数学建模时间序列分析

拟合效果图
2.2 平滑法


平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一 种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随 机波动对序列的影响，使序列平滑化，从 而显示出长期趋势变化的规律 常用平滑方法 移动平均法 指数平滑法
2.2.1 移动平均法

基本思想

假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之间的差 异主要是由随机波动造成的。根据这种假定，我们 可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期的估计 值
1200 1000 800 600 400 200 0
销售额
13
17
21
25
29
1
5
9
时间
实际值 预测值
移动平均作预测
预测公式：
ˆT l y 1 l 1 yT l 2 ( yT n
l i yT
l n ) yT
ˆT l i , l i y yT l i , l i
二.时间序列的趋势分析

目的

有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目 的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势 对序列的发展作出合理的预测
趋势拟合法 平滑法

常用方法

2.1 趋势拟合法


趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序 列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化 的回归模型的方法 分类
时间
销售额y
4项滑 动平均 435.875 450.750 463.375 467.500 484.375 502.250 525.500 542.750
1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2
166 52 140 733 224 114 181 753 269 214 280 295 307.875 315.500 323.625 341.750 357.875 374.875
n期中心移动平均 n期移动平均

分类

n期中心移动平均
1 n ( xt n 1 xt n 11 xt xt n 11 xt n 1 )，n为奇数 2 2 2 2 ~ xt 1 1 (1 x x xt x n x n )，n为偶数 n n t 1 t 1 2 t 2 2 2 n 2 t2
（2）
ˆT 2 x
1 ˆT 1 xT xT 1 xT 2 x 4 1 1 xT xT 1 xT 2 xT 2 xT xT 1 xT 2 4 4 5 1 xT xT 1 xT 2 xT 3 16 16
5 期 中 心 移 动 平 均
xt 2
xt 1
xt
xt 1
xt 2
x xt 1 xt xt 1 xt 2 ~ xt t 2 5
n期移动平均
1 ~ xt ( xt xt 1 xt n 1 ) n
5 期 移 动 平 均
xt 4
例如

德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有11年左右的周期
1.3.2 统计时序分析

频域分析方法 时域分析方法

时域分析方法

原理

事件的发展通常都具有一定的惯性，这种惯性用统计的语言 来描述就是序列值之间存在着一定的相关关系，这种相关关 系通常具有某种统计规律。

目的

寻找出序列值之间相关关系的统计规律，并拟合出适当的数 学模型来描述这种规律，进而利用这个拟合模型预测序列未 来的走势

线性拟合 非线性拟合
2.1.1 线性拟合

使用场合

长期趋势呈现出线形特征

模型结构
xt a bt I t 2 E ( I ) 0, Var ( I ) t t
例2.1 拟合澳大利亚政府1981——1990年每季度的消 费支出序列
线性拟合

模型
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
6 9 13 17 28 4 8 11 16 24
12.4 13.2 14.6 14.2 14.0 13.6 13.4 12.6 12.4 12.6
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录 下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观 察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来 的走势就是时间序列分析。
1.2 时间序列的定义


随机序列:按时间顺序排列的一组随机变量 , X 1 , X 2 ,, X t , 观察值序列:随机序列的n 个有序观察值，称之为序 列长度为 n 的观察值序列
, t 1,2,40 xt a bt I t 2 E ( I ) 0 , Var ( I ) t t

参数估计方法

最小二乘估计

参数估计值
ˆ 89.12 ˆ 8498 a .69 , b
拟合效果图
2.1.2 非线性拟合


使用场合 长期趋势呈现出非线形特征 参数估计指导思想 能转换成线性模型的都转换成线性模型， 用线性最小二乘法进行参数估计 实在不能转换成线性的，就用迭代法进行 参数估计
时间序列分析
一.时间序列分析简介
二.时间序列的趋势分析 三.
ARMA时间序列
一.时间序列分析简介

引言 时间序列的定义 时间序列分析方法简介 时间序列分析软件
1.1 引言

最早的时间序列分析可以追溯到 7000 年前的古埃 及。

古埃及人把尼罗河涨落的情况逐天记录下来，就构成所 谓的时间序列。对这个时间序列长期的观察使他们发现 尼罗河的涨落非常有规律。由于掌握了尼罗河泛滥的规 律，使得古埃及的农业迅速发展，从而创建了埃及灿烂 的史前文明。
1 Tt a bc t
－
－
迭代法
Tt e
a bc t
－
－
－
－
迭代法
迭代法
例2.2 对上海证券交易所每月末上证指数序列进行 模型拟合
非线性拟合

模型
Tt a bt ct 2

变换
t2 t 2


参数估计方法 线性最小二乘估计 拟合模型口径
Tt 502.2517 0.0952 t2
xt 3
xt 2
xt 1
xt
xt 4 xt 3 xt 2 xt 1 xt ~ xt 5
移动平均期数确定原则



事件的发展有无周期性 以周期长度作为移动平均的间隔长度 ， 以消除周期效应的影响 对趋势平滑的要求 移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑 对趋势反映近期变化敏感程度的要求 移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感
5 在二期预测值中 xT 前面的系数等于 16
例2.4 某产品的销售额如下：
月 份 1 130 2 3 4 410 5 6 7 380 8 400 9 10 11 390 12
销 售 额
380 330
440 390
450 420
试用移动平均法（N=4）对第12个月的销售额进行预测。 解：N＝4，故预测值为
常用非线性模型
模型
Tt a bt ct 2
变换
t2 t 2
Tt ln Tt
变换后模型
Tt a bt ct2
参数估计方法
线性最小二乘估计
Tt ab
t
a ln a b ln b
Tt a b t
线性最小二乘估计
Tt a bct
特别的当 l 1
ˆT 1 y yT yT 1 n yT n 1
例2.3
某一观察值序列最后4期的观察值为： 5，5.5，5.8，6.2 ˆT 2。 （1）使用4期移动平均法预测 x ˆT 2 中 xT 前面的系 （2）求在二期预测值 x 数等于多少？

（1）
1 5 5.4 5.8 6.2 ˆT 1 xT xT 1 xT 2 xT 3 x 5 .6 4 4 1 5.6 5 5.4 5.8 ˆ ˆ xT 2 xT 1 xT xT 1 xT 2 5.45 4 4
理论基础扎实，操作步骤规范，分析结果易于解释，是时间 序列分析的主流方法

特点

时域分析方法的分析步骤



考察观察值序列的特征 根据序列的特征选择适当的拟合模型 根据序列的观察数据确定模型的口径 检验模型，优化模型 利用拟合好的模型来推断序列其它的统计性 质或预测序列将来的发展
1.4 时间序列分析软件
0
2
4
x1 , x2 ,, xt

随机序列和观察值序列的关系

观察值序列是随机序列的一个实现 我们研究的目的是想揭示随机时序的性质 实现的手段都是通过观察值序列的性质进行推断
1.3 时间序列分析方法简介
描述性时序分析


统计时序分析
1.3.1 描述性时序分析


通过直观的数据比较或绘图观测，寻找序列中 蕴含的发展规律，这种分析方法就称为描述性 时序分析 描述性时序分析方法具有操作简单、直观有效 的特点，它通常是人们进行统计时序分析的第 一步。
3.3 3.4 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3 5.4
210 860 345 203 233 922 324 224 284 822
6.1 6.2 6.3 6.4 7.1 7.2 7.3 7.4 8.1 8.2
352 280 295 930 345 320 390 978 483 320
例2.3:病事假人数的移动平均
时间 病事假人数 5项移动 平均 时间 病事假人数 5项移动平 均 时间 病事假人 数 5项移动 平均 12.4 11.6 10.8 10.4 9.6 9.0 8.6 8.2
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
4 7 8 11 18 3 8 10 13 21 9.6 9.4 9.6 10.0 10.4 11.0 11.6 11.8
3.1
3.2
9
10
269
214
5.3
5.4
19
20
284
822Leabharlann Baidu
8.1
8.2
29
30
483
320
时间
销售额y
4项滑 动平均
时间
销售额y
4项滑 动平均 397.750 405.875 407.375 418.000 423.125 423.125 432.125 426.000 417.000 427.000


常用软件 S-plus，Matlab，Gauss，TSP，Eviews 和SAS 推荐软件——SAS 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析 的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功 能强大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的 理想的软件 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进 行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无可 比拟的优势
3 9 10 12 20 1 5 7 10 18
病事假人数
10 15 20 25 30 0 5
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28
时间
实际值 预测值
例2.4
年.季度 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 时间 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额 166 52 140 733 224 114 181 753 年.季度 3.3 3.4 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 时间 11 12 13 14 15 16 17 18 销售额 210 860 345 203 233 922 324 224 年.季度 6.1 6.2 6.3 6.4 7.1 7.2 7.3 7.4 时间 21 22 23 24 25 26 27 28 销售额 352 280 295 930 345 320 390 978
y11 y10 y9 y8 ˆ12 y 415 4
同时利用n期移动平均公式可得到4～12月的平滑值序列为 【312.5 390 392.5 405 402.5 405 412.5 415 418.75】
2008-8-2
Anna
37
450
400
350
300
250
200
150
100