三角函数之三角比总结
三角函数之三角比总结三角函数是数学中非常重要的概念之一，它们与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在解决各种实际问题时，三角函数可以提供更方便的数学工具，帮助我们探索和理解自然界和科学现象。
三角函数有六个基本函数，包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)，正割函数(sec)，余割函数(csc)，以及余切函数(cot)。
这六个函数可以通过三角比的概念得到。
我们可以将一个任意给定角度定义为直角三角形中的一个锐角，并考虑它的三条边。
三角引理可以让我们从三角形的角度导出与角度有关的三角比。
首先，我们来看正弦函数。
对于给定的角度θ，正弦函数定义为三角形的对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边。
正弦函数的值域在-1到1之间，当θ为90度或270度时，sinθ = 1，当θ为0度或180度时，sinθ = 0。
接下来是余弦函数。
对于给定的角度θ，余弦函数定义为三角形的邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边。
余弦函数的值域也在-1到1之间，当θ为0度或360度时，cosθ = 1，当θ为180度时，cosθ = -1正切函数是正弦函数除以余弦函数，即tanθ = sinθ/cosθ。
正切函数的值域为全体实数，除了当θ为90度或270度时，tanθ的值无限大。
正割函数是余弦函数的倒数，即secθ = 1/cosθ。
正割函数的值域在负无穷到-1以及1到正无穷之间，除了当θ为0度或180度时，secθ的值为正无穷。
余割函数是正弦函数的倒数，即cscθ = 1/sinθ。
余割函数的值域也在负无穷到-1以及1到正无穷之间，除了当θ为90度或270度时，cscθ的值为正无穷。
最后是余切函数，它是正切函数的倒数，即cotθ = 1/tanθ。
余切函数的值域也为全体实数，除了当θ为0度或180度时，cotθ的值无限大。
通过这六个基本函数，我们可以计算任意给定角度的三角比。
这些函数可以在解决各种实际问题时提供重要的数学工具。
高中数学三角函数知识点解题技巧总结
高中数学三角函数知识点解题技巧总结高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα;0(或0(或|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且横向于y轴的直线分别成直线型；2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利用图象也可以得到向量y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
数学必备技巧解决初中三角函数题的常用方法
数学必备技巧解决初中三角函数题的常用方法解题时，掌握一些常用的求解三角函数题的技巧能够帮助我们更快地解决问题，提高解题效率。
本文将介绍一些初中数学中常用的三角函数题解题方法，希望对同学们有所帮助。
一、利用特殊角的三角函数值解决三角函数题时，可以先判断角度是否为常见角度。
例如，0度、30度、45度、60度和90度是常见的特殊角度，它们的三角函数值可以直接从三角函数表中查得。
以角度30度为例，可知sin30°= 1/2，cos30°= √3/2，tan30°= 1/√3。
有了这些特殊角度的三角函数值，我们可以在解题时快速进行代入计算，节省计算时间。
二、利用基本的三角函数关系式解题时，可以利用基本的三角函数关系式来简化问题。
比如，利用正弦函数与余弦函数的关系（sin^2x + cos^2x = 1）可以将一个三角函数表达式转化为求解另一个三角函数的问题。
例如，要求证明sin^2x + cos^2x = 1，可以将sin^2x用1 - cos^2x替代，得到1 - cos^2x + cos^2x = 1，最终得到1 = 1，证明完成。
三、利用三角函数的周期性三角函数具有周期性，即对于任意的整数k，sin(x + 2πk) = sinx，cos(x + 2πk) = cosx，tan(x + πk) = tanx。
利用三角函数的周期性，可以将角度进行变换，从而简化计算。
比如，要求sin75°的值，可以利用sin(45° + 30°) = sin45°cos30° +cos45°sin30°的公式，并结合sin45° = 1/√2，cos30° = √3/2，sin30° = 1/2的值，进行代入计算。
四、利用图形辅助解题有些三角函数题中，可以通过画图来辅助解题。
比如，要求证明cotA = 1/tanA，可以在单位圆上画出角度A对应的直角三角形，然后通过观察直角三角形中的对边和邻边的比值，得出cotA = 1/tanA的结论。
三角函数解题技巧最实用的解题方法推荐
三角函数解题技巧最实用的解题方法推荐下面给大家介绍一下三角函数解题技巧，希望能够帮助到大家哦！三角函数解题技巧一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o，90o)的公式.1.sin(kπ α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ α)=(-1)kcosα(k∈Z);3. tan(kπ α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα cosα>0(或<0)óα的终边在直线y x=0的上方(或下方);2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理：熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。
四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>“化弦为一”已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，用平方法则：(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若sinα cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见“tanα tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα tanβ=tan(α β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)1.函数y=Asin(wx φ)和函数y=Acos(wx φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;2.函数y=Asin(wx φ)和函数y=Acos(wx φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称;3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx φ)和函数y=Acot(wx φ)的对称性质。
初中数学 如何求解三角函数的最大值和最小值
初中数学如何求解三角函数的最大值和最小值
要求解三角函数的最大值和最小值，我们可以使用代数方法或图像法。
下面将分别介绍这两种方法：
1. 代数方法：
代数方法是通过代数运算来求解三角函数的最大值和最小值。
具体步骤如下：
-确定函数的定义域：首先，我们需要确定求解最大值和最小值的函数的定义域。
这可以通过观察函数图像或根据函数的周期性来确定。
-求导数：对三角函数进行求导，得到导函数。
-解导函数的方程：将导函数等于零，得到一个方程，求解这个方程可以得到驻点（导数为0的点）。
-计算函数值：将驻点和定义域的边界代入原函数，计算函数在这些点的值。
-比较函数值：比较函数值，找到最大值和最小值。
2. 图像法：
图像法是通过观察三角函数的图像来求解最大值和最小值。
具体步骤如下：
-绘制函数图像：使用数学绘图工具或在线图形绘制工具绘制三角函数的图像。
这样可以直观地观察函数的最大值和最小值。
-观察特点：观察图像，找到函数的极值点（最大值和最小值）。
这些点通常出现在函数的波峰和波谷处。
-确定最大值和最小值：根据函数的周期性和对称性，我们可以确定所有的最大值和最小值。
总结：
通过代数方法或图像法，我们可以求解三角函数的最大值和最小值。
代数方法适用于通过求导数和解方程来求解最大值和最小值，而图像法适用于通过观察图像来确定最大值和最小值。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法，或结合两种方法进行求解，可以更准确地找到三角函数的最大值和最小值。
三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题
浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
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比较三角函数的大小的技巧
三角函数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，也是初中数学的一个重点内容，如何快速比较锐角三角函数的大小呢？现介绍几种三角函数大小比较的方法和技巧，以飨读者.
一、同名三角函数大小的比较
同名三角函数大小的比较，要把握它们的增减性：正弦、正切值随角度的增大而增大（可记为正变关系）；余弦、余切值随角度的增大而减小（可记为反变关系）.
例1：比较大小：cos 043____ cos 034,tan 043____ tan 034.
分析:由余弦函数的反变关系可得cos 043＜cos 034;
由正切函数的正变变关系可得tan 043＞ tan 034.
二、同角的三角函数的大小比较
同角的三角函数的大小比较可用下列方法：
当045=α时，sin α=cos α，tan α=cot α；
当045 α时，sin α＜cos α，tan α＜cot α，且cot α＞1；
当045=α时，sin α＞cos α，tan α＞cot α，且cot α＜1.
例2: 比较大小：sin 043____ cos 043 ,tan 043____ tan 043.
分析:由以上规律可得sin 043＜ cos 043 ,tan 056＞ cot 056.
三、不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较
不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较，可以利用互为余角的锐角三角函数关系，化为同名三角函数后再比较。
例3：比较大小：（1）tan 043____ cot 041 ,（2）sin 043____ cos 0
56.
分析：（1）∵cot 041= tan 049，∴tan 043＜ cot 041 ；
（2）∵cos 056= sin 034， ∴sin 043＞cos 056.
四、利用特殊角的三角函数值比较
例4：令a= sin 060，b= cos 045，c= tan 030，则它们之间的大小关系是用“＜”连接起来为______.
分析：事实上，a= sin 060=23，b= cos 045=22，c= tan 030=3
3， 显然有23＞2
2，即b ＜a. 现作b c c b ⇒=⨯=1263
322, ∴c ＜ b ＜a.。