用介值定理证明原函数的存在性
关于方程根的讨论
关于方程根的讨论作者：李艳来源：《黑河教育》2011年第06期[摘要]本文通过举例对方程的根作以讨论。
[关键词]方程根；存在性；个数对方程根的讨论主要涉及到存在性及个数。
关于方程根的存在性可利用连续函数的介值定理、罗尔中值定理、函数的单调性、可导极点的存在性，即若证明f(x)在[a,b]中存在极点x0，且f'(x0)存在，则必有f'(x0)=0。
若要具体讨论方程根的数目，则通常证明其至少有k个根和至多有k个根同时成立，或利用函数在单调区间内至多有一个零点,这样就能解决方程根的数目问题。
一、利用连续函数的介值定理例1：证明方程cosx=x在(-∞,+∞)上只有一个实根。
证明：设f(x)=cosx-x，取[-1,1]?奂(-∞,+∞)，f(x)在[-1,1](上连续，且f(1)=cos1-10。
由连续函数的零点定理，在(-1,1)内至少存在一个?孜，使得f(?孜)=0，即cos(?孜)=?孜，即方程cos(x)=x在(-1,1)内至少有一个根。
又因为f'(x)=-sinx-1≤0 ，所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减，所以方程cosx=x在(-∞,+∞)上只有一个实根。
二、利用罗尔定理例2：设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，不求导，判断方程f'(x)=0有几个根及其所在范围。
解：由于f(x)在[1,2][2,3]上连续，可导，且f(1)=f(2)=f(3)=0，所以f(x)在[1,2][2,3]上满足罗尔定理条件，则在(1,2)内至少存在一点?孜1，使f'(?孜1)=0，所以?孜1是f'(x)=0的一个实根；在(2,3)内至少存在一点?孜2，f'(?孜2)=0，所以?孜2是f'(x)=0的一个实根。
由上可知方程f'(x)=0至少有两个实根。
因为f'(x)为二次多项式，f'(x)=0最多有两个实根，所以f'(x)=0有两个实根，它们分别在(1,2)及(2,3)内。
存在原函数和可积的关系
存在原函数和可积的关系首先，函数可积≠函数有原函数两者之间并无关系！函数有原函数，是指有一个函数的导数等于这个函数，即存在一个可导函数，其导函数等于目标函数。
函数可积，是指如果f(x)在[a,b]上的定积分存在（即曲线和轴围出来的面积存在且不为无穷），则说f(x)在[a,b]上可积，即f(x)是[a,b]上的可积函数。
（注意区间限制）①若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定存在原函数。
②若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在区间I上没有原函数。
（有震荡间断点，依然可能有原函数）①若f(x)在[a,b]上连续，则在该区间必然可积。
（暗含有界）②若f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则在该区间必然可积。
③ 若f(x)在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则在该区间必然可积。
很明显原函数和可积函数之间没有联系。
如果一个函数是连续的，那么它既可以是可积的，也可以是原函数，但是对于一个在某个区间上具有不连续性的函数，如果在那个区间上存在第一种不连续性，那么原函数不存在是必然的，但是它仍然是尽可能可积的；如果只有第一种间断，那一定是可积的。
其实个人认为，在几何意义上判断函数是否可积可能更方便。
一些举例如下：But Why is that当一个函数可积时，就意味着在这个区间上存在定积分。
然后通过莱布尼茨公式，将函数的可积性与原函数的存在性联系起来，将上下极限代入可积函数的原函数进行减法求值，即只要可积函数就有原函数。
越看越觉得合理，那么问题出在哪里借用吴忠祥老师的话:经典错误，标准零分。
忽略了一个问题，两个函数相等需要同时满足两个条件：①定义规则相同②自变量的定义域D相同解释看图片吧~写的很清楚了（网上截得）•如果一个被积函数在闭区间内可积，那么这个函数在此闭区间内的变上限积分函数是连续的，（177题）但不一定可导，除非f(x)连续。
即：f(x)连续，则它的积分可导，否则不可导。
2020考研数学一真题参考2004答案解析
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________ . (2)已知,且,则=__________ .(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为__________.(4)欧拉方程的通解为__________ . (5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________ .(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A) (B) (C) (D) (8)设函数连续,且则存在,使得(A)在(0,内单调增加 (B)在内单调减少 (C)对任意的有 (D)对任意的有ln y x =1=+y x (e )e x x f x -'=(1)0f =()f x L 222=+y x ⎰-L ydx xdy 2)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B **2=+ABA BA E *A A E B X λ}{DX X P >+→0x dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβαγβα,,βγα,,γαβ,,αγβ,,()f x ,0)0(>'f 0>δ()f x )δ()f x )0,(δ-),0(δ∈x ()(0)f x f >)0,(δ-∈x ()(0)f x f >(9)设为正项级数,下列结论中正确的是(A)若=0,则级数收敛(B)若存在非零常数,使得,则级数发散(C)若级数收敛,则 (D)若级数发散, 则存在非零常数,使得(10)设为连续函数,,则等于 (A) (B) (C) (D) 0(11)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为(A)(B)(C)(D)(12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有 (A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关 (B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关 (D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关(13)设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于∑∞=1n n a n n na ∞→lim ∑∞=1n n a λλ=∞→n n na lim ∑∞=1n n a ∑∞=1n n a 0lim 2=∞→n n a n ∑∞=1n n a λλ=∞→n n na lim ()f x ⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()()2(F '2(2)f (2)f (2)f -A A B B C =AQ C Q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110,A B =AB O A ,B A ,B A ,B A ,B X (0,1),N )10(<<αααu αα=>}{u X P α=<}{x X P x(A) (B)(C) (D)(14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则(A) (B)(C) (D)三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设,证明.2αu 21α-u21α-u α-1u )1(,,,21>n X X X n .02>σ∑==ni i X n Y 1121Cov(,)X Y nσ=21Cov(,)X Y σ=212)(σnn Y X D +=+211)(σnn Y X D +=-2e e a b <<<2224ln ln ()eb a b a ->-(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)).100.66⨯=k(17)(本题满分12分)计算曲面积分其中是曲面的上侧.,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=∑)0(122≥--=z y x z(18)(本题满分11分)设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.10n x nx +-=n n x 1α>1n n x α∞=∑(19)(本题满分12分)设是由确定的函数,求的极值点和极值.(,)z z x y =2226102180x xy y yz z -+--+=(,)z z x y =(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩a(21)(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A a A(22)(本题满分9分)设为随机事件,且,令求:(1)二维随机变量的概率分布. (2)和的相关系数,A B 111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧=.,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=(,)X Y X Y .XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体的分布函数为其中未知参数为来自总体的简单随机样本,求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量X ,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββn X X X ,,,,121 >βX ββ2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。
不定积分 定积分讲义
第五章不定积分学习目标：1．理解原函数、不定积分的概念2．掌握不定积分的性质及基本积分表3．理解第一类换元法的基本思想4．掌握第一类换元法的内容及其证明方法5．掌握凑微分的技巧和方法6．掌握第二类换元法的内容及其证明7．会用第二类换元法计算不定积分8．熟练地应用分部积分法计算不定积分学习重点：1.不定积分的性质2.第一类换元积分法3.凑微分4.用第二类换元法计算不定积分学习难点：1．第一类换元积分法2．凑微分3．第二类换元法中的变量替换4．分部积分公式中u与dv的选取教学方法：讲授法，辅以练习计划学时：10学时新课导入：上一章我们学习了已知原函数求导数的运算，这一章我们进行已知导函数求原函数——不定积分的运算问题。
§5.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念1定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数，如果存在函数)(x F ，对于I x ∈∀,都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(=,则称函数)(x F 为函数)(x f 在区间I 上的一个原函数.例如，x sin 是x cos 的原函数,因为 x x cos )(sin =' .又因为x x 2)(2=',x x 2)1(2='+ ,所以2x 和12+x 都是2x 的原函数.2．问题1：一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）问题2：同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果)(x F ，)(x G 为函数)(x f 在区间I 上的任意两个原函数, )())((x f x F =' ,)())((x f x G =',于是有 0)()()()())()((=-='-'='-x f x f x F x G x F x G . 所以 C x F x G =-)()(,或C x F x G +=)()( .回答：任意两个原函数相差一个常数。
2004年考研数学一真题(含解析)
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . （2）已知x x xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=__________ . （3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x的通解为. __________ . （5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B __________ .（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >= __________ .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt txx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ ] （8）设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少. (C) 对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) .(D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . [ ]（9）设∑∞=1n na为正项级数，下列结论中正确的是(A) 若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n na收敛.（B ） 若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n na发散.(C) 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim 2=∞→n n a n .(D) 若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim . [ ]（10）设f(x)为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ ]（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ ]（12）设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ ]（13）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ ]（14）设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则(A) Cov(.),21nY X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σn n Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-. [ ] （15）（本题满分12分）设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-. （16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. （17）（本题满分12分） 计算曲面积分 ,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.（18）（本题满分11分）设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值. （20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. （21）（本题满分9分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化. (22)（本题满分9分） 设A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ（23）（本题满分9分）设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求：（I ） β的矩估计量； （II ） β的最大似然估计量.2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标. 【详解】 由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知xxxe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可.【详解】 令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x . 【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分. （3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为 .20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd y d x x d y L]s i n 2s i n 22c o s 2c o s 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可. 【详解】 令te x =，则dtdyx dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1==⋅=-，][11122222222dtdydt y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=⋅+-=， 代入原方程，整理得02322=++y dt dydty d ， 解此方程，得通解为 .221221xc x c e c ec y t t+=+=-- 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令te x =，则欧拉方程)(222x f cy dx dybx dxy d ax =++， 可化为 ).(][22t e f cy dt dyb dt dy dty d a =++- （5）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则=B91 . 【分析】 可先用公式E A A A =*进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A ，得A A BA A ABA +=**2， 而3=A ，于是有 AB AB +=63， 即 A B E A =-)63(，再两边取行列式，有363==-A B E A ，而 2763=-E A ，故所求行列式为.91=B【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A ，一般均应先利用公式E A AA A A ==**进行化简.（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >=e1 . 【分析】 已知连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可. 【详解】 由题设，知21λ=DX ，于是}{DX X P >=dx e X P x ⎰+∞-=>λλλλ1}1{=.11eex=-∞+-λλ 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】 0c o s 2t a n lim cos tan limlim 22002=⋅==+++→→→⎰⎰xxx dtt dt t x xx x x αβ，可排除(C),(D)选项， 又 xx x x dtt dtt x x xx x tan 221sin lim tan sin limlim 230302⋅==+++→→→⎰⎰βγ=∞=+→20lim 41x x x ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将γβα,,分别与nx 进行比较，再确定相互的高低次序. （8）设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得(A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.(C) 对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .[ C ]【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】 由导数的定义，知0)0()(l i m)0(0>-='→xf x f f x ，根据保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有0)0()(>-xf x f即当)0,(δ-∈x 时，f(x)<f(0); 而当),0(δ∈x 时，有f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论. （9）设∑∞=1n na为正项级数，下列结论中正确的是(A) 若n n na ∞→lim =0，则级数∑∞=1n na收敛.（B ） 若存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim ，则级数∑∞=1n na发散.(C) 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim 2=∞→n n a n .(E) 若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞→n n na lim . [ B ]【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】 取n n a n ln 1=，则n n na ∞→lim =0，但∑∑∞=∞==11ln 1n n n nn a 发散，排除(A)，(D)；又取nn a n 1=，则级数∑∞=1n na收敛，但∞=∞→n n a n 2lim ，排除(C), 故应选(B).【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，01l i m l i m ≠==∞→∞→λna na n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，因此级数∑∞=1n n a 也发散，故应选(B). （10）设f(x)为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ]【分析】 先求导，再代入t=2求)2(F '即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】 交换积分次序，得⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(=⎰⎰⎰-=t x tdx x x f dx dy x f 111)1)((])([于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有 )2()2(f F ='，故应选(B).【评注】 在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: ⎰'-'=')()()()]([)()]([])([x b x a x a x a f x b x b f dt t f否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ D ]【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q 即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，有B A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，C B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110001， 于是， .100001110100110001100001010C A A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡可见，应选(D).【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系. （12）设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (D) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (E) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (F) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ]【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从A,B 是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解1】 设A 为n m ⨯矩阵，B 为s n ⨯矩阵，则由AB=O 知，n B r A r <+)()(.又A,B 为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)<n, r(B)<n, 即A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A).【详解2】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，而B 为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A 的列向量组线性相关.同理，由AB=O 知，O A B T T =，于是有TB 的列向量组，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A). 【评注】 AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的： 1） AB=O ⇒n B r A r <+)()(; 2） AB=O ⇒B 的每列均为Ax=0的解.（13）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于(A) 2αu . (B) 21α-u. (C) 21α-u . (D) α-1u . [ C ]【分析】 此类问题的求解，可通过αu 的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论. 【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是}{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α即有 21}{α-=≥x X P ，可见根据定义有21α-=u x ，故应选(C). 【评注】 本题αu 相当于分位数，直观地有2（14）设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则(A) Cov(.),21nY X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov .(C) 212)(σn n Y X D +=+. (D) 211)(σnn Y X D +=-. [ A ] 【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：.,3,2,0),(1n i X X Cov i ==【详解】 Cov(∑∑==+==ni i n i i X X Cov n X X Cov n X n X Cov Y X 2111111),(1),(1)1,(),=.1121σnDX n = 【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -++=++++=+ =222233σσn n nn n +=+， 222222111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=-=.222222σσn n nn n -=- （15）（本题满分12分）设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-. 【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法1】 对函数x 2ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 .),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(ttt -='ϕ， 当t>e 时， ,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，从而)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln ee e =>ξξ，故 )(4ln ln 222a b ea b ->-. 【证法2】 设x e x x 224ln )(-=ϕ，则 24ln 2)(e x x x -='ϕ， 2ln 12)(xxx -=''ϕ, 所以当x>e 时，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时， 044)()(222=-='>'ee e x ϕϕ， 即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>，即 a ea b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b ea b ->-.【评注】 本题也可设辅助函数为2222),(4ln ln )(e x a e a x ea x x <<<---=ϕ或 2222),(4ln ln )(e b x e x b ex b x <<<---=ϕ，再用单调性进行证明即可. （16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg ，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得kv dt dvm -=. 又dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=， 由以上两式得 dv kmdx -=， 积分得 .)(C v k m t x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，故得0v k mC =，从而 )).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时， ).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】 根据牛顿第二定律，得 kv dtdvm -=, 所以.dt mk v dv -= 两端积分得通解t mkCe v -=，代入初始条件00v vt ==解得0v C =，故 .)(0t mk ev t v -=飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(000km kmv ekmv dt t v x tm k==-==∞+-∞+⎰或由t m ke v dtdx-=0，知)1()(000--==--⎰t m kt t m ke m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0km mkv t x =→【详解3】 根据牛顿第二定律，得 dt dxk dt x d m -=22,022=+dtdxm k dt x d ， 其特征方程为 02=+λλm k ，解之得mk -==21,0λλ， 故 .21t mk eC C x -+=由 002000,0v e mkC dtdxv x t t m kt t t =-====-===，得 ,021k m v C C =-= 于是 ).1()(0t m ke kmv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0km km v t x =→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为+∞→t 或0)(→t v 的极限值，这种条件应引起注意. （17）（本题满分12分） 计算曲面积分 ,)1(322233dxdy zdzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解】 取1∑为xoy 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则dxdy z dzdx ydydz x I ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233.)1(3221233dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰∑-++-由高斯公式知d x d y d zz y x d x d y z d z d x y d y d zx ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=-++)(6)1(322222331=rdz r z dr d r )(62011022⎰⎰⎰-+πθ=.2)]1()1(21[12232210ππ=-+-⎰dr r r r r 而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdy dxdy zdzdx y dydz x π，故 .32πππ-=-=I【评注】 本题选择1∑时应注意其侧与∑围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在1∑上直接投影积分时，应注意符号(1∑取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).（18）（本题满分11分）设有方程01=-+nx x n，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定. 【证】 记.1)(-+=nx x x f n n 由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，及连续函数的介值定理知，方程01=-+nx x n存在正实数根).1,0(∈n x当x>0时，0)(1>+='-n nx x f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程01=-+nx x n存在惟一正实数根.n x由01=-+nx x n与0>n x 知nn x x nn n 110<-=<，故当1>α时，αα)1(0n x n <<. 而正项级数∑∞=11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值. 【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解】 因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以 02262=∂∂-∂∂--xz z x z yy x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-yzz y z yz y x . 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0yz xz得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx zz x z y z y x z y x z02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=x zA ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x zB ，35)3,3,9(22=∂∂=yzC ， 故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由61)3,3,9(22-=∂∂=---x zA ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x zB ，35)3,3,9(22-=∂∂=---yzC ，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3.【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z 满足原方程.（20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n ，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解1】 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有.00002111122221111B a na a a a a n n n n a a A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++= 当a=0时， r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有.1000012002)1(10000121111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→nn n a n a B可知2)1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为T n ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【详解2】 方程组的系数行列式为1)2)1((22221111-++=+++=n a n n a an n n n a a A .当0=A ，即a=0或2)1(+-=n n a 时，方程组有非零解. 当a=0时，对系数矩阵A 作初等行变换，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000000111122221111 n n n n A ， 故方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η于是方程组的通解为,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数.当2)1(+-=n n a 时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a na a a a a n n n n a a A 00002111122221111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+→1000012000010000121111 n n a ， 故方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=+-,0,03,0213121n x nx x x x x由此得基础解系为T n ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为ηk x =，其中k 为任意常数.【评注】 矩阵A 的行列式A 也可这样计算：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=a n n n n a a A 22221111=aE +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n 22221111的特征值为2)1(,0,,0+n n ，从而A 的特征值为a,a,2)1(,++n n a , 故行列式.)2)1((1-++=n a n n a A （21）（本题满分9分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化. 【分析】 先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可.【详解】 A 的特征多项式为513410)2(251341321-------=------=-λλλλλλλλaa A E=).3188)(2(51341011)2(2a a++--=------λλλλλλ 当2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622=++-a 解得a= -2.当a= -2时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----321321321的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18+3a=16，解得 .32-=a当32-=a 时，A 的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1321301323秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化.【评注】 n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：对于A 的任意i k 重特征根i λ，恒有.)(i i k A E r n =--λ 而单根一定只有一个线性无关的特征向量.(22)（本题满分9分）设A,B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ【分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】 （I ） 由于121)()()(==A B P A P AB P ， ,61)()()(==B A P AB P B P所以， 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， ,121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P )(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-=====32)()()(1=+--AB P B P A P （或32121611211}0,0{=---===Y X P ）， 故(X,Y)的概率分布为 YX 0 10 32121 1 61121 (II) X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ 【评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强.通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意.（23）（本题满分9分） 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求：（I ） β的矩估计量； （II ） β的最大似然估计量.【分析】 先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可.【详解】 X 的概率密度为.1,1,0,),(1≤>⎪⎩⎪⎨⎧=+x x x x f βββ（I ） 由于第 - 21 - 页 共 21 页- 21 - 1);(11-=⋅==⎰⎰+∞++∞∞-βββββdx x x dx x xf EX ， 令X =-1ββ，解得 1-=X X β，所以参数β的矩估计量为 .1ˆ-=X X β（II ）似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧=>==+=∏其他,0),,,2,1(1,)();()(1211n i x x x x x f L i n nni i ββββ 当),,2,1(1n i x i =>时，0)(>βL ，取对数得∑=+-=ni i x n L 1ln )1(ln )(ln βββ，两边对β求导，得∑=-=ni i x n d L d 1ln )(ln βββ， 令0)(ln =ββd L d ，可得 ∑==n i ixn 1ln β， 故β的最大似然估计量为.ln ˆ1∑==n i iXnβ 【评注】 本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性.。
高数 定积分与NL公式
f ( )x
( x )
由积分中值定理得
f ( )x
f ( ), x
[ x , x x ],
o
a
ห้องสมุดไป่ตู้
x x x b x
lim lim f ( ) x 0 x x 0
( x ) f ( x ).
x 0, x
s(T1 )
s(T2 )
猜测：[T1 , T2 ] 上的定积分等于被积函数的原 函数在区间上的数值差（或者说改变量）．
这个判断是正确的，今后我们计算定积分就 是应用公式来做的：
a f ( x )dx F (b) F (a )
这个公式是微积分基本定理的结论．称其为 微积分基本定理是因为它揭示了（导）函数 f (x)与其原函数之间的关系，把求定积分的 问题转化为求原函数，也就是求不定积分的 问题．下面我们简单介绍一下公式的根据．
记 ( x ) f ( t )dt .
a
x
积分上限函数
如果从定积分的几何意义来看，积分上限 函数就是变面积函数．
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x )
f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数，且它的导 d x f ( t )dt f ( x ) (a x b) 数是 ( x ) a dx y x x 证 ( x x ) f ( t )dt a
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
则
c
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
a f ( x )dx c f ( x )dx.
(整理)第三章一元函数的积分学
第三章 一元函数的积分学§1 不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.2．掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.3．会求有理函数、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分.一、基本概念1．原函数与不定积分定义若()()F x f x '=，(,)x a b ∈，则称()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数.（一般地，“在区间(,)a b 内”几个字常省略）.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数（其中C 为任意常数），()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰.2．不定积分与原函数的关系（1）不定积分与原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素，因此()d ()f x x F x ≠⎰.（2）设()F x ，()G x 是()f x 的任意两个原函数，则()()F x G x C =+（(,)x a b ∈）.（3）原函数的几何意义：称()y F x C =+为()f x 的积分曲线，其上横坐标为x 处的切线互相平行.3．原函数存在定理设()f x 在(,)a b 内连续，则在(,)a b 内必有原函数.4．不定积分的基本性质（1）()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）求导与求不定积分互为逆运算① (()d )()f x x f x '=⎰ ，d ()d ()d f x x f x x =⎰；② ()d ()f x x f x C '=+⎰，d ()()f x f x C =+⎰；5．基本积分公式(熟练掌握)（1）d k x kx C =+⎰；（2）11d 1x x x C μμμ+=++⎰； （3）1d ln ||x x C x=+⎰； （4）d ln x x a a x C a=+⎰； （5）e d e x x x C =+⎰；（6）sin d cos x x x C =-+⎰；(7) cos d sin x x x C =+⎰；(8) 2sec d tan x x x C =+⎰；（9）2csc d cot x x x C =-+⎰；；（10）sec tan d sec x x x x C ⋅=+⎰；（11）csc cot d csc x x x x C ⋅=-+⎰；（12）d arcsin xx C =+⎰；（13）2d arc ta n 1x x C x=++⎰； （14）tan d ln |cos |x x x C =-+⎰；（15）cot d ln |sin |x x x C =+⎰；（16）d arcsin xx C a =+⎰； （17）22d 1arctan x x C a x a a=++⎰； （18）sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰；（19）csc d ln |csc cot |x x x x C =-+⎰；（20）22d 1ln 2x a x C a x a a x +=+--⎰；（21）d ln x x C =++⎰； （22）21arcsin 22a x x C a =++⎰. 6．初等函数的原函数初等函数在其定义区间内必有原函数，但它的原函数不一定是初等函数．不能用初等函数来表示（积不出来）的不定积分如下：2e d x x ⎰， 2e d x x -⎰， sin d x x x ⎰， cos d x x x⎰， 2sin d x x ⎰， 2cos d x x ⎰， d ln x x ⎰，e d x x x⎰，e ln d x x x ⎰，ln |sin |d x x ⎰等．二、不定积分的积分法1．公式法 将被积函数变形，直接利用公式．2．换元法 引入新的变量，再积分．第一类换元法(凑微分法)设()f u 的原函数为()F u ，()u x ϕ=有连续的导数，则[()]()d f x x x ϕϕ'⋅⎰ [()]d ()f x x ϕϕ=⎰()u x ϕ=()()d [()][()]u x f u u F u C F x C ϕϕ==+=+⎰凑微分 换元 积分 变量还原常见的凑微分公式（1）1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a+=++⎰⎰，0a ≠；（2）11()d ()d()n n n n f x x x f x x n -=⎰⎰； （3）(e )e d (e )d(e )x x x x f x f =⎰⎰；（4）d 1(ln )(ln )d(ln )x f x f x x x n =⎰⎰；（5）21111()d ()d()f x f x x x x=-⎰⎰； （6）12f x f =⎰⎰； （7）(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x x =⎰⎰；（8）(cos )sin d (cos )d(cos )f x x x f x x =-⎰⎰；（9）2(tan )sec d (tan )d(tan )f x x x f x x =⎰⎰；（10）2(cot )csc d (cot )d(cot )f x x x f x x =-⎰⎰；（11）21(arctan )d (arc tan )d(arc tan )1f x x f x x x ⋅=+⎰⎰； （12）1(arcsin )d (arcsin )d(arcsin )f x x f x x ⋅=⎰⎰； （13）d xf x f ⋅=⎰⎰；（14）()d ()d ln |()|()()f x f x x f x C f x f x '==+⎰⎰． 第二类换元法设()x t ϕ=单调，有连续的导数，且()0t ϕ'≠，如果[()]()d ()f t t t F t C ϕϕ'=+⎰，则()d f x x =⎰ ()x x ϕ=[()]()d f t t t ϕϕ'⎰1()[()]t x F t C ϕ-==+1[()]F x C ϕ-=+.换元 积分 变量还原3．分部积分法 设()u u x =，()v v x =具有连续的导数，则d d uv x uv u v x ''=-⎰⎰ 或 d d u v uv v u=-⎰⎰称为分部积分公式.4．特殊函数类的积分有理函数：先化为多项式与简单分式，再逐项积分．三角函数有理式：令tan 2x u =，化为有理函数的积分．简单无理函数：引入代换去掉根号，化为有理函数的积分．常用的分项公式如下：（1）111(1)1x x x x=-++； （2）111(1)1x x x x=+--； （3）2211(1)1x x x x x=-++； （4）22211111(1)(1)(1)1(1)x x x x x x x x x =-=--+++++； （5）2222111(1)1x x x x=-++. 常用的三角公式如下：（1）21cos 2cos 2x x +=；（2）21cos 2sin 2x x -=；（3）21sin (sin cos )22x x x ±=±三、典型例题题型1 直接积分法 （即将被积函数分解为几个简单函数的代数和再分项积分）例1 求下列不定积分（1） 231d 5x xx x ++⎰； （2）10d (2)x x x +⎰；（3） 42d x x x +⎰； 解 原式2222d 111d arctan (1)1x x x C x x xx x ⎡⎤==-=--+⎢⎥++⎣⎦⎰⎰.（4）2222+sin sec d 1x x x x x ⋅+⎰； 解 原式精品文档()()2222221+sin 11sec d sec d d 11xx x x x x xx x +-=⋅=-++⎰⎰⎰tan arctan x x C =-+.题型2 换元积分法（第一类和第二类）例1 求下列不定积分（1）2sin cos d 1sin x xx x ⋅+⎰； （2）d x⎰解原式ln dln d u x x u ========⎰⎰⎰11d()2arcsin arc 12u u C --==+=⎰ .（3）3xx ⎰；解原式23221122u x x x x x u========⎰⎰⎰32111(1(1)d(1)222u u u u =+-=++-⎰⎰⎰535222212211[(1)(1)](1)(125353u u C x =+-++=+-+ . （4）sin 222esin d exxxx ⋅⎰； 解 原式sin 222sin 22sin11esin d e d(sin 22)e44x xx x x x x x --=⋅=--=-⎰⎰（5）1d (1e )xxx x x ++⎰； （6）ln(tan )d sin cos x x x x ⋅⎰.例2 求x ⎰.解：原式2[ln()3x x =+=+⎰例3 求 342e ed e 2e 1x xx xx +-+⎰. 解：原式2222e (e e )d(e e )1d e (e e )(e e )e ex x x x x x x x x x x x x C -----+-===-+---⎰⎰ 例4 求 241d 1x x x ++⎰.解：原式22221111d()1d arctan 11()2x x x x x C x x x x+--===++-+⎰⎰例5 求下列不定积分（1）xx ⎰；（2）3d x x ⎰； 解 令π323sec ,0,d sec tan d 22x t t x t t t ⎛⎫=<<=⋅ ⎪⎝⎭ ，原式23233tan 34tan 4sec tan d d sin 23sec 33sec 2t t t t t t t t =⋅⋅==⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰241231sin 2arccos 324322t t C x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.（3）d x ⎰.解 令2tan ,d sec d x t x t t ==，原式2222sec d cos d dsin arcta (2tan 1)sec 1sin 1sin t t t t tt t t t ====+++⎰⎰⎰arctanx C =+.注 1ο，令s i n x a t = 或 cos x a t =；2ο，令sec x a t = 或 csc x a t =或 ch x a t =；3ο，令tan x a t = 或 cot x a t =或 sh x a t =；4ο三角代换变量还原时利用辅助三角形． 例6 求下列不定积分（1）d x⎰；解 原式()d31d13xx-==⎰⎰1ln|31|3x C=-++.（2）21d446xx x-+⎰.解原式()()2111212d21arctan221xx C x-=-=⋅+ -+⎰.（注对二次三项式2ax bx c++或其平方根，配方后使用公式）．例7求下列不定积分（1）d x⎰（2）21lnd(ln)xxx x--⎰.（注1xt=称为倒代换，当分母的次数高于分子的次数时，可考虑用此代换）．例8 求e (1e )d x xx +⎰（注 可考虑指数代换e xu =或e sin xt =）．例9 求d x x⎰，（令：t =）解令t =，22tan 1tan d 2tan sec d .t x t x t t t =⇒=+⇒=⋅原式(2222arctan 2sec tan d 2tan d 2sec 1tan t t t t t t t t t t t ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⎰⎰⎰()222sec 1d 2d(tan )2tan tt t t t t t t t =⋅-=-=⋅-⎰⎰⎰22tan 2ln |cos |t t t t C =⋅+-+212ln ||arctan x=⋅+-+22ln ||arctanx =⋅--+.题型3 分部积分法关键：正确地选择u 和v ，选择u ，v 的原则：1οv 好求； 2οd v u ⎰要比d u v ⎰简单．例1 求下列不定积分（1）2(22)e d xx x x +-⎰； （2）2(1)ln d xx x +⎰；（3）e cos d xx x x ⎰； （4）sin ln d x x ⎰ 解 原式1sinln dsinln sinln cosln d x x x x x x x x xx=-=-⋅⋅⎰⎰sinln cosln d sinln cox x x x x x x ⎡=-=-⋅⎣⎰()()1sinln cosln sinln d x x x x x xx=-+-⎰()sinln cosln sinln d x x x x x =--⎰所以 原式()sinln cosln 2xx x C =-+.（5）22arctan d (1)xx x x +⎰； 解 原式22arctan arctan 1d d arctan d(-)arctan d 1x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰⎰()221111arctan d arctan 12x x x x x x =-+⋅-+⎰()()22221111arctan d arctan 221x x x x x x =-+-+⎰ 22211111arctan d 212x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭⎰()()22111arctan ln ln 122x x x x =-+-+-()22111arctan ln arctan 212x x x x x =-+-+.（6）ln(x x x +⎰.解原式ln(x x x =+⋅⎰dln(x =⋅+-⋅⎰ln(d x x =⋅+-=⎰.例2 求 22sin d (cos sin )xx x x x -⎰. 解 原式2sin sin sin 1d d (cos sin )cos sin x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅= ⎪--⎝⎭⎰⎰sin 11cos sin cos sin x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪--⎝⎭⎰2sin 11s d cos sin (cos x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-=⎪-⎝⎭⎰．例3 求ed xx x ⎰．（先换元，后分部积分） 解： 原式222222d d 12ln(1)d 2[ln(1)2d ]1tt x t t ttt t t t t =++=+-+⎰⎰24arctan C =-++.题型4 分项--分部积分法（将积分分成两项（或多项）的积分和，然后利用分部积分抵消不可积部分）例1 求 2ln 1d ln x x x-⎰； 例2求 22e (tan 1)d x x x +⎰． 题型5 有理函数积分例1 求25d 613x x x x +-+⎰； 例2 求221d (1)x x x +⎰.题型6 三角有理函数积分例1 求 d sin 22sin xx x+⎰ 例2 求d 1sin cos xx x --⎰题型7 简单无理函数积分例1求d x⎰； 例2 求d x⎰.例3求d x⎰(0,0)a b x <<>.解：原式2=⎰2arcsin C =+；题型8 分段函数的积分例1 求|1|ed x x -⎰．例2 求2()max(1,)x x ϕ=的一个原函数()F x ，且(0)1F =．题型9 含有抽象函数的不定积分例1设()d arcsin xf x x x C =+⎰，求1d ()x f x ⎰．例2设()f x 为非负连续函数，当0x ≥时，有20()()d e 1xxf x f x t t ⋅-=-⎰，求()d f x x ⎰. 解 方程化为20()()d ()()d =e 1xxxf x f x t t f x f x t t ⋅-=--⎰⎰，()d ()d u x txxf x t t f u u =--====⎰⎰，代入原方程得()20()d e 1xxf x f u u ⋅=-⎰，令()()()()()20()d exxF x f u u F x f x F x F x ''=⇒=⇒⋅=⎰，两边积分()()()2d e 1d xF x F x x x '⋅=-⎰⎰，得()2211e 22xF x x C =-+， 又()()22100,e 212xF C F x x =⇒=-∴=--，()()(F x F x ∴=≥.()()d f x x F x C =+=⎰.例3设(,)f x y 可微，且(,)ff x y x∂=-∂，e cos xf y y-∂=∂，(0,0)0f =，求(,)d f x x x ⎰. 例4设()f x 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足01()()()d 01xf x f x f t t x '-+=+⎰，求[()()]e d xf x f x x -'''-⎰.四、不定积分常用的计算技巧总结（考生自看）1．加减常数法例1 求 cos d 1cos xx x-⎰. 解：原式2cos 111()d (1)d 1cos 1cos 2sin (/2)x x x x x x x -=+=-+=----⎰⎰.2．加减函数法例2 求 21d 1exx +⎰. 解：原式2222221e e e 1d (1)d ln(1e )1e 1e 2x x xx x xx x x C +-==-=-++++⎰⎰.例3 求 d (1)nxx x +⎰. 解：原式1111d d d ln ||ln |1(1)1nnn n n nx x x x x x x x x x x x n -+-==-=-+++⎰⎰⎰.3．乘除函数法例4 求 d e ex x x-+⎰.解：原式22e d de arctane 1(e )1(e )x xxx x x C ===+++⎰⎰. 4．分母整体化法例5 求 2100d (1)xx x +⎰. 解：原式2219899100100100(1)(1)d d (2)d u xu u u u u u u uu u=+-----=====-+⎰⎰⎰9798991212979899u u u C ---=-+-+.例6 求 2sin d (sin cos )xx x x +⎰.解：原式π4222πsin()sin csin 114d d π2sin 2sin ()4u x u x u x x u u x =+-=====+⎰⎰⎰2d d(sin )()[l n |csc(4sin sin 4u u x u u =-=+⎰⎰.5．依分母分解法例7 求 3cos 4sin d cos 2sin x xx x x-+⎰. 解：因为cos x 与sin x 的导数互相转化，所以 可设3cos 4sin (cos 2sin )(cos 2s x x A x x B x -=+++(2)cos (2)sin A B x A B x =++- 故得：231,224A B A B A B +=⎧⇒=-=⎨-=-⎩. 原式cos 2sin (cos 2sin )d 2d cos 2sin cos 2sin x x x x x x x x x x '++=-+=-++⎰⎰.6．还原法例8 求 11(1)ed x xx x x++-⎰.解：11121ed (1)ed ed d(ex x x x xxx x x x x x+++=+-=+⎰⎰⎰⎰1111ed eed ex x x x xxxxx x x x C ++++=+-=+⎰⎰.7．待定函数法 例9 (上例)解：因为被积函数是一个函数与1ex x+的乘积，它的一个原函数必定也是某一个函数与1e x x+的乘积.令 111(1)ed ()ex x xxx x F x C x +++-=+⎰，其中()F x 为待定函数， 两边求导数11211(1)e[()()(1)]ex x xxx F x F x xx++'+-=+-，22111(1)()()(1)()x F x F x F x x x'∴+-=+-⇒=， 故 原式1ex xx C +=+.8．相关积分法例10 求 221e sin d x I x x =⎰,221e cos d xI x x =⎰.解：221222211e d e ,21e cos2d e (cos2sin 2),4xx x x I I x C I I x x x x C ⎧+==+⎪⎪⎨⎪-==++⎪⎩⎰⎰ 1I ∴=22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =-++； 2I =22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =+++.五、练习题31-1．若()f x 的导函数是e cos xx -+，则()f x 的一个原函数为（ ）.(A) e cos xx -- (B) esin x x --+ (C)ecos xx --- (D) esin xx -+2．若()f x '为连续函数，则(2)d f x x '=⎰（ ）.(A) (2)f x C + (B) ()f x C + (C)1(2)2f x C + (D) 2(2)f x C + 3．若()f x 是以l 为周期的连续函数，则其原函数（ ）.(A) 是以l 为周期的连续函数 (B)是周期函数，但周期不是l(C) 不是周期函数 (D)不一定是周期函数4．设cos x x 是()f x 的一个原函数，求()d xf x x '⎰． 5．2222221sin cos d d sin cos sin cos x x x x x x x x +=⋅⋅⎰⎰. 6. 22e 1e (1)d (e )d sin sin xxxx x x x--=-⎰⎰.7．11e ed d 1e 1e xxx xx x +-=++⎰⎰. 8.45422sincos d sin (1sin )dsin x x x x x x =⋅-⎰⎰.9．1515sin cos d (sin cos )d(sin cos )(sin cos )x xx x x x x x x +=---⎰⎰.10．21111d d d(1)111n n n nnn n n x x x x x x x x x x --⋅+-==++++⎰⎰⎰. 11．cos sin d(sin cos )d cos sin cos sin x x x x x x x x x-+=++⎰⎰.12．321()arctan d arctan d()33x x x x x x x ++=⎰⎰. 13.2d x x⎰. 14．d 1d(3)3xx =⎰⎰ 15．22222d 2ln 2d d 2d 1d 12(14)2(12)ln 2(1)ln 2xxxu x x x x u x x x u u u =========+++⎰⎰⎰.16．22sin d x x x ⎰.17．arcsin 2arcsin x =-⎰⎰.18．2arctan tan 3d sec d 22ed sin d (1)xx ttx t tx x e t t x ==+====⎰⎰. 19.241d 1x x x -+⎰. 20.421d (1)x x x +⎰21. 1183848282821d d d (1)(1)4(1)x x x x x x x x x x ⋅==+++⎰⎰⎰42221d 4(1)x tt t t =+===⎰2tan 24d sec d 1tan sec d 4sec t u t u u u u u u ======⎰.22. 112d d x x x x +-+=⎰⎰22112d[(1)3]2x =-++⎰⎰.23. 2d d d x xx x x =+⎰⎰⎰.24．313(1)4d d x x x x +-+=⎰⎰.25．d 4sin 3cos 5x x x ++⎰（可令tan 2xt =）；26. 3sin 2cos d 2sin 3cos x x x x x ++⎰（可令tan 2xt =或依分母分解法）；27．设(cos )sin f x x '=(0)x π<<，求()f x ． 28．设()F x 是()f x 的一个原函数，且当0x ≥时，有2e()()2(1)xx f x F x x ⋅=+，又(0)1F =， ()0F x >， 求()f x ．29．()d ()f x x F x C =+⎰，且当0x ≥时，有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．30．求2[ln ()ln ()][()()()]d f x f x f x f x f x x ''''++⎰.31．设ln(1)(ln )x f x x +=，计算()d f x x ⎰.32．2()(1)()d exxf x x f x x x '-+⎰. 33．1e (ln )d x x x x +⎰.3-1参考答案1.A2.C3.D 4．2cos sin xx C x--+. 5．tan cot x x C -+.6．e cot xx C ++. 7．ln(1e )xx C -++.8．579111sin sin sin 579x x x C -++9．455(sin cos )4x x C -+.10．1[(1)ln |1|]n nx x C n+-++.11．ln|cos sin|x x C++.12．32arctan36x x xx C+-+.13．arcsin x Cx--+14．1ln|3|3x C++. 15．11(arctan2)ln22xxC-++.16．321sin2cos2sin26448x x xx x x C --++.17．arcsin C-++.18arctan1e+xxC-.1ln C+. 20.311arctan 3x C x x-+++. 21. 44811arctan 881x x C x-⋅++. 22. 2ln |1|x C +-++.23. 1arcsin 22x x C --+. 244ln |1|x C +-++.25. 1tan 22C x -++. 26．125ln |2sin 3cos |1313x x x C -++.27. 1()arcsin 22x f x x C =++. 28．232e()2(1)xx f x x =+.29．2sin 2()xf x =.30．()()[ln ()()1]f x f x f x f x C ''-+. 31．e ln(1e )ln(1e )xxxx C --++-++.32．()ex f x C x +. 33．e ln xx C +.§2 定 积分【考试要求】 1．理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及定积分中值定理.2．掌握定积分的换元积分法和分部积分法.3．理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿 –莱布尼茨公式.4．了解反常(广义)积分的概念，会计算反常（广义）积分.一、基本概念 1．定积分定义设()f x 在[,]a b 上有定义且有界，做下述四步：（1）分割：用1n -个分点分割区间[,]a b011i ia x x x x -=<<<<；（2）作乘积：()i i f x ξ∆，其中1[,]i i i x x ξ-∈，1i i i x x x -∆=-；（3）求和：1()ni i i f x ξ=∆∑；（4）取极限：01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑，其中1max ||i i nx λ≤≤=∆，如果上述极限存在，则称()f x 在[,]a b 上可积，并称上述极限为()f x 在[,]a b 上的定积分，记作1lim ()()d nbi i ai f x f x x λξ→=∆=∑⎰.注 ()d baf x x ⎰的值与对区间[,]a b 的分法无关，与i ξ的取法无关，与积分变量用什么字母表示无关；与[,]a b 有关，与()f x 有关， 即()d ()d bbaaf x x f t t =⎰⎰.2．定积分的存在性定理设()f x 在[,]a b 上连续，或在[,]a b 上有界且只有有限个第一类间断点，则()d ba f x x ⎰一定存在．3．几何意义定积分()d baf x x ⎰表示由曲线()y f x =，,x a x b ==及x 轴所围平面图形面积的代数和．4．定积分的运算性质：（1）()d ()d a abbf x x f x x =-⎰⎰． （4）[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.（2）()d 0aaf x x =⎰. （5）()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰.（3）d bax b a =-⎰. （6）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.5．定理定理1 （定积分的比较定理）若在[,]a b 上恒有()()f x g x ≤，则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰.推论1 若()f x 与()g x 在[,]a b 上连续，()()f x g x ≤，且至少有一点0[,]x a b ∈，使00()()f x g x <，则()d ()d bbaaf x xg x x<⎰⎰.推论2 若在[,]a b 上恒有()0f x ≥，则()d 0baf x x ≥⎰.推论3 ()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰． 定理2（估值定理）若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤，则()()d ()ba mba f x x Mb a -≤≤-⎰．定理3（积分中值定理）（1）若()f x 在[,]a b 上连续，则[,]a b ξ∃∈，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰．（2）若()f x 在[,]a b 上连续，()g x 在[,]a b 上不变号，且在[,]a b 上可积，则[,]a b ξ∃∈，使()()d ()baf xg x x f ξ=⎰⎰.定理4（变上限积分函数及其导数） 设()f x 在[,]a b 上连续，()()d xa F x f t t =⎰称为变上限积分函数，则导数为d ()()d ()()d xt x aF x f t t f t f x x ='===⎰.推论1 设()()()d x aF x f t t ϕ=⎰，则()d ()()d [()]()d x aF x f t t f x x x ϕϕϕ''==⋅⎰.推论2 设21()()()()d x x F x f t t ϕϕ=⎰，则21()2211()d ()()d [()]()[()](d x x F x f t t f x x f x x x ϕϕϕϕϕϕ'''==⋅-⋅⎰.推论3 设()()()()d x aF x f t g x t ϕ=⎰，则()()()()d x a F x g x f t t ϕ'⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦⎰()()()d ()[()](x ag x f t t g x f x ϕϕϕ''=+⎰.定理5（变上限积分函数与不定积分的关系） 设()f x 在[,]a b 上连续，则变上限积分函数()()d xaF x f t t =⎰是()f x 的一个原函数， 即()d ()d xaf x x f t t C =+⎰⎰.注：不定积分()d f x x ⎰只能作为运算符号，不能表示一个具体的原函数，特别当()f x 为一个抽象的函数时，无法用()d f x x ⎰来讨论它的某一原函数的性质；而()d xa f t t ⎰为某一确定的原函数，可以用它来讨论此原函数的性质.定理6（牛顿－莱布尼兹公式）设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()()()bb aaf x x F x F b F a ==-⎰． 6．定积分的计算方法（1） 换元法：设()f x 在[,]a b 上连续，()x t ϕ=在[,]αβ上有连续的导数，且当t 从α变到β时，()t ϕ从()a ϕα=单调地变到()b ϕβ=，则()d [baf x x f βαϕ=⎰⎰要点：换元要换限，变量不还原，不换元则不换限．（2）分部积分法：设()u x ，()v x 在[,]a b 上有连续的导数，则d d bbb aaauv x uv u v x ''=-⎰⎰或 d d b b b aaau v uv v u =-⎰⎰．注：求不定积分时适用的积分法，相应地也适用定积分的求法．7．广义积分的概念与计算 （1）无穷限的广义积分ο1 设()f x 在[,)a +∞上连续，则()d lim()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰；ο2 设()f x 在(,]b -∞上连续，则()d lim()d b baa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰；ο3 设()f x 在(,)-∞+∞上连续，则()d lim()d lim ()d bbaaa b f x x f x x f x x +∞-∞→-∞→+∞=+⎰⎰⎰．仅当等式右边的两个极限都存在时，左边的无穷限广义积分收敛，否则发散.注意： ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则()d f x x +∞-∞⎰发散.（2）无界函数的广义积分（瑕积分） ο1 设()f x 在(,]a b 上连续，lim ()x af x +→=∞， 则()d lim ()d bbaa f x x f x x εε++→=⎰⎰，x a =称为瑕点．ο2 设()f x 在[,)a b 上连续，lim ()x bf x -→=∞， 则0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰，x b =称为瑕点．ο3 设()f x 在[,]a b 上除点c 外均连续，lim ()x cf x →=∞，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰12120lim ()d lim ()d c bac f x x f x x εεεε++-+→→=+⎰⎰．x c =称为瑕点．仅当等式右边的极限存在时，瑕积分收敛，否则发散.注意：ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则瑕积分()d ba f x x ⎰发散.二、重要结论（1）利用定积分定义求n 项和的极限 设()f x 连续，则ο1 1()d lim ()nban k b a b af x x f a k n n →∞=--=+⋅∑⎰.ο2 111()d lim ()nn k k f x x f n n →∞==⋅∑⎰.（2）奇、偶函数的积分ο1 设()f x 连续，若()f x 为偶函数，则()d xf t t ⎰为奇函数；若()f x 为奇函数，则对任意a ，()d xaf t t ⎰为偶函数.ο2 设()f x 在[,]a a -上连续，则()d [()()]d aaaf x x f x f a x-=+-⎰⎰（3）周期函数的积分设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且以T 为周期，则ο1 202()d ()d ()d T a TTT af x x f x x f x x +-==⎰⎰⎰；ο2 0()d ()d nTT a f x x n f x x =⎰⎰；ο3 0()d ()d a nT Taf x x n f x x +=⎰⎰.即：周期函数在每个周期长度区间上的积分均相等，与起点无关．（4）常用结论ο1 ππ22(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰， 令π2x t =-；ο2 ππ00π(sin )d (sin )d 2xf x x f x x =⎰⎰， 令πx t =-；ο3 ππ2(sin )d 2(sin )d f x x f x x =⎰⎰，。
2021考研数学高数必考的4个定理证明
2021考研数学高数必考的4个定理证明来源：文都图书高数是考研数学考察的重要科目，也是比较难的一门，其中有4个定理是高数的高频考点，我们一起来学习一下该如何运用这几个定理。
一、微分公式的证明2021年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。
几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。
实际上，从授课的角度，这种在2021年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。
如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。
这里给2021考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。
当然，该公式的证明并不难。
先考量f(x)*g(x)在点x0处的导数。
函数在一点的导数自然用导数定义实地考察，可以按照导数定义写下一个音速式子。
该音速为“0分之0”型，但无法用洛必达法则，因为分子的导数不好算是(乘积的导数公式恰好就是要证的，无法用!)。
利用数学上常用的堆砌之法，提一项，减至一项。
这个“无中生有”的项要和前后都存有联系，易于加公因子。
之后分子的四项两两接合，除以分母后考量音速，不难得出结论结果。
再由x0的任意性，便获得了f(x)*g(x)在任一点的导数公式。
类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。
二、微分中值定理的证明这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马定理的条件存有两个：1.f'(x0)存有2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。
考量函数在一点的导数，用什么方法?自然想起导数定义。
我们可以按照导数定义写下f'(x0)的音速形式。
往下如何推理小说?关键必须看看第二个条件怎么用。
介值定理题目
介值定理题目
介值定理题目如下：
题目：设函数 f 在 ( a , b ) 上连续，若lim x → a + f ( x ) = A < 0 , lim x → b − f ( x ) = B > 0 则∃ ξ ∈ ( a , b ) , 使得f ( ξ ) = 0
请解析这道题目：
方法一：构造闭区间上的连续函数，然后利用根的存在定理。
方法二：利用极限的保号性，找到一个相应的小的闭区间利用根的存在性定理。
请注意，这道题目考查的是介值定理，对于函数在区间端点的极限值的处理以及连续函数在闭区间上根的存在性定理的应用。
在解题过程中，需要注意函数在区间端点的极限值的正负情况，以及利用连续函数的性质进行证明。
利用压缩映像原理证明连续函数的介值性定理
利用压缩映像原理证明连续函数的介值性定理
总之，压缩映像原理证明连续函数的介值性定理可以表述为：如果某个函数x在区间[a,b]上连续，那么它在任一点c∈[a,b]上必有一点c'∈[a,b]，使得x(c)=x(c')。
首先，需要明确的是，压缩映像原理可以用来证明连续函数的介值性定理。
压缩映像原理定义了一个连续函数，它的定义如下：关于区间[a,b]的连续函数x可以视为一个压缩的图像，任何自变量c∈[a,b]所对应的图像点c'应x(c)=x(c')成立，而其中c,c‘∈[a,b]。
接下来，压缩映像原理中定义的函数被用来证明连续函数的介值性定理。
因此，假设函数x在区间[a,b]上连续，则根据压缩映像原理，任何一个自变量c也就是图像点，其值必须与另一个特定的图像点c'相等，又由于它们属于[a,b]，故有x(c)=x(c')成立。
因此，可以得出连续函数的介值性定理。
最后，结合前面所述，可以看出，压缩映像原理可以用来解释连续函数的介值性定理，就是在任一点c∈[a,b]上必须存在一个c'使得x(c)=x(c')。
因此，连续函数的介值性定理便由此得到证明。
总之，压缩映像原理可以证明连续函数的介值性定理，即如果某函数在某区间内连续，那么它在任一点c上必有一点c'使得x(c)=x(c')。
由此可见，压缩映像原理对于理解连续函数的介值性定理具有非常重要的作用。