数值分析_曲线拟合及线性最小二乘问题
第六章_曲线拟合的最小二乘法
25
24
o
1 2 3 4 5 6 7 8
t
(0 , 0 ) (0 , 1 ) a0 (0 , f ) ( , ) ( , ) a ( , f ) 1 1 1 1 1 0
计算系数
(0 , 0 ) 1 8
bt y
则矛盾方程组为：
1 1 1 1 1 0.669131 0.370370 0.390731 0.500000 a 0.621118 0.121869 b 0.309017 0.833333 0.980392 0.587785
例1. 对彗星1968Tentax的移动在某极坐标系下有如 下表所示的观察数据，假设忽略来自行星的干扰,坐 r 标应满足： 1 e p 其中：p为参数，e为偏心率, cos
试用最小二乘法拟合p和e。
r
2.70 480
2.00 670
1.61 830
1.20 1080
1.02 1260
得正则方程组为：
5.0 0.284929 0.284929 a 3.305214 b 0.314887 1.056242
解得： a 0.688617
b 0.483880
1 则： p 1.452186 e bp 0.702684 a 1.452186 则拟合方程为： r 1 0.702684 cos
第六章 曲线拟合的最小二乘法
§6.1 引言
§6.2 线性代数方程组的最小二乘解
§6.3 曲线最小二乘拟合
§1 引言
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都 “很好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要 失败。另外，插值所需的数据往往来源于观察测量， 本身有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误 差的点，势必使插值结果更加不准确。 如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插 值多项式的次数过高而效果不理想。 从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近 似表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基 本趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟 合问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本 章介绍用最小二乘法求拟合曲线。
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告最小二乘法数值分析实验报告篇一：数值分析+最小二乘法实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析 201X年 4 月 13日篇二：数值分析上机实验最小二乘法数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二乘法三、程序M文件：sy ms x f; xx=input( 请输入插值节点 as [x1,x2...]\n ff=i nput( 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f 2...]\n m=input(请输入要求的插值次数m= n=leng th(xx); fr i=1:(m+1) syms faix; fai=x^(i-1); fr j=1:n x=xx(j);H(i,j)=eval(fai); end endA=ff*(H) *inv(H*(H) syms x; f=0; fr i=1:(m+1) f=f+A(i)*x^(i-1); end f plt(xx,ff, * ) hldnezplt(f,[xx(1),xx(n)])四、结果 sav e and run之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2-1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as[f1,f2...] [-1.76 0.42 1.21.341.432.254.38]请输入要求的插值次数m=3 f =133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359 9627370496*x^2+1020815915537309/9007199254740992*x^3五、拓展：最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
曲线拟合的最小二乘法讲解
实验三 函数逼近与曲线拟合一、问题的提出：函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。
函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。
主要内容有：（1）最佳一致逼近多项式（2）最佳平方逼近多项式（3）曲线拟合的最小二乘法二、实验要求：1、构造正交多项式；2、构造最佳一致逼近；3、构造最佳平方逼近多项式；4、构造最小二乘法进行曲线拟合；5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差；6、探讨新的方法比较结果。
三、实验目的和意义:1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程；2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较；3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较；4、掌握曲线拟合的最小二乘法；5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组；6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系；四、 算法步骤：1、正交多项式序列的生成{n ϕ（x ）}∞0：设n ϕ（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ϕ（x ）}∞0满足关系式⎩⎨⎧=>≠==⎰.,0,,0)()()()(),(k j A k j x d x x x kk j bak j ϕϕρϕϕ则称多项式序列{n ϕ（x ）}∞0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ϕ（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。
1）输入函数)(x ρ和数据b a ,;2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j nϕϕϕ的内积； 3）按公式①)())(),(())(,()(,1)(10x x x x x x x x j n j j jj n nn ϕϕϕϕϕϕ∑-=-==计算)(x n ϕ，生成正交多项式；流程图：开始否是结束2、 最佳一致逼近多项式],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*使得n n E P f =∆),(*，则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
数值分析之曲线拟合
xi 强度 ¿ Ç È ¶ yi
5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
9
纤维强度随拉伸 倍数增加而增加 并且24个点大致分 布在一条直线附近
因此可以认为强度 y与拉伸倍数x的主 要关系应是线性关系
8 7 6 5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y( x) 0 1 x
即
[ a ( x ) ( x ) f ( x )] 0
i 0 j 0 n j j i k i i k i
m
n
a ( x ) ( x ) f ( x )
i 0 j 0 j j i k i i 0 i k i
m
m
a ( x ) ( x ) f ( x )
定义2 设 ψn(x) 是[a,b]上首项系数 an≠0 的 n次多项 式,ρ(x)为[a,b]上权函数，如果多项式序列 满足关系式:
则称为多项式序列 为在[a,b]上带权ρ(x)正交， 称ψn(x)为[a,b]上带权ρ(x)的n次正交多项式。
只要给定区间[a,b]及权函数ρ(x), 均可由一族 线性无关的幂函数 { 1 , x , … , xn , … } 利用逐个正交化手续(Gram-Schmidt正交化方法)：
j 0
n
* 2 称为最小二乘解的平方 误差
在确定了拟合函数 S( x)后, 如何求拟合系数 a j ( j 0,1,, n)
使得S *( x ) a* j j ( x ) 满足拟合条件(3)呢？
j 0 n
2
三、法方程组
由
S ( x ) a j j ( x )
最小二乘曲线拟合excel
最小二乘曲线拟合excel在数据分析中，曲线拟合是一个至关重要的步骤，它能够帮助我们理解数据的变化趋势和规律。
最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差，找到最佳拟合曲线。
本文将详细介绍如何在Excel中实现最小二乘曲线拟合，并与其他统计软件进行比较。
一、最小二乘曲线拟合：方法与意义最小二乘法是一种数学优化技术，旨在找到最佳拟合数据的一组参数。
在曲线拟合中，最小二乘法能够找到一条曲线，使得所有数据点到曲线的垂直距离之和最小。
这种方法在统计学、经济学、工程学等多个领域有着广泛应用，能帮助我们更好地探索变量之间的关系。
二、Excel中的最小二乘曲线拟合Excel提供了一系列工具，使我们能方便地实现最小二乘曲线拟合。
以下是具体步骤：1.准备数据：首先，我们需要将数据输入到Excel表格中。
确保至少有两列数据，一列为自变量，另一列为因变量。
2.使用数据分析工具：Excel的“数据”标签中选择“数据分析”，然后选择“回归”。
在回归对话框中，选择“Y值输入区域”为因变量数据，同时设置“X值输入区域”为自变量数据。
勾选“线性拟合图”复选框。
3.查看结果：点击“确定”后，Excel会生成回归分析的结果和图表。
结果会显示拟合直线的参数（截距和斜率），同时图表上会绘制出实际数据点和拟合直线。
三、实际案例：利用Excel进行最小二乘曲线拟合假设我们有一组关于时间与速度的数据（时间作为自变量，速度作为因变量），我们想要找到一个合适的函数来描述这种关系。
我们可以按照以下步骤进行操作：1.将数据输入Excel表格中，确保两列数据对应准确。
2.打开“数据”标签中的“数据分析”工具，选择“回归”。
3.在回归对话框中，设置正确的输入区域，并勾选“线性拟合图”复选框。
4.点击“确定”，查看结果和图表。
5.分析结果，包括回归系数的值、置信区间和P值等，以判断拟合效果和是否有统计学上的显著性。
四、与其他统计软件的比较尽管Excel是一款广泛使用的办公软件，但它并不是专门用于统计分析的工具。
数值分析学习公式总结
第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 。
如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。
定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。
如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。
数值分析中的最小二乘法与曲线拟合
数值分析中的最小二乘法与曲线拟合数值分析是现代理论与实践密切结合的一门交叉学科，其中最小二乘法和曲线拟合是其中两个非常重要的概念。
最小二乘法是一种数学运算方法，用于求解一组方程组的未知参数，使得每个方程的误差平方和最小。
在实际应用中，最小二乘法广泛应用于数据拟合、信号处理、回归分析等领域。
在数据拟合中，最小二乘法是一种常见的方法，它可以用于拟合曲线和函数。
它通过延伸曲线以获得局部数据之间的交点，并通过在它们上进行平均化的方法来尝试匹配数据。
最小二乘法的概念为我们提供了一个理论基础，以便在一定程度上预测新的数据中对象的行为或趋势。
但是，即使在相对简单的问题中，最小二乘法可能并不是最佳选择。
曲线拟合是对一系列数据进行插值的过程，以便获得与原始数据点更准确相匹配的曲线或函数。
曲线拟合可以通过在相邻数据点之间进行插值来完成。
在曲线拟合中，只有在数据有很好的统计关系或在相邻数据点
有很好的相关性时，才会产生准确的结果。
否则，结果可能并不
准确，因为这些结果取决于数据点的数量和分布。
需要注意的是，曲线拟合和最小二乘法并不是一个可以代替另
一个的工具。
它们的适用范围不同。
曲线拟合适用于对离散数据
点进行联合分析，而最小二乘法适用于求解连续数据的线性模型。
总之，数值分析中的最小二乘法和曲线拟合是非常实用的概念，可以应用于各种领域。
它们作为现代数据分析的主要工具之一，
不断吸引着越来越多的学者和工程师投入到其中，将继续发挥重
要作用。
数值分析之最小二乘法与最佳一致逼近
就要求矩阵 G非奇异，
而 0 ( x), 1 ( x), , n ( x)在 [a, b]上线性无关不能推出 矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
定义10
设 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) [a, b]的任意线
性组合在点集 {xi , i 0,1,, m}(m n) 上至多只有 n 个
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,, m} 上给定，这就是科
学实验中经常见到的实验数据 {( xi , yi ), i 0,1,, m}的
曲线拟合.
1
问题为利用 yi f ( xi ), i 0,1,, m, 求出一个函数
y S * ( x) 与所给数据{( xi , yi ), i 0,1,, m} 拟合.
13
令 S1 ( x) a0 a1 x, 这里 m 4, n 1, 0 ( x) 1, 1 ( x) x, 故
( 0 , 0 ) i 8,
i 0 4
( 0 , 1 ) (1 , 0 ) i xi 22,
i 0
4
(1 , 1 ) i xi2 74,
这样就变成了线性模型 .
19
例2
设数据 ( xi , yi )(i 0,1,2,3,4) 由表3-1给出，
表中第4行为 ln yi yi ,通过描点可以看出数学模型为 及 b. y aebx , 用最小二乘法确定 a
表3 1 i xi yi 0 1.00 5.10 1 1.25 5.79 2 1.50 6.53 3 1.75 7.45 4 2.00 8.46
4
S ( x ) 的一般表达式为线性形式.
若 k ( x)是 k 次多项式，S ( x ) 就是 n 次多项式. 为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中 S ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x) (n m) 考虑加权平方和
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据点，只要求该近似曲线能够反映数据的基本变化趋势。
引例1：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系. 下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的 拉伸倍数的数据记录:
编号 1 2 3 4 5 6 拉伸倍数 1.9 2 2.1 2.5 2.7 2.7
xi
强
度 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5
r1 f ( x1 ) F ( x1 ) r f ( x ) F ( x ) 2 2 2 r rm f ( xm ) F ( xm )
的2-范数达到最小。
r 2 min
i 1
如果m=n，且
2 ( X 1 ) 1 2 ( X 2 ) 1 2 ( X 3 ) 1 2 ( X 4 ) 1
0.7885 0.9555 1.2238 1.3836
c 4.5286 b 0.4431 Y1 4.1744 Y 4.1109 2 b Y3 3.9890 Y4 3.9120
m
127.5 24 127 . 5 829 . 61
a 113.1 731.6 a 0.1505 b
b 0.8587
( x ) 0.1505 0.8587 x
这种求线性函数y=a+bx的过程称为线性拟合。
一般地，设 f ( x ) 的近似函数为 寻求 ai (0 i n)，使得
本“变化趋势”?
采用最小二乘的思想 令 S a,b a bxi yi
i 1 m 2
问题转化为求参数 a ,b 使
S 达到最小值。 a,b
S S 0 a b
m m xi i 1
m xi yi a i 1 i 1 m m b 2 xi x i yi i 1 i 1
rank ( A) r 0 则总存在分解 A FG 满秩分解 其中 F Rmr ,G Rrn , rank ( F ) rank (G ) r
引理7.1.1 设 A R ，且
mn
证明： 记
A [a1 , a2 ,
, an ]
, , ar 不妨假设 A 的前 列 r a1 , a2 线性无关
A b 2 Az 2 2( Az ) ( A b) A b 2 Az 2 2 z A ( A b )
A b 2 Az
2 2 2
A b
2 2
必要性
[1 ,2 ,是方程组的最小二乘解 ,n ] 2 必使 r 达到极小 . 记 r Ax , b 则 2
a j 1 j a1 2 j a2
令F
rj ar ; j 1, 2,
,n
[a1 , a2 , , ar ];G [ g1 , g2 , , gn ] T 其中 g j [1 j , 2 j , , rj ] ( j 1, 2, , n)
a j Fg j ; j 1, 2,
其中F1 Rmr , G
1
R
r n
, rank( F1 ) rank(G1 ) r
FG A FG 1 1P
1
其中 F
F1 , G G1P 1 , rank( F ) rank(G) r
因此，对任何 m n 阶矩阵总存在满秩分解
Th7.1.2 R 是方程组 Ax
曲线拟合与线性最小二乘
第七章 曲线拟合与线性最小二乘问题
/*Curve Fitting and Linear Least Square Problem*/
一、最小二乘问题的一般提法
§1 线性最小二乘问题
在实际应用中，经常遇到下列数据处理问题： 已知函数 f ( x )在m个点上的数据表，寻求其近似函数。
yi
编号 13 14 15 16 17 18
拉伸倍数 5 5.2 6 6.3 6.5 7.1
xi
强
度 5.5 5 5.5 6.4 6 5.3
yi
7
8 9 10 11 12
3.5
3.5 4 4 4.5 4.6
3
2.7 4 3.5 4.2 3.5
19
20 21 22 23 24
8
8 8.9 9 9.5 10
p( x ) a j x j
j 0
n
S a0 , a1 , a2 ,
, an p( xi ) yi min
2 i 1
m
则称 p( x )为函数 f ( x ) 的多项式拟合。
ai (0 i n) 满足下列法方程组：
x
j 0 i 1
n
m
jl
可以验证
x G (GG ) ( F F ) F b
T T T
T 1
1
是法方程组的一个解，故是原方程组的一个最小二乘解
推论7.1.2 若
rankA ，则方程组 rn
Ax b
有无穷多个最小二乘解。
Def 2 方程组 Ax b 的所有最小二乘解中2-范数最小
者称为方程组的极小最小二乘解。 存在唯一的极小最小二乘解 , b Th7.1.4 方程组 Ax 且可以表示为
i ( x ) x
以及
r 0 即多项式插值
1 ( x1 ) 2 ( x1 )
记
n ( x1 )
n ( x2 )
f1
A
1 ( x2 ) 2 ( x2 )
1 ( xm ) 2 ( xm )
b
f2 fm
n ( xm )
x (1 , 2 ,
r
2 2
, n )
xi
f ( xi )
x1 f1
x2 f2
xm fm
设 f ( x )的近似函数为
F ( x) 11( x) 22 ( x) nn ( x) n 其中 {i ( x )}i 1 是某函数族中的已知线性无关函数。
寻求一组常数
，要求 ( i 1 , 2 , n ) i 称为 残向量
Xi Yi
0.7885 4.1744 0.9555 1.2238 1.3863 4.1109 3.9890 3.9120
此时 1 ( x ) 1, 2 ( x )
X
写出法方程组 A Ax A b
T T
其中
1 ( X 1 ) ( X ) 1 2 A 1 ( X 3 ) 1 ( X 4 )
T T
GG F FG( x ) 0 G( x ) 0
T T
2 2
x ( x )
2
2 2
x 2 x 2 2( x , x )
x 2 x
2 2 2
2
0
x
2 2
唯一性易证
75 4 1 2 1 x1 7 88 0 1 1 3 x2 x 7 2 4 3 1 69 x 6 7 4 3 4 7 解：rank ( A) 3 4 rank ( A, b) 26 21 38 23 G-S法或 T T A A 38 70 43 A b 49
n
b; A的最小 R
A
T
mn
二乘解的充要条件是 为方程组 证明：
充分性
T 的解。 Ax A b
设 是
A Ax
T
T 的解 A b
z 2 2 Ay b 2 A( z ) b 2
n 对 y ， R 令y
2 2 T 2 2 T T
( x, x ) x
2 2
n
2 A ( Ax b)
T
称
A Ax
T
T 为方程组 A b
的法方程组 Ax b
推论7.1.1 若
rankA n( n m) ，则方程组有
. A b ( A A)
T 1 T
mn
唯一的最小二乘解
Th7.1.3方程组 Ax
b; A必存在最小二乘解。 R
记 rank ( A) r 0 则存在满秩分解 A FG 证明： 法方程组可写成：GT F T FGx GT F T b
T
设
由极值的必要条件知： 即
r xi
2 2
2 2
r 0
2 2
0; i 1, 2,
, n AT ( A b) 0
r x i
2 aki ( akj x j bk )
k 1 j 1
m
m n 2 ( akj x j bk ) xi k 1 j 1
1 1 ( x) 1; 2 ( x ) x; 3 ( x ) x
三、最小二乘问题解的存在性、唯一性
mn n ，若存在 精确地满足 Def 1 设 A R x R Ax b ，则称该方程组是相容的。
Th7.1.1 方程组 Ax b相容的充要条件是 rank ( A) rank ([ A, b])
x G (GG ) ( F F ) F b
T T T
T 1
1
其中 A FG 为满秩分解.
证明： 由定理7.1.3知， x 是一个最小二乘解。
设 是方程组的任一最小二乘解，下证：
x
2
2
A Ax A b T T A A A b
T T
A A( x) 0
T
G F FG( x ) 0
T
2 2