介值定理的一些应用
关于高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、介值定理：设函数fx在闭区间a,b上连续,且在该区间的端点取不同的函数值fa=A及fb=B,那么对于A与B之间的任意一个数C,在开区间a,b内至少有一点ξ使得fξ=Ca<ξ<b.Ps:c是介于A、B之间的,结论中的ξ取开区间;介值定理的推论：设函数fx在闭区间a,b上连续,则fx在a,b上有最大值M,最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈a,b, 使得fξ=C;闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值;此条推论运用较多Ps：当题目中提到某个函数fx,或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续,那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值,那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值,必存在一个变量使得该值等于变量处函数值;2、零点定理：设函数fx在闭区间a,b上连续,且fa与fb异号,即fa.fb<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得fξ=0.Ps:注意条件是闭区间连续,端点函数值异号,结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数fx满足：1、在闭区间a,b上连续；2、在开区间a,b内可导;3、在区间端点处函数值相等,即fa=fb.那么在a,b内至少有一点ξ<aξ<b,使得f`x=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数fx 满足：1、在闭区间a,b 上连续；2、在开区间a,b 内可导;那么在a,b 内至少有一点ξ<a ξ<b,使得fb-fa=f`ξ.b-a.5、 柯西中值定理：如果函数fx 及gx 满足1、在闭区间a,b 上连续；2、在开区间a,b 内可导;3、对任一xa<x<b,g`x ≠0,那么在a,b 内至少存在一点ξ,使得Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值;6、 积分中值定理：若函数fx 在a,b 上连续,则至少存在一点],[b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξPs ：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立;但是在开区间上也是满足的,下面我们来证明下其在开区间内也成立,即定理变为：若函数fx 在a,b 上连续,则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f b a -=⎰ξ证明：设⎰=x a dx x f x F )()(,],[b a x ∈因为)(x f 在闭区间上连续,则)(x F 在闭区间上连续且在开区间上可导导函数即为)(x f ;则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：),(b a ∈∃ξ使得a b dxx f a b a F b F F b a -=--=⎰)()()()`(ξ而)()`(ξξf F =所以),(b a ∈∃ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξ;在每次使用积分中值定理的时候,如果想在开区间内使用,我们便构造该函数,运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可;千万不可直接运用,因为课本给的定理是闭区间;定理运用：1、设)(x f 在0,3上连续,在0,3内存在二阶导函数,且⎰+==20)3()2()()0(2f f dx x f f . 证明：1)2,0(∈∃η使)0()(f f =η2)3,0(∈∃ξ使0)``(=ξf证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了,但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的;有的人明知这样还硬是这样做,最后只能是0分;具体证明方法在上面已经说到,如果要在开区间内用积分中指定理,必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合;1、令]2,0[),()(0∈=⎰x x F dt t f x则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在x F 内可导. 则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：2、对于证明题而言,特别是真题第一问证明出来的结论,往往在第二问中都会有运用,在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西,我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0,这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题,如果有三个函数值相等,运用两次罗尔定理那不就解决问题啦,并且第一问证明出来了一个等式,如果有fa=fb=fc,那么问题就解决了;第一问中已经在0,2内找到一点,那么能否在2,3内也找一点满足结论一的形式呢,有了这样想法,就得往下寻找了,)3()2()0(2f f f +=,看到这个很多人会觉得熟悉的,和介值定理很像,下面就来证明：]3,0[)(在x f 上连续,则在]3,2[上也连续,由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值,分别设为M,m;则.)3(,)2(M f m M f m ≤≤≤≤从而,M f f m ≤+≤2)3()2(,那么由介值定理就有： 则有罗尔定理可知：0)`(),,0(11=∈∃ξηξf ,0)`(),,(22=∈∃ξηξf cPs ：本题记得好像是数三一道真题,考察的知识点蛮多,涉及到积分中值定理,介值定理,最值定理,罗而定理,思路清楚就会很容易做出来;2、设fx 在0,1上连续,在0,1内可导,且f0=0,f1=1.证明:ξξξ-=∈∃1)()1,0()1(f 使得、本题第一问较简单,用零点定理证明即可;1、首先构造函数：]1,0[,1)()(∈-+=x x x f x F由零点定理知：ξξξξ-==∈∃1)(,0)()1,0(f F 即使得2、初看本问貌似无从下手,但是我们始终要注意,对于真题这么严谨的题目,他的设问是一问紧接一问,第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用;在想想高数定理中的就这么些定理,第一问用到的零点定理,从第二问的结论来看,也更本不涉及什么积分问题,证明此问题也只可能从三大中值定理出发,具体是哪个定理,得看自己的情况,做题有时候就是慢慢试,一种方法行不通,就换令一种方法,有想法才是最重要的,对于一道题,你没想法,便无从下手;另外在说一点,在历年证明题中,柯西中值定理考的最少;本题结论都涉及一阶倒数,乘积之后为常数,很可能是消去了变为1你题目做多了,肯定就知道事实就是这样.并且第一问中0与1之间夹了个ξ,如果我们在0与ξ,ξ与1上对)(x f 运用拉格朗日中值定理似乎有些线索;写一些简单步骤,具体详细步骤就不多写了：将第一问中)(ξf 代入即可;Ps ：本题是05年数一的一道真题,第一问是基本问题,送分的,第二问有一定区分度,对定理熟练的会容易想到拉格朗日定理,不熟练的可能难以想到方法;做任何题,最重要的不是你一下子就能把题目搞出来,而是你得有想法,有想法才是最重要的,有了想法你才能一步步的去做,如果行不通了,在改变思路,寻求新的解法,如果你没想法,你就根本无从下手;3、设函数fx 在闭区间0,1上连续,在开区间0,1内可导,且f0=0,f1=1/3.对于这道题的结论比较有意思,比较对称,另外一个就是结论的条件,为何要把ηξ、放在两个范围内,不像上一题中直接来个)1,0(∈ξη、,这个分界点1/2 的作用是干吗的;很可能也是把1 /2当做某一个点就像上一题中的ξ,是否要用到拉格朗日中值定理呢,这是我们的一个想法;那具体的函数如何来构造呢,这个得从结论出发,22)`()`(ηξηξ+=+f f我们把等式变一下：0)`()`(22=-+-ηηξξf f ,2)`(ξξ-f 这个不就是331)(ξξ-f 关于ξ的导数而且题目中f1=1/3,貌似这样有点想法了,本题会不会也像上一题那样,运用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢,有了这些 想法我们就要开始往下走了：先来构造一个函数：0)`()`(=+ξηF F 刚好证明出来;Ps ：本题是近几年数二的一道真题,只有一问,有比较大区分度的,得从条件结论互相出发,如何构造出函数是关键;做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了,如果只给)1,0(∈ξη、,那就更难了 得自己找这个点,既然题中给了这个点,并且把两个变量分开在两个区间内,我们就对这两个变量在对应区间用相应定理;说明真题出的还是很有技巧的;一般设计难一点的中值定理证明,往往得用拉格朗日定理来证明,两个变量,都涉及到导数问题,这是因为拉格朗日中值定理条件要少些,只需连续,可导即可,不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用;4.设fx 在区间-a,aa>0上具有二阶连续导数,f0=01、写出fx 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式2、证明在-a,a 上至少存在一点η使得⎰-=aa dx x f f a )(3)``(3η第一问课本上记住了写出来就行,考的很基础1、22!2)``()0`(!2)``(!1)0`()0()(x f x f x f x f f x f ξξ+⋅=++=2、第二问先将第一问的式子fx 代入看看有什么结果出来⎰⎰--⋅=a a aa dx x f dx x f 22)``()(ξ,)``(ξf 此处不能直接拿到积分号外面,因为他不是与x 无关的数;做到这儿,我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来,有了这样想法就得寻求办法;题目中说道fx 有二阶连续导数,为何要这样说呢,我们知道连续函数有最大值,最小值,往往会接着和介值定理一起运用;所以有：因为fx 有二阶连续导数,所以存在最大值和最小值,设为M,m 则对于区间-a,a,222)``(,)``(Mx x f mx M x f m ≤⋅≤≤≤ξ所以由介值定理有结论成立;Ps ：本题是以前的一道真题,具体哪年也记不得了,主要就是考到介值定理的运用;题目中说的很明白的,有二阶连续导数,往往当题目中提及到什么连续啊,特别是对于导函数连续的,我们总得注意下他有最大值,最小值,进而与介值定理联合运用;5、设fx 在],0[π上连续,且0cos )(,0)(00=⋅=⎰⎰ππxdx x f dx x f .证明：在),0(π内至少存在两个不同点0)()(2121==ξξξξf f 使得、本题看似很简洁,但做起来去不容易;结论是证明等式成立且为0,很容易让我们想到罗尔定理,我们如果能找到三个点处函数值相等,那么是不是就能有些思路了呢;令：],0[,)()(0π∈=⎰x dt t f x F x ,0)()0(==πF F似乎只需在找出一点Fc=0即可;,如果一切如我们所想,证明也就完成了;0)(sin )(cos )(cos cos )(0000=⋅+⋅==⋅⎰⎰⎰ππππdx x F x x F x x xdF xdx x f 似乎已经找到这个点了;但是积分中值定理中,是取闭区间,如果要用的话得先构造函数用拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立;构造函数],0[,)(sin )(0π∈⋅=⎰x dt t F t x G x 具体的证明步骤和上面涉及到的一样,自己去证;证完后就得到所以有：),0(,0)()()0(ππ∈===c F c F F接下来的证明就和第一题中第二小问一样了,具体就不去证明了,自己证,关键掌握方法,思路;Ps ：本题是02年左右的数一一道证明题,看看题目很简洁,但具体来做,如果对定理的运用不熟练,还是不好弄出来;本题中涉及到积分,而且又要证明等式成立且为0,容易想到积分中值定理,以及罗尔定理;但是积分中值定理是对于闭区间而言,而我们要用到开区间,只能自己构造函数来证明其在开区间内成立,如果在实际做题的时候你不证明直接用,估计一半的分都没了;本题关键的就是寻找这个点C,找出来了其他的都不是问题,既然是关键点,那得分点也肯定最多了,你不证明这个点,直接套用课本中定理如果用的话,得分类讨论了,硬是说C 点就成立,那估计一半的分都没了;对于中值定理这章,就先给出上面一些经典的题目,大家好好体会下,多做些题,多思考;下面来讲讲对于证明题中的,函数如何来构造：基本上都是从结论出发,运用求导或是积分,或是求微分方程,解出来也可;本人自己总结了一些东西,与大家交流下：首先我们来看看一些构造函数基本方法：一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：一般都会构造出为任意常数或者或者n x e e XXX x g n x x ,)(-⋅=1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系,想想构造带有x x e e -或者)()`(x f x f = 可以构造x e x f x g -⋅=)()(0)()`(=+x f x f 可构造x e x f x g ⋅=)()(λ=+)()`(x f x f 可构造x x e e x f x g ⋅-⋅=λ)()()()(x f dt t f xa =⎰这个也是原函数与一阶导函数问题,构造函数⎰⋅=-x a x dt t f e x g )()( 先将其变形下：x x f x f λλ-=-1)()`(左边是导函数与原函数关系可构造：x e x f λ-⋅)(右边可以看成是x x λ-`也成了导函数和原函数之间关系,如是可以构造：x e x λ-⋅从而要构造的函数就是：x e x x f x g λ--=))(()(2、如果还涉及到变量X,想想构造n x0)()`(=+x f x xf 可构造x x f x g ⋅=)()(xx f x f )(2)(-=可构造2)()(x x f x g ⋅= 0)()`(=+x nf x xf 可构造n x x f x g ⋅=)()(3、另外还可以解微分方程来构造函数：如0)`()(=+x f x xf二、二阶导数与原函数之间关系构造带有x x e e -或者如何构造如下：)()`()`()``(x f x f x f x f +=+对于此式子,你会不会有所想法呢,在上面讲到一阶导函数与原函数之间的构造方法,等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数只不过原函数是)`(x f 之间关系,从而等式左边可以构造x e x f ⋅)`(等式右边可以构造x e x f ⋅)(总的构造出来函数为：x e x f x f x g ⋅-=))()`(()(另：如果这样变形：构造函数如下：x e x f x f x g -⋅+=))()`(()(,可以看上面原函数与导函数之间关系如何构造的;从而对于此函数构造有两种方法,具体用哪一种构造得看题目给的条件了;如果题目给了)()`(x f x f -为什么值可以考虑第一中构造函数,如果题目给了)()`(x f x f +,则可以考虑第二种构造方法;先变形：变成一阶导函数和原函数之间关系这个函数确实不好构造,如果用微分方程来求会遇到复数根;实际做的时候还得看题目是否给了)`(x f 的一些条件,如果在某个开区间内不为0,而构造出来的函数在闭区间端点取值相等,便可用罗而定理来证明;具体来看看题目：1、 设)(x f 在0,1上连续,在0,1内可导,且f0=f1=0,f1/2=1证明：2、存在1)()`(),,0(+-=∈ηηηξηf f 使得1、对一问直接构造函数用零点定理：x x f x F -=)()(具体详细步骤就不写了;2、该问主要问题是如何构造函数：如果熟练的话用上面所讲方法来构造： 1)()`(+-=ηηηf f 先变形 另：用微分方程求解法来求出要构造的函数把常数退换掉之后就是要构造的函数函数构造出来了,具体步骤自己去做;2、设)`(x f 在a,b 上连续,fx 在a,b 内二阶可导,fa=fb=0,0)(=⎰b a dx x f证明：1存在)`()(),`()(),(,221121ξξξξξξf f f f b a ==∈使得2存在)()``(,),,(21ηηξξηηf f b a =≠∈使得1、第一问中的函数构造：2、第二问中函数构造有两种构造方法,上面讲解中说道了我们在这用第一种原因在于第一问中)()`(x f x f -=0符合此题构造; 具体详细步骤自己去写写;3、设奇函数]1,1[)(-在x f 上具有二阶导数,且f1=1,证明：(1) 存在1)`(),1,0(=∈ξξf 使得(2) 存在1)`()``(),1,1(=+-∈ηηηf f 使得第一问中证明等式,要么用罗尔定理,要么介值定理,要么零点本题很容易想到用罗尔定理构造函数来求,因为涉及到了导函数1、x x f x F -=)()(,题目中提到奇函数,f0=0有F0=F1=0从而用罗尔定理就出来了;2、第二问中的结论出发来构造函数,从上面讲的方法来看,直接就可以写出要构造的函数先变形下：x xx e x f x G e e x f f f ⋅-==⋅=+)1)`(()()`(1)`()``(ηη函数构造出来,并且可以用到第一问的结论,我们只需要在-1,0之间在找一个点也满足1的结论即可;也即1)`(),0,1(=-∈ζζf从而可以对)1,1(),(-⊆∈ξζη运用罗尔定理即可;Ps ：本题为13年数一真题,第一问基础题,但要看清题目为奇函数,在0点处函数值为0.第二问关键是构造函数,函数构造出来了就一步步往下做,缺什么条件就去找什么条件或者证明出来,13年考研前我给我的几个考研小伙伴们讲过构造函数的一些方法,考场上都很快就搞出来了;以上是关于中值定理这章的一些小小的讲解,由于科研实践很忙,这些都是今天抽出时间写出来的,Word 上写,真心费时间,如果大家还有什么问题,可以来讨论下;。
介值定理的一些应用
介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。
本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。
介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。
文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。
最后举例说明介值定理在生活中的应用。
关键词：介值定理 方程 不等式 应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。
此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。
介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。
介值性定理：设函数()f x 在闭区间[]b a ,上连续。
并且函数()f a 与函数()f b 不相等。
如果μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数()f a <μ<()f b 或()f a >μ>()f b ，则至少存在一点0x (),a b ∈使得().0f x =μ.推论：根的存在定理 如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，并且()f a 和()f b 满足()f a ()f b <0，那么至少存在一点0x ，使得().0f x =0.即是方程()f x =0在(),a b 内至少有一个根。
1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。
可以利用此定理来解决方程根是否存在，根的个数和根的范围等的问题。
1.1介值定理证明方程根存在性证明类似方程()f x =()g x 在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函数()F x =()f x -()g x 的零点问题，一般可以利用根的存在定理来解决这类的问题。
例1 证明：函数()f x 在区间[]a 2,0上连续并且函数()0f =()2f a 。
那么方程()f x =()f x a +在[]0,a 内至少有一个根。
介值定理的推广及其应用
【 摘 要 】 对 于 介 值 定 理 ， 从 两 个 方 面 进 行 了 推 广 。 利 用 推 广 的 介 值 定 理 ， 得 到 了 求
A 一 类 方 程 绝 对 误 差 为 （ 的 近 似 解 的 一 种 行 之 有 效 的 方 法 。 " ’ # A!=）
【 文 章 编 号 】 " （ ） # " ! > ? ) # " ! " " " " ) > " " @ " > " ?
介 值 定 理 的 推 广 及 其 应 用
叶 国 炳
（ 株 洲 职 业 技 术 学 院 基 础 部 ， 湖 南 株 洲 ) ） # ! " " "
"
6!#
又 )
（ ， % （ ， （ % & ’! " & ’! " )） &&&-。 ! . 6） . 6） 6 # " )
!
. 6!
是 方 程! （ （ 内 的 一 个 解 。 * ) 也 "） $ - 在 #， /） 由 解 的 唯 一 性 知 ， $" 即 ) % & ’" -， . 6 &" - 。
6!# 6!# 6!# 6!#
（ 内 的 那 个 唯 一 解 。 $ -在 #， /）
" . 4 %" , , . 4 5 为 5 ’" 绝 对 误 差 为 " 的 近 似 值 。 " - 的 , , 证 明 ! 因 为 函 数! （ 在 闭 区 间 ［ #， 上 单 调 连 续 ，且 ! （ （ 所 以 方 程 "） /］ #） /） $ - 。 ! （ （ 内 只 有 一 个 解 " 即 （ "） $ -在 #， /） " $ - 。 ! ! -， -） … ， . … 单 调 增 加 有 上 界 。 ) " " " . .， . ,， 6， （ 常 数 ， $ 。 * % & ’" ) 为 # )$ /） . 6 &)
高数介值定理的三个公式
高数介值定理的三个公式（原创版）目录1.介值定理的定义与意义2.介值定理的三个公式2.1 第一个公式：f(a) < f(c) < f(b)2.2 第二个公式：f(c) - f(a) = ∫[a, c] f"(x) dx2.3 第三个公式：f(b) - f(c) = ∫[c, b] f"(x) dx3.介值定理的应用举例4.介值定理的理解和注意点正文一、介值定理的定义与意义介值定理是微积分中的一个重要定理，主要用于研究函数在区间内的性质。
它的定义是：如果一个函数在某一闭区间上连续，在开区间内可导，并且在区间端点的函数值相等，即 f(a) = f(b)，则对于开区间内的任意一个值 c，都有 f(a) < f(c) < f(b)。
二、介值定理的三个公式2.1 第一个公式：f(a) < f(c) < f(b)这个公式表明，对于开区间 (a, b) 内的任意一个值 c，都有 f(a) < f(c) < f(b)。
这意味着函数在区间 (a, b) 内必然取得最大值和最小值，因为如果函数在 (a, b) 内没有最大值和最小值，那么对于某个 c，必然有 f(a) >= f(c) 或 f(c) >= f(b)，与公式矛盾。
2.2 第二个公式：f(c) - f(a) = ∫[a, c] f"(x) dx这个公式表示，函数在区间 [a, c] 上的增量等于在该区间内函数的导数 f"(x) 的积分。
这个公式的意义在于，它将函数在某一区间内的增量与该区间内函数的导数联系起来，从而揭示了函数的增减性与导数之间的关系。
2.3 第三个公式：f(b) - f(c) = ∫[c, b] f"(x) dx这个公式表示，函数在区间 [c, b] 上的减量等于在该区间内函数的导数 f"(x) 的积分。
这个公式同样揭示了函数的增减性与导数之间的关系。
浅谈介值定理应用的体会
例题1.设f(x) 在[a,b] 上连续,a<x 1 <x 2 < … <x n <b,则在[a,b] 内至少有一点ξ,使f(ξ) =[f(x 1 )+f(x 2 )+ … +f(x n )]/n我拿到这个题目会如何思考呢？下面请听我详解。
从解题的技法来看，题目要证的是[a,b]，所以通常是用介值定理.，这确实从经验上来说是这样的，这个题目也确实.但是如果考试的时候如果我忘记了我会怎么办？我会这么来思考这个题目.是的，我从这个条件1，我可以推出可以应用以上的四条定理.那么题目还有其他条件吗？看起来似乎没有了，其实我们要证明的东西，也是辅助条件，那么我们来解读下要证的条件在[a,b] 内至少有一点ξ,，要证闭区间，思来想去能用必区间的中值定理有几个呢？有两个一个是介值定理，一个积分中值定理一般形式.显然这个题目没有积分中值定理，所以优先排除.暂且不说是否用介值定理，我们继续看题目还有条件吗？发现了，确实还有条件.f(ξ) =[f(x 1 )+f(x 2 )+ … +f(x n )]/n惊喜的发现{[f(x 1 )+f(x 2 )+ … +f(x n )]/n}它是个数！结合三个红色部分，于是惊喜的发现锁定我们要采用的是函数的有界性定理.只有它是证明在闭区间存在一个数使得函数等于一个数.（这不就介值定理的应用吗？要证介值定理，常要用最值定理.）当拿到一个题目没有思路的时候，应该从它的已知条件，去一步步分解，找到命题人的思路，而不能单单的套题型，当然有些题目就是单纯的要我们去套题型.同样分析这个题目，题目这次给出的条件有：1. f(x)在[0 1]上一阶连续导数，2. f(0)=0，3.证明闭区间存在一点似的一阶导数等于一个数那么由这些条件可以分析出那些东西？条件1：f(x)在[0 1]上一阶连续导数，可以推出：f(x)满足有界，最值，介值四条定理（显然这个题目不是用它） 一阶导数也满足上面四条定理条件2：没什么解读的条件3：如上题的解析，似乎在暗示介值定理，为什么这么说呢？在此我们先来看介值定理是怎么说的？一步步分解已知，从条件和结论双方慢慢的去靠拢，要理解题目解法和知识点背后的框架，这样才能让你的思路清晰.当然要及时回顾，不然就如我般会忘得一干二净.因此要用介值定理的话，关键是证明第2部分的条件成立与否？在看这个题目一阶导数函数本质还是个函数，而这个2 f (x )10部分本质是个数，因此从要证明的就是2 f (x )10这部分在最大值最小值之间.这个题目的本质还是介值定理的应用，因为它证明还是在闭区间存在一个数使得函数等于一个数.（这不就介值定理的应用吗？要证介值定理，常要用最值定理.）用最值定理去证明这个数在最大值最小值之间.由三段论知道，我们这个题目的关键在于证明2 f (x )10dx 在f’(x )最大与最小值之间.如何来证呢？解题：（首先由）f’(x )在[0,1]连续，故m ≤f’ x ≤M （原理连续函数的有界性）（如何联系f(x)与 f’(x )可以用拉格朗日中值定理，题目也给出了一个点，这也是暗示运用中值定理） f x −f 0 =f’ μ x −0 ,(0<μ<x )这一部分是命题出来的技巧.为什么后面说. f x =f’ μ x ,这样函数和导函数的联系就建立起来了，那么如何建立起和函数的原函数的联系呢？用积分！一积分发现， f x dx = f’ μ xdx 10,10接下来要证明2 f (x )10dx 在f’(x )的最大与最小值之间.实质就是证明 f’ μ xdx102在f’(x )的最大与最小值之间，在此就运用了f’(x )的有界性去放大缩小证明易证，见答案.对比例题7.4和例题7.5发下存在这样一个命题套路，“证明在闭区间在存在一个数，使得一个函数等于数（这个数等于这个函数的原函数的积分）”这种题目比第一个题单纯的用连续函数的有界性多了一步搭桥.但是它的套路．．是先建立f’ x 与f(x)的关系，将f(x)转换为了f’ x ，然后利用f’ x 的有界性再去“要证的那个数”在最大最小值之间，从而运用介值定理.写了这么多，这里面主要想告诉你，如何去提炼已知条件？如何建立关系？以及一个真题的套路问题.理清楚这些之间可以怎么来，如何去的关系.框架：1:比如拉格朗日定理是连接函数值与导函数之间的一座桥梁,所以,对于数轴上相邻二者之间都可以使用.2:形式上不要局限,只要条件符合,f ″(x) ,f′ (x ),f(x) ,∫f(t)d t相邻之间皆可使用定理.3：题中出现积分与导数之间的等式或者不等式,一般来说,需要用f(x) 在某区间上使用定理,建立起它们之间的联系中值题目要熟悉定理，总结常见的经验.要熟悉十个定理运用的条件与结论，注意事项，常见的中值题目的题型以及去理解其背后的实质，借助题型来巩固知识点，而不拘泥于题型的本身.比如：泰勒公式展开后三个运算，相加相减各自处理；上面四种函数之间的联系；题目给出了一个具体的点，一阶二阶常用拉氏定理；比如要用介值常先用最值定理这对CP;给出了连续就暗示了有界，在用泰勒的时候给出二阶连续，最后证明的等式只有一个参数，而展开的两个点，这何尝不是在暗示你用介值定理etc.好了，在此搁笔，余下的就交给你自己总结去了？Fighting！茄子&制作。
连续函数介值定理内容
连续函数介值定理内容连续函数介值定理是高等数学中的一个重要定理，也是微积分学习中必须掌握的基本内容之一。
该定理表明了连续函数的值域一定是一个区间，而且这个区间的端点都可以被函数取到。
这篇文章将从定义、证明和应用三个方面来介绍这个定理的内容。
一、定义在介绍连续函数介值定理之前，我们先来了解一下连续函数的定义。
对于一个实数集合上的函数f(x)，如果对于任意一个实数ε>0，都存在一个实数δ>0，使得当|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，那么我们称f(x)在点a处连续。
如果函数在定义域内的每一个点都连续，那么我们称这个函数为连续函数。
接下来，我们来看一下连续函数介值定理的定义。
如果f(x)在区间[a,b]上连续，那么它的值域必定是一个区间，且这个区间的端点f(a)和f(b)都可以被函数取到。
更具体地说，就是存在一个实数c，使得f(a)≤c≤f(b)，且存在实数x0∈[a,b]，使得f(x0)=c。
二、证明连续函数介值定理的证明并不是很复杂，但需要一些基础的数学知识和技巧。
下面我们就来看一下证明的过程。
首先，我们可以证明f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值都是存在的。
这是因为区间[a,b]是一个闭区间，而f(x)在这个区间上连续，所以根据闭区间套定理，f(x)的值域也是一个闭区间，因此最大值和最小值都存在。
接下来，我们假设f(x)在区间[a,b]上的最大值为M，最小值为m，即M=f(x1)，m=f(x2)，其中x1,x2∈[a,b]。
我们可以将M和m分别作为y轴上的两个点，然后在平面直角坐标系中画出一条连接这两个点的线段。
由于f(x)在区间[a,b]上连续，所以它在这个区间上的每一个点都在这条线段的上方或下方。
我们再来看一下函数值域的定义，即函数f(x)在区间[a,b]上所有可能的取值。
因为f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值都存在，所以它的值域也就是区间[m,M]。
介值定理在解题中的应用
定 理 １ （ 值定 理 ） ｆｘ 函数 在 闭 区间 ［， 】 ：介 若 （） ａ ｂ 上 连续 ， ｍ和 Ｍ分 别 为 ｆｘ 在 ［， 】 的最小 值 与最 （） ａｂ上
大值 ， 对 介于 Ｉ 和 Ｍ之 间的任 意实 数 Ｃ 至少存 在 则 Ｔ Ｉ ，
Ｖｏ ＿ ４ Ｎｏ． ｌ２ ２ Ａｐ ．２ ｒ ０１１
介值 定 理在 解 题 中的应 用
张 月 华
（ 阳职业 技术学 院 数学 与信 息 工程 系 ， 南 濮 阳 ４ ７ ０ ） 濮 河 ５ ０ ０
摘 要 ： 文通 过 实例 介 绍 了介 值 定 理 在 解 不 等 式 及 证 明方 程 根 的 存 在 性 中的 应 用 。 本
关键词 ： 介值 定理 ； 不 等 式 ； 解 方程 根 中 图分 类 号 ： ７ ０１４ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２—９ ６ （０ １０ ０ ５ —０ １７ １ １２ １ ）２— １５ ２
介 值定 理是 初 等 函数 在 连续 区间上 的一 个重 要 性 质 ，而初 等代 数教 学 中所 接触 到 的不 等式 与方 程 几 乎都 是初 等不 等式 和初 等 方程 ，因此 它在 解不 等 式 及证 明方 程根 的存 在性 中有 重要 的作 用 。
二、 介值定 理及 其推 论 的应 用 １ ．解 不等 式
号２ｒ （ ｚ ，ｒ 寄， ｋ ） ｋ＋ ） ∈
２ ．证 明方 程根 的存 在性
需要 证 明根存 在 的方 程 ， 一般 其根 不易 求 出 ， 所
利用 介值 定 理 的 推论 ２ ，可将 解 不 等式 的 问题 转化 为求 方程根 的问题 。 当求解 不 等式 ｆｘ ＞Ｏ 或 ｆ （） （
Lebesgue测度的介值定理及其应用
山东科学ＳＨＡＮＤＯＮＧＳＣＩＥＮＣＥ第３１卷第６期２０１８年１２月出版Ｖｏｌ.３１Ｎｏ.６Ｄｅｃ.２０１８ＤＯＩ:１０.３９７６/ｊ.ｉｓｓｎ.１００２￣４０２６.２０１８.０６.０１５收稿日期:２０１８￣０５￣２７基金项目:山东省自然科学基金(ＺＲ２０１８ＭＡ０２２)作者简介:路慧芹(１９７２ )ꎬ女ꎬ教授ꎬ研究方向为非线性泛函分析及其应用.Ｅｍａｉｌ:ｌｈｙ０６２５＠１６３.ｃｏｍＬｅｂｅｓｇｕｅ测度的介值定理及其应用路慧芹ꎬ路婕(山东师范大学数学与统计学院ꎬ山东济南２５００１４)摘要:利用连续函数的介值性和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度的单调性得到了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度具有介值性质ꎬ并利用所得结果证明了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的绝对连续性的逆命题也是成立的ꎮ关键词:Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度ꎻ连续函数ꎻ介值定理ꎻ积分的绝对连续性中图分类号:Ｏ１７４.１２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００２￣４０２６(２０１８)０６￣００９７￣０３ＩｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍｏｆｌｅｂｅｓｇｕｅｍｅａｓｕｒｅａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓＬＵＨｕｉ￣ｑｉｎꎬＬＵＪｉｅ(ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓꎬＳｈａｎｄｏｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＪｉｎａｎꎬ２５００１４ꎬＣｈｉｎａ)ＡｂｓｔｒａｃｔʒＢｙｕｓｉｎｇｔｈｅｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｍｏｎｏｔｏｎｅｏｆＬｅｂｅｓｇｕｅｍｅａｓｕｒｅꎬｗｅｏｂｔａｉｎｔｈａｔＬｅｂｅｓｇｕｅｍｅａｓｕｒｅｐｏｓｓｅｓｓｅｓｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅ.ＡｓａｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎꎬｗｅｐｒｏｖｅｔｈａｔｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆａｂｓｏｌｕｔｅｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｏｆＬｅｂｅｓｇｕｅｉｎｔｅｇｒａｌｉｓｔｒｕｅ.ＫｅｙｗｏｒｄｓʒＬｅｂｅｓｇｕｅｍｅａｓｕｒｅꎻｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｆｕｎｃｔｉｏｎꎻｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍꎻａｂｓｏｌｕｔｅｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｏｆｉｎｔｅｇｒａｌ１㊀引言Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度是建立Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的理论基础ꎮ在实变函数教科书中ꎬ均给出了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度具有的一般性质ꎬ如非负性㊁单调性㊁可列可加性等ꎮ作为对Ｌｅｂｅｓｇｕｅ外测度性质的补充ꎬ谢天夏等[１]研究了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ外测度可列可加性的充要条件ꎬ张天德等[２]给出了中有界集的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ外测度具有介值性质ꎮ本文利用连续函数的介值性(参见文献[３￣５])及Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度的单调性(参见文献[６])ꎬ给出了ＲＮ中的任一可测集的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度均具有介值性质ꎬ并把所得结果用来讨论Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的性质ꎬ证明了积分绝对连续性的逆命题也是成立的ꎮ２㊀主要结果定理１㊀设Ｅ为Ｒ１中的可测集ꎬ０<ｍＥ<＋ɕꎬ则对于任意一个满足０<ｃ<ｍＥ的常数ｃꎬ恒存在Ｅ山㊀东㊀科㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０１８年的可测子集Ｅ１ꎬ使ｍＥ１＝ｃꎮ证明㊀因为Ｅ为Ｒ１中的可测集ꎬ故有Ｅ⊂(－ɕꎬ＋ɕ)ꎬ定义函数ｆ(ｘ)＝ｍ(Ｅɘ(－ɕꎬｘ])ꎬｘɪ(－ɕꎬ＋ɕ)ꎮ显然ꎬｌｉｍｘң－ɕｆ(ｘ)＝０ꎬｌｉｍｘң－ɕｆ(ｘ)＝ｍＥꎮ对任意的ｘ１ꎬｘ２ɪ(－ɕꎬ＋ɕ)ꎬ不妨设ｘ１<ｘ２ꎬ则ｆ(ｘ２)＝ｍ(Ｅɘ(－ɕꎬｘ２])ȡｍ(Ｅɘ(－ɕꎬｘ１])＝ｆ(ｘ１)ꎬ且ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)＝ｍ(Ｅɘ(－ɕꎬｘ２])－ｍ(Ｅɘ(－ɕꎬｘ１])＝ｍ((Ｅɘ(－ɕꎬｘ１])ɣ(Ｅɘ(ｘ１ꎬｘ２])－ｍ(Ｅɘ(－ɕꎬｘ１])ɤｍ(Ｅɘ(－ɕꎬｘ１])＋ｍ(Ｅɘ(ｘ１ꎬｘ２])－ｍ(Ｅɘ(－ɕꎬｘ１])＝ｍ(Ｅɘ(ｘ１ꎬｘ２])ɤｍ((ｘ１ꎬｘ２])＝ｘ２－ｘ１ꎬ于是ꎬ我们有｜ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)｜ɤ｜ｘ２－ｘ１｜ꎬ∀ｘ１ꎬｘ２ɪ(－ɕꎬ＋ɕ)ꎮ因此ꎬｆ(ｘ)是(－ɕꎬ＋ɕ)上的连续函数ꎬ由连续函数的介值定理知ꎬ存在ｘ０ɪ(－ɕꎬ＋ɕ)ꎬ使得ｆ(ｘ０)＝ｃ.令Ｅ１＝Ｅɘ(－ɕꎬｘ０]ꎬ则有ｍＥ１＝ｃꎮ定理２㊀设Ｅ为Ｒ２中的可测集ꎬ０<ｍＥ<＋ɕꎬ则对于任意一个满足０<ｃ<ｍＥ的常数ｃꎬ恒存在Ｅ的可测子集Ｅ１ꎬ使ｍＥ１＝ｃꎮ证明㊀(１)首先ꎬ我们证明:∀ε>０ꎬ∃半开区间Ｉ⊂Ｒ２ꎬｓ.ｔ.㊀ｍ(ＥɘＩ)>ｍＥ－εꎮ事实上ꎬ设{Ｌｎ}为Ｒ２的起点为θ边长为１的半开区间分解ꎬ由于Ｅ为Ｒ２中的可测集ꎬ故有Ｅ＝ɣɕｎ＝１(ＥɘＬｎ)ꎬ且ｍＥ＝ ɕｎ＝１ｍ(ＥɘＬｎ)ꎮ又ｍＥ<＋ɕꎬ所以存在自然数ｎ０ꎬ使得ɕｎ＝ｎ０＋１ｍ(ＥɘＬｎ)<εꎮ因此ꎬ ｎ０ｎ＝１ｍ(ＥɘＬｎ)＝ｍɣｎ０ｎ＝１(ＥɘＬｎ)()>ｍＥ－εꎮ取Ｒ２中的半开区间Ｉ⊃ɣｎ０ｎ＝１Ｌｎꎬ则有ｍ(ＥɘＩ)>ｍＥ－εꎮ(２)其次ꎬ我们证明:对Ｒ２中任意的半开区间Ｉ＝(ａ１ꎬｂ１]ˑ(ａ２ꎬｂ２]ꎬ定义二元函数ｆ(ｘꎬｙ)＝ｍ(Ｅɘ((ａ１ꎬｘ]ˑ(ａ２ꎬｙ]))ꎬ(ｘꎬｙ)ɪＩꎬ则ｆ(ｘꎬｙ)在Ｉ上连续ꎮ事实上ꎬ对任意的(ｘꎬｙ１)ɪＩꎬ(ｘꎬｙ２)ɪＩꎬ不妨设ｙ１<ｙ２ꎬ则ｆ(ｘꎬｙ２)＝ｍ(Ｅɘ((ａ１ꎬｘ]ˑ(ａ２ꎬｙ２]))ȡｍ(Ｅɘ((ａ１ꎬｘ]ˑ(ａ２ꎬｙ１]))＝ｆ(ｘꎬｙ１)ꎬ且ｆ(ｘꎬｙ２)－ｆ(ｘꎬｙ１)＝ｍ(Ｅɘ((ａ１ꎬｘ]ˑ(ａ２ꎬｙ２]))－ｍ(Ｅɘ((ａ１ꎬｘ]ˑ(ａ２ꎬｙ１]))＝ｍ(Ｅɘ((ａ１ꎬｘ]ˑ(ｙ１ꎬｙ２]))ɤｍ((ａ１ꎬｘ]ˑ(ｙ１ꎬｙ２])ɤ(ｂ１－ａ１)(ｙ２－ｙ１)ꎮ于是ꎬ我们有｜ｆ(ｘꎬｙ２)－ｆ(ｘꎬｙ１)｜ɤ(ｂ１－ａ１)｜ｙ２－ｙ１｜ꎬ∀(ｘꎬｙ１)ɪＩꎬ(ｘꎬｙ２)ɪＩꎮ同理可证ꎬ｜ｆ(ｘ２ꎬｙ)－ｆ(ｘ１ꎬｙ)｜ɤ(ｂ２－ａ２)｜ｘ２－ｘ１｜ꎬ∀(ｘ１ꎬｙ)ɪＩꎬ(ｘ２ꎬｙ)ɪＩꎮ即ꎬｆ(ｘꎬｙ)在Ｉ上对每一个变元都满足李氏条件ꎮ对任意的(ｘꎬｙ)ɪＩꎬ(ｘ０ꎬｙ０)ɪＩꎬ我们有｜ｆ(ｘꎬｙ)－ｆ(ｘ０ꎬｙ０)｜ɤ｜ｆ(ｘꎬｙ)－ｆ(ｘꎬｙ０)｜＋｜ｆ(ｘꎬｙ０)－ｆ(ｘ０ꎬｙ０)｜８９第６期路慧芹ꎬ等:Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度的介值定理及其应用ɤ(ｂ１－ａ１)｜ｙ－ｙ０｜＋(ｂ２－ａ２)｜ｘ－ｘ０｜ꎬ由此易知ꎬｆ(ｘꎬｙ)在Ｉ上连续ꎮ(３)对任意一个满足０<ｃ<ｍＥ的常数ｃꎬ令ε＝ｍＥ－ｃ２ꎬ则ε>０ꎮ由(１)的证明知ꎬ∃半开区间Ｉ⊂Ｒ２ꎬｓ.ｔ.ｍ(ＥɘＩ)>ｍＥ－εꎬ不妨设Ｉ＝(ａ１ꎬｂ１]ˑ(ａ２ꎬｂ２].由(２)的证明知ｆ(ｘꎬｙ)在Ｉ上连续ꎮ又易知ꎬｌｉｍ(ｘꎬｙ)ң(ａ１ꎬａ２)ｆ(ｘꎬｙ)＝０ꎬｌｉｍ(ｘꎬｙ)ң(ｂ１ꎬｂ２)ｆ(ｘꎬｙ)>ｍＥ＋ｃ２>ｃꎮ由多元连续函数的介值定理知ꎬ存在(ｘ０ꎬｙ０)ɪＩ０ꎬ使得ｆ(ｘ０ꎬｙ０)＝ｃꎮ令Ｅ１＝Ｅɘ((ａ１ꎬｘ０]ˑ(ａ２ꎬｙ０])ꎬ则有ｍＥ１＝ｃꎮ注:类似于定理２的证明过程ꎬ我们可以证明ꎬ对于ＲＮ(Ｎ>２)上的可测点集Ｅ的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度同样具有类似于定理２的介值性定理ꎮ于是我们有下述一般性结果ꎮ定理３㊀(Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度的介值定理)设Ｅ为ＲＮ(Ｎɪℕ)中的可测集ꎬ０<ｍＥ<＋ɕꎬ则对于任意一个满足０<ｃ<ｍＥ的常数ｃꎬ恒存在Ｅ的可测子集Ｅ１ꎬ使ｍＥ１＝ｃꎮ３㊀应用例１(积分绝对连续性的逆命题)㊀设ｆ(ｘ)是Ｅ⊂ＲＮ上有积分的函数ꎬ并且对任意ε>０ꎬ总存在δ>０ꎬ使当ｍｅ<δ(ｅ⊂Ｅ)时恒有｜ʏｅｆ(ｘ)ｄｘ｜<εꎮ若ｍＥ<＋ɕꎬ则ｆ(ｘ)是Ｅ上的可积函数ꎮ证明㊀由题意知ꎬ对任意ε>０ꎬ总存在δ>０ꎬ使当ｍｅ<δ(ｅ⊂Ｅ)时恒有｜ʏｅｆ(ｘ)ｄｘ｜<εꎮ若０ɤｍＥ<δꎬ则结论显然成立ꎮ若ｍＥȡδꎬ由于ｍＥ<＋ɕꎬ从而存在正整数ｎꎬ使得０<ｍＥｎ<δꎮ于是由定理３知ꎬ存在ｅ１⊂Ｅꎬ使得ｍｅ１＝ｍＥｎꎮ记Ｅ１＝Ｅ＼ｅ１ꎬ则由定理３知ꎬ存在ｅ２⊂Ｅ１⊂Ｅꎬ使得ｍｅ２＝ｍＥｎ且ｅ１ɘｅ２＝Øꎮ如此重复ｎ－１次ꎬ我们便得到ｎ个两两无交的可测集ｅ１ꎬｅ２ꎬ ꎬｅｎꎬ使得Ｅ＝ɣｎｉ＝１ｅｉ㊀且ｍｅｉ<δ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎮ于是｜ʏＥｆ(ｘ)ｄｘ｜＝｜ ｎｉ＝１ʏｅｉｆ(ｘ)ｄｘ｜ɤ ｎｉ＝１｜ʏｅｉｆ(ｘ)ｄｘ｜<ｎ ε<＋ɕꎮ所以ꎬｆ(ｘ)在Ｅ上可积ꎮ参考文献:[１]谢天夏ꎬ徐晗ꎬ朱翰宬.Ｌｅｂｅｓｇｕｅ外测度可列可加性的充要条件[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１７ꎬ２０１７(１９):５３￣５４. [２]张天德ꎬ路慧芹ꎬ刘树冬.实变函数习题精选精解[Ｍ].济南:山东科学技术出版社ꎬ２０１６:４４￣４５.[３]齐渊.多元函数连续性的判定方法[Ｊ].陇东学院学报ꎬ２００９ꎬ２０(５):１３￣１５.[４]彭良雪.关于二元函数介值定理的一点说明[Ｊ].大学数学ꎬ２０１１ꎬ２７(１):１６９￣１７０.[５]李娅ꎬ薛玉梅.介值定理的推广和应用[Ｊ].教育教学论坛ꎬ２０１８ꎬ２０１８(１４):１９４￣１９６.[６]周民强.实变函数论[Ｍ].北京:北京大学出版社ꎬ２００８:８９￣９０.９９。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
介值定理的一些应用摘要：介值定理是连续函数的一个很重要的定理。
本文主要讨论利用介值定理证明方程根的问题。
介值定理不但可以证明方程根的存在性，而且可以判断方程根的个数，还能判断方程根的范围。
文章还讨论利用介值定理处理不等式问题。
最后举例说明介值定理在生活中的应用。
关键词：介值定理 方程 不等式 应用介值定理是一个简单的定理，但是我们在学习数学分析的过程中会经常遇到很多依靠这个定理来解决的题目。
此外，我们还会见到利用这个定理证明微积分中的一些定理。
介值定理是闭区间上连续函数的基本性质之一，了解这个定理并能够灵活运用这个定理来解决一些问题是十分有必要的。
介值性定理：设函数()f x 在闭区间[]b a ,上连续。
并且函数()f a 与函数()f b 不相等。
如果μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数()f a <μ<()f b 或()f a >μ>()f b ，则至少存在一点0x (),a b ∈使得().0f x =μ.推论：根的存在定理 如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，并且()f a 和()f b 满足()f a ()f b <0，那么至少存在一点0x ，使得().0f x =0.即是方程()f x =0在(),a b 内至少有一个根。
1.介值定理在方程根的问题上的应用利用介值性定理或是根的存在性定理解决方程的根的问题是一类广泛存在的题目。
可以利用此定理来解决方程根是否存在，根的个数和根的范围等的问题。
1.1介值定理证明方程根存在性证明类似方程()f x =()g x 在区间至少存在一个根的问题总是可以转化为连续函数()F x =()f x -()g x 的零点问题，一般可以利用根的存在定理来解决这类的问题。
例1 证明：函数()f x 在区间[]a 2,0上连续并且函数()0f =()2f a 。
那么方程()f x =()f x a +在[]0,a 内至少有一个根。
证明： 设()F x =()f x -()f x a +,函数()F x 在区间[]0,a 上面连续，并且()0F =()0f -()f a ,()F a =()f a -()2f a =()f a -()0f ,如果()0f -()f a =0，那么x=0就是方程()f x =()f x a +的一个根； 如果()0f -()f a ≠0，那么()0F ()0F a <。
根据根的存在定理可以得到，在(),a b 内至少存在一点c ，使得()()()0F c f c f c a =-+=,所以方程()f x =()f x a +在[]0,a 至少存在一个根。
例2 证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根。
证明： 设()f x =1011n n n n a x a x a x a --++++,则()()00lim lim lim lim nn n x x n n n n x x n aa f x x a x x aa f x x a x x →-∞→-∞→+∞→+∞⎛⎫=+++=-∞ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++=+∞ ⎪⎝⎭()lim x f x →+∞=+∞可得任给M >0，存在N >0，当X >N 时，()f x >M >0， ()lim x f x →-∞=-∞可得任给M <0，存在'N <0，当X <'N 时，()f x <'M <0，又()f x 在()()'''1,110,10N N f N f N ⎡⎤-+-<+>⎣⎦上连续，并且。
根据根的存在定理即存在一点()1,1'0+-∈N N x ，使得()00f x =,所以()f x 至少有一个实根。
1.2介值定理推断方程根个数利用介值定理我们已经解决了方程根是否存在的问题，我们不但能判断存在性的问题，我们还可以利用这个定理来推断出方程根的个数的问题。
例3 证明：方程03=++q px x ,0>p ，有且只有一个根。
证明： 设()f x =30x px q ++=,则()()lim 0.0.lim 0.0.x x b f b a f a →+∞→-∞=+∞∃>>=-∞∃<<，所以使得，所以使得根据介值定理，()b a c ,∈∃，使得()0=c f ，即03=++q pc c 。
在由0>p ，对12x x >∀，有()()()12313212x x p x x x f x f -+-=- =()()()1221212212x x p x x x x x x -+++- ()2212210,2x x x x p ⎛⎫+≥-+> ⎪⎝⎭2212122x x x x ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭,又函数()f x 是单调递增的，所以只有一个根。
例4 证明：方程3x -91x -=0，恰好有3个实根。
证明： 设()f x =193--x x ,计算可以得到()013<-=-f ，()092>=-f ，()010<-=f ，()0274>=f ，在区间[]2,3--，[]0,2-，[]4,0分别对连续函数()f x 用根的存在定理，推断出()f x 在这3个区间()2,3--，()0,2-，()4,0个有一个零点，但是()f x 是3次多项式，最多有3个零点。
所以方程3x -91x -=0，恰好有3个实根。
1.3介值定理推断方程根的范围根据介值定理我们已经能够判断出方程根的存在性和根的个数，而且还可以根据这一定理推断出方程根的范围。
例5 321,,a a a 为正数，321λλλ<<，证明：()0332211=-+-+-=λλλx a x ax a x f 在()21,λλ和()21,λλ各有一个根。
证明：当x λ→+∞时，11a x λ→+∞-，22a x λ-和33a x λ-有界。
所以()f x →+∞,同理当x λ→-∞时，21a x λ-和33a x λ-有界。
所以()f x →-∞,于是存在充分靠近1λ的11x λ>和充分靠近2λ的22λ<x ，使得 ()()120,0f x f x ><，由介值定理可以推出()f x =0，在()12,x x 有一个根，从而在()12,λλ有一个根。
同理可以证明()23,λλ有一个根。
例6 证明：方程1230123x x x ++=---有两个实根，并判断这两个根的范围。
证明： 在方程两端同时乘以()()()123x x x ---可以得()()()()()()23213120x x x x x x --+--+--=,设()()()()()()()2321312F x x x x x x x =--+--+--,则()(),F x -∞+∞在连续。
取()1F >0,()2F <0由闭区间上连续函数的介值定理可得，在()1,2至少存在一点1x 使得()10F x =,取()2F <0,()3F >0由介值定理可以得到。
在()2,3内至少存在一点2x ，使得()2F x =0 ,又12x x ≠，()0F x =是一元二次方程.因为一元二次方程至多有两个实根，12x x ≠，所以12,x x 就是方程的两个实根，分别在()1,2与()2,3内。
2.介值定理在不等式方面的应用介值定理也能够解决不等式问题方面。
首先，来看一个利用介值性定理证明的一个命题。
例7 如果对于所有[],x a b ∈都有()f x 0≠，则()f x 在[],a b 恒正或是恒负。
证明： 反证法,如果存在两点12,x x ∈[],a b ，使得()()120,0f x f x <>,设12x x <在区间[]12,x x 对于连续函数()f x 用介值定理。
推出存在ε∈()21,x x ⊆[]b a ,,使得()0f ε=,这与题目条件不符，所以得证。
这个证明说明了连续函数的一个整体性质，区间上不等于零的连续函数必然保持恒定的符号，现在设函数()f x 在区间I=(),a b 内有定义且连续。
如果函数()f x =0在(),a b 内无实根,则()f x 在(),a b 内恒正或是恒负； 如果函数()f x =0在(),a b 内有n 个实根，1231n n x x x x x -<<<，n 个实根分成n+1个小区间()()()112,,,,n a x x x x b ，那么函数()f x 在上面n+1个小的区间内恒正或是恒负。
例8 解不等式sinx >cosx. 解：设()F x =sinx -sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭,则221T ππ==, ()()00,2F x π=在上解为14x π=和234x π=.12,x x 把()0,2π分成⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π，⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4ππ，⎪⎭⎫⎝⎛43,4ππ 这3个区间，每个区间取特值6π=a ，π=b ，23π=c ， ()06<⎪⎭⎫ ⎝⎛=πF a F ，()()0>=πF b F ，()023<⎪⎭⎫⎝⎛=πF c F ，所以函数()3044F x ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解为，，整个实数域上的解集为 32,244k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭. 3.介值定理在生活中的应用介值定理在解决方程的根的问题和解不等式根的问题上有一定的作用，在生活中，同样可以利用介值定理解决一些问题。
例9 某人第一天早上7点从甲地出发，晚上5点到乙地，第二天早上9点从乙地出发，沿原路返回晚上8点回到甲。
问，能否在两天中该人恰好在同一时刻经过同一地点？解：设甲乙两地相距为a ，a >0，时间为x ，24小时制。
该人第一天从甲地到乙，在x 时刻距甲距离为()[],7,17f x x ∈,第二天从乙到甲在x 时刻距甲距离为()[],9,20g x x ∈,()a a f <<0，()07=f ，()a f =17 ,()a g <<170，()a a g =，()020=g ,()()()x g x f X F -=；[]17,9∈x ,()()()[]0999<-=g f F ，()()[]01717>-g f ,根据()x f ，()x g 连续由介值定理则存在()09,17x ∈ 使()()()00F x f x g x =-=,得证。
文章讨论了介值定理在方程根上面的应用，在解不等式方面的应用和在生活中的应用。
解方程根的问题和一些应用题时注意构造合适的辅助函数，会使解题变得十分轻松。