第七章最小二乘问题解析
最小二乘法求最值问题的一种简便证明
最小二乘法求最值问题的一种简便证明1. 引言最小二乘法是一种常用的数学工具，用于拟合数据或解决最值问题。
其中，最小二乘法求最值问题是一种常见的数学问题，其简便证明对于理解和应用最小二乘法都有着重要意义。
2. 问题描述最值问题是数学中常见的问题类型，在实际应用中也有着广泛的应用。
最小二乘法求最值问题指的是在一组数据中，通过最小化误差平方和来确定最优拟合曲线或最优参数。
其数学表达式为：对于给定的数据点(xi, yi)，拟合曲线为y = a + bx，其中a和b为待定参数。
最小二乘法的目标是找到最优的参数a和b，使得误差平方和最小。
3. 证明思路为了简便证明最小二乘法求最值问题，我们可以从最小化误差平方和的数学表达式入手，利用数学推导和分析来得到最优参数a和b的表达式。
4. 证明过程我们可以建立误差平方和的数学表达式：E = ∑(yi - (a + bxi))^2通过对参数a和b分别求偏导数，让偏导数等于0，得到参数a和b 的表达式：∂E/∂a = -2∑(yi - (a + bxi)) = 0∂E/∂b = -2∑xi(y i - (a + bxi)) = 0进一步求解上述方程组，可以得到参数a和b的表达式：a = (Σyi - bΣxi) / nb = (nΣxiyi - ΣxiΣyi) / (nΣxi^2 - (Σxi)^2)通过上述推导，我们得到了最小二乘法求最值的简便证明，也得到了参数a和b的最优表达式。
5. 总结和回顾通过对最小二乘法求最值问题的简便证明，我们在数学推导和分析的基础上，得到了最优参数a和b的表达式。
这个证明方法可以帮助我们更全面、深刻地理解最小二乘法的原理和应用，对于实际问题的解决也具有重要意义。
6. 个人观点最小二乘法是一种常用的数学工具，在实际应用中有着广泛的用途。
通过简便的证明方法，我们能够更容易地理解和应用最小二乘法，为相关问题的解决提供了重要的思路和方法。
以上是对最小二乘法求最值问题的一种简便证明的文章撰写，希望能够帮助你更深入地理解这个主题。
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
的最小二乘解
的最小二乘解最小二乘解（Least squares solution）是一种线性方程组求解方法，它的目标是找到一个向量，使得这个向量和实际数据点间的误差平方和最小，因此也被称为“最小平方拟合”或者“最小误差平方和解”。
最小二乘解在多个领域中都有广泛的应用，如经济学、物理学、信号处理等。
一个线性方程组可以用矩阵和向量的乘积来表示，即 Ax = b，其中A是一个m×n的矩阵，x和b都是n维列向量。
如果A的行向量线性无关（也就是说没有冗余的等式），则称A为列满秩。
如果A的行向量不满秩，则Ax = b可能没有解，也可能有无限个解。
如果A的列向量是满秩的，则称A为行满秩，那么Ax = b只有一个解。
如果A既不是行满秩也不是列满秩，则称A为奇异的（singular）。
当A的列向量不满秩时，我们通常无法找到一个x，使得Ax = b。
但是在很多情况下，我们希望找到一个最接近的x，使得Ax与b之间的误差尽量小。
这就是最小二乘解的目标。
我们定义误差向量e = Ax - b，我们希望找到一个x，使得e的范数（也就是长度）最小。
因此，我们需要解决以下最小化问题：$$\min_{x} ||Ax-b||^{2}$$其中，$||\cdot||$表示向量的范数。
上述问题是一个无约束的最小二乘问题。
它的解为：$$x = (A^TA)^{-1}A^Tb$$这个解也被称为正规方程组（normal equations）的解。
正规方程组是一个n×n的矩阵，当A的列向量是满秩的时候，它是一个可逆矩阵，因此解存在且唯一。
但是如果A的列向量是线性相关的，那么正规方程组将不可逆，且解不唯一。
在这种情况下，我们需要使用其他的方法求解最小二乘解。
另一种求解最小二乘解的方法是QR分解（QR decomposition）。
QR分解将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A = QR。
正交矩阵Q的每一列都是单位向量，因此Q的转置和逆相等。
最小二乘法
第七章 最小二乘法最小二乘法是实验数据处理的一种基本方法。
它给出了数据处理的一条准则，即在最小二乘以一下获得的最佳结果（或最可信赖值）应使残差平方和最小。
基于这一准则所建立的一整套的理论和方法，为随机数据的处理提供了行之有效的手段，成为实验数据处理中应用十分广泛的基础内容之一。
自1805年勒让得（Legendre ）提出最小二乘法以来，这一方法得到了迅速发展，并不断完善，成为回归分析、数理统计等方面的理论基础之一，广泛地应用于天文测量，大地测量及其他科学实验的数据处理中。
现代，矩阵理论的发展及电子计算机的广泛应用，为这一方法提供了新的理论工具和得力的数据处理手段。
随着计量技术及其他现代科学技术的迅速发展，最小二乘法在各学科领域将获得更为广泛的应用。
本章仅涉及独立的测量数据的最小二乘法处理。
以等精度线性参数的最小二乘法为中心，叙述最小二乘法原理，正规方程和正规方程的解，以及最小二乘估计的精度估计。
最后给出测量数据最小二乘法处理的几个例子。
7 .1 最小二乘法原理县考察下面的例子。
设有一金属尺，在温度()C t ︒条件下的长度可表示)1(0t y y t α+=式中 y 0——温度为0°C 时的金属尺的长度；α——金属材料的线膨胀系数； t ——测量尺长时的温度。
现要求给出y 0与α的数值。
为此，可在t 1与t 2两个温度条件下分别测得尺的长度l 1与l 2，得方程组()()⎭⎬⎫+=+=20210111t y l t y l αα由此可解得y 0与α。
事实上，由于测量结果l 1与l 2含有测量误差，所得到的y 0与α的值也含有误差。
显而易见，为减小所得y 0与α值的误差，应增加y t 的测量次数，以便利用抵偿性减小测量误差的影响。
设在n t t t ,,,21 温度条件下分别测得金属尺的长度n l l l ,,,21 共n 个结果，可列出方程组⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+=+=)1()1()1(0202101n n t y l t y l t y l ααα)1(0t y y t α+=但由于方程式的数目n 多于待求量的数目，所以无法直接利用代数法求解上述方程组。
第七章 受限OLS
该回归模型的估计为: 该回归模型的估计为
log Q = 4.17 0.247 log p + 0.96 log Y
SE :
(0.11) (0.017) (0.026)
^
（模型1） 模型 ）
R 2 = 0.371
线性约束最小二乘估计(受限最小二乘 受限最小二乘) 第七章 线性约束最小二乘估计 受限最小二乘
一、多个回归系数的联合检验 R2和F检验提供了对所有回归系数为零的原假设 检验提供了对所有回归系数为零的原假设 的检验， 的检验，但有时我们会想对部分回归系数所组成的子 集是否显著进行联合检验。 集是否显著进行联合检验。 考虑多元回归模型： 考虑多元回归模型：
三、有关不同回归模型的系数是否相等的检验 有时我们对是否应当将一个模型应用于两个不同 的数据集没有把握， 的数据集没有把握，可以从两个回归方程是相同的原 假设开始进行检验，称为Chow检验。考虑回归模型： 检验。 假设开始进行检验，称为 检验 考虑回归模型：
Yi = β1 + β2 X2i +βk Xki + ui (i =1N)
log Q D log Y 模型3） （模型 ） = β1 + α1 D + β 2 log p + α 2 D log p + β 3 (log Y D log Y ) + u
估计得R 估计得 2=0.3785
相对于模型3，模型2为无条件模型 模型3的 为无条件模型， 相对于模型 ，模型 为无条件模型，模型 的 约束条件个数为1，则相应的F统计量为 统计量为： 约束条件个数为 ，则相应的 统计量为：
最小二乘法相关习题答案
最小二乘法相关习题答案最小二乘法是数学中一种常见的优化方法，广泛应用于数据拟合、回归分析等领域。
在这篇文章中，我们将探讨一些与最小二乘法相关的习题，并给出详细的答案解析。
1. 问题描述：已知一组数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，要求通过这些数据点找到一条直线y = ax + b，使得这条直线与数据点的拟合误差最小。
解答：根据最小二乘法的原理，我们需要最小化误差函数E = Σ(yi - (axi + b))^2。
为了求得最优解，我们需要对E分别对a和b求偏导，并令其为0。
对于a，我们有∂E/∂a = -2Σxi(yi - (axi + b)) = 0，整理得到a = (Σxiyi - nxb) / (Σxi^2 - nxa)。
对于b，我们有∂E/∂b = -2Σ(yi - (axi + b)) = 0，整理得到b = (Σyi - naxi) / n。
所以，最小二乘法的解为a = (Σxiyi - nxb) / (Σxi^2 - nxa)，b = (Σyi - naxi) / n。
2. 问题描述：已知一组数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，要求通过这些数据点找到一个二次曲线y = ax^2 + bx + c，使得这个二次曲线与数据点的拟合误差最小。
解答：与问题1类似，我们可以构建误差函数E = Σ(yi - (axi^2 + bxi + c))^2，并对E分别对a、b和c求偏导，并令其为0。
对于a，我们有∂E/∂a = -2Σxi^2(yi - (axi^2 + bxi + c)) = 0，整理得到a =(Σxi^2yi - bxΣxi - cΣxi^2) / (Σxi^4 - aΣxi^3 - bΣxi^2).对于b，我们有∂E/∂b = -2Σxi(yi - (axi^2 + bxi + c)) = 0，整理得到b = (Σxiyi- axiΣxi^2 - cΣxi) / (Σxi^3 - aΣxi^2 - bΣxi).对于c，我们有∂E/∂c = -2Σ(yi - (axi^2 + bxi + c)) = 0，整理得到c = (Σyi -axi^2Σxi - bxiΣxi) / n。
正规方程最小二乘法
正规方程最小二乘法正规方程最小二乘法是一种经典的线性回归分析方法，其基本思想是通过最小化残差平方和来求得解析解。
该方法具有较高的精度和稳定性，在实际应用中被广泛采用。
下面是关于正规方程最小二乘法的详细介绍和说明。
一、正规方程最小二乘法的基本原理1.1 残差平方和在线性回归分析中，我们假设因变量 Y 与自变量 X 之间存在一定的线性关系，即 Y=b0+b1*X+e，其中 b0 和 b1 是常数，e 是误差，表示模型无法完全解释的因素。
我们的目标是通过观测数据来求出 b0 和 b1，使得模型的拟合程度最好，也就是误差最小化。
为了度量模型的拟合程度，我们引入残差平方和：$$SSR=\sum\limits_{i=1}^{n} e_i^2$$其中，n 是样本容量，e_i 是第 i 个观测值的误差。
1.2 最小二乘法最小二乘法的基本思想是通过最小化残差平方和来求解 b0 和 b1。
具体而言，我们希望找到一组 b0 和 b1，使得 SSR 达到最小值。
这个问题可以归纳为以下等价形式：$$ X'X b = X'Y $$其中，X 是一个 n×2 的自变量矩阵，第一列是常数项，第二列是自变量 X；Y 是一个 n×1 的因变量向量；b 是一个 2×1 的系数向量，第一个元素是常数项 b0，第二个元素是斜率 b1。
假设我们已经得到了 X'X 的逆矩阵 (X'X)^{-1}，那么正规方程的解析解就是：$$ b = (X'X)^{-1} X'Y $$通过这个公式，我们可以直接求解出 b0 和 b1 的估计值，从而得到线性回归模型的解析式。
二、正规方程最小二乘法的优缺点2.1 优点正规方程最小二乘法具有以下优点：（1）精度高：由于采用了解析解的方法，正规方程最小二乘法可以求得最优解，具有高精度和稳定性。
（2）简单易懂：该方法的公式简单易懂，容易被掌握和应用。
线性方程组的最小二乘解
线性方程组的最小二乘解在数学中，线性方程组是一个或多个线性方程的集合。
解决线性方程组的问题在科学和工程领域中具有广泛的应用。
然而，在现实世界的许多情况下，由于数据存在误差或方程组不完全满足，我们无法找到一个精确的解。
因此，在这种情况下，我们借助最小二乘法来寻找一个近似解。
最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来估计未知参数的统计方法。
它的基本思想是将线性方程组的解转化为一个优化问题，使误差最小化。
这样做的原因是测量误差在实际问题中是不可避免的，而最小二乘法能够有效地减小误差对解的影响。
现在，我们考虑一个具体的线性方程组：\[Ax = b\]其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的向量，b是一个m×1的向量。
通常情况下，该方程组无法找到一个完全满足的解。
我们将通过最小二乘法来确定一个最接近的解。
为了得到最小二乘解，我们需要定义一个误差函数，即残差：\[r = Ax - b\]我们的目标是使残差的范数最小化。
这里我们选择残差的欧几里得范数：\[||r||_2 = \sqrt{r^Tr}\]最小二乘解x可以通过求解下面的优化问题得到：\[x_{LS} = \arg\min_x ||Ax - b||_2^2\]为了求解上述优化问题，我们可以使用求导的方法。
令误差函数对x的导数为零，可以得到如下的正规方程：\[A^TAx = A^Tb\]解这个正规方程可以得到最小二乘解x的闭式表达式。
然而，这种方法在矩阵A的条件数较高时可能会导致数值不稳定的结果。
为了解决这个问题，我们可以使用QR分解方法。
QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的方法。
通过QR分解，我们可以将正规方程重新表示为：\[Rx = Q^Tb\]然后，通过反向代入法，可以求解最小二乘解x。
除了使用QR分解法，其他方法，如SVD分解、正交投影等，也可以用于求解线性方程组的最小二乘解。
最后，应该注意的是，最小二乘解不一定是唯一的。
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在 AT A 正定性不能确定时,可用QR分解法求解.
7.3 Gauss-Newton法
下面讨论 min S(x) min f T (x) f (x) min f (x) 2
f1x1, x2 , xn 0
f2 x1,
x2 , xn
0
fm x1, x2 , xn 0
m
min
fi 2 x1, x2 , xn
i 1
（3）是有n个变量的无约束极小化问题，一般可 以用前面介绍的最优化方法求解。考虑到（3）的特 殊形式，可以考虑更有效、更简单的方法求解。
1 引言
在数字处理中经常遇到寻求回归方程的问题，即根据一
组实验数据建立两个或多个物理量（俗称因素）之间的在
统计意义上的依赖关系式。 这类问题的数学模型如下：
设物理量 y 与物理量 t1,t2,…tl 之间的依赖关系式，设 其方程为：
y=F(t1,…tl,x1…xn)
(1)
其中 x1…xn为待定参数。我们的问题是如何通过m(>n)
称形如（7）的方程组为最小二乘问题（6）的法方程组. 可见求解线性最小二乘问题等价于求解它的法方程组. 又因为
V Rn , 有V A AV AV 2 0
故 A A 至少是半正定的.
定理2 A是m×n矩阵（m≤n)则 A A正定 rankA n
推论1 当 rankA n,则X * ( AT A)1 AT b （8）
作为m个实验点到该曲面“总距离”的度量。
如何选择参数 x1…xn 使（2）达到极小这就是最 小二乘法问题。上述问题用向量形式记为：
min F(x) -Y 2
其中 F (x) = [F (t (1) , x), F (t (2) , x), F (t (m) , x)]T
x Rn y Rm t(i) t1(i) ,t2(i) tl(i) T Rl i=1~m
若 fi (x) F (t(i), x) y(i), i=1~m. 则 f (x) ( f1(x), fm (x))T Rm
则上面问题可记为:min f(x)Tf(x)
(3)
(3) 即为最小二乘法问题一般形式。
当f(x)为线性向量值函数时，称（3）为线性最小
二乘法问题。
否则，原问题称为非线性最小二乘法问题。
为（6）的唯一最小二乘解. 推论2 AAT正定 rankA m
推论3 AT A正定 det AT A 0
但实际中A的秩不可能事先知道,而求rankA与求解 线性方程组几乎等价,因而AT A 的正定性也不能事先确 定,因此(8)仅具有理论意义,而且即使 AT A 正定,也不用 (8)去求(6)的解.
由此得AT AX * ATb
充分性：设x *满足（7）即：AT ( AX * - b) 0 对任意向量V X * Z Rn.计算 AV - b 2 A( X * Z ) - b 2 AX * - b 2 AZ 2 2Z T AT ( AX * - b) 0 AX* -b 2 AZ 2 因为 AZ 2 ≥0.则 AV - b 2 ≥ AX * - b 2 可见X *是（6）的极小点。
由（4）可知，当 2 fi (x) 接近0或 fi(x)接近线性从而 接 近于0，此时才可以忽略 Sk，因此这类算法又称为最小余 量算法。
而称逼近Sk的一类算法为大余量算法。
7.2 线性最小二乘法问题的解法
当f(x)取线性形式 即f(x)=Ax-b.A是m×n矩阵，b Rm 则（3）为：min||Ax-b||2 (m<n) (6)
m
若令S(x) fi (x)2 fi (x) i 1
则有G(x) 2AT (x) A(x) 2S(x)
先考虑无约束最优化的Newton法：2 f (xk )(x xk ) f (xk ) 则在此处有 2AT (xk ) A(xk ) 2S(xk ) Pk 2f (xk )T f (xk )
定理1 x*是（6）的极小点的充要条件是x*满足向量组：
ATAx*=ATb
(7)
证：
必要性.对F(x) || Ax b ||2 (Ax b, Ax b) X T AT AX 2bT AX bTb
求导为：F(x) 2AT AX 2ATb
若x *是F(x)的极小点。则必有F(x*) 0
f1 f1
x1
x2
f2 f2
x1
x2
A f (x)
fm
fm
x1 x2
f1
xn
f2
xn
fm
xn
则F (x) f (x)T f (x)的梯度向量g(x) 2f (x)T f (x)
m
而F (x)的Hessian矩阵为：G(x) 2f (x)T f (x) 2 fi (x)2 fi (x) i 1
个实验点 [t1(i) ,t2(i) ,…tl(i), y(i)]T i=1,2…m 确定（1）中n个
参数x1,x2…xn.从而建立回归方程。
对于实际一组参数x1,x2…xn的值，（1）给出l+1 维空间中的一个超曲面。第i个实验点 （ t1(i) ,t2(i) ,…tl(i) )在（1）中就确定超曲面上一个点即 相应的函数值：
即[ AT (xk ) A(xk ) S (xk )]Pk
AT (xk ) f
(
xk
)
X k1 X k Pk
主要计算量是 Sk 的计算，尽管Sk对称，也包含 (1/2)mn(n+1)个二阶偏导数，但Hesse矩阵中第一项只含
一阶导数的信息。因此为简化计算，我们或者忽略Sk， 或者用一阶导数的信息逼近Sk。
~y (i) F (t1(i) , t2(i) ,tl(i) , x1 xn )
这个函数值 ~y (i) 与测量值y(i)之差的绝对值
F t1(i) ,t2(i) ,tl(i) , x1, x2,xn y(i)
就是第i个实验点到该曲面的一种“距离”。 为计算方便，通常把
m
s( x1, x2 xn ) [F (t1(i) ,tl(i) , x1 xn ) y (i) ]2 (2) i 1