函数、数列、三角函数中大小比较问题 (讲)

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高中数学学习中的重难点解析

高中数学学习中的重难点解析高中数学作为一门重要的学科，对于学生的学习能力和思维能力有着很大的锻炼作用。

然而，高中数学也因为其抽象性和复杂性，在学习过程中常常成为学生们的心头之患。

本文将分析高中数学学习中的重难点，并提供相应的解析和解决方案。

一、函数与方程函数与方程是高中数学学习的核心内容。

其中，函数的概念以及函数的性质和图像是学生们容易困惑的地方。

在学习函数时，学生们需要理清函数的定义、定义域、值域、单调性等基本概念，同时也要能够灵活运用函数的性质解决实际问题。

方程是数学中常见的等式关系，解方程是数学学习中的重点。

解一元二次方程、分式方程和绝对值方程是学生们普遍认为困难的地方。

解决这些问题，学生们需要熟练掌握解方程的基本方法，充分利用方程的性质，结合实际问题运用相关的解法。

二、三角函数三角函数是高中数学中的重点内容，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

学生们在学习三角函数时，常常难以理解三角函数的定义及其在平面直角坐标系中的图像特征。

此外，三角恒等变换和解三角方程也是学生们的难点。

要解决这些问题，学生们需要通过认真思考和练习，加深对三角函数定义和性质的理解。

可以通过绘制函数图像，比较不同参数对图像的影响，以增强对三角函数的感性认识。

而在解决三角方程时，学生们应熟练掌握各种常用的三角恒等变换和解题技巧。

三、数列与级数数列和级数是高中数学中的另一个重点内容。

数列的概念及其数列的性质是学生们常常困惑的地方。

学生们需要理解数列的定义、通项公式和求和公式，同时能够根据数列的性质进行推导和解题。

级数是数列的和，对于学生们来说，求解级数的和是一个难点。

对于收敛级数和发散级数的判断，学生们需要熟练掌握一些常见级数的性质和判别法则，如比较判别法、比值判别法和根值判别法等。

四、立体几何立体几何是高中数学中的一大难点，涉及到平面图形的投影、旋转体的体积和表面积等内容。

学生们常常困惑于图形的投影形状和大小，以及体积和表面积的计算。

三角函数大小比较题

三角函数大小比较题
在三角函数大小比较中，我们通常比较正弦函数、余弦函数和正切函数的大小关系。

下面我将从不同角度来回答这个问题。

1. 角度范围比较：
在角度范围为0到90度之间，正弦函数的值是递增的，余弦函数的值是递减的，而正切函数的值是递增的。

在角度范围为90到180度之间，正弦函数的值是递减的，余弦函数的值是递增的，而正切函数的值是递减的。

在角度范围为180到270度之间，正弦函数的值是递减的，余弦函数的值是递增的，而正切函数的值是递增的。

在角度范围为270到360度之间，正弦函数的值是递增的，余弦函数的值是递减的，而正切函数的值是递减的。

2. 值的范围比较：
正弦函数和余弦函数的值范围都是[-1, 1]，即它们的取值
范围在-1到1之间。

正切函数的值范围是整个实数集，即正切函数可以取任意实
数值。

3. 周期性比较：
正弦函数和余弦函数的周期都是360度或2π弧度，即它们
的图像在每个周期内重复。

正切函数的周期是180度或π弧度，即它的图像在每个周
期内重复。

4. 特殊点比较：
在0度、90度、180度、270度和360度这些特殊角度点上，正弦函数和余弦函数的值有特殊的关系。

例如，正弦函数在0度和360度处的值为0，而余弦函数在0度和180度处的值为1。

在90度和270度这些特殊角度点上，正切函数的值为无穷
大或无穷小。

综上所述，三角函数的大小比较涉及到角度范围、值的范围、周期性和特殊点等方面。

具体的比较结果需要根据具体的角度值来确定。

第28招三角函数值大小比较

【反馈检测 2 答案】B
【反馈检测
2
详细解析】函数
y
sin
x
在区间 [
,
] 为单调递增函数，在区间[
,
3
] 为单调递增函数，
22
22
5
由
4
sin 5
sin 4
，由
sin( ) sin( ) ，故 A,C 错误； y tan x 在
7 72
7
7
56
5
6
区间[ , ] 为单调递增函数, tan 15 tan(2 ) tan( ) ,
22
8
8
8
由 tan( ) tan( ) ,即 tan(15 ) tan( ) ，故 B 正确；
87
8
7
8
7
cos( 3 ) cos 3 cos( 3 ) cos 2 0,
5
5
5
5
cos( 9 ) cos 0 ，所以有 cos( 3 ) cos( 9 ) ,故 D 错误，综上所述，选 B.
形。
2、三角函数线
（1）由于 sin MP ,所以 MP 就叫角的正弦线.正弦线的起点在垂足，终点在角的终边与单位圆的
交点.
Hale Waihona Puke （2）由于 cos OM ,所以 OM 就叫角的余弦线.余弦线的起点在原点，终点在垂足. （3）由于 tan AT ，所以 AT 就叫角的正切线.正切线的起点在单位圆与 x 轴正半轴的交点 A，终点在过点 A 的切线与角的终边或反向延长线的交点.
5
5
5
【反馈检测 1】设 a= sin 24 ，b= cos( 39 ) ，c= tan( 43 ) ，则（）

cosx与0.9比较大小高中数学

题目：cosx与0.9比较大小高中数学一、概述高中数学中，三角函数是一个重要的内容，cosx作为三角函数之一，在比较大小问题中经常出现。

今天我们就来讨论一下cosx与0.9比较大小的问题。

二、cosx与0.9的关系1. cosx的定义在直角三角形ABC中，角A的对边与斜边的比值称为sinA，对边与斜边的比值称为cosA，斜边与对边的比值称为tanA。

即sinA=BC/AC,cosA=AB/AC,tanA=BC/AB。

2. 0.9的性质0.9是一个小数，它可以表示为9/10，也就是说0.9是9的1/10。

在数轴上，0.9位于1和0之间，离1更近一些，但离0较远。

三、cosx与0.9比较大小的方法1. 利用余弦函数的定义cosx是一个三角函数，它的取值范围是[-1,1]。

要比较cosx与0.9的大小，可以求出x的取值范围，然后根据cosx的图像和0.9在数轴上的位置进行比较。

2. 利用三角函数的性质在三角函数的图像中，可以看出当x=0时，cosx=1，随着x的增大，cosx的值逐渐减小，最终趋向于-1。

而0.9恰好位于1和-1之间，因此可以得出结论：当x为何时，cosx与0.9大小关系如何。

3. 利用数学工具求解通过化简、推导、变形等数学方法，可以得出cosx与0.9比较大小的具体结论。

这种方法需要运用较为复杂的数学知识和技巧，适合于高等数学领域的专业学者进行深入研究和探讨。

四、结论通过以上方法，可以得出如下结论：当x为何时，cosx与0.9的大小关系如何，可以得出具体的结论。

在实际问题中，可以根据具体的x的取值范围来判断cosx与0.9的大小关系，从而解决实际应用中的大小比较问题。

五、拓展在比较大小的问题中，不仅仅局限于cosx与0.9的比较，还可以涉及到其他三角函数和小数的比较问题，如sinx与0.7的比较、tanx与0.5的比较等。

这些问题都可以通过类似的方法进行分析和求解。

总结：在高中数学中，cosx与0.9比较大小是一个常见的问题。

精品讲义：最全数学比较大小的方法总结

高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.【方法归纳】（一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为和（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）（2）（3）（4）换底公式：进而有两个推论：（令）（二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则：（1）（2） 3、常见描述单调性的形式（1）导数形式：单调递增；单调递减（2）定义形式：或： ()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞()0,1()1,+∞30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>1113423,4,5()()()11111143634212121233,44,55===2log 32221log 2log 3log 42=<<=2log 3nm m na a ⎛⎫= ⎪⎝⎭log log log a a a M N MN +=log log log a a aM M N N-=()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>log log log c a c bb a=1log log a b b a =c b =log log m n a a nN N m=()f x [],a b []()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<()()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x =+()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()'0f x f x >⇒()()'0f x f x <⇒()()12120f x f x x x ->-()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若关于轴对称，且单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若关于轴对称，且单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大 2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2019全国Ⅰ卷理数】已知，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】即则．故选B ．例2.【2019全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，但，则A 错，排除A ；由，知B 错，排除B ；取，满足，但，则D 错，排除D ；因为幂函数是增函数，，所以，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．例3.【2019全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，． ()f x x a =(),a +∞()f x x a =(),a +∞0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <=0.3000.20.21,c <=<=01,c <<a c b <<2,1a b ==a b >ln()0a b -=219333=>=1,2a b ==-a b >|1||2|<-3y x =a b >33a b >()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x Q R 331(log )(log 4)4f f ∴=，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．例4.【2017天津】已知奇函数在R 上是增函数，.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C ．例5.【2017山东】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且，，所以选B. 例6.【2019天津理数】已知，，，则的大小关系为（） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】因为，，，即，所以. 故选A.【最新模拟】1．（2020·福建高三（理））设12a e -=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a bc d ,,,的大小关系为（）A ．c b d a >>>B ．c d a b >>>C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>.【答案】B 【解析】3241e a e e ==，2416b e =，222444e c e e==，249e d e =，由于 2.7e ≈，27.39e ≈，320.09e ≈，所以c d a b >>>，故选：B ．2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =a b c <<c b a <()0f x >()()g x xf x =R [0,)+∞22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <>1ab =()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+5log 2a =0.5og 2.l 0b =0.20.5c =,,a b c a c b <<a b c <=10.20.50.50.5c <=<112c <<a c b <<中位数为b ，众数为c ，则有（）.A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=，中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c .故选：B.3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log 6p =，5log 10q =7log 14r =，则p ，q ，r 的大小关系为（）A ．q p r >>B ．p r q >>C ．p q r >>D ．r q p >>【答案】C【解析】依题意得31+log 2p =，51log 2q =+，71log 2r =+，而357log 2log 2log 2>>，所以p q r >>.4. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件、C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列,若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C 5．（2020·四川棠湖中学高三月考（文））设log a =2019log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】因为20182018201811log 2018log log ,2a =>=>=201920191log log ,2b =<=102019201820181c =>=，故本题选C.6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >> 【答案】C 【解析】0.10.1341,log 0.10,00.51a b c =>=<<=<，a c b ∴>>，故选C .7．（2020·河南高三月考（文））己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】因为104661a ==>=，2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c b >>，故选：B.8. （2020·广东高三月考（文））已知3log 8a =，0.80.25b -=，c =则（）A ．a b c <=>，∴a c b <<．故选：D.9. （2020·新兴县第一中学高三期末（理））函数()()2x bf x x c -+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．0,0b c <>B ．0,0b c >>C ．0,0b c ><D ．0,0b c <<【答案】C 【解析】∵()()2x bf x x c -+=+的图象与y 轴交于M ,且点M 的纵坐标为正，∴20by c =>，故0b >， ()()2x bf x x c -+=+Q 定义域为{}|x x c ≠-其函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c <.故选：C10.（2020·云南高三（理））已知1t >，235=log ,log ,=log x t y t z t =，则A ．235x y z <，∴325y x z <<，故选D ．11．（2020·天水市第一中学高三月考（理））定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的曲线，且()()2xf x f x e =-，当0x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断一定正确的是（）A ．()()523e f f <- B ．()()523f e f <- C ．()()523e f f ->D ．()()523f e f -<【答案】B【解析】构造函数()()x f x g x e=，因为()()2xf x f x e =-，所以()()2x f x f x e-=，则()()()()()2x x x x f x f x f x e g x g x e e e ----====，所以()g x 为偶数，当0x >时，()()()0xf x f xg x e'-'=>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以有()()32g g >，则()()32g g ->，即()()3232f f e e-->，即()()532e f f ->. 12. ．（2020·海南中学高三月考）已知函数())lnf x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】∵())lnf x x =∴()ln()f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <<，∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=. ∴()()f x f x =-，∴函数()f x 是偶函数， ∴当0x >时，易得())f x x =为增函数 ∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=， ∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>，∴c a b >>，故选D.13. （2020·黑龙江实验中学高三开学考试（文））若2log 3a =，4log 8b =，5log 8c =，则,,a b c 的从大到小顺序为 . 【答案】a b c >>【解析】由于42221log 8log 8log log 2b a ===<=，即a b >.由于48811log 8log 4log 8b c ==>=，即b c >.所以a b c >>. 14、（2020·山东高三月考）已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的条件 .（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞，由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件． 15. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））已知||()2x f x x =g，3(log a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则,,a b c 的从大到小顺序为 . 【答案】c a b >>【解析】由函数的解析式可知函数为奇函数，当0x ≥时，()2xf x x =⋅，此时函数为增函数，结合奇函数的性质可知函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数，由于331ln 31log 0log 2>>>>, 故()(3132f ln f log f log ⎛⎫>> ⎪⎝⎭.即c a b >>.16. （2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数()32cos f x x x =+,若a f =(2),b f =2(log 7),c f =则,,a b c 的从小到大顺序为 . 【答案】b c a << 【解析】因为函数()32cos f x x x =+，所以导数函数()'32f x sinx =-，可得()'320f x sinx =->在R 上恒成立，所以()f x 在R 上为增函数，又因为222log 4log 73=<<<b c a <<，故选D.。

两边夹定理放大缩小技巧

两边夹定理放大缩小技巧两边夹定理是一个在数学中被广泛使用的技巧，用于证明某些数学命题和不等式。

该技巧主要基于一条核心思想，即通过寻找某个中间数，使得左右两边的大小关系可以被直接比较，从而推导出不等式的正确性。

在数学中，两边夹定理的应用范围非常广泛，包括代数、几何和概率等多个领域。

一、两边夹定理的应用1、应用于数列和级数的证明数列和级数是两个数学中非常重要的概念，其中数列是由一组有序数构成的序列，而级数是对无穷多个数求和的过程。

两边夹定理可以应用于数列和级数的证明，帮助我们推导出它们的性质和规律。

例如，在数列证明中，我们经常需要证明一个数列的单调性质。

我们可以采用两边夹定理，将数列的下一个数和上一个数与该数列的中间项进行比较，从而得出它们的大小关系。

如果可以证明数列的任意两个相邻项都满足该不等式，那么该数列就是单调的。

2、应用于三角函数和指数函数的证明三角函数和指数函数是数学中的两个重要函数，它们的性质和规律对于数学和其他科学领域的研究具有重要作用。

两边夹定理可以应用于证明这些函数的性质和规律，帮助解决一些已知问题和推导一些新的结论。

例如，在证明三角函数的性质时，我们可以将不等式两边都夹上一个 sin 或 cos 函数，然后利用三角函数的性质来化简不等式。

通过不断重复这个步骤，我们最终可以得到一个可以解决的不等式或结论。

3、应用于图形的证明图形证明是几何中的重要方法，主要是通过对图形的特点和性质进行分析和推导，从而证明一些几何命题。

两边夹定理可以应用于图形证明中，帮助解决一些比较困难的问题。

例如，在证明三角形的角平分线定理时，我们可以将其中一个角平分线的两边都夹上一个角度之和，然后利用三角形内角和的性质来化简不等式。

通过一系列的推导和变形，我们最终可以得到角平分线定理的正确性。

二、两边夹定理的放大缩小技巧在应用两边夹定理时，我们需要注意一些放大缩小技巧，以确保我们得到的不等式或结论是正确的。

下面是一些常用的放大缩小技巧：1、乘除法在不等式两边乘除以一个正数时，该不等式的方向保持不变，但是不等式的大小会发生变化。

比较三角函数的大小的技巧

比较三角函数的大小的技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII比较三角函数的大小的技巧三角函数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，也是初中数学的一个重点内容，如何快速比较锐角三角函数的大小呢？现介绍几种三角函数大小比较的方法和技巧，以飨读者.一、同名三角函数大小的比较同名三角函数大小的比较，要把握它们的增减性：正弦、正切值随角度的增大而增大（可记为正变关系）；余弦、余切值随角度的增大而减小（可记为反变关系）.例1：比较大小：cos 043____ cos 034,tan 043____ tan 034.分析:由余弦函数的反变关系可得cos 043＜cos 034;由正切函数的正变变关系可得tan 043＞ tan 034.二、同角的三角函数的大小比较同角的三角函数的大小比较可用下列方法：当045=α时，sin α=cos α，tan α=cot α；当045 α时，sin α＜cos α，tan α＜cot α，且cot α＞1；当045=α时，sin α＞cos α，tan α＞cot α，且cot α＜1.例2: 比较大小：sin 043____ cos 043 ,tan 043____ tan 043.分析:由以上规律可得sin 043＜ cos 043 ,tan 056＞ cot 056.三、不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较不同名又不同角的锐角三角函数的大小比较，可以利用互为余角的锐角三角函数关系，化为同名三角函数后再比较。

例3：比较大小：（1）tan 043____ cot 041 ,（2）sin 043____ cos 056.分析：（1）∵cot 041= tan 049，∴tan 043＜ cot 041 ；（2）∵cos 056= sin 034， ∴sin 043＞cos 056.四、利用特殊角的三角函数值比较例4：令a= sin 060，b= cos 045，c= tan 030，则它们之间的大小关系是用“＜”连接起来为______.分析：事实上，a= sin 060=23，b= cos 045=22，c= tan 030=33，显然有23＞22，即b ＜a. 现作b c c b ⇒=⨯=1263322, ∴c ＜ b ＜a.。

第28讲三角函数值大小比较高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】一、sin ,cos ,tan y x y x y x ===正弦函数余弦函数正切函数的图象与性质二、三角函数线〔1〕由于sin MP α=,所以MP 就叫角α的正弦线.正弦线的起点在垂足，终点在角的终边与单位圆的交点.〔2〕由于cos OM α=,所以OM 就叫角α的余弦线.余弦线的起点在原点，终点在垂足.〔3〕由于tan AT α=，所以AT 就叫角α的正切线.正切线的起点在单位圆与x 轴正半轴的交点A ，终点在过点A 的切线与角α的终边或反向延长线的交点.3、三角函数值大小的比拟常常利用的方式是三角函数线和单调性两种方式. 【方式讲评】【例1】设,5sin=a ,5cos =b ,5tan=c 那么〔〕 A ．c a b << B ．a c b << C ．c b a << D ．b c a << 【解析】32sinsin55a ππ==，那么25π是第一象限的锐角，按照三角函数线，所以c a b <<，应选A ．【点评】〔1〕此题中由于有正弦、余弦和正切，且角(0,)απ∈，所以选择三角函数线比拟大小比拟方便.〔2〕此题中,53sinπ=a 化简成32sin sin55a ππ==，这样三个角一样利用三角函数线比拟更简练. 【反映检测1】设a=24sin 5π，b=39cos()10π-，c=43tan()12π-，那么〔〕A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【例2】以下关系式中正确的选项是〔〕A ．000sin11sin168cos10< B.)7tan(815tan ππ-> C.)6sin()5sin(ππ->- D. )49cos()53cos(ππ->- 高中数学常见题型解法归纳及反映检测第28讲：三角函数值大小比拟参考答案【反映检测1答案】C 【反映检测2答案】B【反映检测2详细解析】函数x y sin =在区间]2,2[ππ-为单调递增函数，在区间]23,2[ππ为单调递增函数，由74sin 75sin 27475πππππ<⇒>>，由)6sin()5sin(65ππππ-<-⇒-<-，故A,C 错误；x y tan =在区间]2,2[ππ-为单调递增函数,)8tan()82tan(815tan ππππ-=-=,由)7tan()8tan(78ππππ->-⇒->-,即)7tan()815tan(ππ->，故B 正确；,052cos )53cos(53cos )53cos(<-=--==-πππππ 04cos )49cos(>=-ππ，所以有)49cos()53cos(ππ-<-,故D 错误，综上所述，选B.。

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纵观近几年高考对于大小比较问题的考查，重点放在与函数、数列、三角函数的大小比较问题上，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答，从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.
1 函数中的大小比较问题
函数是高中数学必修教材中重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用判断单调性、最值、单调性、奇偶性、周期性等基础知识，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原因是没有认真分析总结这种题目的特点和解题思路.
1.1 指数函数中的大小比较问题
比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等，是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性，要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”，还应注意中间量0，1等的运用．
例1. 设253()5
a =，352()5
b =，252()5
c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>
【答案】A.
1.2 对数函数中的大小比较问题
比较对数值的大小时，要注意区分对数底数是否相等，是用对数函数的单调性，还是用对数函数的单调性，要注意对数函数图象的应用，还应注意中间量0，1等的运用．
例2. 【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】已知110x <<，
()()22lg ,lg lg ,lg a x b x c x ===，那么有（）
A ．c a b >>
B ．c b a >>
C ．a c b >>
D ．a b c >> 【答案】C
【解析】因为110x <<，所以0lg 1x <<，所以lg(lg )0b x =<，20(lg )1c x <=<．因为c a -＝2222(lg )lg (lg )2lg (lg 1)10x x x x x -=-=--<，所以c a <，所以a c b >>，故选C ．
1.3 通过求函数的最值证明不等式
在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来.
例3. 已知函数2()x f x ke x =-（其中k R ∈，e 是自然对数的底数)
（1）若2k =-，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；
（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，求k 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，试证明：10()1f x <<.
【答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）实数k 的取值范围是2
(0,)e
；（3）见解析.
2 数列与不等式相结合
数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查．主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．
2.1 数列中的不等问题
例4. 若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.
【答案】8.
【解析】由等差数列的性质，78983a a a a ++=，80a >，又∵7100a a +<，∴890a a +<， ∴90a <，87S S >，89S S >，故数列{}n a 的前8项最大.
2.2 数列参与的不等式证明
此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法；（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．
例5.【2016年高考四川理数】已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和， 11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ .
（Ⅰ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设双曲线22
21n y x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：121433n n
n n e e e --++⋅⋅⋅+>. 【答案】（Ⅰ）1=n n a q -；（Ⅱ）详见解析.
所以1*2()n n a n -=?N .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=. 所以双曲线2
2
21n y x a -=的离心率 22(1)11n n n e a q -=+=+．由2513q q =+=解得43
q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->，所以2(1)1*1+k k q q k -->?N （）
. 于是11211+1
n n n q e e e q q q --++鬃
?>+鬃?=-，故1231433n n
n e e e --++鬃?>. 3 三角函数的最值与综合运用
1. 掌握求三角函数最值的常用方法：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等.
2. 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.
（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性；
（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.
3.1 解三角形中的最值问题
例 6.【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】在ABC 中，,,a b c 分别为内角
,,A B C 所对的边，若3,3a A π
==，则b c +的最大值为( )
A ．4
B ．33
C ．23
D ．2
【答案】C
3.1 与三角函数有关的最值问题
例7. 【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数
22()3cos 2sin cos 3sin f x x x x x =--.
（I ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（II ）求函数()f x 在区间[0,
]2π的最大值及所对应的x 值. 【答案】（I ）T π=，511[,]()1212
k k k Z ππππ++∈；（II ）最大值为3,0x =.
【反思提升】综合上面的三种类型，解决函数、数列、三角函数中的大小比较问题，解答时首先要找准模型，通过转化来解决，一般情况下，此类问题是几个知识点的交汇，需综合不等式、函数等性质解题.大小比较问题是函数、数列、三角函数的综合应用，在近几年的高考试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点，同时也是高中数学必修课中的几大内容之一，解决大小问题不仅会用到函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和图象，同时，常常涉及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；而且在解决一些不等式、数列等问题中也会用最值来求解.。