18.1.2 第1课时 平行四边形的判定(1)

18．1.2 平行四边形的判定 第1课时 平行四边形的判定(1)
1．掌握平行四边形的判定定理；(重点) 2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．(难点) 一、情境导入 我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具
有如下的一些性质：
1．两组对边分别平行且相等； 2．两组对角分别相等； 3．两条对角线互相平分． 那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？ 二、合作探究 探究点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
如图，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD 、等边△ACE 、等边△BCF .试说明四边形DAEF 是平行四边形．
解析：根据题意，利用全等可证明AD ＝FE ，DF ＝AE ，从而可判断四边形DAEF 为平行四边形．
解：∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，∴∠DBF ＋∠FBA ＝∠ABC ＋∠ABF ＝60°，∴∠DBF ＝∠ABC .又∵BD ＝BA ，BF ＝BC ，∴△ABC ≌△DBF (SAS)，∴AC ＝DF
＝AE .同理可证△ABC ≌△EFC ，∴AB ＝EF
＝AD ，∴四边形DAEF 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 方法总结：利用“两组对边分别相等的
四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．
探究点二：两组对角分别相等的四边形
是平行四边形
如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°. (1)求∠D 的度数； (2)求证：四边形ABCD 是平行四边形． 解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D 的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明． (1)解：∵∠D ＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D
＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°； (2)证明：∵AB ∥DC ，∴∠2＝∠CAB ＝40°，∠DCB ＋∠B ＝180°，∴∠DAB ＝∠1
＋∠CAB ＝125°，∠DCB ＝180°－∠B ＝125°，∴∠DAB ＝∠DCB .又∵∠D ＝∠B ＝55°，∴四边形ABCD 是平行四边形．
方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．
探究点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形
如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ∥DB ，AO ＝BO ，E 、F 分别是OC 、OD
的中点．求证：
(1)△AOC ≌△BOD ；
(2)四边形AFBE 是平行四边形． 解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC ≌△BOD ；(2)此题已知AO ＝BO ，要证四边形AFBE 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE ＝OF 即可．
证明：(1)∵AC ∥BD ，∴∠C ＝∠D .在
△AOC 和△BOD 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠C ＝∠D ，
∠COA ＝∠DOB ，
AO ＝BO ，
∴△AOC ≌△BOD (AAS)；
(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO .∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝12OD ，OE ＝1
2OC ，∴EO ＝FO .又∵AO ＝BO ，∴四边形AFBE 是平行四边形． 方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
探究点四：平行四边形的判定定理(1)的应用
【类型一】 利用平行四边形的判定定理(1)
证明线段或角相等
如图，在平行四边形ABCD 中，
AC 交BD 于点O ，点E ，点F 分别是OA ，OC 的中点，请判断线段DE ，BF 的位置关系和数量关系，并说明你的结论．
解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE 是平行四边形，从而得出DE ＝BF ，DE ∥BF .
解：DE ＝BF ，DE ∥BF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点，∴OE ＝OF ，∴
四边形BFDE 是平行四边形，∴DE ＝BF ，DE ∥BF .
方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．
【类型二】 平行四边形的判定定理(1)
的综合运用
如图，已知四边形ABCD 是平行
四边形，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .
(1)求证：△ABE ≌△CDF ；
(2)连接BF 、DE ，试判断四边形BFDE 是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
解析：(1)根据“AAS ”可证出△ABE ≌△CDF ；(2)首先根据△ABE ≌△CDF 得出AE ＝FC ，BE ＝DF .再利用已知得出△ADE ≌△CBF ，进而得出DE ＝BF ，即可得出四边形BFDE 是平行四边形．
(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DCA .∵BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°.在△ABE 和△CDF
中
，
⎩⎪⎨⎪
⎧∠DFC ＝∠BEA ，∠FCD ＝∠EAB ，AB ＝CD ，
∴△ABE ≌△CDF (AAS)；
(2)解：四边形BFDE 是平行四边形．理由如下：∵△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝FC ，BE ＝DF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAC ＝∠BCA .在△ADE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ，
AE ＝FC ，∴△ADE ≌△CBF (SAS)，∴DE ＝BF ，∴四
边形BFDE 是平行四边形．
方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行
四边形．
三、板书设计
1．平行四边形的判定定理(1)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线相互平分的四边形是平行四边形．
2．平行四边形的判定定理(1)的应用
在整个教学过程中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要．在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上．。