12排列与组合121排列第一课时排列的概念及排列数公式
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。
排列与组合的基本概念
排列与组合的基本概念排列与组合是组合数学中的基本概念，它们是用来描述对象排列顺序和选择方式的数学方法。
在数学和计算机科学领域中，排列与组合经常被应用于概率统计、密码学、信息理论等方面。
本文将介绍排列与组合的基本概念及其应用。
一、排列的概念和应用排列是指从N个不同元素中选取M个元素，按照一定的顺序进行排列，共有多少种不同的排列方式。
排列的计算公式为P(N,M)=N!/(N-M)!，其中N!表示N的阶乘，即N! = N*(N-1)*(N-2)*...*1。
排列的应用广泛，比如在密码学中用于生成密码，还可以用于组织活动时的座位安排等。
二、组合的概念和应用组合是指从N个不同元素中选取M个元素，不考虑其排列顺序的选择方式，共有多少种不同的组合方式。
组合的计算公式为C(N,M)=N!/(M!(N-M)!)。
组合也有广泛的应用，比如在概率统计中用于计算事件发生的可能性，还可用于开发适用于多个不同场景的算法等。
三、排列与组合的区别排列与组合的区别主要在于排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
以选取3个人从5个人中进行排列和组合为例：- 排列的结果为选取3个人从5个人中按照一定顺序进行排列，共有5*4*3=60种不同的排列方式。
- 组合的结果为选取3个人从5个人中进行组合，不考虑顺序，共有5*4*3/(3*2*1)=10种不同的组合方式。
四、排列与组合的应用举例1. 在概率统计中，排列与组合被广泛应用于计算事件发生的可能性。
比如在抽奖活动中，如果有10个人参与抽奖，每个人的中奖概率相同，那么中奖的排列数为P(10,1)=10，中奖的组合数为C(10,1)=10。
2. 在密码学中，排列与组合被用于生成密码。
通过将字符排列组合，可生成不同的密码，提高密码的复杂度，增加密码破解的难度。
3. 在信息理论中，排列与组合可以用于计算编码和压缩算法的效率。
通过组合不同的编码方式，可实现更高效的数据传输和存储。
综上所述，排列与组合是组合数学中的重要概念，它们用于描述对象排列顺序和选择方式的数学方法。
第1章-1.2-1.2.1-第1课时 排列与排列数公式
A．6 个
【解析】 符合题意的商有 A2 4＝4×3＝12. 【答案】 C
3．某段铁路所有车站共发行 132 种普通车票，那么这段 铁路共有的车站数是( A．8 B．12 ) C．16 D．24
【解】 设车站数为 n，则 A2 n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.
【答案】 B
4．写出下列问题的所有排列． (1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排； (2)从编号为 1,2,3,4,5 的五名同学中选出两名同学任正、 副班长．
沿途有四个车站，求这四个车 要确定一种车票，即是从四个车站中任意选出 2 个车站，按起点站在前、终点站在后进行排列，共有 A2 4种 不同的排法，即共有 A2 4 种不同的车票，由排列数公式可得 A2 4＝4×3＝12.
树形图法在解决简单排列问题中的应用 (12 分)从 0,1,2,3 这四个数字中，每次取出三个 不同的数字排成一个三位数． (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数． (2)若组成这些三位数中，1 不能在百位，2 不能在十位， 3 不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三 位数．
【提示】 不是．
排列的概念 一般地，从 n 个不同元素中取出 m( 按照 一定的顺序
m≤n )个元素，
排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取
出 m 个元素的一个排列．
排列数及排列数公式
【问题导思】 两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡片进行组数 字游戏．
1． 从这 4 个数字中选出两个能构成多少个无重复数字的 两位数？
【解】 (1)四名同学站成一排， 共有 A4 4＝24 个不同的排 列，它们是： 甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙， 甲丁丙乙； 乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙， 乙丁丙甲；
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列
答案:6
12
2.排列数公式 (1)排列数公式:A������������ = (���������-������!���)!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),这里 n,m∈ N+,并且 m≤n. (2)一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元 素的一个全排列. A������������ =n!. (3)规定:0!=1.
12
(2)排列数公式的阶乘表示为
Amn
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n
·(n -1)·(n -2)·…·(n -m +1)·(n -m )·…·2·1 (n -m )·(n -m -1)·…·3·2·1
=(nn-m! )!,即Amn
=
n! (n -m
.
)!
在一般情况下,排列数的第一个公式Amn =n(n-1)·(n-2)…(n-m+1)
∴④式不正确.
答案:C
排列应用题的常见类型及解法有哪些? 剖析排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问 题,绝大多数排列问题都可转化为这两种形式. (1)无限制条件的排列应用题,直接利用排列数公式计算. (2)有限制条件的排列应用题,采用直接法或间接法.应注意以下 几种常见类型:
①含有特殊元素或特殊位置的,通常优先安排特殊元素或特殊位
=
������(������-1)! (������-������)!
=
������! (������-������)!
=
A������������ ,
∴②式正确;③式显然正确;
∵
A������������--11
=
(������-1)! [(������-1)-(������-1)]!
最新高中数学排列与组合知识点
高中数学排列与组合知识点排列组合是高中数学教学内容的一个重要组成部分,但由于排列组合极具抽象性,使之成为高中数学课本中教与学的难点.加之高中学生的认知水平和思维能力在一定程度上受到限制,所以在解题中经常出现错误.以下本人搜集整合了高中数学排列与组合相关知识点，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学排列与组合知识点汇编如下：一、排列1定义(1)从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。
(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Amn.2排列数的公式与性质(1)排列数的公式：Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)特例：当m=n时，Amn=n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1规定：0!=1二、组合1定义(1)从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。
2比较与鉴别由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。
排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。
因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。
三、排列组合与二项式定理知识点1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)2.排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann=n!Cnm=n!/(n-m)!m!Cnm=Cnn-m Cnm+Cnm+1=Cn+1m+1k•k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+…+Cn n-1abn-1+Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
12排列与组合121排列第一课时排列的概念及排列数公式
2.从1,2,3,4中任取两个数字组成平面直角坐标系中一个点的 坐标,则组成不同点的个数为( ) 答案:C
A.2
B.4
C.12
D.24
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第一章 计数原理
3.全排列 (1)定义:n 个不同元素全部取出的2)×…×3×2×1＝n！. (3)阶乘:正整数 1 到 n 的连乘积. (4)规定:0！＝1.
是全排列数的一半. 【解】 (1)五名同学站成一排,不同的排列对应不同的站法,
故站法种数为 A55＝5×4×3×2×1＝120. (2)五名同学站好后,甲位于乙右侧或左侧必属其一,故这时的站
法种数为A255＝60.
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第一章 计数原理
【名师点评】 有关基本排列问题的解法:
(1)明确选出的元素有无顺序要求;
第一章 计数原理
解:1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n!
＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
2.证明:Ann＋＋11＝Ann＋1＝(n＋1)Ann.
证明:∵Ann＋＋11＝(n＋1)·n·(n－1)…3·2·1,
Ann＋1＝(n＋1)·n(n－1)…3·2·1,
【名师点评】 判定是不是排列问题,要抓住排列的本质特征,
第一取出的元素无重复性,第二选出的元素必须与顺序有关才
是排列问题.元素相同且排列顺序相同才是相同的排列.元素有
序还是无序是判定是否是排列的关键.
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变式训练 1.判断下列问题是否为排列问题.
第一章 计数原理
(1)从五名同学中选两人分别担任正、副组长;
个排列. (2)两个排列相同,当且仅当两个排列的元素__完__全__相__同__,且元素的 __排__列__顺__序__也相同.
_1.2.1排列第1课时排列与排列数公式 学案-高二数学下学期人教A版选修2-3 第一章计数原理
1．2 排列与组合1．2.1排列第1课时排列与排列数公式[目标] 1.理解排列和排列数的特征.2.正确运用排列数公式进行计算．[重点] 理解排列的概念，会用排列数公式进行计算．[难点] 对排列的有序性的正确理解，排列数公式的逆用．知识点一排列的概念[填一填]1．排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．相同排列两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．[答一答]1．排列的定义中包括哪两个基本内容？提示：排列定义包括两个基本内容：一是“取出的元素不能重复”；二是“按照一定的顺序排列”．2．两个排列若为相同的排列需具备哪些条件？提示：需要具备两个条件：一是元素完全相同，二是元素的排列顺序完全相同．3．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？提示：判断一个具体问题是不是排列问题，关键看在安排取出的元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．知识点二排列数公式[填一填][答一答]4．“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念？提示：不是同一概念．“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”．例如，从a，b，c中任取2个元素的排列有ab，ba，ac，ca，bc，cb，共6个，6就是从a，b，c中任取2个元素的排列数．5．对于排列数A m n中，m，n有什么要求？提示：m、n∈N＋，且m≤n.6．在A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)中右边共多少项的乘积．提示：从n，(n－1)，…，(n－m＋1)以上m个数相乘，可得共m项．7．为什么规定0！＝1?提示：为了使公式A m n＝n！(n－m)！在m＝n时也能成立，规定0！＝1，这种规定说明：若一个元素都不取，则构成排列的情形只有1种．1．对排列定义的四点说明(1)定义的两个要素：一是“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素”，要求取出的元素不能重复；二是“按照一定的顺序排列”．(2)定义中“一定顺序”就是说与位置有关，选取的元素相同但顺序不同是不同的排列，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件决定．(3)对于两个排列，只有各元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是相同排列．(4)在定义中规定m≤n，如果m<n，这样的排列只是取一部分元素进行排列，称选排列；如果m＝n，这样的排列是取出所有元素进行排列，称全排列．2．准确理解排列数公式(1)公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当m>n时不成立．(2)排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘．(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式，它是一个分式的形式，分子是下标n的阶乘，分母是下标减上标的阶乘，即(n－m)的阶乘，(4)特别地，规定0！＝1.这只是一种规定，不能按阶乘的含义作解释．类型一排列的概念【例1】判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(4)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1?【分析】由题目可获取以下主要信息：对于(1)，两人当班长，有正副之分；对于(2)，对数的底数与真数交换，其值也不同；对于(3)，点的坐标有横坐标与纵坐标之分；对于(4)，焦点在x轴上的椭圆方程，必须a>b.解答本题，其关键是看问题的结果与选出的元素排列时跟顺序是否有关，有关即是排列问题，否则不是．【解】(1)是．选出的2人分别担任正、副班长，与顺序有关，所以该问题是排列问题；(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．(3)是．道理同上．(4)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a、b必有a>b，a、b的大小一定．排列的特点是“先取后排”，即先从n个不同的元素中取出m个元素，再按一定顺序把这m个元素排成一列.因此，判断一个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排列问题，无关则不是排列问题.将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙三人，每人一本，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．解：按分步乘法计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法．故共有3×2×1＝6(种)不同的分法．列出树形图：如下所以，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英，语英数，数语英，数英语，英语数，英数语．类型二排列数的计算问题【例2】(1)乘积m(m＋1)(m＋2)(m＋3)…(m＋20)可表示为()A ．A 2mB ．A 21mC ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋20(2)计算：①A 315；②A 59＋A 49A 610－A 510. 【分析】 按排列数公式计算．【解析】 (1)因为m ，m ＋1，m ＋2，…，m ＋20中最大的数为m ＋20，且共有m ＋20－m ＋1＝21个因式．所以m (m ＋1)·(m ＋2)…(m ＋20)＝A 21m ＋20.(2)解：①A 315＝15×14×13＝2 730.②方法1：A 59＋A 49A 610－A 510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6＝9×8×7×6×(5＋1)10×9×8×7×6×(5－1)＝320. 方法2：A 59＋A 49A 610－A 510＝5A 49＋A 4950A 49－10A 49＝6A 4940A 49＝320. 【答案】 (1)D (2)①2 730 ②3201.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．(1)设x ∈N *，且x <23，则(23－x )(24－x )(25－x )·…·(30－x )可化简为( D ) A ．A 723－xB ．A 23－x30－xC ．A 730－xD ．A 830－x解析：本题考查排列数公式的应用．先确定最大数，即n ，再确定因式的个数，即m .因为n ＝30－x ，m ＝(30－x )－(23－x )＋1＝8，所以原式＝A 830－x .故选D.(2)计算A 55A 25的值．解：A 55A 25＝5×4×3×2×15×4＝6.类型三 列举法解决排列问题【例3】 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．【解】(1)由题意作树形图，如图．故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．“树形图”在解决个数不多的排列问题时，是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列.将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．解：树形图为(如图)：由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种排法．忽视排列问题中的限制条件致误【例4】在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4的排列个数是________．【错解】排列的个数是12个或8个．【错因分析】3个限制只注意1个限制条件或2个限制条件．【正解】首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树形图进行筛选．满足a1>a2的树形图是：其次满足a3>a2的树形图是：再满足a3>a4的排列：2 143,3 142,3 241,4 132,4 231，共5个．【答案】 5由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数是12. 解析：本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个．1．下列问题中不属于排列问题的是(B)A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案C．从3,5,7,9中任取两个数做指数运算，可以得到多少个幂D．从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点解析：12名学生分为4组，3人一组无先后顺序，不属于排列问题．2．已知A2n＝132，则n＝(B)A．11 B．12C．13 D．14解析：n(n－1)＝132，n＝12.3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1_560条毕业留言．(用数字作答)解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560条毕业留言．4．计算：(2A412＋A512)÷(A513－A512)＝2.5．如果A32n＝10A3n，求n的值．解：因为A32n＝2n(2n－1)(2n－2)，10A3n＝10n(n－1)(n－2)，从而2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n －1)(n－2)．化简得，n2－9n＋8＝0.解得，n＝8或n＝1(因为n≥3，所以n＝1舍去)，所以n的值为8.。
《排列与组合》的说课稿
《排列与组合》的说课稿引言概述：排列与组合是数学中重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
通过排列与组合的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提高我们的逻辑思维能力和数学素养。
本文将从排列与组合的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列的方式。
1.2 排列的计算公式：排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
1.3 排列的性质：排列的个数随着元素个数和选取个数的增加而增加，排列的顺序不同则视为不同的排列。
二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干个元素进行组合的方式。
2.2 组合的计算公式：组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
2.3 组合的性质：组合的个数不受元素的排列顺序影响，组合的个数随着选取的元素个数的增加而减少。
三、排列组合的应用3.1 排列组合在概率统计中的应用：排列组合可以帮助我们计算事件发生的可能性，从而进行概率统计的分析。
3.2 排列组合在密码学中的应用：排列组合可以帮助我们设计安全的密码算法，保护信息的安全性。
3.3 排列组合在工程设计中的应用：排列组合可以帮助我们设计出更加合理的工程结构，提高工程的效率和可靠性。
四、排列组合的解题方法4.1 利用计算公式：根据排列组合的计算公式，可以直接计算出排列组合的个数。
4.2 利用递推关系：通过递推关系可以简化排列组合的计算过程，提高解题效率。
4.3 利用实际问题进行练习：通过解决实际问题，可以更好地理解排列组合的概念和应用。
五、总结排列与组合作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过学习排列与组合，可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为我们的学习和工作带来更多的帮助。
希望大家能够认真学习排列与组合的知识，不断提升自己的数学素养。
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优待排列 集团排列 间隔排列
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题型三 简单的排列问题
例3
第一章 计数原理
五名同学站成一排.
(1)一共有多少种不同的站法?
(2)甲必须站在乙的右侧,共有多少种不同站法? 【思路点拨】(1)五名同学站成一排,有顺序要求,属全排列问题.
五位数 4×5×5×5×5＝2500(个).
(2)法一:(优先考虑特殊位置)先排万位,从 1,2,3,4 中任取一个有
A14种方法,其余四个位置排四个数字共有 A44种方法,所以组成的
无重复数字的五位数共有 A41A44＝96(个).
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第一章 计数原理
法二:(优先考虑特殊元素)先排 0,除首位之外的其他四个数位均可, 有 A14种方法,其余四个数字全排列,有 A44种方法.故组成的无重复数 字的五位数共有 A14A44＝96(个). (3)(优先考虑特殊位置)先排个位,1 和 3 均可,有 A12种方法,然后从剩 下的 3 个非 0 数中选一个排在万位,有 A13种方法,最后将剩下的 3 个数排在其他三个数位上,有 A33种方法.故组成的无重复数字的五 位奇数共有 A21A13A33＝36(个).
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第一章 计数原理
第二类, A、D同色, 则分成三步完成.第一步涂A和D有5种方 法;第二步涂B有4种方法;第三步涂C有3种方法.由乘法原理, 共有5×4×3＝60(种)方法; 所以共有120＋60＝180(种)不同方法.
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3. 用0,1,2,3,4这五个数字,组成五位数:
(1)可组成多少个五位数?
(2)可组成多少个无重复数字的五位数?
(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数?
(4)若1和3相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?
(5)若1和3不相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?
解:(1)各个数位上的数字允许重复,由分步计数原理得,共可组成
第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.2.1 排 列
第一课时 排列的概念及排列数公式
新知初探•思维启动 第一章 计数原理
排列应用题最基本的解法
(1)直接法:以元素为考察对象,先满足__特__殊__元素的要求,再考虑
__一__般__元素(又称为元素分析法);若以位置为考察对象,先满足
___特__殊__位置的要求,再考虑__一__般__位置(又称位置分析法).
第一章 计数原理
4 .用5种不同颜色给如图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个 区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不相同,问有多少种不同的涂色 方法?
解:先分成两类: 第一类,D与A不同色,则分成四步完成.第一步涂A有5种方法;第二 步涂B有4种方法;第三步涂C有3种方法;第四步涂D有2种方法.由 乘法原理,共有5×4×3×2＝120(种)方法;
(4)(捆绑法)若 1 和 3 相邻,则把 1 和 3“捆绑”,看成一个整体与 0,2,4
进行排列.则共可组成无重复数字的五位数有 A22A31A33＝36(个).
(5)法一:(间接法)由(2),(4)两问可得,1 和 3 不相邻时,共可组成无重复
数字的五位数有 96－36＝60(个).
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第一章 计数原理
【名师点评】 有关基本排列问题的解法:
(1)明确选出的元素有无顺序要求;
(2)利用公式 Amn 进行求解. 变式训练
3. 学校举行运动会,从10名队员中选2人参加4×100米接力 比赛的第一棒和第四棒,有多少种不同选法?
解:从 10 名队员中选 2 人参加接力赛对应于从 10 个元素任取 2 个元素的一个排列,因此不同选法有 A210＝10×9＝90(种).
接近时)的方程与不等式. 栏目 导引
变式训练
第一章 计数原理
2.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌、3个舞蹈、3个
曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?
(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;
(2)2个唱歌节目互不相邻;
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
解:(1)先排唱歌节目有 A22种排法,再排其他节目有 A66种排法,所以共 有 A22·A66＝1440(种)排法. (2)先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A66种排法,再从其中 7 个空 (包括两端)中选 2 个排唱歌节目,有 A27种插入方法,所以共有 A66·A27 ＝30240(种)排法.
Ann＋1＝(n＋1)·n(n－1)…3·2·1,
(n＋1)A nn＝(n＋1)·n！＝(n＋1)·n·(n－1)…3·2·1,
∴Ann＋ ＋11＝Ann＋1＝(n＋1)Ann.
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方法感悟
第一章 计数原理
方法技巧 1.判断一个具体问题是否有顺序的方法
2.排列数公式
Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),一般用于具体计算或解与排列数 Anm(当 m 较小时)有关的方程,而 Anm＝（n－n！m）！一般用于与排列 数有关的恒等式(或不等式)的证明或解有关排列数 Amn (当 m 与 n 较
(2)五名同学站好后,甲或位于乙的右侧,或位于乙的左侧,故站法
是全排列数的一半. 【解】 (1)五名同学站成一排,不同的排列对应不同的站法,
故站法种数为 A55＝5×4×3×2×1＝120. (2)五名同学站好后,甲位于乙右侧或左侧必属其一,故这时的站
法种数为A255＝60.
Байду номын сангаас
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第一章 计数原理
法二:(插空法)先将 0,2,4 排好,再将 1 和 3 分别插入产生的 4 个空当中有 A33A24＝72 种排法,而当 0 在万位时,1,3 分别插入 2,4 产生的 3 个空当中有 A22A23＝12(种)排法.所以 1 和 3 不相邻的 无重复数字的五位数共有 72－12＝60(个).
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第一章 计数原理
(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素,与 3 个曲艺节目排列共 A44种排法,再将 3 个舞蹈节目插入,共有 A35种插入方法,最后将 2 个唱歌节目互换位置,有 A22种排法,故所求排法共有 A44·A35·A22＝ 2880(种)排法.
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第一章 计数原理
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备选例题 1.计算:1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！.
第一章 计数原理
解:1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n!
＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
2.证明:Ann＋＋11＝Ann＋1＝(n＋1)Ann.
证明:∵Ann＋＋11＝(n＋1)·n·(n－1)…3·2·1,