数学建模时间序列分析
数学建模(平稳时间序列分析)
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
模型 识别
参数 估计
模
序
N
模型
Y型
列
检验
优
预
化
测
计算样本相关系数
样本自相关系数 样本偏自相关系数
nk
(xt x)( xtk x)
ˆk t1 n
(xt x)2
t 1
ˆkk
Dˆ k Dˆ
ˆk
模型识别
基本原则
拖尾 q阶截尾
均值
Ext
1 1
0 p
协方差
(k
)
2
GiGik
i0
自相关系数
(k) (k) (0)
G jG jk
j0
G
2 j
j0
ARMA模型的相关性
自相关系数拖尾 偏自相关系数拖尾
例2.7:考察ARMA模型的相关性
拟合模型ARMA(1,1): xt 0.5xt1 t 0.8t 并直观地考察该模型自相关系数和偏自 相关系数的性质。
例2.5— (1)xt 0.8xt1 t
自相关系数按复指数单调收敛到零
例2.5:— (2)xt 0.8xt1 t
例2.5:— (3)xt xt1 0.5xt2 t
自相关系数呈现出“伪周期”性
例2.5:— (4)xt xt1 0.5xt2 t
Exs t 0,s t
特别当0 0 时，称为中心化 AR( p)模型
数学建模时间序列分析
参数估计值
a ˆ84.699,8b ˆ8.1 92
拟合效果图
2.1.2 非线性拟合
使用场合 长期趋势呈现出非线形特征
参数估计指导思想 能转换成线性模型的都转换成线性模型， 用线性最小二乘法进行参数估计 实在不能转换成线性的，就用迭代法进行 参数估计
常用非线性模型
模型
变换
对趋势平滑的要求 移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑
对趋势反映近期变化敏感程度的要求 移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感
例2.3:病事假人数的移动平均
时 病事假人 5项移动 时间 病事假 5项移动 时间 病事假 5项移动
间
数
平均
人数
平均
人数
平均
1.1
4
1.2
7
1.3
8
1.4
11
1.5
18
2.1
质或预测序列将来的发展
1.4 时间序列分析软件
常用软件 S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews 和SAS
推荐软件——SAS 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析 的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功 能强大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的 理想的软件 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进 行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无可 比拟的优势
特别的当 l 1
yT li
yˆTli yTli
,l i ,l i
y ˆT1yTyT1 n yTn1
例2.3
某一观察值序列最后4期的观察值为： 5，5.5，5.8，6.2
（1）使用4期移动平均法预测 xˆT 2。
数学建模方法之时间序列
(
S
(1) t
St(2) )
S
(1) t
1 1
(S
(1) t
S
( t
2)
)
因
S (1) 0
S (2) 0
16.41
yˆ1
S (1) 0
16.41
yˆ 2
S1(1)
1 1
(S1(1)
S1(2) )
16.41 1 (16.41 16.41) 1 0.4
16.41
yˆ 3
S
(1) 2
1 1
(S
(1) 2
S
(2) 2
)
16.89 1 (16.89 16.60) 17.37 1 0.4
以此类推，计算结果如表中所述，最后，计算预测标准误差，
n
2
S
( yt yˆt )
t 1
8.72 1.21
n2
6
由于此例中数据基本上属于变化比较平稳的情况，二次指数平滑的预
测效果反而不如一次指数平滑。
yt1 yˆt1
1
16.41
16.41
( yt1 yˆt1 )2
2
17.62
16.89
16.41
1.21
1.46
3
16.15
16.59
16.89 -0.74
0.55
4
15.54
16.17
16.59 -1.05
1.10
5
17.24
16.59
16.17
1.07
1.14
6
16.83
16.68
16.59
3
16.15
16.59 16.60 17.37 -1.22 1.49
财务预测和建模方法
财务预测和建模方法财务预测和建模是企业管理和决策过程中至关重要的一环。
它们通过运用统计学和数学建模技术，帮助企业预测未来的财务情况，并为决策提供依据。
本文将介绍几种常用的财务预测和建模方法。
一、时间序列分析法时间序列分析法是一种根据历史财务数据进行预测的方法。
它基于假设，即过去的数据模式将在未来重复出现。
时间序列分析法主要包括以下步骤：（1）观察和识别数据模式：通过查看历史财务数据，分析数据的趋势、季节性、周期性等模式。
（2）选择适当的模型：根据观察到的数据模式，选择合适的时间序列模型，如移动平均模型、指数平滑模型、ARIMA模型等。
（3）模型参数估计：利用历史数据对选定的模型进行参数估计，以得到一个较为准确的模型。
（4）预测未来数据：使用参数估计的模型，对未来的财务数据进行预测。
二、回归分析法回归分析法是一种通过建立依赖于相关变量的数学模型来进行预测的方法。
在财务预测中，通常选择线性回归模型。
回归分析法主要包括以下步骤：（1）确定相关变量：通过分析历史数据，确定可能与财务指标相关的变量。
例如，可以选择销售额、市场规模、利率等作为解释变量。
（2）建立回归模型：根据选定的相关变量，建立一个线性回归模型，将解释变量与财务指标建立起关系。
（3）模型参数估计：利用历史数据对回归模型进行参数估计，以确定模型中的系数。
（4）预测未来数据：使用参数估计的回归模型，对未来的财务数据进行预测。
三、财务比率分析法财务比率分析法是一种通过分析企业财务比率的变化趋势来进行预测的方法。
财务比率是衡量企业财务状况和经营绩效的重要指标，包括偿债能力、盈利能力、运营能力等方面的比率。
财务比率分析法主要包括以下步骤：（1）选择关键比率：挑选出与企业关键财务指标相关的财务比率，如资产负债率、净利润率、存货周转率等。
（2）分析比率变化趋势：通过比较历史数据，观察并分析财务比率的变化趋势，判断企业财务状况的发展方向。
（3）预测未来比率：根据财务比率的变化趋势，预测未来的财务比率，并据此进行财务预测。
数学建模中的预测方法：时间序列分析模型
自相关函数
k 满足 ( B) k 0
它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性
3）ARMA（ p, q）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的
（2）模型的识别
自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主 要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数. 若样本自协方差函数 k 在 q 步截尾，则 X t 是MA（ q ）序列
注：实参数 1 ,2 ,
,q 为移动平均系数，是待估参数
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 q Bq 则模型【3】可简写为
X t ( B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳 注2：滞后多项式的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程 能相互表出，即过程可逆，
2
N 为样本大小，则定义AIC准则函数
用AIC准则定阶是指在
得 AIC (S )
p, q
最小的点
ˆ,q ˆ) (p
作为
( p, q)
的估计。
2p N 2( p q ) 2 ( p , q ) ˆ ARMA 模型 ： AIC ln N
AR（ p ）模型 ：
ˆ2 AIC ln
应用案例：
（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计；
（2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理；
（3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测； （5）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。
3.灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测 应用案例
k 在
2） kk 的截尾性判断 作如下假设检验：M N
H0 : pk , pk 0, k 1, , M H1 : 存在某个 k ，使kk
数学建模评价类算法
数学建模评价类算法
数学建模评价类算法有许多种，下面列举几种常见的算法：
1. 主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）：PCA是一种常用的多变量数据降维算法，它可以将高维数据映射到低维子空间，从而提取数据中的主要成分。
在数学建模中，可以利用PCA算法对数据的维度进行降维，从而减少问题的复杂度。
2. 回归分析（Regression Analysis）：回归分析是一种用来研究变量之间关系的统计方法，它可以通过拟合一个数学函数来预测和解释因变量的变化。
在数学建模中，可以利用回归分析来建立数学模型，从而预测和解释问题的特征和关系。
3. 时间序列分析（Time Series Analysis）：时间序列分析是一种用来研究时间序列数据的统计方法，它可以用来预测未来的数据趋势和周期性。
在数学建模中，可以利用时间序列分析来建立时间序列模型，从而预测和解释问题的时间变化规律。
4. 神经网络（Neural Network）：神经网络是一种模仿人脑神经元网络结构的数学模型，它可以通过训练和学习来提取和表示数据中的模式和关系。
在数学建模中，可以利用神经网络来建立复杂的映射关系，从而解决复杂的问题。
5. 遗传算法（Genetic Algorithm）：遗传算法是一种通过模拟生物进化过程来解决优化问题的算法，它通过选择、交叉和变异等操作来搜索问题的最优解。
在数学建模中，可以利用遗传
算法来优化问题的目标函数，从而找到最优解。
这些算法在数学建模中都有广泛的应用，具体选择哪种算法取决于问题的特点和要求。
同时，也可以根据不同的问题将多个算法进行组合和集成，以达到更好的建模效果。
数学建模中时间序列详细说明
数学建模中时间序列详细说明(总19页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除基于Excel的时间序列预测与分析1 时序分析方法简介时间序列相关概念时间序列的内涵以及组成因素所谓时间序列就是将某一指标在不同时间上的不同数值，按照时间的先后顺序排列而成的数列。
如经济领域中每年的产值、国民收入、商品在市场上的销量、股票数据的变化情况等，社会领域中某一地区的人口数、医院患者人数、铁路客流量等，自然领域的太阳黑子数、月降水量、河流流量等等，都形成了一个时间序列。
人们希望通过对这些时间序列的分析，从中发现和揭示现象的发展变化规律，或从动态的角度描述某一现象和其他现象之间的内在数量关系及其变化规律，从而尽可能多的从中提取出所需要的准确信息，并将这些知识和信息用于预测，以掌握和控制未来行为。
时间序列的变化受许多因素的影响 ,有些起着长期的、决定性的作用 ,使其呈现出某种趋势和一定的规律性；有些则起着短期的、非决定性的作用，使其呈现出某种不规则性。
在分析时间序列的变动规律时，事实上不可能对每个影响因素都一一划分开来，分别去作精确分析。
但我们能将众多影响因素，按照对现象变化影响的类型，划分成若干时间序列的构成因素，然后对这几类构成要素分别进行分析，以揭示时间序列的变动规律性。
影响时间序列的构成因素可归纳为以下四种:(1)趋势性(Trend),指现象随时间推移朝着一定方向呈现出持续渐进地上升、下降或平稳的变化或移动。
这一变化通常是许多长期因素的结果。
(2)周期性(Cyclic)，指时间序列表现为循环于趋势线上方和下方的点序列并持续一年以上的有规则变动。
这种因素是因经济多年的周期性变动产生的。
比如，高速通货膨胀时期后面紧接的温和通货膨胀时期将会使许多时间序列表现为交替地出现于一条总体递增地趋势线上下方。
(3)季节性变化(Seasonal variation)，指现象受季节性影响 ,按一固定周期呈现出的周期波动变化。
数学建模方法在金融交易策略设计中的应用分析
数学建模方法在金融交易策略设计中的应用分析引言：金融交易策略设计是金融领域中非常重要的一个任务，如何通过合理的策略设计来获取最大利润一直是投资者和交易员关注的核心问题。
数学建模方法的应用在金融交易策略设计中具有重要的作用，可以帮助交易员更好地理解市场，优化交易决策，提高交易效率。
本文将探讨数学建模方法在金融交易策略设计中的应用，并分析其优势和局限性。
一、数学建模方法在金融交易策略设计中的应用1. 时间序列分析时间序列分析是金融交易策略设计中常见的数学建模方法之一。
通过统计学原理，分析历史交易数据的走势，建立数学模型预测未来的市场走势。
时间序列分析方法包括平滑法、趋势法、周期法等。
这些方法可以帮助交易员捕捉市场走势的规律，制定适应市场的交易策略。
2. 随机过程模型随机过程模型在金融交易策略设计中广泛应用。
通过建立随机模型，模拟金融市场的波动，分析价格、波动率等随机变量的特征。
常见的随机过程模型包括布朗运动、几何布朗运动等。
这些模型可以帮助交易员预测价格变动和风险，并制定相应的交易策略。
3. 优化模型优化模型在金融交易策略设计中也起到重要作用。
通过建立数学模型，最大化投资收益或最小化风险。
常见的优化模型包括线性规划、非线性规划等。
优化模型可以帮助交易员找到最佳的交易策略，配置最优的投资组合。
二、数学建模方法在金融交易策略设计中的优势1. 提高决策精度数学建模方法可以通过对历史数据的分析，找到市场的规律和趋势。
通过合理的模型建立和参数估计，可以预测未来的市场走势。
这样，交易员可以根据数学模型的预测结果，制定更准确的交易策略，提高交易决策的精度。
2. 优化交易成本数学建模方法可以帮助交易员优化交易成本。
通过建立数学模型和优化算法，可以实现交易策略的自动化执行，减少人为操作的影响，降低交易成本。
同时，数学模型还可以帮助交易员选择最佳的交易时机和交易策略，进一步降低交易成本。
3. 提高交易效率数学建模方法可以提高交易效率。
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时间
销售额y
4项滑 动平均 435.875 450.750 463.375 467.500 484.375 502.250 525.500 542.750
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2
166 52 140 733 224 114 181 753 269 214 280 295 307.875 315.500 323.625 341.750 357.875 374.875
常用软件 S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews 和SAS 推荐软件——SAS 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析 的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功 能强大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的 理想的软件 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进 行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无可 比拟的优势
5 在二期预测值中 xT 前面的系数等于 16
例2.4 某产品的销售额如下：
月 份 1 130 2 3 4 410 5 6 7 380 8 400 9 10 11 390 12
销 售 额
380 330
440 390
450 420
试用移动平均法（N=4）对第12个月的销售额进行预测。 解：N＝4，故预测值为
特别的当 l 1
ˆT 1 y yT yT 1 n yT n 1
例2.3
某一观察值序列最后4期的观察值为： 5，5.5，5.8，6.2 ˆT 2。 （1）使用4期移动平均法预测 x ˆT 2 中 xT 前面的系 （2）求在二期预测值 x 数等于多少？
（1）
1 5 5.4 5.8 6.2 ˆT 1 xT xT 1 xT 2 xT 3 x 5 .6 4 4 1 5.6 5 5.4 5.8 ˆ ˆ xT 2 xT 1 xT xT 1 xT 2 5.45 4 4
1 Tt a bc t
－
－
迭代法
Tt e
a bc t
－
－
－
－
迭代法
迭代法
例2.2 对上海证券交易所每月末上证指数序列进行 模型拟合
非线性拟合
模型
Tt a bt ct 2
变换
t2 t 2
参数估计方法 线性最小二乘估计 拟合模型口径
Tt 502.2517 0.0952 t2
拟合效果图
2.2 平滑法
平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一 种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随 机波动对序列的影响，使序列平滑化，从 而显示出长期趋势变化的规律 常用平滑方法 移动平均法 指数平滑法
2.2.1 移动平均法
基本思想
假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之间的差 异主要是由随机波动造成的。根据这种假定，我们 可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计 值
常用非线性模型
模型
Tt a bt ct 2
变换
t2 t 2
Tt ln Tt
变换后模型
Tt a bt ct2
参数估计方法
线性最小二乘估计
Tt ab
t
a ln a b ln b
Tt a b t
线性最小二乘估计
Tt a bct
xt 3
xt 2
xt 1
xt
xt 4 xt 3 xt 2 xt 1 xt ~ xt 5
移动平均期数确定原则
事件的发展有无周期性 以周期长度作为移动平均的间隔长度 ， 以消除周期效应的影响 对趋势平滑的要求 移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑 对趋势反映近期变化敏感程度的要求 移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感
线性拟合 非线性拟合
2.1.1 线性拟合
使用场合
长期趋势呈现出线形特征
模型结构
xt a bt I t 2 E ( I ) 0, Var ( I ) t t
例2.1 拟合澳大利亚政府1981——1990年每季度的消 费支出序列
线性拟合
模型
3.3 3.4 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3 5.4
210 860 345 203 233 922 324 224 284 822
6.1 6.2 6.3 6.4 7.1 7.2 7.3 7.4 8.1 8.2
352 280 295 930 345 320 390 978 483 320
例如
德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有11年左右的周期
1.3.2 统计时序分析
频域分析方法 时域分析方法
时域分析方法
原理
事件的发展通常都具有一定的惯性，这种惯性用统计的语言 来描述就是序列值之间存在着一定的相关关系，这种相关关 系通常具有某种统计规律。
目的
寻找出序列值之间相关关系的统计规律，并拟合出适当的数 学模型来描述这种规律，进而利用这个拟合模型预测序列未 来的走势
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
6 9 13 17 28 4 8 11 16 24
12.4 13.2 14.6 14.2 14.0 13.6 13.4 12.6 12.4 12.6
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录 下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观 察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来 的走势就是时间序列分析。
1.2 时间序列的定义
随机序列:按时间顺序排列的一组随机变量 , X 1 , X 2 ,, X t , 观察值序列:随机序列的n 个有序观察值，称之为序 列长度为 n 的观察值序列
1200 1000 800 600 400 200 0
销售额
13
17
21
25
29
1
5
9
时间
实际值 预测值
移动平均作预测
预测公式：
ˆT l y 1 l 1 yT l 2 ( yT n
l i yT
l n ) yT
ˆT l i , l i y yT l i , l i
, t 1,2,40 xt a bt I t 2 E ( I ) 0 , Var ( I ) t t
参数估计方法
最小二乘估计
参数估计值
ˆ 89.12 ˆ 8498 a .69 , b
拟合效果图
2.1.2 非线性拟合
使用场合 长期趋势呈现出非线形特征 参数估计指导思想 能转换成线性模型的都转换成线性模型， 用线性最小二乘法进行参数估计 实在不能转换成线性的，就用迭代法进行 参数估计
x1 , x2 ,, xt
随机序列和观察值序列的关系
观察值序列是随机序列的一个实现 我们研究的目的是想揭示随机时序的性质 实现的手段都是通过观察值序列的性质进行推断
1.3 时间序列分析方法简介
描述性时序分析
统计时序分析
1.3.1 描述性时序分析
通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中 蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性 时序分析 描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效 的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第 一步。
例2.3:病事假人数的移动平均
时间 病事假人数 5项移动 平均 时间 病事假人数 5项移动平 均 时间 病事假人 数 5项移动 平均 12.4 11.6 10.8 10.4 9.6 9.0 8.6 8.2
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
4 7 8 11 18 3 8 10 13 21 9.6 9.4 9.6 10.0 10.4 11.0 11.6 11.8
理论基础扎实，操作步骤规范，分析结果易于解释，是时间 序列分析的主流方法
特点
时域分析方法的分析步骤
考察观察值序列的特征 根据序列的特征选择适当的拟合模型 根据序列的观察数据确定模型的口径 检验模型，优化模型 利用拟合好的模型来推断序列其它的统计性 质或预测序列将来的发展
1.4 时间序列分析软件
0
2
4
二.时间序列的趋势分析
目的
有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目 的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势 对序列的发展作出合理的预测
趋势拟合法 平滑法
常用方法
2.1 趋势拟合法
趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序 列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化 的回归模型的方法 分类
（2）
ˆT 2 x
1 ˆT 1 xT xT 1 xT 2 x 4 1 1 xT xT 1 xT 2 xT 2 xT xT 1 xT 2 4 4 5 1 xT xT 1 xT 2 xT 3 16 16
3 9 10 12 20 1 5 7 10 18
病事假人数
10 15 20 25 30 0 5
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28
时间
实际值 预测值