数学分析第二册答案第十三章幂级数
数学分析试题及答案解析
2014 -——2015学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名一.判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）1。
若在连续，则在上的不定积分可表为（）.2.若为连续函数，则（)。
3。
若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（).4。
若收敛，则必有级数收敛( )5. 若与均在区间I上内闭一致收敛,则也在区间I上内闭一致收敛（).6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（).7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.二.单项选择题（每小题3分,共15分）1.若在上可积,则下限函数在上( ）A.不连续B. 连续C。
可微D。
不能确定2。
若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（）A。
在上一定不可积;B. 在上一定可积,但是;C。
在上一定可积，并且；D. 在上的可积性不能确定。
3.级数A。
发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4。
设为任一项级数,则下列说法正确的是( )A.若，则级数一定收敛；B。
若，则级数一定收敛;C。
若，则级数一定收敛；D. 若，则级数一定发散；5。
关于幂级数的说法正确的是( ）A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. 在收敛域上各点是绝对收敛的;C。
的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D。
在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分）1。
2。
四. 判断敛散性（每小题5分，共15分)1.2.3.五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1。
2。
六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
(本题满10分）七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上)，且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米,高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。
数学分析简明教程答案13
k 1 2k 1 22k 1
n1
n4n
发散；
同样，x
1 时，级数为
4
n1
3 1 n4n
n
n
1 n ，也可拆成两部分，前一部分为
1
，
k 1 2k
另一部分
k1
1 2k 1
3 1 n n
，前者发散，后者绝对收敛，因此级数
2k 1 22k1
n1
n4n
1 n 发
又在 x 1，显然级数 n 1n 均发散，故收敛域为 (1, 1) ． n1
（14）由于
lim
n
x 22n1 2n 1!
散，所以收敛区域是 ( 1 , 1 ) ． 44
（6）lnim 3n1
2 n 1
n1
3n
n
2n
lim
n
n
n 1
3
2 2
3 1 2 n
n 3 ，所以级数3 的收敛半径是 R 1 ． 3
当 x 1 1 时，级数为 3n
3
n1
2n
n
1 3n
n1
1 n
1 n
n1 nn n
n1 nn n
发散，故收敛域 (1, 1] ．
（10）
lim n
5 n 1
1
7 n1
5n
1
7n
1 7
，所以
R
7
．
在
x
1 7
，由于
7n
5n 7n
1 n
，即级数
n1
7n
5n 7n
7n
一般项
5n 7n
当
n
时不趋于 0，因此级数发散，故收敛域 7,7 ．
《数学分析》(华师大二版)课本上的习题12-15
第十二章 数项级数§ 1 级数的收敛性1． 试讨论几何级数（也称为等比级数） )0....( (2)≠++++a a a ar a r rn的收敛性。
2． 证明下列级数的收敛性，并求其和数：（1）....;)15)(45(1......161111161611++-+⋅+⋅+⋅n n （2）.....;)11....()11()312!(323222++++++nn（3）;)2)(1(1++∑n n n（4）);122(n n n ++-+∑ （5）;122nn -∑3． 证明：若级数un∑发散，0≠c ,则unc∑也发散。
4． 设级数un∑和v n∑都发散，试问)(v u nn+∑一定发散吗？又若un与v n（n=1,2,….）都是非负数，则能得出什么结论？ 5． 证明：若数列}{a n收敛于a,则级数a a aa n n-=-∑+11)(6． 证明：若数列}{b n有+∞=bnlim ，则（1） 级数)(1b bn n -∑+发散；（2） 当0≠b n 时，级数)11(1bb n n+-∑=117． 应用第5，6题的结果求下列级数的和：（1）;))(1(1∑+-+n a n a（2）;)1(12)1(1++∑-+n n n n（3）;]1)[1(12)1(22∑++++n n n8． 应用柯西准则判别下列级数的收敛性：（1）∑22sin n n； （2）∑-+-12221)1(n n n ；（3）∑-n)1(； （3）∑+nn 21；9． 证明级数∑un收敛的充要条件是：任给正数ξ，存在某自然数N,对一切n>N,总有ξ<++++u uu n N N (1)。
10． 举例说明：若级数∑un对每一个自然数p 满足条件0)...(1lim =++++∞→u uu p n n nn ，则这级数不一定收敛。
§ 2 正项级数1． 应用比较原则判别下列级数的收敛性：（1）an 221+∑； （2）32sinnnπ∑；（3）∑+n211； （4）∑∞=2)(ln 1n nn ；（5）)1cos 1(∑-n ； （6）∑nnn1；（7）)0(),2(11>-+-∑a a a nn； （8）∑∞=2ln )(ln 1n nn ；2． 用比较判别法或根式判别法鉴定下列级数的收敛性：（1）∑-⋅⋅⋅⋅!)12(31n n ； （2）∑+10)!1(n n ；（3）∑+)12(n n n； （4）∑n nn !；（5）∑22nn； （6）∑)(a b nn（其中)0,,);(b a b a n a a an n≠>∞→→且3． 设∑u n和∑vn为正项级数，且存在正数N,对一切n>N,有vv uunn nn 11++≤。
《数学分析(3)》知识点整理
《数学分析（3）》复习资料第十三章 函数列与函数项级数（5%）1．（1）函数列收敛域为(),1,2,nn f x x n == (1,1]-，极限函数为0,1,()1, 1.x f x x ⎧<⎪=⎨=⎪⎩．（2）函数列sin (),1,2,n nxf x n n == 收敛域为(,)-∞+∞，极限函数为()0f x =． 2．（1）函数列在(02(),1,2,nx n f x nxe n -== ,)+∞上不．一致收敛． （2）函数列()1,2,n f x n == 在(1,1)-上一致收敛． （3）函数列22(),1,2,1n xf x n n x ==+ 在(,上一致收敛．)-∞+∞（4）函数列(),1,2,n xf x n n== 在[0上不．一致收敛． ,)+∞（5）函数列()sin,1,2,n xf x n n== 在上不．一致收敛． (,-∞+∞)3．（1）函数项级数nn x∞=∑在(1上不．一致收敛． ,1)-（2）函数项级数2sin nx n ∑，2cos nxn ∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（3）函数项级数(1)!nx n -∑在上一致收敛． [,]r r -（4）函数项级数122(1)(1)n nx x --+∑在(,上一致收敛． )-∞+∞（5）函数项级数n n x ∑在11r x r r ∙>⎧⎪>⎨=⎪⎩上一致收敛上不一致收敛．（6）函数项级数2nx n ∑在上一致收敛．[0,1]（7）函数项级数12(1)n x n --+∑在上一致收敛．(,-∞+∞)（8）函数项级数221(1)n x x -+∑在(,上不．一致收敛． )-∞+∞第十四章 幂级数（10%）1．对于幂级数，若0n n n a x ∞=∑lim n ρ=（1limn n na a ρ+→∞=） 则（i ）当0ρ=时，收敛半径R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞；（ii ）当ρ=+∞时，收敛半径，仅在0R =0x =处收敛； （iii ）当0ρ<=+∞时，收敛半径1R ρ=，收敛域为(,)R R -，还要进一步讨论区间端点x R =±处的敛散性．2．幂级数展开式： （1）()2(0)(0)(0)()(0)1!2!!n nf f f f x f x x x n '''=+++++（2）011nn x x ∞==-∑，01(1)1n n n x x ∞==-+∑ (1x )<． （3）2(1)(1)(1))12!!m n m m m m m n x mx x x n ---++=+++++ (11)x -<<111]，．1110101m m m ≤--⎧⎪-<<-⎨⎪>-⎩时，收敛域为（，）时，收敛域为（，]时，收敛域为[，(1（4）1110(1)(1)ln(1)(11)1n n n n n n x x x x n n -∞∞+==--+==-<≤+∑∑，1ln(1)nn x x n∞=--=∑ (11)x -≤<． （5）210(1)sin (21)!n n n x x n ∞+=-=+∑，20(1)cos (sin )(2)!n nn x x n ∞=-'==∑ ()x -∞<<+∞．（6）10(1)arctan (11)21n n n x x n ∞+=-=-≤+∑≤（7）0)!nxn x n ∞==-∞<<+∞∑e x3．幂级数的和函数（1）1)(0,1,2,k 1knn kx x x x ∞==<-)∑ = ． （2）()(1)1)1knnn kx x x x ∞=--=<+)∑ ． (0,1,2,k = （3）1ln(1)nn x x n∞==--∑ ．(11)x -≤<（4）121111()1(1)n nn n n n x nxx x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x )<． （5）223)21111(1)()1(1)(1n n n n n n x n n x x x x x x ∞∞∞-==='''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-===== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ (1x <)． 第十五章 傅里叶级数（10%）()f x 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积的函数： 1．01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，01()a f x πππ-=⎰dx ，1()cos n a f x nx πππ-=⎰dx ，1()sin nbf x nx πππ-=⎰dx 1,2,n ，= ．2．01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑，01()ll a f x l -=⎰dx ， 1()cos l n l n x a f x dx πl l -=⎰，1()sin l n l n xb f x dx πl l-=⎰，1,2,n = ．3．（1）偶函数的傅里叶级数：01()cos2n n a n x f x a l π∞==+∑，012()cos ()cos l l n l n x n xa f x dx f x dx πl l l l π-==⎰⎰，． 1,2,n = 01()cos 2n n a f x a nx ∞==+∑，012()cos ()cos n a f x nxdx f x nxd πππππ-==⎰⎰x ，1,2,n = ．（2）奇函数的傅里叶级数：1()sinn n n x f x b lπ∞==∑，012()sin ()sin l l n l n x n xf x dx f x dx l l l l πb π-==⎰⎰1,2,，n = ．1()sin n n f x b ∞==∑nx ，012()sin ()sin n b ，f x nxdx f x nxdx πππππ-==⎰⎰1,2,n = ．第十六章 多元函数的极限与连续（5%）1．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→，00lim lim (,)y y x x f x y →→和重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →都存在，则三者相等．2．若累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→存在但不相等，则重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →必不存在．3．2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+，2222(,)(0,0)1lim x y x y x y →++=+∞+，22(,)lim 2x y →=，22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y →+=+，2222(,)(0,0)sin()lim 1x y x y x y →+=+． 第十七章 多元函数微分学（20%）1．全微分：z zdz dx dy x y ∂∂=+∂∂． 2．zzz x y x yx x y yt t∂∂s t s sts∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z z x z y s y t∂∂∂∂∂=+s x s y z z x z t x t y ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂． 3．若函数f 在点可微，则0P f 在点沿任一方向的方向导数都存在，且0P 000(,,)l x y z 0000()()cos ()cos ()cos l x y z f P f P f P f P αβγ=++，其中cos α，cos β，cos γ为方向l x 的方向余弦，000(,,)y z即cos α=cos β=，cos γ=4．若(,,)f x y z 在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量0000(,,)P x y z 000((),(),())x y z f P f P f P 为函数f 在点的梯度，记作0P 000(),()ad )z ((),x y gr f P f =P f P f ．向量grad f 的长度（或模）为gra d f =．5．设，(,z f x y xy =+)f 有二阶连续偏导数，则有1211z 212()z f yf z x x y y y ∂⎛⎫∂ ⎪''∂+∂∂⎝⎭==∂∂∂∂2f f y f yf x∂'''=⋅+⋅=+∂'，11122212221112221(1)()f f x f y f f x f f x y f xyf ''''''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅=++++．6．设，令00()()0x y f P f P ==0()xx f P A =，0()xy f P B =，0()yy f P C =，则（i ）当，时，20AC B ->0A >f 在点取得极小值； 0P （ii ）当，20AC B ->0A <时，f 在点取得极大值； 0P （iii ）当时，20AC B -<f 在点不能取得极值； 0P （iv ）当时，不能肯定20AC B -=f 在点是否取得极值．0P 第十八章 隐函数定理及其应用（10%）1．隐函数，则有(,)0F x y =x yF dydx F =-． 2．隐函数，则有(,,)0F x y z =x z F zx F ∂=-∂，y zF z y F ∂=-∂(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v ． =⎧⎨3．隐函数方程组：=⎩，有x yu v xyuv F F F F F F F F x y u v G G G G GG G G x yuv ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 则uv uv uv F F J G G =，xv xv xv F F J G G =，uxux u x F F J G G =，y v yv y v F F J G G =，uyuy uyF F JG G =， xv uv J u x J ∂=-∂ ，ux uv J vx J ∂=-∂，yv uv J u y J ∂=-∂，uy uvJ v y J ∂=-∂． 4．平面曲线在点的切线．．方程为(,)0F x y =000(,)P x y 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=， 法线．．方程为000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y -+-=． 5．空间曲线：在点处的L (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩0000(,,)P x y z切线．．方程为00z x yz x y z x y z x y 0x x y y z z F F F F F F G G G G G G ---==⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎫⎪⎭00000()()()0x y z F x x F y y F z z ， 法线．．方程为． 00()()()yz xy zx yz xy zx F F F F F F x x y y z z G G G G G G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．曲面在点处的切平面．．．方程为(,,)0F x y z =0000(,,)P x y z -+-+-=， 法线．．方程为00x y 0zx x y y z z F F F ---==． 7．条件极值例题：求函数在约束条件22u x y z =++222z x y =+与4x y z ++=下的最大值和最小值．解：令，22222(,,,,)()(4)L x y z x y z z x y x y z λμλμ=+++--+++-则由，得稳定点22220222040x yz L x x L y y L z L z x y L x y z λμλμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=--=⎪=++-=⎪⎩00112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩及228x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故当1x y ==，时函数在约束条件下取得最小值， 2z =22u x y z =++28z =26当，时函数在约束条件下取得最大值．2x y ==-22u x y z =++72第十九章 含参量积分（5%）1．，；10()s xs x e +∞--Γ=⎰dx 0s >(1)(s s )s Γ+=Γ；1(2Γ=；1()2n Γ+=，1()2n Γ-=． 2．1110(,)(1)p q p q x x ---⎰)dx (0,0p q >>B =；(,)(,)p q q p B =B ；1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+- ；(0,1p q >>)1(,)(1,)1p p q p q -p q B =B -+-) ；(1,0p q >>(1)(1)(,)(1,1)(1)(2)p q p q p q p q p q --B =B --+-+- ．(1,1p q >>)3．()()(,)()p q p q p q ΓΓB =Γ+ ．(0,0p q >>)第二十章 曲线积分（5%）1．设有光滑曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),(Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰；当曲线由方程L ()y x ψ=，[,]x a b ∈表示时，(,)(,(bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰．2．设平面曲线：L (),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩t [,]αβ∈，其中()t ϕ，在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且((),())A ϕαψα，((),())B ϕβψβ． 又设与为上的连续函数，则沿L 从A 到(,)P x y (,)Q x y L B 的第二型曲线积分(,)(,)[((),())()((),())()]LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰．第二十一章 重积分（20%）1．若(,)f x y 在平面点集}{12(,)()(),D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤（x 型区域）上连续，其中1()y x ，2()y x 在[,上连续，则]a b 21()()(,)(,)b y x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰，即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．若}{12(,)()(),D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤，其中1()x y ，2()x y 在]上连续，则二重积分可化为先对[,c d x ，后对y 的累次积分21()()(,)(,dx y cx y D)f x y d dy f x y σ=⎰⎰⎰⎰dx ．在二重积分中，每次积分的上、下限一定要遵循“上限大，下限小”的原则，且一般来说，第一次（先）积分的上、下限一般为第二次（后）积分的积分变量的函数或常数，而第二次（后）积分的上、下限均为常数． 2．格林公式：若函数，在闭区域上连续，且有一阶偏导数，则有(,)P x y (,)Q x y D ()L DQ Pd Pdx Qdy x yσ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ （或L Dx y d Pdx Q +dy P Qσ∂∂∂∂=⎰⎰⎰ D ），这里为区域的边界曲线，并取正方向． L 3．设是单连通闭区域．若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：D (,)P x y (,)Q x y D （i ）沿内任一按段光滑封闭曲线，有D L 0LPdx Qdy +=⎰；（ii ）对中任一按段光滑曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点及终点有关；D L LPdx Qdy +⎰L （iii ）是内某一函数的全微分，即在内有Pdx Qdy +D (,)u x y D du Pdx Qdy =+；（iv ）在内处处成立D P Qy x∂∂=∂∂． (,)4．设f x y 在极坐标变换cos ,:sin ,x r T y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<+∞，02θπ≤≤下，xy 平面上有界闭区域与D r θ平面上区域∆对应，则成立(,D)(cos ,sin )f x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰．通常积分区域为圆形、扇形、环形或为其一部分，或积分区域的边界线用极坐标方程表示较简单，且被积函数为22()f x y +，(y f x ，(xf y，()f x y +等形式时常选用在极坐标系下计算二重积分．5（1）柱面坐标变换cos ,0,:sin ,02,.x r r T y rz z z θ,θθπ=≤⎧⎪=≤⎨⎪=-∞<<⎩<+∞≤+∞(,,)V 三重积分的柱面坐标换元公式为f x y z dxdydz ⎰⎰⎰(cos ,sin ,)V f r r z rdrd dz θθθ'=⎰⎰⎰，这里V '为V 在柱面坐标变换下的原象．（2）球坐标变换T y sin cos ,0,:sin sin ,0,cos ,02.x r r r z r ϕθϕθϕπϕθπ=≤<+∞⎧⎪=≤≤⎨⎪=≤≤⎩三重积分的球坐标换元公式(,,)Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰2(sin cos ,sin sin ,cos )sin V f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕ'=⎰⎰⎰θ，这里V '为V 在球坐标变换下的原象．DS ∆=．6．曲面面积计算公式：第二十二章 曲面积分（10%）1．设有光滑曲面)，(,:(,S z z x y =)x y D ∈，(,,)f x y z 为上的连续函数，则S (,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰． 2．设R 是定义在光滑曲面:(,S z z x y )=，(,)xy x y D ∈上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有S S z (,,),))(,,(xySD R x y z dxdy x y dxdy =⎰⎰R x y z ⎰⎰．3．高斯公式：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面围成．若函数，，S P Q R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则(VSP Q Rdxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ，其中取外侧． S 4．斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线．若函数，Q ，S L P R 在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则S L ()(()L P =⎰ S P R Q P dydz dzdx dxdy d Q z x x y ∂∂∂∂-+-∂∂∂∂⎰⎰R Q y z ∂∂∂∂x dy +Rd +z （或-+Sdz dzdx dxdydy x y z P Q R∂∂∂∂∂∂⎰⎰ LPdx Qdy Rdz =++⎰ ），其中的侧与的方向按右手法则确定． S L。
数学分析简明教程答案13
第十三章 幂级数§13.1 幂级数的收敛半径与收敛域1．求下列各幂级数的收敛域：（1）∑∞=1!)2(n nn x ；（2）∑∞=+++111)1ln(n n x n n ； （3）∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n nn x n n ；（4）∑∞=122n n nx ；（5）∑∞=-+1))1(3(n nn n x n ； （6）()()∑∞=+-+1123n n nn x n ； （7）()()n n x n n ∑∞=+1!!12!!2；（8）∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n n x n ；（9）()n n nn x nn∑∞=-11；（10）∑∞=+175n nn nx ； （11）()()nn x n n ∑∞=12!2!；（12）n n x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++11211 ； （13）∑∞nnx；（14）()()∑∞=---112!122n n n x ； （15）()10,12<<∑∞=a x a n n n ；（16）∑∞=1n p nnx ．解（1）由012lim !2)1(2lim 1=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→+∞→n n n n n n n ，故收敛半径+∞=R ,收敛域为)(∞+∞-,．（2）由 121)2ln()2ln(lim 1)1ln(2)2ln(lim =++⋅++=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→∞→n n n n n n n n n n ，故收敛半径1R =． 在1=x ，级数为∑∞=++11)1ln(n n n ，发散；在1-=x ，级数为∑∞=+++-111)1ln()1(n n n n ，由交错级数的Leibniz 判别法，知其收敛，因而收敛域为)[1,1-．（3）e n n n nn n nn n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→11lim 1lim ，所以收敛半径e R 1=．由于()∞→≠→⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+n e e n nn 01111， 故在e x 1±=级数发散，因此收敛域为)1,1(ee -．（4）由121lim 21limlim 2===∞→∞→∞→n n n n n n n n a ，知收敛半径1=R ． 在1=x ，级数为∑∞=±12)1(2n nn绝对收敛，故收敛域为]1,1[-. （5）由()413limlim =-+=∞→∞→nnn n n n na ，故收敛半径41=R ． 在41=x ，级数()[]∑∞=-+1413n n nn n ，将其奇偶项分开，拆成两个部分，分别为∑∞=121k k 和()∑∞=--1122121k k k ，前一项级数发散，后一项级数收敛，因此级数()[]∑∞=-+1413n n nn n 发散；同样，41-=x 时，级数为()[]()∑∞=--+11413n nn nn n ，也可拆成两部分，前一部分为∑∞=121k k ，另一部分()()∑∞=-----112122121k k k k ，前者发散，后者绝对收敛，因此级数()[]()∑∞=--+11413n nn nn n 发散，所以收敛区域是)41,41(-． （6）()()()332132231lim 23123lim 11=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+∞→++∞→n nn n nn n n n n n n ，所以级数的收敛半径是31=R ． 当311=+x 时，级数为()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+1132113123n n n n n n n n n 发散；当311-=+x 时，级数为()()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1132113123n n n n n n n n n n 收敛． 因此，收敛域为31131≤+≤-x 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,43. （7） ()()()()()13212lim !!12!!2!!32!!12lim =++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++∞→∞→n n n n n n n n ，所以收敛半径1=R ．当1=x 时，级数为()()∑∞=+1!!12!!2n n n ，由于12132lim 12232lim <=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→∞→n n n n n n n ，故由Raabe 判别法，知级数发散；当1-=x 时，级数为()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=（实际上，由其绝对收敛立知其收敛），这是交错级数，由于()()()()()()!!12!!2!!12!!23222!!32!!22+<+++=++n n n n n n n n ，故()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+!!12!!2n n 单调下降，且由n n n 2112254320<+< （用数学归纳法证之）及夹迫性知()()0!!12!!2lim =+∞→n n n ，由Leibniz 判别法，知()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=收敛，所以收敛域为)1,1[-． （8）111lim 11lim 2--∞→-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+e n n nn n n n ，所以收敛半径e R =．由于()()∞→≠→±⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n e e n n n 0112，故级数在e x ±=发散，因而收敛域为),(e e -．（9）()()11111lim11=-++-++∞→nnn n n nn n n ，所以1=R ．在1=x ，级数为()∑∞=-11n nn nn，由Leibniz 判别法，知其收敛；在1-=x ，级数为∑∞=11n nnn发散，故收敛域]1,1(-．（10）71751751lim 11=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n n n n ，所以7=R ．在71±=x ，由于()()∞→→+±n n n n1757，即级数()∑∞=+±1757n nn n一般项()n n n757+±当n ∞→时不趋于0，因此级数发散，故收敛域()7,7-．（11）()[]()[]()()()()()4112121lim !2!!12!1lim 222=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→∞→n n n n n n n n n ，因此4=R ． 在4±=x ，级数为21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑，因为级数一般项的绝对值为 1!)!12(!)!2()4()!2()!(2>-=±n n n n n 对一切n 成立，所以0)4()!2()!(lim2≠±∞→nn n n ，即级数21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑发散，因此收敛域为)4,4(-．（12） 因为1)1211()11211(lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n ，所以1=R ．而在1±=x ，由于()011211lim ≠∞=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→nn n ，故级数在1±=x 均发散，因而收敛区间为)1,1(-．（13）因为11lim=+∞→nn n ，所以1=R ．又在1±=x ，显然级数()∑∞=±11n nn 均发散，故收敛域为)1,1(-．（14）由于()()()()()()101222lim !122!122lim 21212<=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-∞→--∞→n n x n x n x n n n n ，故()∞∞-∈∀,x ，()()∑∞=---112!122n n n x 均绝对收敛，因而收敛半径+∞=R ，收敛域()∞∞-,．（15）因为0lim lim 2==∞→∞→n n n n n a a （10<<a ），所以+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,．（16）()1111lim 111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→p n ppn n n n ，所以1=R ． 在1±=x ，级数变为()∑∞=±11n pn n ，故当1>p 时都收敛；10≤<p 时，()∑∞=-11n pn n 收敛，而∑∞=11n p n 发散，0≤p 时一般项不趋于0，均发散．因此，当1>p 时，收敛域]1,1[-； 10≤<p 时，收敛域为)1,1[-；而当0≤p 时, 收敛域为)1,1(-．2．设幂级数nn nx a∑∞=1的收敛半径为R , n n n x b ∑∞=1的收敛半径为Q ，讨论下列级数的收敛半径：（1）∑∞=12n n nx a；（2）()∑∞=+1n n n nx b a；（3）()∑∞=1n nnn xb a ．解（1）由题设R a a nn n 1lim 1=+∞→，所以()221211lim x R x a x a n n n n n =++∞→，故当112<x R ,即R x <时，级数nn n x a 21∑∞=绝对收敛，而当112>x R ，即R x >时，级数nn n x a 21∑∞=发散，因此级数nn n x a 21∑∞=的收敛半径为R ． （2）收敛半径必{}Q R ,m in ≥，而不定，需给出n a ，n b 的具体表达式才可确定，可以举出例子．（3）RQ b a b a nn n n n 1lim11=++∞→，所以收敛半径为RQ ，只有当Q R ,中一个为0，另一个为∞+时，不能确定，需看具体n a ，n b 来确定，可以是[)+∞,0中任一数．3．设()0,,2,1101>=≤∑∞=x n M x ak kk ，求证：当10x x <<时，有（1）n n nx a∑∞=0收敛；（2）M x an n n≤∑∞=0．证明（1）nn n x a ∑∞=0=n n n n x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=111，而由于10x x <<，故数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nx x 1单调递减趋于0，级数n n n x a11∑∞=的部分和数列M x a n nn ≤∑∞=0有界，由Dirichlet 判别法，级数nn n x a ∑∞=0收敛．(2) 设n n nx a∑∞=0的部分和为)(x s n ，则由Abel 变换，有 knk k k nk k k n x x x a x a x s ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==1111)(∑∑∑=-==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k kk nn k k i i i k k x a x x x a x x x x 1111111111M x x M x x x x x x M nn k k k <=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑-=+1111111， 所以，M x s x s x an n n n n n n≤=∞→∞→∞=∑)(lim )(lim 0．§13.2 幂级数的性质1．设nn n x a x f ∑∞==)(当r x <时收敛，那么当101+∞=∑+n n n r n a 收敛时有11)(+∞=∑⎰+=n n n rr n a dx x f ， 不论nn n xa ∑∞=0当r x =时是否收敛．证明 由于幂级数11+∞=∑+n n n r n a 的收敛半径至少不小于r ，且该幂级数在r x =收敛，因而该幂级数在[]r ,0一致收敛（Abel 第二定理），因此该幂级数的和函数)(x s 在r x =连续，即()101lim +∞=→∑+=-n n n rx r n a x s ．又r x <<∀0，由于n n n x a ∑∞=0当r x <时收敛，故可逐项积分，即)(1100x s r n a dx x a dx x a n n n n xnn x n nn =+==+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑，即)(lim )(0x s dt t f rx x -→=⎰，令-→r x 取极限即有1001)(lim )(+∞=→∑⎰+==-n n n rx r r n a x s dx x f ．2．利用上题证明()∑⎰∞=-=-121011ln n ndx x x ． 证明 ()()1,11)1ln(111<-=--=-∑∑∞=∞=-x x nx nx n nn n n ，故()∑∞=--=-1111ln n n x n x x ，1<x ，而级数∑∑∞=∞=-=+-⋅-12111)1(11n n n n n 是收敛的，利用上题结论，就有()∑⎰∞=-=-121011ln n n dx xx ．3. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：（1）∑∞=1n nnx ；（2）∑∞=1n nnx；（3）()∑∞=+11n nxn n ；（4）()()∑∞=---121121n n n x n n ； （5）∑∞=+122!1n nnx n n ； （6）()()nn n x n n ∑∞=+-13!11；（7）∑∞=-+11414n n n x ；（8）()∑∞=+-0112n n n x ；（9）∑∞=-112n n x n；（10）()∑∞=++1122!12n n x n n ．解（1）因为1,1111<=-∑∞=-x x x n n ，所以当1<x 时，⎰∑⎰-=∞=-x n x n dt t dt t 000111,即()x n x n n --=∑∞=1ln 1，且当1-=x 时，级数()∑∞=-11n nn 收敛，由Abel 第二定理，有()11,1ln 1<≤---=∑∞=x x n x n n． （2）设∑∞==1)(n nnx x s ，则1,)(11<=∑∞=-x nx x x s n n ，逐项积分，有1,1)(1101<-===∑∑⎰⎰∞=∞=-x x x x dt t n dt t t s n n n x n x，所以，()2111)(x x x x x s -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，即()1,1)(2<-=x x x x s ． （3）设()∑∞=+=11)(n nx n n x s ，1<x ，则有 ()()1,11)(221111<-===+=∑∑∑⎰⎰∞=∞=+∞=x x x nx x nxdt t n n dt t s n nn n n xnx，所以，322)1(2)1()(x x x x x s -='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，1<x ． （4）设()()∑∞=--=12121)(n n nx n n x s ，1≤x ，则 ()()∑∞=----='11211221)(n n n x n x s ，11≤<-x ， ()()()211212211212121)(xx x x s n n n n n +=-=-=''∑∑∞=-∞=--，1<x ， 所以，()x dt tx s xarctan 21121)(02=+='⎰，11≤<-x ， )1ln(41arctan 21arctan 21)(20x x x tdt x s x+-==⎰，1≤x ． （5） 设 1)(2!12!2!1)(211212-+=+=+=∑∑∑∞=∞=∞=xnn n n n n n n ne x x n x n n x n n x s σ，+∞<x ． 由于()211101222!1122!)(2!)(xn n n n n x n n n e xx n x x n n dt t t x n n x =⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=∑∑⎰∑∞=-∞=∞=σσ，所以， 222412)(x x e x e x x +=σ，故 112141)(22-⎪⎭⎫⎝⎛++=xe x x x s ．（6）设()()∑∞=+-=13!11)(n n n x n n x s ，+∞<x ，则[]()∑∞=-='13!)(n nx n n x xs ，所以，[]()()[]()13)(!)(12220+--='⇒-=-='--∞∑⎰x x xe x xs e x x x n n dx t ts t x x n x，()11)(3-++=-x e x x x xs ，则()xe ex x s x x11)(2-++=--（在0=x 理解为极限值）．（7）令∑∞=-+=11414)(n n n x x s , 则1,14)(1142<+=∑∞=+x n x x s x n n ，所以， []()44141421)(xx xxx s x n nn n-==='∑∑∞=∞=， 故x x x x x s x -+-+=arctan 2111ln 41)(2，因此2222arctan 11ln 41)(xxx x x x x s -+-+=（在0=x 理解为极限值）．（8）22122lim 12lim1=-=-∞→+∞→n n n nn n ，收敛半径21=R ，在21±=x ，有 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±-∑∑∞=∞=+nn n n nn 2121211201， 由于()02121lim ≠⎪⎭⎫⎝⎛-±∞→nnn ，故级数发散．可得 ()()∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=012212)(n n n nn nn x x x x s()()x x x x 2111112112--=---=，21<x ． （9）设1,)(112<=∑∞=-x x nx s n n ，则有x x x dx dt t s u nx dt t s n n xu n nx-==⎪⎭⎫⎝⎛⇒=∑⎰⎰∑⎰∞=∞=1)(1)(10010，所以，20)1(11)(1x x x dt t s x x -='⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰， 即20)1()(x x dt t s x-=⎰，所以32)1(1)1()(x xx x x s -+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，1<x ． （10）设()+∞<+=∑∞+x x n n x s n ,!12)(122，则有（逐项积分），()1!1)(1!12)(2121001120-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒+=+∞=∞=+∑⎰⎰∑⎰x n n x t n n xe x x n dt du u u s t x n n dt t t s所以，()()x e x x du uu s e x du u u s x x x x x -+=-+=⎰⎰2230202)(,112)(1， ()11624)(224-+++=x e x x x xx s ， 则()x e x x x x x s x -+++=2235624)(．4.求下列级数的和： （1）∑∞=-1212n nn ； （2）()∑∞=+1121n n n ． 解 （1）考虑级数())(1212x s xn n n=-∑∞=，1<x ．由于()∑∞=--=122212)(n n x n x x s ，逐项积分，()2112112021)(xxx x x dt t t s n n n n x-===∑∑⎰∞==∞=-，所以， ()()()2222222211)(11)(xx x x s x x x x s -+=⇒-+=，1<x ． 故有()3222112212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑∞=∞=s n n n nn n ． （2）设()∑∞=++=112121)(n n x nn x s ，则级数在1≤x 绝对收敛，所以， ∑∞=='121)(n n x n x s ，2112122)(x xx x s n n -==''∑∞=-，1<x ． 因此，)1ln(12)(202x dt t t x s x--=-='⎰，xxx x x dx x x s x +-++--=--=⎰11ln 2)1ln()1ln()(202，1≤x ．())(lim )1(12111x s s nn x n -→∞===+∑[]2ln 22)1ln()1(2)1ln()1(lim 1-=++-+--=-→x x x x x x ．5．证明：(1) ∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(；(2) ∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ． 解（1）对级数∑∞=04)!4(n n n x ，由0)!4(1)]!1(4[1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n n ，故收敛半径+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,，而采取用逐项求导得，∑∑∑∞=∞=-∞==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛041)1(4)4(04)!4()]!1(4[)!4(n nn n n n n x n x n x ，即∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(． （2）级数∑∞=02)!(n n n x 收敛域为()+∞∞-,，设∑∞==02)!(n nn x y ，通过逐项求导得， ()()∑∑∞=-∞=='⎥⎦⎤⎢⎣⎡='12102!!n n n n n nxn x y ， ()()()∑∑∞=-∞=-="⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''22202!1!n n n n n x n n n x y ， 所以，()()()∑∑∑∞=∞=-∞=--+-=-'+''02121222!!!)1(n nn n n n n x n nx n x n n x y y y x()()[]()()[]()0!!11!11020212=-+++++=∑∑∑∞=∞=∞=n nn n n nn x n x n n x n n ，即∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ． 6．设)(x f 是幂级数∑∞=0n n nx a在()R R ,-上的和函数，若)(x f 为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若)(x f 为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项．证明 由于∑∞==)(n n nx ax f ，()R R x ,-∈．()R R x ,-∈∀，由)(x f 是奇函数，即)()(x f x f -=-，得0]1)1[()(0=+-⇒-=-∑∑∑∞=∞=∞=n n n nn nn n nnx a x a x a，故{}N n ⋃∈∀0，有0]1)1[(=+-n na ，故当n 为偶数时002=⇒=n n a a ，即级数中偶次幂系数均为0，因此级数中仅出现奇次幂的项．同样，若)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，得0]1)1[(0=--∑∞=n n n nx a ，故n ∀，有0]1)1[(=--n n a ，当n 为奇数时，有002=⇒=-n n a a ，即级数中奇次幂的系数均为0，因此级数中仅出现偶次幂的项．7．设∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f ．求证：（1）)(x f 在]1,1[-连续，)(x f '在)1,1(-内连续； （2）)(x f 在点1-=x 可导； （3）+∞='-→)(lim 1x f x ；（4）)(x f 在点1=x 不可导；证明（1）由于1,)1ln(1)1ln(22≤+≤+x n n n n x n ，而级数∑∞=+12)1ln(1n n n 收敛，由M判别法，知级数∑∞=+12)1ln(n nn n x 在]1,1[-一致收敛，而级数的每一项为幂函数在]1,1[-连续，故和函数∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f 在]1,1[-连续．又级数∑∑∞=-∞=+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1112)1ln()1ln(n n n n n n x n n x 的收敛半径为1=R ，因此在)1,1(-内，其和函数)(x f '连续．（2）幂级数∑∞=-+11)1ln(n n n n x 在1-=x 成为∑∞=-+-11)1ln()1(n n n n ，由Leibniz 判别法，知级数收敛，由Abel 第二定理，幂级数在]0,1[-一致收敛，因而其和函数)(x f '在1-=x 右连续，因此)(lim 1x f x '+-→存在，且)(lim )1(1x f f x '=-'+-→．（3）+∞=+='∑∞=→-11)1ln(1)(lim n x n n x f ． （4）因为∑∞=→→+--=----1211)1ln()1()1(lim 1)1()(lim n n x x n n x x x f x f ()+∞=+=++++=∑∑∞=∞=--→-1122111ln 1)1ln(1lim n n n n x n n n n x x ， 故)(x f 在点1=x 不可导．§13.3函数的幂级数展式1．利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为Maclaurin 级数，并说明收敛区间． （1）0,1≠-a xa ； （2）()211x +；（3）()311x +；（4）x 2cos ； （5）x 3sin ； （6）xx 31-；（7）()xex -+1；（8）()21ln x x ++；（9）22311x x +-； （10）x arcsin ；（11）()21ln xx ++；（12）21ln arctan x x x +-；（13）⎰xdt tt0sin ； （14）dt t x⎰2cos ．解（1）nn a x a ax ax a ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛=-=-111111 （1<a x ） ∑∞=+=11n n n x a（a x <）．（2）()()22111-+=+x x()()()()()∑∑∞=∞=+-=+----+=0111!12321n n nn nx n x n n ，1<x ．（3）()()()()()∑∞=-+----+=+=+133!13431111n n x n n x x()()()∑∞=++-=22121n n x n n ，1<x ．（4）∑∞=-+=+=022)2()!2()1(212122cos 1cos n n n x n x x ∑∞=--+=1212)!2(2)1(1n nn n x n ，+∞<x ． （5）()()()()()!123141!1214343sin sin 3sin 1201203+--+-=-=+∞=+∞=∑∑k x k x x x x k kk k kk ()()()∑∞=++--=0122!1231143k k kk k x ，+∞<x ．（6）()213131--=-x x xx()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=13!12123211n n x n n x （13<x ）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=123!!!121n n n x n n x ，31<x ． （7）()()()∑∞=--+=+0!111n n xx n x ex （+∞<-x ） ()()∑∞=-+=0!11n n n x n x （+∞<x ）()()∑∑∞=+∞=-+-=10!1!1n n nn nnx n x n （+∞<x ）()()∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=111!1!111n nn x n n ，+∞<x ． （8）()()()212211ln -+='++x xx()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12!21223211n n x n n （12<x ）()()∑∞=--+=12!2!!1211n n n n x n n ，1<x ，所以，()()()()()∑⎰∞=++--+='++1120212!2!!1211ln n n nn xx n n n x dx xx ，1≤x ， 即()()()()∑∞=++--+=++112212!2!!1211ln n n nn x n n n x xx ． （9）xx x x x x ---=--=+-11212)21)(1(123112∑∑∞=∞=-=0)2(2n nn nxx （12<x 且1<x ）()∑∞=+-=112n n n x ，21<x ． （10）()()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+='122!2122321111arcsin n nx n n x x （12<-x ）()∑∞=-+=12!2!!121n n nx n n ，1<x ，所以，()()∑∞=++-+=11212!2!!12arcsin n n nx n n n x x ，1<x ． 在1±=x ，由于()()()()()123132!12!!1212!2!!12lim 1>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-+∞→n n n n n n n n n n ， 用Raabe 判别法知右端级数收敛，因而收敛区间为]1,1[-．（11）()()()x x xx xx ---=--=++1ln 1ln 11ln 1ln 332()()()()x nnx n n n nn -----=∑∑∞=-∞=-1113111∑∑∞=∞=-=13111n nn n x nx n ，11<≤-x ． （12）dx x xdx x dxxx x x x x ⎰⎰+-+=+-02022111ln arctan ()()⎰∑⎰∑∞=∞=---=xn nx n x x dx x x 0202()()220120121121+∞=+∞=∑∑+--+-=n n n n n n x n x n x()()()()∑∞=+++-=01211221n n n x n n ，1≤x ．（13）()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=++-=--=x k k kx k k kxdt t k dt t k t dt t t 02000120!121!1211sin ()()()∑∞=+++-=012!12121k k kx k k ，+∞<x ．（14）()()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=-=-=x k k kx k kk xdt t k dt t k dt t004002202!21!21cos()()()∑∞=++-=01414!21k k kx k k ，+∞<x ．2．利用幂级数相乘求下列函数的Maclaurin 展开式： （1）()xx ++11ln ； （2）()2arctan x ； （3）()x -1ln 2．解（1）()()()()∑∑∞=∞=---=++=++011111ln 11ln n nn nn x xnn x x x x ()()()∑∑∑∑∞=∞=-∞==---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111111111n n k n n n k k n k n k k x k x x k ，1<x ．（2）()()20022022111arctan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰∑⎰∞=x n nn x dt t dt t x ()()()()121200121121+--+∞==+--+-=∑∑k n kn k n n k k x k n x k()()()()∑∑∞=+=+-+-=0120121211n n nk nx k n k ()()∑∑∞=+=++-=012012111n n nk nx k n ，1≤x ． （3）()()()∑∑∑∑∞==-+∞=∞=--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-111212112111ln n nk k n k n n n n n k n x k x n x x n x()()∑∑∑∑∞=+=∞=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11111111211n n n k n n n k x k n x k n k ，11≤≤-x ． 3．将下列函数在指定点0x 展开为Taylor 级数：（1）)(,10a b x xa ≠=-； （2）1,221ln 02-=++x xx ； （3）2,ln 0=x x ； （4）1,0=x e x．解（1）()()()ba bx b a b x b a x a ----=---=-11111()()∑∑∞=-∞=--=⎪⎭⎫⎝⎛---=0101n n nn nb a b x b a b x b a ，b a b x -<-． （2）()[]2211ln 221ln++-=++x xx ()()[]()()∑∑∞∞=-+-=+--=nn n n n n x nx n21211111，02≤≤-x ．（3）()()∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎭⎫⎝⎛-++=-+=112212ln 221ln 2ln 22ln ln n nn x n x x x （1221≤-<-x ） ()()∑∞=---+=112212ln n n nn x n ，40≤<x ．（4）()()()∑∑∞=∞=--+-=-===001111!1!1n nn n x x xx n e x n e eeee ，+∞<<∞-x ． 4．展开 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x e dx d x 1为x 的幂级数，并推出()∑∞=+=1!11n n n ． 解 ∑∑∑∞=-∞=-∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22110!1!11!111n n n n n n x x n n x n dx d x n x dx d x e dx d ()∑∞==+=11!1n n x n n，+∞<x ， 所以，()()1111!11211=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==∞=∑x x x x n x x e x e dx d n n ． 5．试将()x x f ln =展开成11+-x x 的幂级数． 解 令11+-=x x t ，则 ttx -+=11，因而有()()()()()()∑∑∞=-∞=-----=--+=-+==1101111ln 1ln 11ln ln n n n n nn t nt n t t t tx x f()∑∑∞=-∞=-⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=112111112211n n n n n x x n t n，0>x ．6．函数()x f 在区间),(b a 内的各阶导数一致有界，即0>∃M ，对一切()b a x ,∈，有() ,2,1,)(=≤n M x f n ，证明：对()b a ,内任意点x 与0x ，有()()()()∑∞=-=000!n n n x x n x f x f ． 证明 由Taylor 公式，()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，有()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00)(200000!!2 ， 其中()()()()()()∞→→-+≤-+=+++n x x n Mx x n f x R n n n n 0!1!1101)1(ξ，()b a x ,∈∀，其中ξ在x 与0x 之间．故()x f 在区间()b a ,可以展成()0x x -的幂级数，即()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，()()()∑∞=-=000)(!n n n x x n x fx f ．。
《数学分析》课件 (完整版)
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
数学分析2试题B及答案(
fn (x)
x
f (x) ，
fn (x) f (x) n2 (
x2
1
1 n2
x)
1 ，所以 limsup(
n
n
fn (x)
f (x) ) 0 ，即
函数列 fn (x)
x2
1 n2
,
n 1, 2,L 在 R 上一致收敛。
三、1、证明： t R, b ( f (x) tg(x))2dx b f 2 (x)dx 2t b f (x)g(x)dx t2 b g 2 (x)dx 0 ，所以，
2
二、1、解:
lim
n
n2 2n2 1
1 2
0
，所以该级数发散。
2、解： lim n n
n 2n1
1 2
1 ，所以该级数收敛。
3、解： x [0, ),
sgn(sin x) 1 x2
1
1 x
2
1 x2
，因为
1 dx 收敛，所以 1 x2
sgn(sin x) dx 绝对收敛。 1 1 x2
4、解： x R, lim n
n1
n1
n1
n1
级数 bn (bn an an ) (bn an ) an 收敛。
n1
n1
n1
n1
四、解： A 2 1 a2 (1 cos )2 d 3 a2
20
2
五、解：
R
1，收敛域为 (1,1)
，和函数
f
(x)
n1
nxn
x
n1
nxn1
x
n1
xn
x
1
x
5、求极限： lim 0
x0
2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案
课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++， 则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++， 于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+， 则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点， 考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰， 由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<， 而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑， 说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。
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第十三章 幂级数§13.1 幂级数的收敛半径与收敛域1．求下列各幂级数的收敛域：（1）∑∞=1!)2(n nn x ；（2）∑∞=+++111)1ln(n n x n n ； （3）∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n nn x n n ；（4）∑∞=122n n nx ；（5）∑∞=-+1))1(3(n nn n x n ； （6）()()∑∞=+-+1123n n nn x n ； （7）()()n n x n n ∑∞=+1!!12!!2；（8）∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n n x n ；（9）()n n nn x nn∑∞=-11；（10）∑∞=+175n nn nx ； （11）()()nn x n n ∑∞=12!2!；（12）n n x n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++11211 ； （13）∑∞=1n nnx；（14）()()∑∞=---112!122n n n x ； （15）()10,12<<∑∞=a x a n n n ；（16）∑∞=1n p nnx ．解（1）由012lim !2)1(2lim 1=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→+∞→n n n n n n n ，故收敛半径+∞=R ,收敛域为)(∞+∞-,．（2）由 121)2ln()2ln(lim 1)1ln(2)2ln(lim =++⋅++=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→∞→n n n n n n n n n n ，故收敛半径1R =． 在1=x ，级数为∑∞=++11)1ln(n n n ，发散；在1-=x ，级数为∑∞=+++-111)1ln()1(n n n n ，由交错级数的Leibniz 判别法，知其收敛，因而收敛域为)[1,1-．（3）e n n n nn n nn n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→11lim 1lim ，所以收敛半径e R 1=．由于()∞→≠→⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+n e e n nn 01111， 故在e x 1±=级数发散，因此收敛域为)1,1(ee -．（4）由121lim 21limlim 2===∞→∞→∞→n n n n n n n n a ，知收敛半径1=R ． 在1=x ，级数为∑∞=±12)1(2n nn绝对收敛，故收敛域为]1,1[-. （5）由()413limlim =-+=∞→∞→nnn n n n na ，故收敛半径41=R ． 在41=x ，级数()[]∑∞=-+1413n n nn n ，将其奇偶项分开，拆成两个部分，分别为∑∞=121k k 和()∑∞=--1122121k k k ，前一项级数发散，后一项级数收敛，因此级数()[]∑∞=-+1413n n nn n 发散；同样，41-=x 时，级数为()[]()∑∞=--+11413n nn nn n ，也可拆成两部分，前一部分为∑∞=121k k ，另一部分()()∑∞=-----112122121k k k k ，前者发散，后者绝对收敛，因此级数()[]()∑∞=--+11413n nn nn n 发散，所以收敛区域是)41,41(-． （6）()()()332132231lim 23123lim 11=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+∞→++∞→n nn n nn n n n n n n ，所以级数的收敛半径是31=R ． 当311=+x 时，级数为()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+1132113123n n n n n n n n n 发散；当311-=+x 时，级数为()()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1132113123n n n n n n n n n n 收敛． 因此，收敛域为31131≤+≤-x 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,43. （7） ()()()()()13212lim !!12!!2!!32!!12lim =++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++∞→∞→n n n n n n n n ，所以收敛半径1=R ．当1=x 时，级数为()()∑∞=+1!!12!!2n n n ，由于12132lim 12232lim <=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→∞→n n n n n n n ，故由Raabe 判别法，知级数发散；当1-=x 时，级数为()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=（实际上，由其绝对收敛立知其收敛），这是交错级数，由于()()()()()()!!12!!2!!12!!23222!!32!!22+<+++=++n n n n n n n n ，故()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+!!12!!2n n 单调下降，且由n n n 2112254320<+< （用数学归纳法证之）及夹迫性知()()0!!12!!2lim =+∞→n n n ，由Leibniz 判别法，知()()()n n n n 1!!12!!21-+∑∞=收敛，所以收敛域为)1,1[-． （8）111lim 11lim 2--∞→-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+e n n nn n n n ，所以收敛半径e R =．由于()()∞→≠→±⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n e e n n n 0112，故级数在e x ±=发散，因而收敛域为),(e e -．（9）()()11111lim11=-++-++∞→nnn n n nn n n ，所以1=R ．在1=x ，级数为()∑∞=-11n nn nn，由Leibniz 判别法，知其收敛；在1-=x ，级数为∑∞=11n nnn发散，故收敛域]1,1(-．（10）71751751lim 11=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n n n n ，所以7=R ．在71±=x ，由于()()∞→→+±n n n n1757，即级数()∑∞=+±1757n nn n一般项()n n n757+±当n ∞→时不趋于0，因此级数发散，故收敛域()7,7-．（11）()[]()[]()()()()()4112121lim !2!!12!1lim 222=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→∞→n n n n n n n n n ，因此4=R ． 在4±=x ，级数为21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑，因为级数一般项的绝对值为 1!)!12(!)!2()4()!2()!(2>-=±n n n n n 对一切n 成立，所以0)4()!2()!(lim2≠±∞→nn n n ，即级数21(!)(4)(2)!n n n n ∞=±∑发散，因此收敛域为)4,4(-．（12） 因为1)1211()11211(lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n ，所以1=R ． 而在1±=x ，由于()011211lim ≠∞=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→nn n ，故级数在1±=x 均发散，因而收敛区间为)1,1(-．（13）因为11lim=+∞→nn n ，所以1=R ．又在1±=x ，显然级数()∑∞=±11n nn 均发散，故收敛域为)1,1(-．（14）由于()()()()()()101222lim !122!122lim 21212<=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-∞→--∞→n n x n x n x n n n n ，故()∞∞-∈∀,x ，()()∑∞=---112!122n n n x 均绝对收敛，因而收敛半径+∞=R ，收敛域()∞∞-,．（15）因为0lim lim 2==∞→∞→n n n n n a a （10<<a ），所以+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,．（16）()1111lim 111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→p n ppn n n n ，所以1=R ． 在1±=x ，级数变为()∑∞=±11n pn n ，故当1>p 时都收敛；10≤<p 时，()∑∞=-11n pn n 收敛，而∑∞=11n pn发散，0≤p 时一般项不趋于0，均发散．因此，当1>p 时，收敛域]1,1[-； 10≤<p 时，收敛域为)1,1[-；而当0≤p 时, 收敛域为)1,1(-．2．设幂级数nn n x a∑∞=1的收敛半径为R , nn nx b ∑∞=1的收敛半径为Q ，讨论下列级数的收敛半径：（1）∑∞=12n n nx a；（2）()∑∞=+1n n n nx b a；（3）()∑∞=1n nnn xb a ．解（1）由题设R a a n n n 1lim 1=+∞→，所以()221211lim x R x a x a n nn n n =++∞→，故当112<x R ,即R x <时，级数nn n x a 21∑∞=绝对收敛，而当112>x R ，即R x >时，级数nn n x a 21∑∞=发散，因此级数n n nx a21∑∞=的收敛半径为R ．（2）收敛半径必{}Q R ,m in ≥，而不定，需给出n a ，n b 的具体表达式才可确定，可以举出例子．（3）RQ b a b a nn n n n 1lim11=++∞→，所以收敛半径为RQ ，只有当Q R ,中一个为0，另一个为∞+时，不能确定，需看具体n a ，n b 来确定，可以是[)+∞,0中任一数．3．设()0,,2,1101>=≤∑∞=x n M x ak kk ，求证：当10x x <<时，有（1）n n n x a ∑∞=0收敛；（2）M x an n n≤∑∞=0．证明（1）nn n x a ∑∞=0=n n n n x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=111，而由于10x x <<，故数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nx x 1单调递减趋于0，级数n n n x a11∑∞=的部分和数列M x a n nn ≤∑∞=0有界，由Dirichlet 判别法，级数nn n x a ∑∞=0收敛．(2) 设n n nx a∑∞=0的部分和为)(x s n ，则由Abel 变换，有knk k k nk k k n x x x a x a x s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==1111)(∑∑∑=-==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nk kk nn k k i i i k k x a x x x a x x x x 1111111111 M x x M x x x x x x M n n k k k <=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑-=+1111111， 所以，M x s x s x an n n n n n n≤=∞→∞→∞=∑)(lim )(lim 0．§13.2 幂级数的性质1．设nn n x a x f ∑∞==)(当r x <时收敛，那么当11+∞=∑+n n n r n a 收敛时有 11)(+∞=∑⎰+=n n n rr n a dx x f ， 不论nn n xa ∑∞=0当r x =时是否收敛．证明 由于幂级数11+∞=∑+n n n r n a 的收敛半径至少不小于r ，且该幂级数在r x =收敛，因而该幂级数在[]r ,0一致收敛（Abel 第二定理），因此该幂级数的和函数)(x s 在r x =连续，即()101lim +∞=→∑+=-n n n rx r n a x s ．又r x <<∀0，由于n n n x a ∑∞=0当r x <时收敛，故可逐项积分，即)(1100x s r n a dx x a dx x a n n n n xnn x n nn =+==+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑，即)(lim )(0x s dt t f rx x -→=⎰，令-→r x 取极限即有11)(lim )(+∞=→∑⎰+==-n n n rx r r n a x s dx x f ． 2．利用上题证明()∑⎰∞=-=-121011ln n ndx x x ． 证明 ()()1,11)1ln(111<-=--=-∑∑∞=∞=-x x nx nx n nn n n ，故()∑∞=--=-1111ln n n x n x x，1<x ，而级数∑∑∞=∞=-=+-⋅-12111)1(11n n n n n 是收敛的，利用上题结论，就有()∑⎰∞=-=-121011ln n n dx x x ． 3. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：（1）∑∞=1n nn x ；（2）∑∞=1n nnx；（3）()∑∞=+11n nxn n ；（4）()()∑∞=---121121n n n x n n ； （5）∑∞=+122!1n nnx n n ； （6）()()nn n x n n ∑∞=+-13!11；（7）∑∞=-+11414n n n x ；（8）()∑∞=+-0112n n n x ；（9）∑∞=-112n n x n；（10）()∑∞=++1122!12n n x n n ．解（1）因为1,1111<=-∑∞=-x x x n n ，所以当1<x 时，⎰∑⎰-=∞=-x n x n dt t dt t 000111,即()x n x n n --=∑∞=1ln 1，且当1-=x 时，级数()∑∞=-11n nn 收敛，由Abel 第二定理，有()11,1ln 1<≤---=∑∞=x x nx n n． （2）设∑∞==1)(n nnx x s ，则1,)(11<=∑∞=-x nx x x s n n ，逐项积分，有 1,1)(1101<-===∑∑⎰⎰∞=∞=-x x x x dt t n dt t t s n n n x n x，所以，()2111)(x x x x x s -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，即()1,1)(2<-=x x x x s ． （3）设()∑∞=+=11)(n nxn n x s ，1<x ，则有()()1,11)(221111<-===+=∑∑∑⎰⎰∞=∞=+∞=x x x nx x nxdt t n n dt t s n nn n n xnx，所以，322)1(2)1()(x xx x x s -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，1<x ．（4）设()()∑∞=--=12121)(n n nx n n x s ，1≤x ，则 ()()∑∞=----='11211221)(n n n x n x s ，11≤<-x ， ()()()211212211212121)(x x x x s n n n n n +=-=-=''∑∑∞=-∞=--，1<x ，所以，()x dt tx s xarctan 21121)(02=+='⎰，11≤<-x ， )1ln(41arctan 21arctan 21)(20x x x tdt x s x+-==⎰，1≤x ． （5） 设 1)(2!12!2!1)(211212-+=+=+=∑∑∑∞=∞=∞=xnn n n n n n n ne x x n x n n x n n x s σ，+∞<x ． 由于()211101222!1122!)(2!)(xn n n n n x n n n e xx n x x n n dt t t x n n x =⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=∑∑⎰∑∞=-∞=∞=σσ，所以， 222412)(x x e x e x x +=σ，故 112141)(22-⎪⎭⎫⎝⎛++=xe x x x s ．（6）设()()∑∞=+-=13!11)(n n n x n n x s ，+∞<x ，则[]()∑∞=-='13!)(n nx n n x xs ，所以，[]()()[]()13)(!)(122120+--='⇒-=-='--∞=∑⎰x x xe x xs e x x x n n dx t ts t x x n n x， ()11)(3-++=-x e x x x xs ，则()xe ex x s x x11)(2-++=--（在0=x 理解为极限值）．（7）令∑∞=-+=11414)(n n n x x s , 则1,14)(1142<+=∑∞=+x n x x s x n n ，所以， []()44141421)(xx xxx s x n nn n-==='∑∑∞=∞=， 故x x x x x s x -+-+=arctan 2111ln 41)(2，因此2222arctan 11ln 41)(xxx x x x x s -+-+=（在0=x 理解为极限值）．（8）22122lim 12lim1=-=-∞→+∞→n n n nn n ，收敛半径21=R ，在21±=x ，有 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±-∑∑∞=∞=+n n n n nn 2121211201，由于()02121lim ≠⎪⎭⎫⎝⎛-±∞→nnn ，故级数发散．可得 ()()∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=012212)(n n n nn nn x x x x s()()x x x x 2111112112--=---=，21<x ． （9）设1,)(112<=∑∞=-x x nx s n n ，则有x x x dx dt t s u nx dt t s n n xu n nx-==⎪⎭⎫⎝⎛⇒=∑⎰⎰∑⎰∞=∞=1)(1)(10010，所以，20)1(11)(1x x x dt t s x x -='⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰， 即20)1()(x x dt t s x-=⎰，所以32)1(1)1()(x x x x x s -+='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，1<x ． （10）设()+∞<+=∑∞=+x x n n x s n n ,!12)(1122，则有（逐项积分）， ()1!1)(1!12)(2121001120-==⎪⎭⎫⎝⎛⇒+=+∞=∞=+∑⎰⎰∑⎰x n n x t n n xe x x n dt du u u s t x n n dt t t s所以，()()x e x x du u u s e x du uu s x x x x x -+=-+=⎰⎰2230202)(,112)(1， ()11624)(224-+++=x e x x x xx s ， 则()x e x x x x x s x -+++=2235624)(．4.求下列级数的和： （1）∑∞=-1212n nn ； （2）()∑∞=+1121n n n ． 解 （1）考虑级数())(1212x s xn n n=-∑∞=，1<x ．由于()∑∞=--=122212)(n n x n x x s ，逐项积分，()2112112021)(xxx x x dt t t s n n n n x-===∑∑⎰∞==∞=-，所以， ()()()2222222211)(11)(x x x x s x x x x s -+=⇒-+=，1<x ． 故有()3222112212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑∞=∞=s n n n nn n ． （2）设()∑∞=++=112121)(n n x nn x s ，则级数在1≤x 绝对收敛，所以， ∑∞=='121)(n n x n x s ，2112122)(x xx x s n n -==''∑∞=-，1<x ．因此，)1ln(12)(202x dt ttx s x--=-='⎰， xxx x x dx x x s x +-++--=--=⎰11ln2)1ln()1ln()(202，1≤x ． ())(lim )1(12111x s s n n x n -→∞===+∑ []2ln 22)1ln()1(2)1ln()1(lim 1-=++-+--=-→x x x x x x ．5．证明：(1) ∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(；(2) ∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ． 解（1）对级数∑∞=04)!4(n n n x ，由0)!4(1)]!1(4[1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n n ，故收敛半径+∞=R ，收敛域为()+∞∞-,，而采取用逐项求导得，∑∑∑∞=∞=-∞==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛041)1(4)4(04)!4()]!1(4[)!4(n nn n n n n x n x n x ， 即∑∞=04)!4(n n n x 满足方程y y =)4(． （2）级数∑∞=02)!(n n n x 收敛域为()+∞∞-,，设∑∞==02)!(n nn x y ，通过逐项求导得， ()()∑∑∞=-∞=='⎥⎦⎤⎢⎣⎡='12102!!n n n n n nxn x y ， ()()()∑∑∞=-∞=-="⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=''22202!1!n n n n n x n n n x y ， 所以，()()()∑∑∑∞=∞=-∞=--+-=-'+''02121222!!!)1(n nn n n n n x n nx n x n n x y y y x()()[]()()[]()0!!11!11020212=-+++++=∑∑∑∞=∞=∞=n nn n n nn x n x n n x n n ，即∑∞=02)!(n nn x 满足方程0=-'+''y y y x ．6．设)(x f 是幂级数∑∞=0n n nx a在()R R ,-上的和函数，若)(x f 为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若)(x f 为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项．证明 由于∑∞==)(n n nx ax f ，()R R x ,-∈．()R R x ,-∈∀，由)(x f 是奇函数，即)()(x f x f -=-，得0]1)1[()(0=+-⇒-=-∑∑∑∞=∞=∞=n n n nn nn n nnx a x a x a，故{}N n ⋃∈∀0，有0]1)1[(=+-n na ，故当n 为偶数时002=⇒=n n a a ，即级数中偶次幂系数均为0，因此级数中仅出现奇次幂的项．同样，若)(x f 为偶函数，即)()(x f x f =-，得0]1)1[(0=--∑∞=n n n nx a ，故n ∀，有0]1)1[(=--n n a ，当n 为奇数时，有002=⇒=-n n a a ，即级数中奇次幂的系数均为0，因此级数中仅出现偶次幂的项．7．设∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f ．求证：（1）)(x f 在]1,1[-连续，)(x f '在)1,1(-内连续； （2）)(x f 在点1-=x 可导； （3）+∞='-→)(lim 1x f x ；（4）)(x f 在点1=x 不可导；证明（1）由于1,)1ln(1)1ln(22≤+≤+x n n n n x n ，而级数∑∞=+12)1ln(1n n n 收敛，由M判别法，知级数∑∞=+12)1ln(n nn n x 在]1,1[-一致收敛，而级数的每一项为幂函数在]1,1[-连续，故和函数∑∞=+=12)1ln()(n nn n x x f 在]1,1[-连续．又级数∑∑∞=-∞=+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1112)1ln()1ln(n n n nn n x n n x 的收敛半径为1=R ，因此在)1,1(-内，其和函数)(x f '连续．（2）幂级数∑∞=-+11)1ln(n n n n x 在1-=x 成为∑∞=-+-11)1ln()1(n n n n ，由Leibniz 判别法，知级数收敛，由Abel 第二定理，幂级数在]0,1[-一致收敛，因而其和函数)(x f '在1-=x 右连续，因此)(lim 1x f x '+-→存在，且)(lim )1(1x f f x '=-'+-→．（3）+∞=+='∑∞=→-11)1ln(1)(lim n x n n x f ． （4）因为∑∞=→→+--=----1211)1ln()1()1(lim 1)1()(lim n n x x n n x x x f x f ()+∞=+=++++=∑∑∞=∞=--→-1122111ln 1)1ln(1lim n n n n x n n n n x x ， 故)(x f 在点1=x 不可导．§13.3函数的幂级数展式1．利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为Maclaurin 级数，并说明收敛区间． （1）0,1≠-a xa ； （2）()211x +；（3）()311x +；（4）x 2cos ； （5）x 3sin ； （6）xx 31-；（7）()xex -+1；（8）()21ln x x ++；（9）22311x x +-； （10）x arcsin ；（11）()21ln xx ++；（12）21ln arctan x x x +-； （13）⎰xdt tt0sin ； （14）dt t x⎰2cos ．解（1）nn a x a ax ax a ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛=-=-111111 （1<a x ） ∑∞=+=11n n n x a（a x <）．（2）()()22111-+=+x x()()()()()∑∑∞=∞=+-=+----+=0111!12321n n nn nx n x n n ，1<x ．（3）()()()()()∑∞=-+----+=+=+133!13431111n n x n n x x()()()∑∞=++-=22121n n x n n ，1<x ．（4）∑∞=-+=+=022)2()!2()1(212122cos 1cos n n n x n x x ∑∞=--+=1212)!2(2)1(1n nn n x n ，+∞<x ． （5）()()()()()!123141!1214343sin sin 3sin 1201203+--+-=-=+∞=+∞=∑∑k x k x x x x k kk k kk ()()()∑∞=++--=0122!1231143k k kk k x ，+∞<x ．（6）()213131--=-x x xx()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=13!12123211n n x n n x （13<x ）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑∞=123!!!121n n n x n n x ，31<x ． （7）()()()∑∞=--+=+0!111n n xx n x ex （+∞<-x ） ()()∑∞=-+=0!11n n n x n x （+∞<x ）()()∑∑∞=+∞=-+-=10!1!1n n nn nnx n x n （+∞<x ）()()∑∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=111!1!111n nn x n n ，+∞<x ． （8）()()()212211ln -+='++x xx()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12!21223211n n x n n （12<x ）()()∑∞=--+=12!2!!1211n n n n x n n ，1<x ，所以，()()()()()∑⎰∞=++--+='++1120212!2!!1211ln n n nn xx n n n x dx xx ，1≤x ， 即()()()()∑∞=++--+=++112212!2!!1211ln n n nnx n n n x xx ． （9）x x x x xx ---=--=+-11212)21)(1(123112∑∑∞=∞=-=0)2(2n nn nxx （12<x 且1<x ）()∑∞=+-=112n n n x ，21<x ． （10）()()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+='122!2122321111arcsin n nx n n x x （12<-x ）()∑∞=-+=12!2!!121n n nx n n ，1<x ，所以，()()∑∞=++-+=11212!2!!12arcsin n n nx n n n x x ，1<x ． 在1±=x ，由于()()()()()123132!12!!1212!2!!12lim 1>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++-+∞→n n n n n n n n n n ， 用Raabe 判别法知右端级数收敛，因而收敛区间为]1,1[-．（11）()()()x x xx xx ---=--=++1ln 1ln 11ln 1ln 332()()()()x nnx n n n nn -----=∑∑∞=-∞=-1113111∑∑∞=∞=-=13111n nn n x nx n ，11<≤-x ． （12）dx x xdx x dxxx x x x x ⎰⎰+-+=+-02022111ln arctan ()()⎰∑⎰∑∞=∞=---=xn nx n x x dx x x 0202()()220120121121+∞=+∞=∑∑+--+-=n n n n n n x n x n x()()()()∑∞=+++-=01211221n n n x n n ，1≤x ．（13）()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=++-=--=x k k kx k k kxdt t k dt t k t dt t t 02000120!121!1211sin()()()∑∞=+++-=012!12121k k k x k k ，+∞<x ．（14）()()()()()⎰∑⎰∑⎰∞=∞=-=-=x k k kx k kk xdt t k dt t k dt t004002202!21!21cos()()()∑∞=++-=01414!21k k kx k k ，+∞<x ． 2．利用幂级数相乘求下列函数的Maclaurin 展开式： （1）()xx ++11ln ；（2）()2arctan x ； （3）()x -1ln 2．解（1）()()()()∑∑∞=∞=---=++=++011111ln 11ln n nn nn x xnn x x x x ()()()∑∑∑∑∞=∞=-∞==---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111111111n n k n n n k k n k n k k x k x x k ，1<x ．（2）()()20022022111arctan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰∑⎰∞=x n nn x dt t dt t x ()()()()121200121121+--+∞==+--+-=∑∑k n kn k n n k k x k n x k()()()()∑∑∞=+=+-+-=0120121211n n nk nx k n k ()()∑∑∞=+=++-=012012111n n nk nx k n ，1≤x ． （3）()()()∑∑∑∑∞==-+∞=∞=--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-111212112111ln n nk k n k n n n n n k n x k x n x x n x()()∑∑∑∑∞=+=∞=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11111111211n n n k n n n k x k n x k n k ，11≤≤-x ． 3．将下列函数在指定点0x 展开为Taylor 级数： （1）)(,10a b x xa ≠=-；（2）1,221ln02-=++x x x ；（3）2,ln 0=x x ； （4）1,0=x e x．解（1）()()()ba bx b a b x b a x a ----=---=-11111 ()()∑∑∞=-∞=--=⎪⎭⎫⎝⎛---=0101n n nn nb a b x b a b x b a ，b a b x -<-． （2）()[]2211ln 221ln++-=++x xx ()()[]()()∑∑∞∞=-+-=+--=nn n n n n x nx n21211111，02≤≤-x ．（3）()()∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎭⎫⎝⎛-++=-+=112212ln 221ln 2ln 22ln ln n nn x n x x x （1221≤-<-x ） ()()∑∞=---+=112212ln n n nn x n ，40≤<x ．（4）()()()∑∑∞=∞=--+-=-===001111!1!1n nn n x x xx n e x n e eeee ，+∞<<∞-x ． 4．展开 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x e dx d x 1为x 的幂级数，并推出()∑∞=+=1!11n n n ． 解 ∑∑∑∞=-∞=-∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22110!1!11!111n n n n n n x x n n x n dx d x n x dx d x e dx d ()∑∞==+=11!1n n x n n，+∞<x ， 所以，()()1111!11211=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+==∞=∑x x x x n x x e x e dx d n n ． 5．试将()x x f ln =展开成11+-x x 的幂级数． 解 令11+-=x x t ，则 ttx -+=11，因而有()()()()()()∑∑∞=-∞=-----=--+=-+==1101111ln 1ln 11ln ln n n n n nn t nt n t t t tx x f()∑∑∞=-∞=-⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=112111112211n n n n n x x n t n，0>x ．6．函数()x f 在区间),(b a 内的各阶导数一致有界，即0>∃M ，对一切()b a x ,∈，有() ,2,1,)(=≤n M x f n ，证明：对()b a ,内任意点x 与0x ，有()()()()∑∞=-=000!n n n x x n x fx f ．证明 由Taylor 公式，()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，有()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=00)(200000!!2 ， 其中()()()()()()∞→→-+≤-+=+++n x x n Mx x n f x R n n n n 0!1!1101)1(ξ，()b a x ,∈∀，其中ξ在x 与0x 之间．故()x f 在区间()b a ,可以展成()0x x -的幂级数，即()b a x ,∈∀，()b a x ,0∈，()()()∑∞=-=000)(!n n n x x n x fx f ．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。