二项式定理的十大应用
高二数学二项式定理的应用(2019年10月整理)
二项式定理
二项式系数（
C
r n
，r=0,1,2……n）
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cnra nrbr Cnnbn (n N ) 二项展开式 二项展开式的通项
Tr1 Cnr a nrbr
二项展开式中 （1）各项的二项式系数之和
Cn0 Cn1 Cnr Cnn 2n （2）奇数项的二项式系数之和 等于偶数项的二项式系数之和：
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
例 1、例求1(、1-2求x)(71展-2x开)7式展中开第式4中项第的4二项项的式二系项数式、系系数数、。 分析：分先析求：出先求T4出 T4
解：T解4=：TT3+41==TC373+11=4 (C7231x4)(32x)83 C73x83 C73 x3
∴二项∴式二系项数式为系C数73 为=35C
3 7
=35
系数为系数8为 C73 8=-2C8730=-280
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例 2、（1）求(2x+1)8 展开式中含 x3 的项。
（2）求 (x 1 )9 的展开式中含 x3 的项 x
（3）求 ( x 2 x 2)4 展开式中含 x4 的项
（1）∴所求的项为 C83 (2x)315 448x3 。
（2）分析与解：Tr+1=
C9r
x
9r
(
1 x
)
r
，
令 9-2r=3，从而得 r=3，
即T4=Biblioteka C93x6 (1 )3 x
84 x 3
。
（3）分析与解： ( x2 x 2)4 (x 2)4 (x 1)4 其中 ( x 2)4 展开式的通项为 Tr1 C4r x 4r 2r ( x 1)4 展开式的通项为 Tk1 C4k x 4k (1)r 要使积为 x4 项，则 4-r+4-k=4 ∴k+r=4 ∴x4 项为 C40 x 4 (1)0 C44 x0 24 C41 x3 (1)1 C43 x23 C42 x 2 (1)2 C42 x 2
高中数学：二项式定理的应用
二项式定理处于排列组合和概率的交汇处。
一、比较大小
例1已知，在时，比较与的大小。
解：因为，所以令，于是
，故。
点评：使用换元策略转化问题，利用二项式定理将结论放缩到上来。
二、近似计算
例2求的近似值（精确到）。
解：因为
，所以。
点评：凡二项式定理进行近似计算可根据精确度适当选用如下公式：，。
三、整除问题
例3已知数列和的通项公式分别为
，将两个数列的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列，求的通项公式。
解：由于数列由数列和的公共项组成，那么必有，即，整理得
，则必能被4整除。
由二项式定理知：
，于是当且仅当为奇数即时，才是整数，故。
点评： B被A整除可视，利用二项式定理将表达式为，若C可被A整数，则B可被A 整除，可见提取公因式A乃关键所在。
四、余数问题
例4今天是星期天，从今天起天后的第一天是星期几？
解：因为
，而
可被4整除，所以被7除的余数为4，从今天起天后的第一天是星期五。
点评：先考虑除以7的余数是多少，利用7天为一个周期的规律可推出结果，联想便会找到解题思路。
五、求值
例5用表示实数的小数部分，若，求的值。
解：设，则由二项式定理知：
，于是
必为正整数，故，所以。
点评：挖掘倒数关系，并构造
是顺利解题的关键。
六、证明不等式
例6 已知是正整数，且。
证明：。
证明：由二项式定理得：
，又，所以，故。
二项式定理的十大应用
二项式定理的十方面应用一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数1.(2012年高考安徽卷理科7)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3【答案】D【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x 得：1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=.2.(2012年高考天津卷理科5)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（ ） （A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点．3．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是解：r r r r x T C )1(11111-=-+ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r 11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C 二、利用二项式定理求展开式的系数和1、若2013201322102013...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则_______)()()()(20130302010=++++++++a a a a a a a a 。
(用数字作答)解析：在2013201322102013...)21(x a x a x a a x ++++=-中，令0=x ，则10=a ，令1=x ，则1)1(201320043210=-=+++++a a a a a 故)()()()(20130302010a a a a a a a a ++++++++=20130a +201320133210=+++++a a a a a 。
点评：赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以达到解题目的．三、利用二项式定理求幂指数n1.(2012年高考全国卷理科15)若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 .点评：利用二项式定理求幂指数n ，主要是体现了方程思想在二项展开式中的应用，我们只要根据题目条件建立关于n 的方程，即可获解．四．求展开式1．求4)13(x x -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(x x -改写成4)]1(3[x x -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
二项式定理的应用与实例解析
二项式定理的应用与实例解析二项式定理是代数学中的重要概念之一，它在数学推理和实际问题求解中具有广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的概念及其应用，并通过具体的实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该定理。
一、二项式定理的概念二项式定理是指对于任意非负整数n和实数a、b，有以下的公式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二、二项式定理的应用1. 概率计算二项式定理在概率计算中起到了重要作用。
例如，设有一枚正反面均匀的硬币，进行n次独立的抛掷，求正面出现k次的概率。
根据二项式定理，可以得到概率公式：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，p表示正面出现的概率。
2. 组合数学二项式定理在组合数学中应用广泛，可以用于求解组合数、排列数等问题。
例如，求集合中元素的子集个数，可以通过二项式定理计算：对于一个集合，它的子集个数为2^n个，其中n表示集合中元素的个数。
3. 计算多项式展开式系数二项式定理可以用于计算多项式展开式中各项的系数。
例如，对于多项式(a + b)^n，可以通过二项式定理的应用，直接得到展开式中各项的系数。
这对于计算多项式的展开式提供了效率和便利。
三、应用实例解析1. 概率计算实例假设有一枚硬币，进行10次独立抛掷，求正面出现2次的概率。
根据二项式定理的应用，可以得到：P(X = 2) = C(10, 2) * 0.5^2 * 0.5^8 = 45 * 0.25 * 0.00390625 = 0.04395因此，正面出现2次的概率约为0.044。
二项式定理的一些应用
对 难 度较大 的 排 列 组 合应用 题 序语 言的格 式进 行分析
题的 解 决 例
(
1
. .
若模 拟计 算机 程
,
大证 “
。
十 2C
n
·
2。
十3 C
3
+ … +
”
C.
二
,
可 使 思 维 条 理化
有利 于 问
￡
=
2
介 一 l
这 里 直按处 理 公 式 南 不 用 通 常方 法
(l+
劣
。
2 张扑克牌 〔无大 王 小 王 ) 中 任 取 从5
· · ·
,
点一
·
点
,
的全部 根
之二 `
由咋迭 定理得
x
二 必几
夕=
b a
十
c b
+
a c
,
点一
5
·
6
点
,
…
,
9
点一
l
比 点)
· ·
·
· “
一
。
+ `+
从这
份 中 每 份 任取
·
张
… … ( C 护) s
二 例
解
=
:
.
、
求位
3
故 共有
二=
1 g
(C
4i
、 5~
34 164
种不 同取 法
求
粼 访甲 T 7
s
i
n ,;
。
0= C
s eo s
o l
eo s
s
,1 绍s至 夕一 C
二项式定理和其应用
• (3)各二项式系数旳和
• (a＋b)n旳展开式旳各个二项式系数旳和等于2n， 即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnr＋…＋Cnn＝2n.
• (4)二项展开式中，偶数项中旳二项式系数旳和 等于奇数项旳二项式系数旳和，即Cn1＋Cn3＋ Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1.
考点陪练
1.1＋x25 的展开式中 x2 的系数为(
• 答案：B
• 3．若对于任意旳实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋ a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2旳值为( )
• A．3
B．6
• C．9
D．12
• 解析：因为x3＝[2＋(x－2)]3，由题意得a2就是 二项式[2＋(x－2)]3(把x－2看成一种整体应用二 项式定理展开)旳展开式中第3项旳系数，所以
• ∴被100除旳余数为81，即9192除以100旳余数 为81.
• 解法二：∵9192＝(90＋1)92
• ＝C 92 0·909 2＋C 92 1·9091 ＋…＋C92 90 ·902＋ C9291·90＋1
• 因为前面各项均能被100整除，只有末尾两项不 能被100整除，因为C9291·90＋1＝8281＝8200 ＋81
【典例 2】 已知( 3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x
－1)n 的展开式的二项式系数和大 992，求2x－1x2n 的展开式中． (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
• [解析] 根据二项式系数旳性质，列方程求解n. 系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．
• 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31) ＝0，
)
A．10
B．5
5 C.2
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用1. 引言二项式定理是数学中的一个重要定理，它描述了如何展开二项式的幂。
该定理在代数、组合数学、数论以及其他数学领域有着广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的数学表达式、证明过程以及一些常见的应用。
2. 二项式定理的表达式二项式定理可以用以下的数学表达式来描述：$$(a + b)^n = C(n,0) \\cdot a^n \\cdot b^0 + C(n,1) \\cdot a^{n-1} \\cdot b^1+ ... + C(n,k) \\cdot a^{n-k} \\cdot b^k + ... + C(n,n) \\cdot a^0 \\cdot b^n$$ 其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的不同组合数量。
3. 二项式定理的证明为了证明二项式定理，我们可以使用数学归纳法。
首先，考虑当n=1时的情况：(a+b)1=a+b显然，上述等式成立。
假设当n=m时，二项式定理成立，即：$$(a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdot a^{m-1} \\cdotb^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdot a^0 \\cdot b^m$$ 我们需要证明当n=m+1时，二项式定理也成立。
首先，考虑展开(a+b)m+1：$$(a + b)^{m+1} = (a + b) \\cdot (a + b)^m$$根据归纳假设，我们可以将(a+b)m展开为：$$(a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdot a^{m-1} \\cdotb^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdot a^0 \\cdot b^m$$ 将上述展开式代入$(a + b) \\cdot (a + b)^m$中，我们可以得到：$$(a + b) \\cdot (a + b)^m = (C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^0 + C(m,1) \\cdota^{m-1} \\cdot b^1 + ... + C(m,k) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^k + ... + C(m,m) \\cdota^0 \\cdot b^m) \\cdot (a + b)$$将上式展开并合并同类项，我们可以得到：$$(a + b) \\cdot (a + b)^m = C(m,0) \\cdot a^{m+1} \\cdot b^0 + (C(m,1)\\cdot a^m \\cdot b^1 + C(m,0) \\cdot a^m \\cdot b^1) + ... + (C(m,k) \\cdota^{m-k+1} \\cdot b^k + C(m,k-1) \\cdot a^{m-k} \\cdot b^{k+1}) + ... + a^0 \\cdot C(m,m) \\cdot b^{m+1}$$我们可以通过重新排列项来证明上式等于展开式(a+b)m+1的每一项。
二项式定理的应用
二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。
【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。
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二项式定理的十方面应用
一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数 1.(2012年高考安徽卷理科7)2
5
2
1(2)(
1)x x
+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3【答案】D 【解析】第一个因式取2
x ，第二个因式取
21x
得：14
51(1)5C ⨯-= 第一个因式取2，第二个因式取5
(1)-得：5
2(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=. 2.(2012年高考天津卷理科5)在2
5
1(2)x x
-
的二项展开式中，x 的系数为（ ） （A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40
点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点．
3．在二项式11
)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 解：r
r r
r x T C
)1(1111
1-=
-+Θ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r
11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的
系数为
462)1(5
5
11
-=-C 二、利用二项式定理求展开式的系数和 1、若2013201322102013
...)
21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，
则_______)()()()(20130302010=++++++++a a a a a a a a Λ。
(用数字作答)
解析：在2013201322102013
...)
21(x a x a x a a x ++++=-中，令0=x ，则10=a ，
令1=x ，则1)
1(2013
20043210=-=+++++a a a a a Λ 故)()()()(20130302010a a a a a a a a ++++++++Λ
=20130a +201320133210=+++++a a a a a Λ。
点评：赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以达到解题目的．
三、利用二项式定理求幂指数n 1.(2012年高考全国卷理科15)若1()n
x x
+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中
2
1
x 的系数为 .
点评：利用二项式定理求幂指数n ，主要是体现了方程思想在二项展开式中的应用，我们只要根据题目条件建立关于n 的方程，即可获解．
四．求展开式 1．求4)13(x
x -
的展开式；
分析：解决此题，只需要把4)13(x
x -
改写成4)]1(3[x
x -+的形式然后按照二项
展开式的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
五、利用二项式定理证明整除问题
(2012年高考湖北卷理科5)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512012+a 能被13整除，则a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12
点评：利用二项式定理证明整除（或求余数）问题，通常把底数拆成与除数的倍数有关的和式．
六、利用二项式定理求近似值
例 求60.998的近似值，使误差小于0．001．
策略：因为660.998(10.002)=-，所以可以用二项式定理来计算． 解：66260.998(10.002)16(0.002)15(0.002)(0.002)=-=+⨯-+⨯-++-L ， ∵2315(0.002)0.000060.001T =⨯-=<． 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001， ∴从第3项起，以后的项可以忽略不计， 即660.998(10.002)16(0.002)0.988=-≈+⨯-=．
点评：由12233(1)1n n n n
n n n x C x C x C x C x +=+++++L 知，当x 的绝对值与1相比很小且n 足够大时，2x ，3x ，…，n x 等项的绝对值就会更小，因此在精确度允许的范围之内可以忽略不计．因此可以使用近似计算公式(1)1n x nx +≈+．在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍．
七、利用二项式定理证明组合数问题
例6 求证：0212222
(2!)
()()()()!!
n n n n n n C C C C n n ++++=
L ． 策略：观察等式
2(2)!!!
n
n n C n n =的特点，想到构造等式2(1)(1)(1)n n n x x x ++=+·，利用同一项的系数相等进行证明．
证明：已知
201220122(1)(1)(1)()()n n n n n n n
n n n n n n n n x x x C C x C x C x C C x C x C x +=++=++++++++L L ·，
由于n x 的系数为第一个因式中r x 的系数与第二个因式中n r x -的系数的乘积的和，
即0212222()()()()n n n n n C C C C ++++L （这是因为r x 的系数r n C 与n r x -的系数n r
n C -相等）
而在2(1)n x +的展开式中n x 的系数为2n
n C ，因此原等式恒成立．
点评：对于本题的解决，基于对等式的认真观察分析基础之上，充分利用展开式系数的特点，进行合理构造．
八、利用二项式定理证明不等式 求证：1
2
n +≥22n n ++（n ∈*
N ）
分析：本题是一边指数式，另一边是多项式的不等式的证明问题，用二项式定理证明. 证明：当1n =时，11
2+=4，2
112++=4，
∴1
2
n +=2
2n n ++；
当n ≥2时，
12n +=2(11)n +=2(1+1n
C +2n C +…+)n n C ≥2(1+1n C +2
)n C =(1)
2[1]2
n n n -++
=22n n ++. ∴12n +≥2
2n n ++（n ∈*
N ）.
点评：对于一边是指数式另一边是含指数式或为关于n 的多项式的不等式证明问题，可以用二项式定理证明，先将指数式的底数化为两项的和或差的形式，再用二项式定理展开，通过舍去展开式的若干项进行放缩并用组合数公式展开化简正好为不等式右端的形式，从而证明了不等式.本题也可用数学归纳法证明. 九． 逆向求值
二项展开式通常以正向展开的应用为主，但有时需要逆向应用，这有助于培养学生思维的双向性和灵活性。
求值： （1）4
9392293194099999C C C C C ++++ ； （2）101010
1
2103111021010C C C C +⋅⋅⋅+++ 。
分析：如果直接求解的话，第（1）题稍微烦琐点，而第（2）题简直是无从下手。
现在
先化简变形，再逆用二项式定理求值，真是“确实好多了！”
解：（1）设4
9392293194099999C C C C C ++++=x ，则 6
69592)19(99+=++C C x ，即1234581
1
541000000==
--x
∴4
9392293194099999C C C C C ++++=12345 。
（2）∵)100(11111
1
1011≤≤=
++k C C k k
k
∴)(111121111111
1
1010101
2103111021010C C C C C C C +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++
=11
2047
11
11
1
)1)11[(=
-+ 。
点评：这类二项式逆向求值通常与组合数公式等的变形联系在一起。
以下这道题也曾经
出现在多种资料上，很典型。
题目为求!0!81!1!71!
2!61
!7!11
!8!01⋅⋅⋅⋅⋅+++
⋅⋅⋅++的值，尽管面目很可
憎，但是只要将分子都变成8！，则该式即为315
2
!
82881808!8
1
8
)(==
+⋅⋅⋅++C C C 。
十．.求二项式中参数的值
(2012年高考福建卷理科11)4)(x a +的展开式中3
x 的系数等于8，则实数=a _________.
【答案】2
【解析】4
)(x a +中含3
x 的一项为r r
r
r x a
C T -+=441，令3=r ，则83
434=-a C ，即2=a .
【考点定位】本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可.。