第五章第四节数列求和(优秀经典公开课比赛课件)

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高三数学一轮总复习第五章数列 5.4 数列求和课件.ppt

12
n
4．一个数列{an}，当 n 是奇数时，an＝5n＋1；当 n 为偶数时，an＝22 ，则这个数列的前 2m 项的和是__________。
解析：当 n 为奇数时，{an}是以 6 为首项，以 10 为公差的等差数列；当 n 为偶数时，{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列。所以，S2m＝S 奇＋S 偶＝ma1＋mm2－1 ×10＋a211－－22m
7
2 种思路——解决非等差、等比数列求和问题的两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成。 (2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和。
8
3 个注意点——应用“裂项相消法”和“错位相减法”应注意的问题 (1)裂项相消法，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差。 (2)在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点。 (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比含有参数，应分 q＝1 和 q≠1 两种情况求解。
＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1) ＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2 ＝2m＋1＋5m2＋m－2。答案：2m＋1＋5m2＋m－2
13
5．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝__________。
解析：∵an＝n·2n， ∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n。① ∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1。② ①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2。 ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2。答案：(n－1)2n＋1＋2

数列求和。PPT

1 k
( nk
．
④
．
【变式训练】（5）
1 1 4 1 47 1 (3 n 2 ) (3 n 1)
1 3 2

n 3n 1
（6）求和 S n
1 2 1

1 n 1 n

n 1 1
【反思· 感悟】
注意正负项相消时,消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写其中未被消去的项有前后对称的特点。
2
2
2
【分析】通项变形为： ( n 1) n n n
n2 1
n
2
n
n
1 2
n
每一项按通项规律变形后再求和。
3.并项求和法：将数列相邻两项（或若干项）并成一项
得到一个更容易求和的简单数列（等差、等比或常数数列）。
例2， n 1 2 3 4 ( 1) S
6.先求通项再求和：例5求数列
, , , , 1 2 1 2 3 1 2 ( n 1) 1 1 1
的前n项和．
【解题指南】先求数列的通项公式，再根据通项公式特征求和.
1 1 2 ( n 1)
1 1 2 1 3 1 n2 1 1 2 3 1 3 ) 1 4 n n2

2 ( n 1)( n 2 )
1
2(
1 n 1

1 n2
)
Sn 2[( 2( 1 2 1 2

1 2 ( n 1) 1 n 1 1 n2 )]
)(
) (
小结：
1.数列求和的常用方法：公式法、分组求和、拆项求和、倒序相加、错位相减和裂项相消等。 2.数列求和的关键是对通项公式进行变形，如果通项公式没有直接告诉，应先求通项公式（简记：先求通项，再变形）。 3.化归的思想的运用。

数列求和法公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

n
裂项法求和
例4：求数列1,
1 1
2
,
1
1 2
3
,
1
2
1
3
4
,,
1
2
1 3
n
,(n
N
*)
旳前n项和
提醒： an
1
2
1
n
2 n(n 1)
2( 1 n
1) n 1
Sn
2[1
1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
21
1 n 1
2n n 1
裂项法求和
练习：求和 1 1 1
1
1 4 4 7 7 10 (3n 2)(3n 1)
Sn 2 4 6 2n n2 n
Sn
12
22
n2
1 6
n(n
1)(2n
1)
知识回忆：公式法求和
例1：求和：Sn an an1b an2b2 a2bn2 abn1 bn (n N*)
解：①当a 0时，S n b n
②当a 0且 b 0 时，Sn an
③当a b 0时，Sn (n 1)a n
错位相减法
周期法求和
其他措施:递推法、合并法
2k
和
而且S2k1 S2k a2k 2k (4k 1) 2k 1 (2k 1) 法
Sn (1)n n
其他措施求和
例8：已知数列 an
旳前n项和S n与a满n 足：
an , Sn , Sn
1 2
(n 2)成等比数列，且 a1 1，求 S n
解：由题意：
Sn2
an (Sn
1 ), 2
错位相减法

第四节数列求和课件(共48张PPT)

－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式；（2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋（ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝

高考数学总复习第5章数列5.4数列求和文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

55
＝
211
＋
53
＝
2101.
24/54
考向裂项相消法求和
命题角度 1
形如 an＝
1 n＋k＋
型 n
25/54
例 2 [2017·正定模拟]已知等差数列{an}的前 n 项和为
Sn，公差为 d，若 d，S9 为函数 f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零
点且 d<S9.
(1)求数列{an}的通项公式；
23/54
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n. 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3) ＋ …＋ (210 ＋ 10)＝ (2 ＋ 22＋ 23 ＋ …＋ 210)＋ (1 ＋ 2 ＋ 3＋ …＋
10)
＝
21－210 1－2
＋
1＋10×10 2
＝
(211
－
2)
＋
第5章数列第4讲数列求和
1/54
2/54
板块一知识梳理·自主学习
3/54
[必备知识]
考点 1 公式法与分组求和法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和
(1)等差数列的前 n 项和公式：
Sn＝na1＋ 2 an＝ na1＋nn－ 2 1d
.
(2)等比数列的前 n 项和公式：
(2)若 bn＝
1 an＋1＋
an(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和
Tn.
26/54
[解] (1)因为 d，S9 为函数 f(x)＝(x－2)(x－99)的两个零点且 d<S9，所以 d＝2，S9＝99，
又因为 Sn＝na1＋nn－ 2 1d，所以 9a1＋9× 2 8×2＝99，解得 a1＝3， {an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列．所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.

数列求和(公开课课件)

思维升华
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. (2)若数列{cn}的通项公式为cn＝abnn，，nn为为奇偶数数，，其中数列{an}， {bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n项和.
d≠0，
解得a1＝1，d＝1， ∴数列{an}的通项公式an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)设bn＝2an ＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.
由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
(√ ) (2)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1.( √ )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根
据错位相减法求得.( × )
(4)求数列21n＋2n＋3的前 n 项和可用分组转化法求和.( √ )
1.数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为
设{nan}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝(－2)n－1，
Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，
①
－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n，
②
①－②得，3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前 100项和S100.

数列求和专题PPT优秀课件

87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
一、分组求和法
• 方法点拨：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
一、分组求和法
练习1：求数列 9,99,999,… … ， 10n1 的前n项和 S n
练习2：求{ 1
n

1 }的前n项和
n 1
练习3：求{ 1 }的前n项和 S
n(n 2)
n
；
已知数列{ a n } 的通项公式为 an n12n
变式：(5) 求数列{ a n } 的前n项和 S n
。
三、错位相减法
• 方法点拨：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要
用于求数列{an bn }的前n项和，其中 { a n } 、 { b n } 分别是等差数列和等比数列。
三、错位相减法
练习4：已知数列 { b n } 的通项公式为 bn (1)n n 求 { b n } 的前n项和 S n
小结
• 1、掌握数列求和的常见方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法；
• 2、注意观察数列通项的特点，灵活选用求和方法。

(完整版)数列求和(错位相减法_公开课)

变式训练
例：数列{an}的通项公式an n，数列{bn}的通项公式bn 2n
变式问题：
求数列 {an } 的前n项和 bn
课堂练习解：an bn

n 2n
n (1)n 2
Tn
1 1 2 (1)2
2
2

(n 1) ( 1 ) n1 2
n(1)n 2
新问题：求数列{an bn }的前n项和
解：anbn n 2n
错位相减法：
Sn a1b1 a2b2 anbn 展开，乘公比，错位，相减
即Sn 1 2 2 22 (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 (n -1) 2n n 2n1
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
两式相减得
2Sn 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
2Sn 3 2 （32 3n ) (2n 1) 3n1
1 2 Tn

1 ( 1 )2 2 ( 1 )3 (n 1) ( 1 )n n ( 1 )n1
2
2
2
2
① ②得
1 2
Tn
1
1 2
1（1 ）2 2

1（ 1 ）n n ( 1 ) n1
2
2
1 ( 1 ) 2 ( 1 ) n n ( 1 ) n1
①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1

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教材通关
2．常见数列的求和公式 (1)12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1 (2)13＋23＋33＋…＋n3＝nn2＋12
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教材通关
[小题诊断]
1．(2018·安溪质检)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3
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教材通关
3．1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)．
解析：设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，② ①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn ＝11－－xxn－nxn， ∴Sn＝11－－xxn2－1n－xnx. 答案：11－－xxn2－1n－xnx
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教材通关
[必记结论]
1．常见的裂项公式
(1)nn1＋1＝n1－n＋1 1.
(2)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
(3)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
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a1＋4d＝5， ∴5a1＋5×25－1d＝15，
∴ad1＝＝11，，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∴ana1n＋1＝nn1＋1＝n1－n＋1 1，
∴数列
1 anan＋1
的前100项和为
1－12
＋
12－13
＋…＋
1010－1101
＝1－1101＝110001. 答案：A
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即a21a＋1＋2d3＝ d＝3，5，
解得ad1＝＝11，，
所以Sn＝
nn2＋1，因此k＝n1 S1k＝21－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1＝n2＋n1.
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教材通关
5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an} 的前n项和，则S2 017＝_－__1_0_0_7__.
第五章数列第四节数列求和
C目录 ONTENTS
高考·导航主干知识自主排查核心考点互动探究课时作业
高考·导航
高考·导航
掌握等差、等比数列的前n项和公式．
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主干知识自主排查
教材通关
求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式
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易错通关
[小题纠偏] 1．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N*)，则f(3)＝ _27_(_8_7_－__1_) .
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教材通关
(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98 ＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
na1＋an
Sn＝
2
＝na1＋ na1＋nn2－1d .
②等比数列的前 n 项和公式
(ⅰ)当 q＝1 时，Sn＝ na1 ；
a11－qn
a1－anq
(ⅱ)当 q≠1 时，Sn＝ 1－q
＝ 1－q
.
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教材通关
(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝( A )
A．9
B．8
C．17
D．16
解析：S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋ 3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1 ＋1＋…＋1＝9.
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教材通关
4．(2017·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，
2n
n
S4＝10，则
k＝1
S1k＝___n_＋__1____.
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意，
a1＋2d＝3， 4a1＋6d＝10，
易错通关
1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论． 2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并． 3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．
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解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，可得，该数列是期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，所以S2 017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＝ 504×(－2)＋1＝－1 007.
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教材通关
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列
ana1n＋1的前100项和为(
)
A.110001
B.19091
99 C.100
101 D.100
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解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15，