高数函数极限练习题
高数极限基础练习题
高数极限基础练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}\) 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无穷2. 函数 \( f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为：A. 0B. 1C. 无定义D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 函数 \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x = \pi \) 处的极限为：A. 0B. 1C. \(\frac{1}{\pi}\)D. \(-1\)4. 极限 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2}{e^n}\) 的值为：A. 0B. 1C. 无穷D. \(\frac{1}{2}\)5. 函数 \( h(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在 \( x = 2 \) 处的极限为：A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{1}{4}\)C. \(\frac{1}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每空2分，共20分）6. 极限 \(\lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1)\) 等于______。
7. 函数 \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) 在 \( x = e \) 处的极限为______。
8. 极限 \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin x}{x}\) 存在，其值为______。
9. 函数 \( g(x) = x - \tan^{-1}(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限为______。
10. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x}\) 的值为______。
三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(1+x)}{x}\)。
高数第一次课随堂练习函数与极限
随堂练习 一第一章 函数与极限一、填空题1、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。
2、函数xxy sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
3、若当0≠x 时 ，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
4、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。
5、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。
6、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
7、当+∞→x 时，x1是比3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
9、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。
10、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
11、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
12、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
13、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
二、计算题1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++∞→ ； （2）2)1(321lim nn n -++++∞→ ；（3）35lim 22-+→x x x ； （4）112lim 221-+-→x x x x（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ； （6）x x x 1sin lim 20→ ；（7）xx x x +---→131lim21； （8）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim0→ ； （2）xxx 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ；（4）x x x x )1(lim +∞→ ； （5）1)11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(21112x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+xx与x 。
考研高数极限试题及答案
考研高数极限试题及答案模拟试题：一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. \(\frac{1}{2}\)2. 函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x = 1\) 处的极限是多少？A. 2B. 1C. 0D. 不存在3. 极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}\) 存在吗？A. 是B. 否4. 函数 \(g(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 0 \\0 & \text{if } x = 0\end{cases}\) 在 \(x = 0\) 处的右极限是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. 不存在5. 极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\) 等于多少？A. 0B. 1C. 2D. 3二、计算题（每题10分，共40分）6. 计算极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。
7. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}\)。
8. 计算极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\)。
9. 计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} +\frac{1}{n^3}\)。
三、解答题（每题20分，共40分）10. 证明 \(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0\)。
11. 已知 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\)，证明 \(\lim_{x \to 2} [f(x)]^2 = 9\)。
大一高数求极限的例题
大一高数求极限的例题一、引言极限是大学高等数学中的重要概念，它是分析数学和微积分的基础。
在大一的高数课程中，学生常常会遇到求取极限的例题。
通过解答这些例题，不仅可以帮助学生理解极限的概念和性质，还可以提升他们的计算能力和思维逻辑能力。
本文将给出一些典型的大一高数求取极限的例题，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、例题一：求极限$\\lim_{x \\rightarrow 0}\\frac{\\sin{2x}}{x}$解析：我们可以利用极限的基本性质来求解该例题。
首先，我们注意到当$x$接近于0时，$\\sin{2x}$也随之接近于0，而分母$x$始终不会取0。
因此，我们可以将该极限转换为另一个形式：$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2\\sin{x}\\cos{x}}{x}$。
接下来，我们可以继续变形，使用三角恒等式$\\sin{2x} =2\\sin{x}\\cos{x}$，将分子中的$\\sin{2x}$化简为$2\\sin{x}\\cos{x}$。
然后，我们可以进一步将极限变为$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2\\sin{x}\\cos{x}}{x} = 2\\lim_{x\\rightarrow 0} \\frac{\\sin{x}}{x}\\lim_{x \\rightarrow0}\\cos{x}$。
其中，$\\lim_{x \\rightarrow 0}\\cos{x}$显然等于1。
而$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin{x}}{x}$则是一个常数，它的数值为1。
因此，最终的结果为$2 \\times 1 \\times 1 = 2$。
即$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{\\sin{2x}}{x} = 2$。
三、例题二：求极限$\\lim_{x \\rightarrow +\\infty} \\left(1 +\\frac{a}{x}\\right)^x$解析：为了求解该例题，我们可以利用极限的定义和性质。
高数函数与极限练习题
高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。
高数极限习题
关系
函数在某一点极限存在的 充分必要条件是，该点的 左、右极限都存在且相等。
夹逼定理及其应用举例
夹逼定理内容
如果三个函数在某点的极限存在，且 满足“夹逼”条件，则中间函数的极 限也存在，且等于两侧函数的极限。
应用举例
利用夹逼定理可以证明一些复杂函数 的极限存在性，如三角函数、指数函 数等。
单调有界数列必有极限
何值。
05
无穷级数中的极限问题
级数收敛与发散判断方法
比较判别法
通过比较级数的Βιβλιοθήκη 项与已知收敛或发散的级数通 项，来判断级数的收敛性。
比值判别法
求出级数相邻两项的比值，根据比值的极限值来 判断级数的收敛性。
根值判别法
求出级数各项的绝对值，然后取n次方根，根据根 值的极限值来判断级数的收敛性。
级数求和公式推导过程
等差数列求和公式
通过倒序相加法或错位相减法，将等差数列求和转化为等比数列 求和，从而得到求和公式。
等比数列求和公式
通过错位相减法，将等比数列求和转化为等差数列求和，从而得到 求和公式。
幂级数求和公式
通过逐项积分或逐项微分法，将幂级数求和转化为已知函数的求和， 从而得到求和公式。
级数收敛半径和收敛域求解
单调有界数列定义
单调有界数列是指一个数列既单调递增又有上界，或单调递减又有下界。
必有极限原因
根据实数完备性定理，单调有界数列必有极限。这是因为单调有界数列是一个 有界闭区间上的点列，根据闭区间套定理或聚点定理，这个点列必有收敛子列， 而单调性保证了收敛子列的极限就是原数列的极限。
04
连续性与间断点问题
函数连续性概念及性质
连续性的定义
函数在某一点连续，当且仅当函数在该点的极限值等于函数 值。
高数极限经典60题分步骤详解
高数极限经典60题分步骤详解1.求极限lim(sinn+1-sinn)/(n→∞)。
为了解决这个问题，我们需要运用三角函数和差化积公式，将式子进行转化，然后求出极限。
具体过程如下：sinn+1-sinn=2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(sin()/sin())2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(n→∞)2cos因为当n→∞时，sin()/n+1+n→0，而cos是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0.2.令Sn=∑(k/(k+1)!)，求极限limSn(n→∞)。
我们可以将Sn的式子变形，得到Sn=1-1/(n+1)。
然后求出极限即可。
具体过程如下：k/(k+1)!)=1/(k!)-1/((k+1)!)k/(k+1)!)=1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+。
+1/n!-1/(n+1)!1-1/(n+1)!因此，limSn=lim(1-1/(n+1!))=1.3.求极限lim(1+2q+3q^2+4q^3+。
+nq^(n-1))，其中q<1且q≠0.我们可以将Sn的式子变形，得到qSn=1q+2q^2+3q^3+。
+(n-1)q^(n-1)+nq^n1-q)Sn=(1+q+q^2+q^3+。
+q^(n-1))-nq^n1-q)Sn=(1-q^n)/(1-q)-nq^nSn=[(1-q)/(1-q)^2]-nq^n/(1-q)当q<1且n→∞时，q^n→0，1+q+q^2+q^3+。
+q^(n-1)→1/(1-q)，因此limSn=lim[(1-q)/(1-q)^2]-lim(nq^n/(1-q))1/(1-q)^2因此，极限为1/(1-q)^2.注：关于lim(1+2q+3q^2+4q^3+。
+nq^(n-1))/(q→0)，当n→∞时，q^n→0，1+2q+3q^2+4q^3+。
超级难的高数极限题
超级难的高数极限题高等数学是大学数学的重要组成部分，其中极限是数学分析的基础。
极限是指函数在某一点趋近于某一值的过程，是数学中非常重要的概念。
而高数极限题则是考验学生数学思维和解题能力的重要题型之一。
下面将介绍一些超级难的高数极限题。
1. $lim_{xto 0} frac{sin x}{x}$这道题是高数极限题中最经典的一道题，也是最基础的一道题。
它的解法是利用极限的定义，即当$x$趋近于$0$时，$frac{sinx}{x}$趋近于$1$。
这个结论可以用泰勒公式证明。
2. $lim_{xto +infty} left(1+frac{1}{x}right)^x$这道题需要用到自然对数$e$的定义，即$lim_{xto +infty}left(1+frac{1}{x}right)^x=e$。
我们可以通过变形将这个式子转化为$lim_{xto 0} left(1+xright)^{frac{1}{x}}=e$，然后利用极限的定义求解。
3. $lim_{xto 0} frac{e^x-1}{sin x}$这道题需要用到泰勒公式的展开式，即$e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+...$和$sinx=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+...$。
将这两个展开式代入原式中，我们可以得到$lim_{xto 0}frac{1+frac{x}{2!}+...}{x-frac{x^3}{3!}+...}$，然后利用洛必达法则求解。
4. $lim_{nto infty}left(frac{n}{n^2+1^2}+frac{n}{n^2+2^2}+...+frac{n}{n^2+n^2} right)$这道题需要用到积分的思想，即$int_0^1frac{1}{1+x^2}dx=frac{pi}{4}$。
我们可以将原式转化为$lim_{nto infty} frac{1}{n}sum_{k=1}^{n} frac{1}{1+(frac{k}{n})^2}$，然后利用积分的思想求解。
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函数与极限练习题
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