初中数学专题复习专题复习开放型探索型问题(1)
中考数学专题复习《开放探索》课件+教案中考数学模拟试题_OK
CE
使得△APB的面积等于3？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
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结论开放型问题
1 【标轴例交5】于（A2，01B5两•烟点台，）点如M图（，m直，线0）l：是yx=轴﹣上一x2+动1点与，坐
以点M为圆心，2个单位长度21/6/9
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综合开放型问题 【 例 6】如图，点D、E在△ABC的边BC上，连接AD 、AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以上 面三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为 命题的结论，构成一个真命题，并进行证明。
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[跟踪训练] 如图所示，在△ABE和△ACD中，给出四个条件：① AB＝AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC， AE⊥BE. 现将四个条件分别贴在四个学生的后背上， 进行如下游戏：其中三个学生站在讲台左边，另一个 学生站在讲台的右边，要求以左边三个学生后背上的 条件作为题设，右边一个学生背上的条件作为结论， 使之组成一个正确的说法. 这个游戏可以进行几轮？ 试写出简要思路。
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学 法指导
(3)解条件和结论都开放问题的规律方法：此类问 题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具 有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问 题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么 结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而 把握事物的整体性和一般性．
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学 法指导
三个类型的解题方法 (1)解条件开放问题的规律方法：由已知的结论反 思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发， 结合图形挖掘条件，逆向思维，逐步探寻，是一种 分析型思维方式，它要求解题者善于从问题的结论 出发，逆向思维，多方向寻因； (2)解结论开放问题的规律方法：充分利用已知条 件或图形特征，通过由因导果，顺向推理或进行猜 想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可 能存在的结论，然后经过论证作出取舍．
九年级数学专题复习创新、开放与探究型问题
中考冲刺：创新、开放与探究型问题【中考展望】所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．【方法点拨】由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．【典型例题】类型一、探索规律例1．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（）次操作．A．7 B．6 C．5 D．4举一反三：【变式】如图，△A1A2A3，△A4A5A5，△A7A8A9，…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为 .类型二、条件开放型、结论开放型例2．在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2）．（1）若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标：；（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标： .举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2，2)．(1)若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：________________；设点B，点C的坐标分别为(m，0)，(n，0)，你认为m，n应满足怎样的条件？(2)若底边BC的两个端点分别在x轴，y轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：______________；设点B，点C的坐标分别为(m，0)，(0，n)，你认为m，n应满足怎样的条件?类型三、条件和结论都开放的问题例3．如图(1)，四边形ABCD中，AD与BC不平行，现给出三个条件：①∠CAB＝∠DBA，②AC＝BD，③AD＝BC．请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形，并加以证明(只需证明一种情况)．举一反三：【变式】如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．（2）△MNK的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）类型四、动态探究型例4．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求EFEG的值．【思路点拨】（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．举一反三：【变式1】已知：如图(a)，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm／s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0＜t＜2)，解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ∥BC?(2)设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值．若不存在，说明理由；(4)如图(b)，连接PC，并把△POC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．举一反三：【变式2】如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE. ①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.ED CBA类型五、创新型例5．先阅读下列材料，然后解答问题：从A B C ，，三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作2332C 321⨯==⨯．一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作：(1)(1)C (1)321n m m m m n n n --+=-⨯⨯⨯例从7个元素中选5个元素，共有5776543C 2154321⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有 种．【巩固练习】一、选择题1.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心圆圈的个数为（）A．61 B．63 C．76 D．782．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D 重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．512532⨯B．69352⨯C．614532⨯D．711352⨯3．下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) A．495 B．497 C．501 D．5034.如图，一个3×2的矩形（即长为3，宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6个，最少是3个．（1）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 个，最少是 个； （2）一个7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 个，最少是 个； （3）一个（2n+1）×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 个；最少是 个．（n 是正整数）5. 一园林设计师要使用长度为4L 的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O 点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．(1)使图①花圃面积为最大时R －r 的值为 ，以及此时花圃面积为 ，其中R 、r 分别为大圆和小圆的半径；(2)若L ＝160 m ，r ＝10 m ，使图面积为最大时的θ值为 ．6．如图所示，已知△ABC 的面积1ABC S =△，在图(a)中，若11112AA BB CC AB BC CA ===，则11114A B C S =△； 在图(b)中，若22213AA BB CC AB BC CA ===，则222A B C 13S =△；在图(c)，若33314AA BB CC AB BC CA ===，则333716A B C S =△．…按此规律，若88819AA BB CC AB BC CA ===，则888A B C S =△________．7．（2016•丹东模拟）已知，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．（l）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CE，②CE=BC﹣CD；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点O在线段BC的反向延长线上时，且点A、E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF、CF，其他条件不变，请判断△ACF的形状，并说明理由．8.如图(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O．(1)①如图(a)，求证：△ADC≌△ABE；②探究：图(a)中，∠BOC＝________；图(b)中，∠BOC＝________；图(c)中，∠BOC＝________；(2)如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE，CD的延长相交于点O．①猜想：图(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)②根据图(d)证明你的猜想．9. 如图(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P(P 不与B，C重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．(1)试确定CP＝3时，点E的位置；(2)若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．10. 点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC＝k·AB．连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F．(1)如图(a)，当k＝1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明．(2)如图(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．。
初三数学总复习专题复习：探索开放问题的复习
初三数学总复习专题复习：探索开放问题的复习一、题型解读传统的解答题和证明题||，其条件和结论都是由题目明确给出的||，我们可以“由因导果”或“执果索因”||。
开放探究型问题||，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的||，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点||，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性||，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、条件结论都开放等．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论||，没有固定的形式和方法||，要求我们认真收集和处理问题的信息||，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动||，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．题型涉及选择、填空和解答．二、解题策略开放性、操作性、探索性和综合性是此类问题的明显特征||。
这类题目形式新颖||，涉及的基础知识和基本技能十分广泛||，解答过程中有较多的创造性和探索性||，解答方法灵活多变||，既需要扎实的基础知识和基本技能||，又需要具备一定的数学能力||，以及思维的创造性和良好的个性品质||。
由于题型灵活、综合性强、结构独特等||，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路||，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括||，从特殊到一般||，从而得出规律．2．反演推理法（反证法）||，即假设结论成立||，根据假设进行推理||，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定||，难以统一解答时||，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏||，分门别类加以讨论求解||，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法||，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略||，因而具体操作时||，应更注重数学思想方法的综合运用．三、呈现形式（一）开放型问题1.条件开放型：条件开放题是指结论给定||，条件未知或不全||，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件||，即从题目的结论出发||，逆向追索||，逐步探求．例1.（17西城二模26）学习了《平行四边形》一章以后||，小东根据学习平行四边形的经验||，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．以下是小东的探究过程||，请补充完整：（1）在四边形ABCD 中||，对角线AC 与BD 相交于点O ．若AB ∥CD ||，补充下列条件中能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是；（写出一个你认为正确选项的序号即可）； （A ）BC ＝AD （B ）∠BAD =∠BCD （C ） AO ＝CO ||，（2）将（1）中的命题用文字语言表述为：①命题1；②画出图形||，并写出命题1的证明过程；（3）小东进一步探究发现：若一个四边形ABCD 的三个顶点A||，B||，C 的位置如图所示||，且这个四边形满足CD =AB ||，∠B =∠D ||，但四边形ABCD 不是平行四边形||，画出符合题意的四边形 ABCD ||，进而小东发现：命题2“一组对边相等||，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．例2.（17海淀一模29）在平面直角坐标系xOy 中||，若P ||，Q 为某个菱形相邻．．图．1．的．两个顶点||，且该菱形的两条对角线分别与x 轴||，y 轴平行||，则称该菱形为点P ||，Q 的“相关菱形”．图1为点P ||，Q 的“相关菱形”的一个示意图．已知点A 的坐标为（1||，4）||，点B 的坐标为（b ||，0）||，（1）若b =3||，则R （1-||，0）||，S （5||，4）||，T （6||，4）中能够成为点A ||，B 的“相关菱形”顶点的是；（2）若点A ||，B 的“相关菱形”为正方形||，求b 的值；（3）B 的半径为2||，点C 的坐标为（2||，4）．若B 上存在点M ||，在线段AC 上存在点N ||，使点M ||，N 的“相关菱形”为正方形||，请直接写出b 的取值范围．2.结论开放型：给出问题的条件||，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性||，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征||，进行猜想、类比、联想、归纳||，透彻分析出给定条件下可能存在的结论||，然后经过论证作出取舍．例3.（17年北京中考12）写出一个比3大且比4小的无理数.例4.（16年北京中考12）下图中四边形均为矩形||，根据图形||，写出一个正确的等式：______________________.例5.（16年西城一模13）已知函数满足下列两个条件：①当0x >时||，y 随x 的增大而增大；②它的图象经过点（1||，2）||，请写出一个符合上述条件的函数的表达式 ． Q P y x O 图1例6.（16年北京中考20）关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=有两个不相等的实数根||。
中考数学专题复习 开放性问题-人教版初中九年级全册数学试题
开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。
中考数学复习专题课件：开放性问题(含详细参考答案)
中考数学复习专题讲座三：开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1（义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定。
810360专题：开放型。
分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2（宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。
2014年数学中考二轮专题复习讲义：开放探索型问题
【考纲要求】
开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件或结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通．
【命题趋势】
探索性问题的特点是：问题一般没有明确的条件或结论没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论、条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识．开放探索题常见的类型有：(1)条件开放探索型，即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；(2)结论开放探索型，即在给定的条件下，结论不唯一；(3)存在性探索型，即所得的结论是否存在，有几种情况。
归纳：本题考查了全等三角形的判定的应用，是条件开放题，解题时，先把判断全等三角形的已知条件确定下来，再利用全等三角形的判定定理SAS，ASA，AAS，SSS去补充需要的条件，答案不唯一．
跟踪练习：(2013 ·上海)如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，则添加的条件可以是____________(只需写一个，不添加辅助线)．
又∵AB⊥BD，
∴易得△ABM∽△BDN，
则＝，即＝，
∴DN＝8，∴D(8，－2)．
将D点坐标代入y＝中，得k2＝－16.
(2)假设存在满足条件的点F，
由y＝2x＋2，得C(－1,0)，
∵OB＝ON＝2，DN＝8，OE∥DN，
∴OE＝4，CE＝5.
又∵AC＝2，BD＝4，∠EBO＝∠ACE，
∴当△BDF∽△ACE时，
＝或＝，
即＝或＝，
∴BF＝10或BF＝8，
∴存在满足条件的点F，其坐标分别为(0，－8)或(0，－6)．
中考数学总复习第40课 探索型问题
－ b ＝1，
2a
a＝－1，
∴ －b2＝1， 解得 b＝2.
4a
即当顶点坐标为(1，1)时，a＝－1.
－ b ＝m， 2a
a＝－ 1 ，
当顶点坐标为 (m ，m )，m ≠0
时，
－b2＝m ， 4a
解得
b＝2.
m
∴a 与 m 之间的关系式是：a＝－m1 或 am＋1＝0.］
(2)∵a≠0，
∴y＝ax2＋bx＝a
专题解读
1．探索型问题： 探索是人类认识客观世界过程中最生动，最活跃的思维活 动．探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力，主 要包括： (1)规律探索型问题； (2)结论探索型问题； (3)存在性探索型问题； (4)动态探索型问题． 2．解答探索型问题的注意事项： 由于探索型问题的题型新颖，综合性强，思维能力要求高，结 构独特，因此解题时并无固定模式，它要求解题者具有较扎实 的基本功，较强的观察力，丰富的想象力及综合分析问题的能 力．解题时要注意问题情境，注重思维的严密性，注意寻找问 题解决的切入口．有时也可采用以下方法来寻找突破口：(1)利 用特殊值(特殊点，特殊数量，特殊线段等)进行归纳，概括；(2) 反演推理法(反证法)；(3)分类讨论法；(4)类比猜想法．
3，4 3
3，
－2 P2 3
3，4 3
3
；当∠PAO＝90°时，P3
34 9
3，4 3
3 ；当∠POA＝90°时，
－16 3，4 3
P4 9
3.
名师点拨
存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型 问题，要注意相关的条件，可以先假设结论成立，然后通 过计算求相应的值，再作存在性的判断．
【预测演练 3】 如图 40－7，在△ABC 中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm， 点 D 是 BC 边的中点．点 P 从点 B 出发，以 a(cm/s)(a>0)的速度沿 BA 匀速向点 A 运动；点 Q 同时以 1 cm/s 的速度从点 D 出发，沿 DB 匀 速向点 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运 动，设它们运动的时间为 t(s)． (1)若 a＝2，△BPQ∽△BDA (点 P 与点 D 对应)，求 t 的值； (2)设点 M 在边 AC 上，四边形 PQCM 为平行四边形． ①若 a＝5，求 PQ 的长； 2 ②是否存在实数 a，使得点 P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求 出 a 的值；若不存在，请说明理由．
中考总复习数学专题复习四 开放探究型问题
(1)，由已知可证 Rt△ADC≌ Rt△CEB ，得 DC＝ BE ，AD＝ CE ．从而可得结论 DC＋CE＝BE＋
AD，即 DE＝AD＋BE ．(2)中结论有两种情况，如图 ②，当 BE 在 AB 上方时，DE＝ BE－AD ；反之，当 AD 在 AB 上方时，DE＝ AD－BE ．
【自主作答】(1)DE＝AD＋BE，证明略； (2)当 BE 在 AB 上方时，DE＝BE－AD；当 AD 在 AB 上方时，DE＝AD－BE.
分析：本题第(1)小题是条件开放题，解题时由结论 △ABE≌△ACF 出发逆向追索条件，发现已有条件∠B ＝ ∠ACD ＝60°， AC ＝AB，故只要补充一个条 件即可，但补充的条件应避免 SSA 的情况，所以可添加 BE＝ CF 或∠BAE＝ ∠CAF ；第(2)小题是探究使 结论成立所需条件的题目，在(1)的情况下，不难得出 △AEF 是 等边 三角形；当等边△AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短，即△AEF 的面积最小．
3. (2020·武威)通过课本上对函数的学习，们积累
了一定的经验．下表是一个函数的自变量 x 与函数值 y
的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下
列问题：
x…012 3
4 5…
y … 6 3 2 1.5 1.2 1 …
(1)当 x＝ 3 时，y＝1.5； (2)根据表中数值描点(x，y)，并画出函数图象； (3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质： 函 数值 y 随 x 的增大而减小 ．
类型3：规律探究型 ►例3如图①，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三 角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角 板的一边交 CD 于点 F，另一边交 CB 的延长线于点 G. (1)求证：EF＝EG； (2)如图②，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变．(1)中的结论是 否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明 理由；
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数学开放题是指那些条件不完整，结论 不确定，解法不限制的数学问题。
它的显著特点：正确答案不唯一。
题型： 条件开放 结论开放
过程开放
综合开放
一、条件开放型
例1 请你先化简下式，再选取一个你喜爱的数代入 求值。
x3 x2 1 x2 2 x 1 x x
2x 1
x 1,1,0
如图, △ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与 CE交于点O ,给出下列四个条件: ①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO; ③BE=CD;④OB=OC. (1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是 等腰三角形(用序号写出所有情形); (2)选择第(1)小题中的一种情形,证明△ABC是 等腰三角形. A
E D
C
B F （题2）
三、策略开放型
例 用三种不同方法把平行四边形面积四等分 （在所给的图形中画出你的设计方案，画图工 具不限）
方法开放
图形开放 策略开放题，一般是指
解题方法不唯一或解题路 径不明确的问题。
学科开放
二、结论开放型
例2 如图，⊙O与⊙O1外切于点T，PT为其内公 切线，AB为其外公切线，且A、B为切点，AB 与TP相交于点P。根据图中所给出的已知条件及 线段，请写出一个正确结论，并加以证明。 （本题将按正确结论的难易程度评分） Δ ABT是直角三角形;AT2+BT2=AB2; ∠BAT=∠TBO1; ∠OTA=∠PTB;
得出的结论应 ∠ APT= ∠ BO1T ; ΔOAT∽ΔPBT; 尽可能用上题目及 4 AB2=4OT*O1T;S ⊙O :S ⊙O1 =AT4:BT 图形所给的条件。
以 AB为直径的⊙ P必定与直线O1O相切于T点 … …
2、如图，△ABC中， ∠C=90º ，D为AB上一动点，DE⊥AC， DF⊥BC，垂足分别为点E、F，请问当D运 动到什么位置时，△AED≌△DFB吗？为 什么？ A
A
①③④
②
B
C
D
E
回顾总结
开 放 性 问 题 类 型 特 点
条件开放型 结论开放型 策略开放型 综合开放型 正确答案不唯一
作用：培养创新意识、创造能力
如图，四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、 BE。给出下列五个关系式：①AD∥BC；② DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤ AD+BC=AB。将其中的三个关系式作为题 设，另外两个作为结论，构成一个命题。 ⑴用序号写出一个真命题 （书写格式如：如果…那么…） 并给出证明 ⑵用序号再写出三个真命题 （不要求证明）
例2、如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过AC的中点 D,DE⊥BC,垂足为E. (1)由这些条件,你能推出哪些正确结论?(要求: 不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线 不能出现在结论中，不写推理过程，写出三个 结论即可） (2)若∠ABC是直角,其他条件不变,除上述结论 外,你还能推出哪些新的正确结论?并画出图 形.(要求同(1)) C C
例2 如图，AB=DB,∠1=∠2，请添加一个条 件： ，使得Δ ABC≌ΔDBE， 并证明你的结论。 给出问题的结论，让解题者 BC=BE 或∠A=∠D或∠C=∠E 分析探索使结论成立应具备？ 不是唯一的，这样的问题是条 件开放性问题。
D A E 1 B 2 C
D A O B D E E B
A
O
例3、有这样的一个函数，甲、乙、丙、丁四位 同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数图象不经过第三象限； 乙：函数图像经过第一象限； 丙：当x<2时，y随x的增大而减小； 丁：当x<2时，y>0 已知这四位同学叙述都正确，请你构造出满 足上述所有性质的一个函数；
请 思 考！
ED⊥AD于D，且∠EBC=∠EDC，∠ECB=45°， 找出图中一条与EB相等的线段，并证明。
A E D
例4、如图，平行四边形ABCD内一点E满足
B
C
☆一般思路：依据题设条件从简单情况或特殊 情况人手进行归纳，大胆的猜想得出结论，然后 进行论证。
各班级分数段人数分布情况 三、策略开放型
例 有一块方角形钢板如下图所示，请你用一 条直线将其分为面积相等的两部分（不写作法， 保留作图痕迹，在图中直接画出）。
策略开放题，一般是指 解题方法不唯一或解题路 径不明确的问题。
四、综合开放型
例 编写一道应用题，使得根据题意列出的方程为：
再解答你所列出的应用题。（要求：所编应用题完
整，题意清楚，联系生活且其解符合实际。）
120 120 1 x x 10
条件结论均开放的问题：
例 如图在△ABD与△ACE中，有下列四个论断① AB= AC ② AD =AE ③ ∠B= ∠C ④ BD=CE，请以其中三个诊断作 为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题 是 。（用序号和 的形式写出） ①②④ ③
E B
O
D C
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F，G，H分 别是梯形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，当 梯形ABCD满足条件 时， 四边形EFGH是菱形。（填上你认为正确的一个条件 即可）
D H G C
AD=BC
BD=AC
F B
∠ A=∠B
A
E
二、结论开放型
例1 如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AD、 AE分别是∠BAC的邻补角的平分线，AD交⊙O 于点D，交BC于F，由这些条件直接写出六个正 确的结论： （不再连结其他线段） ∠B=∠C , BF=CF, 给出问题的条件，让解 AB=AC, BD=CD, 题者根据条件探索相应的结 AD ⊥BC, AD⊥AE, AE∥BC, 论，而符合条件的结论往往 呈现多样性，这样的问题是 AD 是⊙O的直径， 结论开放性问题。 AE是⊙O的切线… …