2015-2016年广东深圳市宝安中学高一(上)数学期末试卷及答案
2014-2015学年广东省深圳市宝安中学高一上学期期中数学试卷和解析
2014-2015学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（只有一个正确选项，每题5分，满分40分）1．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]的值为（）A．1 B．2 C．4 D．52．（5分）下列五个写法：①{0}∈{0，1，2}②∅⊆{0}③{0，1，2}⊆{1，2，0}④0∈∅⑤0∩∅=∅其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）设函数f （x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，又若a∈R，则（）A．f （a）＞f （2a）B．f （a2）＜f （a）C．f （a2+a）＜f （a）D． f （a2+1）＜f （a）4．（5分）已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m则f（5）+f（﹣5）的值为（）A．4 B．0 C．2m D．﹣m+45．（5分）已知m＞2，点（m﹣1，y1），（m．y2），（m+1，y3）都在二次函数y=x2﹣2x的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y36．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.47．（5分）函数y=a|logax|（a＞1）的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x），g（x），F（x）的定义域都为R，且在定义域内f（x）为增函数，g（x）为减函数，F（x）=mf（x）+ng（x）（m，n为常数，F（x）不是常函数），在下列哪种情况下，F（x）在定义域内一定是单调函数（）A．m+n＞0 B．m+n＜0 C．mn＞0 D．mn＜0二、填空题（每题5分，满分30分）9．（5分）若A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+b}，且A∩B={（2，5）}，则a+b=．10．（5分）集合，若x∈M那么x2与集合M的关系是x2M．11．（5分）已知log23•log3a＜1，则a取值范围是．12．（5分）已知函数y=f（x+1）的定义域为[﹣1，1]，则y=f（x）的定义域．13．（5分）若函数f（x）=2ax+1﹣2a在区间[0，1]无零点，则a取值范围是．14．（5分）已知函数，则f（x）在x∈（0，+∞）是（增函数，减函数）若f（x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]，则a=．三、解答题：（15，16题满分80分，17，18，19，20题满分80分共80分）15．（12分）已知A={y|y=2x，x∈[0，1]}，B=（﹣∞，a+1]（1）若A∪B=B，求a的取值范围；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．16．（12分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1）满足f[f（a2）]+f（3）=a f（1）（1）求a；（2）计算f2（2）+f（2）f（3）+f（3）17．（14分）已知函数f（x）=x2+2x﹣3（1）求函数y=f（|x|）的值域并写出单调区间；（2）讨论函数y=|f（x）|与y=m+1交点的个数．18．（14分）已知f（x）=x2﹣2ax+2（1）若f（x）在区间[2a﹣1，2a+1]为单调函数，求a的取值范围；（2）求f（x）在[2，4]上的最小值．19．（14分）已知函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，且f（x）在（0，1]是指数函数，在[1，3]上是二次函数，当1≤x≤3时f（x）≤f（2）=，f（3）=，求f（x）的解析式．20．（14分）设f（log a x）=（a＞0且a≠1）（1）求f（x）及f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）若f（m）+f（1）＞0，求m的取值范围．2014-2015学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（只有一个正确选项，每题5分，满分40分）1．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]的值为（）A．1 B．2 C．4 D．5【解答】解：f（﹣2）=4f[f（﹣2）]=f（4）=4+1=5故选：D．2．（5分）下列五个写法：①{0}∈{0，1，2}②∅⊆{0}③{0，1，2}⊆{1，2，0}④0∈∅⑤0∩∅=∅其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错，对于②，∅是任意集合的子集，故②对，对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对，对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错，对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错．故选：C．3．（5分）设函数f （x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，又若a∈R，则（）A．f （a）＞f （2a）B．f （a2）＜f （a）C．f （a2+a）＜f （a）D． f （a2+1）＜f （a）【解答】解：∵a2+1﹣a=（a﹣）2+＞0∴a2+1＞a∵函数f （x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，∴f （a2+1）＜f （a）故选：D．4．（5分）已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m则f（5）+f（﹣5）的值为（）A．4 B．0 C．2m D．﹣m+4【解答】解：设g（x）=ax7﹣bx5+cx3，则g（﹣x）=﹣ax7+bx5﹣cx3=﹣g（x），∴g（5）=﹣g（﹣5），即g（5）+g（﹣5）=0∴f（5）+f（﹣5）=g（5）+2+g（﹣5）+2=4，故选：A．5．（5分）已知m＞2，点（m﹣1，y1），（m．y2），（m+1，y3）都在二次函数y=x2﹣2x的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x的图象是开口朝上且以直线x=1为对称轴的抛物线故二次函数y=x2﹣2x在区间[1，+∞）上为增函数又∵m＞2∴1＜m﹣1＜m＜m+1∴y1＜y2＜y3故选：A．6．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.4【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B 正确；C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；故选：C．7．（5分）函数y=a|logax|（a＞1）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=a|logax|（a＞1）=，此函数的定义域为：（0，+∞）在x≥1时，其图象是一条射线；在0＜x＜1时，其图象是一段反比例函数图象；对照选项，选B．故选：B．8．（5分）已知函数f（x），g（x），F（x）的定义域都为R，且在定义域内f（x）为增函数，g（x）为减函数，F（x）=mf（x）+ng（x）（m，n为常数，F（x）不是常函数），在下列哪种情况下，F（x）在定义域内一定是单调函数（）A．m+n＞0 B．m+n＜0 C．mn＞0 D．mn＜0【解答】解：根据在定义域内f（x）为增函数，g（x）为减函数，F（x）=mf（x）+ng（x）（m，n为常数，F（x）不是常函数），故当m＞0、n＜0时，F（x）是增函数，当m＜0、n＞0时，F（x）是减函数，故当mn＜0时，F（x）一定是单调函数，故选：D．二、填空题（每题5分，满分30分）9．（5分）若A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+b}，且A∩B={（2，5）}，则a+b=5．【解答】解：∵A={（x，y）|y=ax+1}，B={（x，y）|y=x+b}，且A∩B={（2，5）}，∴5=2a+1，且5=2+b，解得a=2，b=3．∴a+b=2+3=5，故答案为5．10．（5分）集合，若x∈M那么x2与集合M的关系是x2∈M．【解答】解：∵，x∈M，∴x2=（a+b）2=a2+2b2+2ab，∵a∈Q，B∈Q，∴a2+2b2∈Q，2ab∈Q，∴x2∈M；故答案为：∈11．（5分）已知log23•log3a＜1，则a取值范围是（0，2）．【解答】解：由log23•log3a＜1，得，所以即log2a＜1=log22，所以0＜a＜2；故答案为：（0，2）；12．（5分）已知函数y=f（x+1）的定义域为[﹣1，1]，则y=f（x）的定义域[0，2] ．【解答】解：∵y=f（x+1）的定义域为[﹣1，1]，即﹣1≤x≤1，得0≤x+1≤2．∴y=f（x）的定义域是[0，2]．故答案为：[0，2]．13．（5分）若函数f（x）=2ax+1﹣2a在区间[0，1]无零点，则a取值范围是．【解答】解：∵函数f（x）=2ax+1﹣2a在区间[0，1]单调连续，又∵函数f（x）=2ax+1﹣2a在区间[0，1]无零点，∴f（0）f（1）＞0，即（1﹣2a）（2a+1﹣2a）＞0，解得，；故答案为：．14．（5分）已知函数，则f（x）在x∈（0，+∞）是增函数（增函数，减函数）若f（x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]，则a=2．【解答】解：①∵函数，当x∈（0，+∞）时，y=是减函数，∴y=﹣在x∈（0，+∞）上是增函数，∴函数f（x）=5﹣在x∈（0，+∞）上是增函数；②∵函数f（x）=5﹣在x∈（0，+∞）上是增函数，且f（x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]；∴，即，解得a=2，b=3；∴a的值是2．故答案为：增函数；2．三、解答题：（15，16题满分80分，17，18，19，20题满分80分共80分）15．（12分）已知A={y|y=2x，x∈[0，1]}，B=（﹣∞，a+1]（1）若A∪B=B，求a的取值范围；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．【解答】解：∵x∈[0，1]，且y=2x为增函数，∴A=[1，2]，（1）∵A∪B=B，∴A⊆B，∵B=（﹣∞，a+1]，∴a+1≥2，解得a≥1，则a的取值范围是[1，+∞）；（2）∵A∩B≠ϕ，∴a+1≥1，解得a≥0，则a的取值范围是[0，+∞）．16．（12分）已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1）满足f[f（a2）]+f（3）=a f（1）（1）求a；（2）计算f2（2）+f（2）f（3）+f（3）【解答】解：（1）f[f（a2）]+f（3）=a f（1）∴f（2）+f（3）=1即log a6=1，∴a=6，（2）f2（2）+f（2）f（3）+f（3）=f（2）（f（2）+f（3））+f（3）=log62（log62+log63）+log63=log62+log63=117．（14分）已知函数f（x）=x2+2x﹣3（1）求函数y=f（|x|）的值域并写出单调区间；（2）讨论函数y=|f（x）|与y=m+1交点的个数．【解答】解：（1）当x≥0时，f（|x|）=f（x）=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4函数的对称轴方程为x=﹣1，故函数在[0，+∞）上为增函数（2分），∴f（|x|）≥f（0）=﹣3，∵f（|﹣x|）=f（|x|），∴y=f（|x|）为偶函数函数f（|x|）的值域为[﹣3，+∞）（4分）函数f（|x|）在（﹣∞，0]单调递减，在[0，+∞）上为增函数如图（1）（6分）（2）分别画出函数y=f（|x|），y=m+1图象，由图象观察可得图（2）当m＜﹣1时，它们无交点，故交点个数为0个；（8分）当m=﹣1或m＞3时，它们有两个交点，故交点个数为2个；（10分）当﹣1＜m＜3时，它们有四个交点，故交点个数为4个（12分）当m=3时它们有三个交点，故交点个数为3 （14分）18．（14分）已知f（x）=x2﹣2ax+2（1）若f（x）在区间[2a﹣1，2a+1]为单调函数，求a的取值范围；（2）求f（x）在[2，4]上的最小值．【解答】解：（1）f（x）=（x﹣a）2+2﹣a2，对称轴方程为x=a；f（x）在区间[2a﹣1，2a+1]为单调函数，∴a≤2a﹣1或a≥2a+1，∴a≥1或a≤﹣1；（2）因为f（x）的对称轴方程为x=a，可分以下三种情况：①当a＜2时，f（x）在[2，4]上为增函数，所以f（x）min=f（2）=6﹣4a；②当2≤a＜4时，f（a）为最小值，；③当a≥4时，f（x）在[2，4]上为减函数，所以f（x）min=f（4）=18﹣8a，综上所述：f（x）min=．19．（14分）已知函数f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，且f（x）在（0，1]是指数函数，在[1，3]上是二次函数，当1≤x≤3时f（x）≤f（2）=，f（3）=，求f（x）的解析式．【解答】解：（1）当1≤x≤3时，，，∴设，∵，∴，（2）当0＜x≤1时，设f（x）=a x且，∴，f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，（3）当﹣1≤x＜0时，则0＜﹣x≤1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2x，（4）当﹣3≤x≤﹣1时，则1≤﹣x≤3，，∴f（x）=．20．（14分）设f（log a x）=（a＞0且a≠1）（1）求f（x）及f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）若f（m）+f（1）＞0，求m的取值范围．【解答】解：（1）设，将x=a t代入中，得，∴，由于t的取值范围为R∴f（x）的定义域为R；（2）f（x）的定义域为R又∵，故f（x）为奇函数；（3）解法一：=，∵，f（m）+f（1）＞0∴，当0＜a＜1时，a2﹣1＜0∴a m+1﹣1＜0∴m＞﹣1当a＞1时，a2﹣1＞0∴a m+1﹣1＞0∴m＞﹣1综上m＞﹣1；解法2：先证明f（x）为单调递增函数．设x1＜x2，则=∵，当0＜a＜1时，，f（x）为单调递增函数当a＞1时，，f（x）为单调递增函数综上f（x）为单调递增函数∵f（m）+f（1）＞0∴f（m）＞﹣f（1）=f（﹣1）∴m＞﹣1．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2015-2016年广东佛山市高一(上)数学期末试卷及答案
2015-2016学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知集合A={x|x∈Z}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜3}B．{1，2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x∈Z}2．（5.00分）下列函数中，在其定义域内是偶函数为（）A． B．f（x）=2x C．f（x）=lgx D．f（x）=cosx3．（5.00分）下列大小关系正确的是（）A．B．0.30.4＞0.30.3C．log76＜log67 D．sin3＞sin24．（5.00分）下列计算正确的是（）A．B．log23×log25=log215C．210﹣29=29D．5．（5.00分）已知函数y=f（x）的图象经过点P（1，﹣2），则函数y=﹣f（﹣x）的图象必过点（）A．（﹣1，2）B．（1，2） C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）6．（5.00分）已知函数，则=（）A．B．C．D．7．（5.00分）已知函数y=x2﹣2ax+1（a∈R）的图象如图所示，则下列函数与它的图象对应正确的是（）A．B．C．D．8．（5.00分）某同学在求函数y=lgx和的图象的交点时，计算出了下表所给出的函数值，则交点的横坐标在下列哪个区间内（）A．（2.125，2，25）B．（2.75，2.875）C．（2.625，2.75）D．（2.5，2.625）9．（5.00分）某地区今年1月，2月，3月，4月，5月患某种传染病的人数分别是52，61，68，74，78．若用下列四个函数模型预测以后各月的患该种传染病的人数，哪个最不合理？（）A．f（x）=kx+h B．f（x）=ax2+bx+c C．f（x）=pq x+r D．f（x）=mlnx+n10．（5.00分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位11．（5.00分）已知集合A，B，定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A+B={x|x∈A或x ∈B}，则对于集合M，N下列结论一定正确的是（）A．M﹣（M﹣N）=N B．（M﹣N）+（N﹣M）=∅C．（M+N）﹣M=N D．（M ﹣N）∩（N﹣M）=∅12．（5.00分）已知函数f（x）=xln（x﹣1）﹣a，下列说法正确的是（）A．当a＞0时，f（x）有零点x0，且x0∈（1，2）B．当a＞0时，f（x）有零点x0，且x0∈（2，+∞）C．当a=0时，f（x）没有零点D．当a＜0时，f（x）有零点x0，且x0∈（2，+∞）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5.00分）函数y=f（x）与函数g（x）=a x互为反函数，且y=f（x）图象经过点（10，1），则f（100）=．14．（5.00分）如图是幂函数（αi＞0，i=1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1=3，α2=2，α3=1，，，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）；②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：．15．（5.00分）设f（x）=ax2+2x﹣2a在[﹣1，2）上是增函数，则a的取值范围是．16．（5.00分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时．，f（x）=x，则当x∈[k，k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的解析式是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）证明：函数在区间（0，+∞）上是减函数．18．（12.00分）已知角α的终边落在第二象限，且与单位圆交点的纵坐标为，将角α的终边逆时针旋转与角β的终边重合．（Ⅰ）求cosα；（Ⅱ）求的值．19．（12.00分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣5，﹣2]时，求函数f（x）的最大值和最小值．20．（12.00分）已知f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）．（Ⅰ）指出函数f（x）的定义域并求的值；（Ⅱ）观察（Ⅰ）中的函数值，请你猜想函数f（x）的一个性质，并证明你的猜想；（Ⅲ）解不等式：f（1+x）+ln3＞0．21．（12.00分）已知f（x）=．（Ⅰ）若m=1，画出函数的简图，并指出函数的单调区间．（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=m﹣1（m＞0）有两个不同的交点，求m 的取值范围．22．（12.00分）已知二次函数f（x）有两个零点﹣3和1，且有最小值﹣4．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=mf（x）+1（m≠0）．①若m＜0，证明：g（x）在[﹣3，+∞）上有唯一零点；②若m＞0，求y=|g（x）|在上的最大值．2015-2016学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知集合A={x|x∈Z}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜3}B．{1，2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x∈Z}【解答】解：∵A={x|x∈Z}，B={x|0＜x＜3}，∴A∩B={1，2}，故选：B．2．（5.00分）下列函数中，在其定义域内是偶函数为（）A． B．f（x）=2x C．f（x）=lgx D．f（x）=cosx【解答】解：在定义域内为奇函数，不满足条件．f（x）=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．f（x）=lgx的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件，f（x）=cosx在其定义域内是偶函数，满足条件．故选：D．3．（5.00分）下列大小关系正确的是（）A．B．0.30.4＞0.30.3C．log76＜log67 D．sin3＞sin2【解答】解：∵在（0，+∞）是增函数，∴，故A错误；∵y=0.3x是减函数，∴0.30.4＜0.30.3，故B错误；∵y=log7x是增函数，∴log76＜log67，故C正确；∵sin3＜sin2，故D错误．故选：C．4．（5.00分）下列计算正确的是（）A．B．log23×log25=log215C．210﹣29=29D．【解答】解：A．m＜n时不成立，不正确；B．log23×log25=≠log215，不正确．C.210﹣29=2•29﹣29=29D.==，因此不正确．故选：C．5．（5.00分）已知函数y=f（x）的图象经过点P（1，﹣2），则函数y=﹣f（﹣x）的图象必过点（）A．（﹣1，2）B．（1，2） C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）【解答】解：∵函数y=f（x）与函数y=﹣f（﹣x）关于原点对称，∴y=﹣f（﹣x）的图象必过点（﹣1，2）．故选：A．6．（5.00分）已知函数，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数，∴=tan（）=tan=﹣tan=﹣．故选：B．7．（5.00分）已知函数y=x2﹣2ax+1（a∈R）的图象如图所示，则下列函数与它的图象对应正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=x2﹣2ax+1（a∈R）的图象可知对称轴x=a，则0＜a＜1，对于指数函数y=a x为减函数，故A不对，对于对数函数y=log a x为减函数，故B正确，对于幂函数y=为减函数，故C不正确，对于直线y=kx+a，直线交y轴的正半轴，故D不正确．故选：B．8．（5.00分）某同学在求函数y=lgx和的图象的交点时，计算出了下表所给出的函数值，则交点的横坐标在下列哪个区间内（）A．（2.125，2，25）B．（2.75，2.875）C．（2.625，2.75）D．（2.5，2.625）【解答】解：设f（x）=lgx﹣，则f（2.5）=0.398﹣0.400＜0，f（2.625）=0.419﹣0.381＞0，∴f（2.5）f（2.625）＜0，∴函数f（x）=lgx﹣的零点在（2.5，2.625）上，∴y=lgx和的图象的交点的横坐标在（2.5，2.625）上，故选：D．9．（5.00分）某地区今年1月，2月，3月，4月，5月患某种传染病的人数分别是52，61，68，74，78．若用下列四个函数模型预测以后各月的患该种传染病的人数，哪个最不合理？（）A．f（x）=kx+h B．f（x）=ax2+bx+c C．f（x）=pq x+r D．f（x）=mlnx+n【解答】解：f（x）=kx+h，则，∴k=9，h=43，∴f（x）=9x+43，f（3）=70＞68，f（4）=79＞74，f（5）=86＞78；f（x）=ax2+bx+c，由题意得：，解得a=﹣1，b=12，c=41，∴f（x）=﹣x2+12x+41，∴f（4）=﹣42+12×4+41=73＜74，f（5）=﹣52+12×5+41=76＜78，f（x）=p•q x+r，由题意得：，解得p=﹣，q=，r=92.5，∴f（x）=﹣•（）x+92.5，∴f（4）≈73，f（5）≈78，f（x）=mlnx+n，，∴m=，n=52，∴f（x）=lnx+52，∴f（3）=ln3+52＜68，f（x）=ln4+52=60＜74，f（x）=ln5+52＜78，故选：A．10．（5.00分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选：A．11．（5.00分）已知集合A，B，定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A+B={x|x∈A或x ∈B}，则对于集合M，N下列结论一定正确的是（）A．M﹣（M﹣N）=N B．（M﹣N）+（N﹣M）=∅C．（M+N）﹣M=N D．（M ﹣N）∩（N﹣M）=∅【解答】解：根据题中的新定义得：M﹣N={x|x∈M且x∉N}，N﹣M={x|x∈N 且x∉M}，则（M﹣N）∩（N﹣M）=∅．故选：D．12．（5.00分）已知函数f（x）=xln（x﹣1）﹣a，下列说法正确的是（）A．当a＞0时，f（x）有零点x0，且x0∈（1，2）B．当a＞0时，f（x）有零点x0，且x0∈（2，+∞）C．当a=0时，f（x）没有零点D．当a＜0时，f（x）有零点x0，且x0∈（2，+∞）【解答】解：设g（x）=xln（x﹣1），则g′（x）=ln（x﹣1）+，∴g″（x）=﹣，∴1＜x＜2，g″（x）＜0，x＞2，g″（x）＞0，∴g′（x）≥g′（2）=2＞0，∴函数在（1，+∞）上单调递增，∵g（2）=0，∴当a＞0时，f（x）有零点x0，且x0∈（2，+∞），故选：B．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5.00分）函数y=f（x）与函数g（x）=a x互为反函数，且y=f（x）图象经过点（10，1），则f（100）=2．【解答】解：∵y=f（x）与函数g（x）=a x互为反函数，且y=f（x）图象经过点（10，1），∴10=a1，解得a=10．∴f（x）=lgx．∴f（100）=lg100=2．故答案为：2．14．（5.00分）如图是幂函数（αi＞0，i=1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1=3，α2=2，α3=1，，，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）；②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：α越大函数增长越快．【解答】解：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y=x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y=x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y=x的下方．从上面任取一个即可得出答案．故答案为：α越大函数增长越快．15．（5.00分）设f（x）=ax2+2x﹣2a在[﹣1，2）上是增函数，则a的取值范围是．【解答】解：当a=0时，f（x）=2x﹣2a在[﹣1，2）上是增函数，成立．当a＞0时，f（x）=ax2+2x﹣2a在[﹣1，2）上是增函数，可得：，解得a∈（0，1]．当a＜0时，f（x）=ax2+2x﹣2a在[﹣1，2）上是增函数，可得：，解得a ∈[﹣，0）．综上，a∈．故答案为：．16．（5.00分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时．，f（x）=x，则当x∈[k，k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的解析式是f（x）=．【解答】解：由题意，函数的周期为2．x∈[﹣1，0]时，f（x）=xk=2n时，x∈[k，k+1]，x﹣k∈[0，1]，f（x）=f（x﹣k）=x﹣k；k=2n﹣1，x﹣k﹣1∈[﹣1，0]，f（x）=f（x﹣k﹣1）=x﹣k﹣1；∴f（x）=．故答案为：f（x）=．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）证明：函数在区间（0，+∞）上是减函数．【解答】解：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则…（3分）==…（6分）因为x 2﹣x1＞0，，所以，，…（8分）所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即函数在区间（0，+∞）上是减函数．…（10分）18．（12.00分）已知角α的终边落在第二象限，且与单位圆交点的纵坐标为，将角α的终边逆时针旋转与角β的终边重合．（Ⅰ）求cosα；（Ⅱ）求的值．又sin2α+cos2α=1，α是第二象限角…（3分）所以…（5分）解法二：因为角α的终边与单位圆交点P的纵坐标为，又x2+y2=1，α是第二象限角，所以，…（3分）所以…（5分）（Ⅱ）依题意，k∈Z，…（6分）所以…（7分）…（8分）所以…（9分）=…（12分）19．（12.00分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣5，﹣2]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由图象可知，函数的周期为T=6，．…（2分）又f（x）的图象过点，所以所以，即，又因为，所以故所求函数的解析式是．…（5分）（Ⅱ）因为函数的周期是T=6，所以求x∈[﹣5，﹣2]时函数f（x）的最大值和最小值就是转化为求函数在区间[1，4]上的最大值和最小值．…（8分）由图象可知，当x=2时，函数的最大值是；…（10分）当x=4时，函数的最小值是．…（12分）．20．（12.00分）已知f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）．（Ⅰ）指出函数f（x）的定义域并求的值；（Ⅱ）观察（Ⅰ）中的函数值，请你猜想函数f（x）的一个性质，并证明你的猜想；（Ⅲ）解不等式：f（1+x）+ln3＞0．【解答】解：（Ⅰ）由1﹣x＞0，1+x＞0，可得﹣1＜x＜1，可得函数的定义域为（﹣1，1）；，，，．（Ⅱ）性质一：由于，，猜想函数f（x）为奇函数，证明：设任意x∈（﹣1，1），f（﹣x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）=﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数．…（7分）性质二：由于，函数f（x）在定义域上单调递减，证明：设任意x，x∈（﹣1，1），且x＜x，，因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以1﹣x1＞1﹣x2＞0，1+x2＞1+x1，则，，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在定义域上单调递减．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）可知，，则，又f（x）为奇函数，则，又函数f（x）在定义域上单调递减，故原不等式可化为：，解得，即原不等式的解集为．解法二：因为﹣1＜x+1＜1，所以﹣2＜x＜0，所以f（1+x）=ln（﹣x）﹣ln（x+2），原不等式可化为：ln（﹣x）﹣ln（x+2）+ln3＞0，即ln（﹣3x）＞ln（x+2），所以﹣3x＞x+2，解得，又﹣2＜x＜0，所以，即原不等式的解集为．21．（12.00分）已知f（x）=．（Ⅰ）若m=1，画出函数的简图，并指出函数的单调区间．（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=m﹣1（m＞0）有两个不同的交点，求m 的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，函数图象为，由图象可知，f（x）在（﹣∞，0]，（0，1），（2，+∞）为减函数，在[1，2]上为增函数，（2）分别画出y=f（x）与y=m﹣1的图象，如图所示，由图象可知，当0＜m＜或m=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=m﹣1（m＞0）有两个不同的交点．22．（12.00分）已知二次函数f（x）有两个零点﹣3和1，且有最小值﹣4．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=mf（x）+1（m≠0）．①若m＜0，证明：g（x）在[﹣3，+∞）上有唯一零点；②若m＞0，求y=|g（x）|在上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（﹣3）=0，f（1）=0，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称设f（x）=a（x+1）2﹣4，令x=1，则f（1）=4a﹣4=0，a=1，所以f（x）=x2+2x ﹣3．…（2分）（Ⅱ）①由题意得g（x）=m（x+1）2﹣4m+1，m＜0对称轴为x=﹣1＞﹣3，所以g（x）在[﹣3，﹣1]上单调递增，[﹣1，+∞）上单调递减．…（3分）又g（﹣3）=1＞0，g（﹣1）=1﹣4m＞0，（6分）所以f（x）在[﹣3，+∞）上有唯一零点．…（7分）②g（﹣1）=1﹣4m，g（﹣3）=1，，因为m＞0，所以，…（8分）当1﹣4m≥0，即时，，…（9分）当1﹣4m＜0，即时，若，即，．…（10分）若，即，y max=|g（x）|max=|g（﹣1）|=4m﹣1，…（11分）综上所述，当时，；当时，y max=4m﹣1．…（12分）。
2015-2016学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高一(上)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分共计60分）．1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【考点】并集及其运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，根据集合的并集可求解答案．【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．2．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．y=x﹣1与y=B．y=与y=C．y=4lgx与y=2lgx2D．y=lgx﹣2与y=lg【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】阅读型．【分析】分别求出四组函数的定义域、对应法则、值域；据函数的三要素：定义域、对应法则、值域都相同时为同一个函数选出答案．【解答】解：∵y=x﹣1与y==|x﹣1|的对应法则不同，故不是同一函数；y=（x≥1）与y=（x＞1）的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y=4lgx（x＞0）与y=2lgx2（x≠0）的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y=lgx﹣2（x＞0）与y=lg=lgx﹣2（x＞0）有相同的定义域，值域与对应法则，故它们是同一函数．故选D【点评】本题考查函数的三要素：定义域、对应法则、值域；并利用三要素判断两个函数是否是一个函数，3．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（）A．y=log2|x| B．y=x3+x C．y=3x D．y=x﹣3【考点】奇函数；函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】A：y=log2|x|是偶函数B：y=x+x3既是奇函数又是增函数．C：y=3x非奇非偶函数D：y=x﹣3是奇函数，但是在（0，+∞），（﹣∞，0）递减函数，从而可判断【解答】解：A：y=log2|x|是偶函数B：y=x+x3既是奇函数又是增函数．C：y=3x非奇非偶函数D：y=x﹣3是奇函数，但是在（0，+∞），（﹣∞，0）递减函数故选B．【点评】本题主要考察了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，属于基础试题4．已知函数f（x）=，那么f（5）的值为（）A．32 B．16 C．8 D．64【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据自变量所属于的范围代入相应的解析式求出值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（5）=f（4）=f（3）=23=8故选C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．5．函数y=a x﹣2+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，1） C．（2，2） D．（2，3）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的性质，指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点的坐标．【解答】解：由指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点而要得到函数y=a x﹣2+2，（a＞0，a≠1）的图象，可将指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象向右平移两个单位，再向上平移两个单位．则（0，1）点平移后得到（2，3）点故选：D．【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=a x﹣2+2（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．6．函数的定义域为（）A．（2，3） B．（2，4） C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数，∴，解得2＜x≤4，且x≠3；∴函数f（x）的定义域为（2，3）∪（3，4]．故选：C．【点评】本题考查了利用函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．7．函数f（x）=lnx+x3﹣9的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）＜0，f（3）＞0，可得函数f（x）在区间（2，3）上有唯一的零点．【解答】解：由于函数f（x）=lnx+x3﹣9在（0，+∞）上是增函数，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0，故函数f（x）=lnx+x3﹣9在区间（2，3）上有唯一的零点，故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理，属于基础题．8．已知f（x）为奇函数，当x∈[1，4]时，f（x）=x2﹣4x+5．那么当﹣4≤x≤﹣1时，f（x）的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．﹣1 D．5【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知条件能够求出f（x）在[﹣4，﹣1]上的函数解析式，通过对二次函数f（x）配方即可求出f（x）在[﹣4，﹣1]上的最大值．【解答】解：设x∈[﹣4，﹣1]，则﹣x∈[1，4]；∴f（﹣x）=x2+4x+5=﹣f（x）；∴f（x）=﹣x2﹣4x﹣5=﹣（x+2）2﹣1；∴x=﹣2时，当﹣4≤x≤﹣1，f（x）的最大值为﹣1．故选C．【点评】考查奇函数的定义，以及求函数解析式的方法，以及二次函数的最值．9．已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A．1 B．4 C． D．或4【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算法则，2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），可知：x2+4y2﹣4xy=xy，即可得答案．【解答】解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=4故选B．【点评】本题主要考查对数的运算性质．10．已知f（x）=ax3+bx﹣3其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于（）A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2【考点】函数奇偶性的性质．【专题】常规题型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性求解函数值即可．【解答】解：f（x）=ax3+bx﹣3其中a，b为常数，f（﹣2）=2，﹣8a﹣2b﹣3=2，可得8a+2b=﹣5．则f（2）=8a+2b﹣3=﹣5﹣3=﹣8．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，是基础题．11．函数的图象的大致形状是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案．【解答】解：∵y==当x＞0时，其图象是指数函数y=a x在y轴右侧的部分，因为a＞1，所以是增函数的形状，当x＜0时，其图象是函数y=﹣a x在y轴左侧的部分，因为a＞1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C．【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题．12．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如max{2，﹣3}=2，max{﹣4，﹣2}=﹣2，则max{x2+x﹣2，2x}的最小值是（）A．B．﹣2 C．D．4【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】新定义；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】设f（x）=max{x2+x﹣2，2x}，由定义讨论当x2+x﹣2≥2x，当x2+x﹣2＜2x，求得f（x），运用二次函数和一次函数的单调性，可得最小值．【解答】解：设f（x）=max{x2+x﹣2，2x}，当x2+x﹣2≥2x，即x≥2或x≤﹣1时，f（x）=x2+x﹣2，由于对称轴x=﹣，可得f（x）在x≥2递增，可得f（x）≥f（2）=4，f（x）在x≤﹣1递减，可得f（x）≥f（﹣1）=﹣2；当x2+x﹣2＜2x，即﹣1＜x＜2时，f（x）=2x，可得f（x）在﹣1＜x＜2递增，即有﹣2＜f（x）＜4，综上可得，f（x）的值域为[﹣2，+∞），即有f（x）=max{x2+x﹣2，2x}的最小值为﹣2．故选B．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查二次不等式的解法，考查二次函数和一次函数的最值的求法，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共计20分）．13．幂函数f（x）的图象过点，则=2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：设幂函数为：f（x）=x a，幂函数f（x）的图象过点，可得=2a．解得a=则==2．故答案为：2．【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．14．如果定义在区间[2﹣a，5]上的函数f（x）为奇函数，则a=7．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性的定义域的对称性，列出方程求解即可．【解答】解：定义在区间[2﹣a，5]上的函数f（x）为奇函数，可得a﹣2=5，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查函数的解析式的定义的应用，是基础题．15．函数y=x2﹣3x﹣4的定义域是[﹣1，m]，值域是[﹣，0]，则m的取值范围是．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】y=x2﹣3x﹣4的图象是开口朝上，且以x=为对称的抛物线，故当x=时，函数取最小值﹣，又由f（﹣1）=f（4）=0，可得当函数y=x2﹣3x﹣4的定义域是[﹣1，m]，值域是[﹣，0]时，实数m的范围．【解答】解：∵y=x2﹣3x﹣4的图象是开口朝上，且以x=为对称的抛物线，∴当x=时，函数取最小值﹣，又∵f（﹣1）=f（4）=0，∴当函数y=x2﹣3x﹣4的定义域是[﹣1，m]，值域是[﹣，0]时，m∈，∴m的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．16．下列各式：（1）；（2）已知，则；（3）函数y=2x的图象与函数y=﹣2﹣x的图象关于原点对称；（4）函数f（x）=的定义域是R，则m的取值范围是0＜m≤4；（5）已知函数f（x）=x2+（2﹣m）x+m2+12为偶函数，则m的值是2．其中正确的有（3）（5）．（把你认为正确的序号全部写上）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明．【分析】根据指数的运算性质，化简式子，可判断（1）；根据对数函数的性质，求出a的范围，可判断（2）；根据函数图象的对称变换，可判断（3）；求出满足条件的m的范围，可判断（4）；根据偶函数的定义，可判断（5）．【解答】解：（1），故错误；（2）已知，则，或a＞1，故错误；（3）函数y=2x的图象与函数y=﹣2﹣x的图象关于原点对称，故正确；（4）函数f（x）=的定义域是R，则m的取值范围是0≤m≤4，故错误；（5）已知函数f（x）=x2+（2﹣m）x+m2+12为偶函数，则f（﹣x）=f（x），即x2﹣（2﹣m）x+m2+12=x2+（2﹣m）x+m2+12，解得：m=2，故正确．故正确的命题有：（3）（5），故答案为：（3）（5）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数的运算性质，对数函数的性质，图象的对称变换，函数的定义域，函数的奇偶性等知识点，难度中档．三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共计70分）17．设全集为R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，1）求：A∪B，∁R（A∩B）；2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】计算题；集合．【分析】（1）由A与B，求出两集合的交集，并集，以及交集的补集即可；（2）B∪C=C，则B⊆C，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x≥2}，全集为R，∴A∪B={x|x≥﹣1}，A∩B={x|2≤x＜3}，C R（A∩B）={x|x＜2或x≥3}；（2）C={x|2x+a＞0}={x|x＞﹣}，∵B∪C=C，∴B⊆C，∴﹣＜2，∴a＞﹣4．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x+1（1）求f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式f（x）≤．【考点】指、对数不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）首先，当x=0时，f（0）=0，然后，设x＜0，则﹣x＞0，然后，借助于函数为奇函数，进行求解即可．（2）根据（1）中函数的解析式，分当x＞0时，当x=0时和当x＜0时三种情况，讨论不等式f（x）≤成立的x的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以，当x=0时，f（0）=0，设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x+1，∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣2﹣x+1，∴，（2）当x＞0时，2x+1＞2恒成立，不满足不等式f（x）≤．当x=0时，f（x）=0，满足不等式f（x）≤．当x＜0时，﹣2﹣x+1＜﹣2恒成立，满足不等式f（x）≤．综上所述，不等式f（x）≤的解集为：（﹣∞，0]【点评】本题重点考查了函数的奇偶性与函数的解析式相结合知识点，涉及到指数的运算性质，属于中档题，难度中等．19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，如图为函数f（x）的部分图象．（1）请你补全它的图象；（2）求f（x）在R上的表达式；（3）写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】（1）由函数的对称性补全它的图象；（2）设f（x））=a（x﹣0）（x﹣2），从而求出函数解析式，由奇函数解对称区间上的解析式；（3）由图象写出函数的单调区间．【解答】解：（1）（2）当x≥0时，设f（x）=a（x﹣0）（x﹣2），把A点（1，﹣1）代入，解得a=1，∴f （x ）=x 2﹣2x ，（x ≥0），当x ＜0时，∵f （x ）为R 上的奇函数，∴f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣[（﹣x ）2﹣2（﹣x ）]=﹣x 2﹣2x ，∴；（3）由图知，f （x ）在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上单调递增，f （x ）在（﹣1，1）上单调递减．【点评】本题考查了函数的解析式的求法，图象的作法及单调区间的写法，属于基础题．20．已知函数f （x ）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且满足f （2）=1，f （xy ）=f （x ）+f （y ）（1）求f （1），f （4）的值．（2）如果f （x ）﹣f （x ﹣3）＜2，求x 的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）令x=y=1，可求出f （1），令x=y=2，结合条件，可求出f （4）；（2）将2换成f （4），结合条件得到f （x ）＜f （4x ﹣12），再由单调性，即可求出x 的取值范围，注意定义域．【解答】解：（1）∵f （xy ）=f （x ）+f （y ），∴令x=y=1，则f （1）=2f （1），即f （1）=0，令x=y=2，则f （4）=2f （2）=2．（2）f （x ）﹣f （x ﹣3）＜2即f （x ）＜f （x ﹣3）+2，即f （x ）＜f （x ﹣3）+f （4），即f （x ）＜f （4x ﹣12），∵函数f （x ）为定义域在（0，+∞）上的增函数，∴即∴x ＞4，故x 的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题主要考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数值的常用方法：赋值法，属于基础题．21．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资关系如图（1）所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元）．（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．问怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）对于A，当0≤x≤2时，因为图象过（2，0.5）和原点，当x＞2时，图象过（2，0.5）和（3，1），可得函数的解析式；对于B，易知．（2）设投入B产品x万元，则投入A产品（18﹣x）万元，利润为y万元．分16≤x≤18时，0≤x＜16时两种情况求出函数的最大值，比较后可得答案．【解答】解：（1）对于A，当0≤x≤2时，因为图象过（2，0.5），所以，…2分当x＞2时，令y=kx+b，因图象过（2，0.5）和（3，1），得，解得，故；…4分对于B，易知．…5分（2）设投入B产品x万元，则投入A产品（18﹣x）万元，利润为y万元．若16≤x≤18时，则0≤18﹣x≤2，则投入A产品的利润为，投入B产品的利润为，则y=+，令，，则，此时当t=4，即x=16时，y max=9万元；…8分当0≤x＜16时，2＜18﹣x≤18，则投入A产品的利润为，投入B产品的利润为，则y=+﹣，令，t∈[0，4），则，当t=2时，即x=4时，y max=10.5万元；…11分由10.5＞9，综上，投入A产品14万元，B产品4万元时，总利润最大值为10.5万元．…12分．【点评】本题考查的知识点是函数的选择与应用，函数的最值，难度不大，属于基础题．22．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可（2）只需保证对称轴落在区间内部即可（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可【解答】解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）∴对称轴为x=1又最小值为1设f（x）=a（x﹣1）2+1又f（0）=3∴a=2∴f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1∴（3）由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立化简得m＜x2﹣3x+1设g（x）=x2﹣3x+1则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）=﹣1∴m＜﹣1【点评】本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值，须注意恒成立问题的转化．属简单题。
2015-2016年广东省深圳高级中学高二(上)期末数学试卷和答案(理科)
2015-2016学年广东省深圳高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．（5分）若，集合，则（）A．B∈a B．a⊈B C．{a}∈B D．a∈B2．（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．（5分）若△ABC的三边长分别为，2，，则△ABC的形状是（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥α的一个充分条件是（）A．m∥n，n∥β，α⊥βB．n∥β，α∥β C．m∥n，n⊥β，α∥βD．m⊥n，n⊥β，α⊥β5．（5分）若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）若实数x，y满足条件则|x﹣3y|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．37．（5分）椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）8．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+4，g（1）=2，则f（﹣1）的值是．9．（5分）经过双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是．三．解答题（本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10．（10分）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．11．（12分）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，]时，求y=g（x）的最大值和最小值．12．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求AP的值．13．（12分）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长20米，宽6米，高2.58米（竹排与水面持平），问货箱能否顺利通过该桥？四．选择题：共5小题，每小题5分，共25分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.14．（5分）由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有（）A．10个B．14个C．16个D．18个15．（5分）记a=1.82016+0.22016，b=22016，则它们的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．以上均有可能16．（5分）方程x3﹣6x2+9x﹣4=0的实根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．317．（5分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则当k≥1，均有f（k）≥k2成立B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时，均有f（k）≥k2成立C．若f（7）＜49成立，则当k≥8，均有f（k）≥k2成立D．若f（4）=25成立，则当k≥4，均有f（k）≥k2成立18．（5分）路灯距离地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为（）A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s五.填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）19．（5分）某纺织厂的一个车间有技术工人m名（m∈N*），编号分别为1、2、3、…、m；有n台（n∈N*）织布机，编号分别为1、2、3、…、n．定义记号a ij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定a ij=1；否则，若第i名工人没有操作第j 号织布机，规定a ij=0．则等式a41+a42+a43+…+a4n=5的实际意义是：第名工人共操作了台织布机．20．（5分）如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为；f′（x）=0的解是．六．解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10分）计算下列积分：（1）；（2）．22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．2015-2016学年广东省深圳高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．（5分）若，集合，则（）A．B∈a B．a⊈B C．{a}∈B D．a∈B【解答】解：∵＞0，a6=8，，故，即，故a∈B，故选：D．2．（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【解答】解：在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，结合所给的图形可得z1=﹣2﹣i，z2=i，则复数==﹣1+2i，故选：A．3．（5分）若△ABC的三边长分别为，2，，则△ABC的形状是（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解答】解：设最大边对应的角为θ，则θ为△ABC的最大内角，由余弦定理可得cosθ==＞0，可得θ为锐角，故△ABC为锐角三角形，故选：A．4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥α的一个充分条件是（）A．m∥n，n∥β，α⊥βB．n∥β，α∥β C．m∥n，n⊥β，α∥βD．m⊥n，n⊥β，α⊥β【解答】解：∵n∥β，α⊥β，n与α的位置关系不定，∵m∥n，∴m与α的位置关系不定，故A×；B选项与直线m无关，∴B错误；C选项，∵α∥β，n⊥β，∴n⊥α，∵m∥n，∴m⊥α，故C正确；D选项，∵n⊥β，α⊥β，∴n∥α或n⊂α，m⊥n，m与α的位置关系不确定，故D错误；故选：C．5．（5分）若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．故选：B．6．（5分）若实数x，y满足条件则|x﹣3y|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：不等式表示的平面区域，如图所示先求的最大值，即求区域内的点到直线的距离的最大值．由，可得x=1，y=2由图可知，（1，2）到直线x﹣3y=0的距离最大为=∴|x﹣3y|的最大值为5故选：B．7．（5分）椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，以F1F2为底的正三角形的两腰中点在椭圆上∵|F1F2|=2c，以F1F2为底的正三角形的两腰上的高为c，∴椭圆离心率e===﹣1故选：C．二．填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）8．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+4，g（1）=2，则f（﹣1）的值是2．【解答】解：由g（1）=2得，g（1）=f（1）+4，解得f（1）=﹣2，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=2，故答案为：2．9．（5分）经过双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是x2+y2﹣2x+y﹣15=0．【解答】解：双曲线的左顶点A（﹣3，0）、虚轴上端点B（0，4）、右焦点F（5，0），设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，得D=﹣2，E=，F=﹣15，即圆的一般方程为x2+y2﹣2x+y﹣15=0，故答案为：x2+y2﹣2x+y﹣15=0三．解答题（本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10．（10分）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．【解答】解：（Ⅰ）∵x1=3，∴2p+q=3，①又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，∴3+25p+5q=25p+8q，②联立①②求得p=1，q=1（Ⅱ）由（1）可知x n=2n+n∴S n=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=．11．（12分）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，]时，求y=g（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x=sin4x+cos4x=，…（6分）所以函数f（x）的最小正周期为．…（8分）（Ⅱ）依题意，y=g（x）=[]+1=．…（10分）因为，所以．…（11分）当，即时，g（x）取最大值；当，即x=0时，g（x）取最小值0．…（13分）12．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求AP的值．【解答】（Ⅰ）证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得CE==1，DE==3，所以BE=DE，从而得∠DBC=∠BCA=45°，所以∠BOC=90°，即AC⊥BD．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．…（7分）（Ⅱ）解：方法一：作OH⊥PC于点H，连接DH．由（Ⅰ）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．故∠DHO是二面角A﹣PC﹣D的平面角，所以∠DHO=60°．在Rt△DOH中，由DO=，得OH=．在Rt△PAC中，=．设PA=x，可得=．解得x=，即AP=．…（15分）方法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），D（﹣，0，0）．由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P（0，﹣，t）（t＞0）．设=（x，y，z）为平面PDC的法向量，由=（﹣，﹣，0），=（﹣，，﹣t）知取y=1，得=（﹣2，1，）．又平面PAC的法向量为=（1，0，0），于是|cos＜，＞|===．解得t=，即AP=．…（15分）13．（12分）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长20米，宽6米，高2.58米（竹排与水面持平），问货箱能否顺利通过该桥？【解答】解：以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为x2=my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上；∴25=﹣4m；∴；∴；可设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），则；∴；∴；∴货箱不能顺利通过该桥．四．选择题：共5小题，每小题5分，共25分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.14．（5分）由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有（）A．10个B．14个C．16个D．18个【解答】解：奇数的最后一位只能是3.5；必须含有5、6，因5、6必须相邻，则把5.6看成一个数，分2种情况讨论：①、3在末位，在2、4中任取一个，与5、6整体进行全排列，有2×2×2=8种情况，②、5在末位，则6在十位，前2位数字有A32=6种情况，∴没有重复的四位数中5，6相邻的奇数8+6=14个；故选：B．15．（5分）记a=1.82016+0.22016，b=22016，则它们的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．以上均有可能【解答】解：∵a=1.82016+0.22016，b=22016，∴b=22016=（1.8+0.2）2016=C201601.82016+C201611.820150.2+…+C201620161.800.22016＞1.82016+0.22016=a，故选：B．16．（5分）方程x3﹣6x2+9x﹣4=0的实根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：令f（x）=x3﹣6x2+9x﹣4，则f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）．由f′（x）＞0得x＞3或x＜1，由f′（x）＜0得1＜x＜3．∴f（x）的单调增区间为（3，+∞），（﹣∞，1），单调减区间为（1，3），∴f（x）在x=1处取极大值，在x=3处取极小值，又∵f（1）=0，f（3）=﹣4＜0，∴函数f（x）的图象与x轴有两个交点，即方程x3﹣6x2+9x﹣4=0有两个实根．故选：C．17．（5分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则当k≥1，均有f（k）≥k2成立B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时，均有f（k）≥k2成立C．若f（7）＜49成立，则当k≥8，均有f（k）≥k2成立D．若f（4）=25成立，则当k≥4，均有f（k）≥k2成立【解答】解：对A，当k=1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对B，只能得出：对于任意的k≥5，均有f（k）≥k2成立，不能得出：任意的k ≤5，均有f（k）≤k2成立；对于C，若f（7）＜49成立不能推出任何结论；对D，∵f（4）=25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．故选：D．18．（5分）路灯距离地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为（）A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s【解答】解：如图：设人的高度AB，则AB=1.6，人的影子长AC=h，由直角三角形相似得=，解得h=21t （m/min）=21t×（m/s）=t m/s，∴h′=m/s，故选：D．五.填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）19．（5分）某纺织厂的一个车间有技术工人m名（m∈N*），编号分别为1、2、3、…、m；有n台（n∈N*）织布机，编号分别为1、2、3、…、n．定义记号a ij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定a ij=1；否则，若第i名工人没有操作第j 号织布机，规定a ij=0．则等式a41+a42+a43+…+a4n=5的实际意义是：第4名工人共操作了5台织布机．【解答】解：a41+a42+a43+…+a4n=5中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1，2，…，n表示第1号织布机，第2号织布机，…，第n号织布机，∵a ij=1；否则，若第i名工人没有操作第j号织布机，规定a ij=0．∴根据规定可知这名工人操作了5台织布机．故答案为：4，5．20．（5分）如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为（2，4）；f′（x）=0的解是3．【解答】解：由题意，DC=2，CP=x，DP=6﹣x∵△CPD，∴，解得x∈（2，4）如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即f（x）==，∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=3，故答案为：（2，4），3．六．解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10分）计算下列积分：（1）；（2）．【解答】解：（1）=（1﹣x）dx+（x﹣1）dx=（x﹣x2）|+（﹣x+x2）|=2+=，（2）表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，∴=．22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．【解答】解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）。
2015-2016年广东省深圳市宝安区初三上学期期末数学试卷及参考答案
2015-2016学年广东省深圳市宝安区初三上学期期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个选项符合题意）1．（3分）方程x2=1的根是（）A．x=1B．x=﹣1C．x1=1，x2=0D．x1=1，x2=﹣1 2．（3分）如图，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）一个口袋中有红球、白球共20只，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一只球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了50次，发现有30次摸到红球，则估计这个口块中有红球大约多少只？（）A．8只B．12只C．18只D．30只4．（3分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（）A．24B．30C．40D．485．（3分）若x=2关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的一个根，则a的值为（）A．3B．﹣3C．1D．﹣16．（3分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=7．（3分）下列命题中，正确的是（）A．对角线垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线垂直且相等C．对角线相等的矩形是正方形D．位似图形一定是相似图形8．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．对称轴是直线x=19．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3=24.2B．20（1﹣x）2=24.2C．20+20（1+x）2=24.2D．20（1+x）2=24.210．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEC的顶点均在“格点”上，则=（）A．B．C．D．11．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，交BA的延长线于点F．若AD=4，DC=3，AF=2，则AE的长是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于点O、A，顶点为B，连接AB并延长，交y轴于点C，则图中阴影部分的面积和为（）A．4B．8C．16D．32二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标是．14．（3分）如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为．15．（3分）某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价元出售这种水果．16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF=．三、解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：sin30°﹣2sin60°+tan45°+cos245°．18．（5分）用适当的方法解方程x2﹣5x+6=0．19．（8分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2表示）．（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为；（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明；（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为．20．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE ∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数．21．（8分）如图，某校20周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣传条幅，EF为旗杆，气球从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AF延长线上的点B处测得气球和旗杆EF的顶点E在同一直线上．（1）已知旗杆高为12米，若在点B处测得旗杆顶点E的仰角为30°，A处测得点E的仰角为45°，试求AB的长（结果保留根号）；（2）在（1）的条件下，若∠BCA=45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC 的长（结果保留根号）？22．（9分）如图1，直线y=2x﹣2与曲线y=（x＞0）相交于点A（2，n），与x 轴、y轴分别交于点B、C．（1）求曲线的解析式；（2）试求AB•AC的值？（3）如图2，点E是y轴正半轴上一动点，过点E作直线AC的平行线，分别交x轴于点F，交曲线于点D．是否存在一个常数k，始终满足：DE•DF=k？如果存在，请求出这个常数k；如果不存在，请说明理由．23．（9分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？2015-2016学年广东省深圳市宝安区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个选项符合题意）1．（3分）方程x2=1的根是（）A．x=1B．x=﹣1C．x1=1，x2=0D．x1=1，x2=﹣1【分析】两边直接开平方即可．【解答】解：x2=1，两边直接开平方得：x=±=±1，故：x1=1，x2=﹣1，故选：D．2．（3分）如图，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看是一个正方形被水平的分成3部分，中间的两条分线是虚线，故C正确；故选：C．3．（3分）一个口袋中有红球、白球共20只，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一只球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了50次，发现有30次摸到红球，则估计这个口块中有红球大约多少只？（）A．8只B．12只C．18只D．30只【分析】一共摸了50次，其中有30次摸到红球，由此可估计口袋中红球和总球数之比为3：5；即可计算出红球数．【解答】解：∵共摸了50次，其中有30次摸到红球，∴口袋中红球和总球数之比为3：5，∵口袋中有红球、白球共20只，∴估计这个口块中有红球大约有20×=12（只）．故选：B．4．（3分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（）A．24B．30C．40D．48【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是4．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是3，则另一条对角线的长是6，进而求出菱形的面积．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB=90°，BO=4，在RT△AOB中，AO==3，∴AC=2AO=6．∴则此菱形面积是：=24．故选：A．5．（3分）若x=2关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的一个根，则a的值为（）A．3B．﹣3C．1D．﹣1【分析】方程的根就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0，就可以求出a的值．【解答】解：把x=2代入x2﹣ax+2=0，得22﹣2a+2=0，解得a=3．故选：A．6．（3分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=【分析】利用三角形面积公式得出xy=10，进而得出答案．【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，∴xy=10，∴y与x的函数关系式为：y=．故选：C．7．（3分）下列命题中，正确的是（）A．对角线垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线垂直且相等C．对角线相等的矩形是正方形D．位似图形一定是相似图形【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，矩形的对角线平分且相等，对角线相等、垂直且平分的矩形是正方形，位似图形一定是相似图形．【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；B、矩形的对角线平分且相等，错误；C、对角线相等、垂直且平分的矩形是正方形，错误；D、位似图形一定是相似图形，正确；故选：D．8．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．对称轴是直线x=1【分析】由抛物线开口向上得函数有最小值；观察函数图象得到当﹣1＜x＜3时，图象在x轴下方，则y＜0；根据二次函数的性质可得当x＜1时，y随x的增大而减小；根据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为直线x=1．【解答】解：A、∵抛物线开口向上，∴函数有最小值，故本选项正确；B、当﹣1＜x＜3时，y＜0，故本选项错误；C、∵抛物线开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；D、∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=1，故本选项正确．故选：B．9．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3=24.2B．20（1﹣x）2=24.2C．20+20（1+x）2=24.2D．20（1+x）2=24.2【分析】设这个增长率为x，根据题意可得，前年缴税×（1+x）2=今年缴税，据此列出方程．【解答】解：设这个增长率为x，由题意得，20（1+x）2=24.2．故选：D．10．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEC的顶点均在“格点”上，则=（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出两个三角形的各个边的长度，代入即可求出答案．【解答】解：∵每个小正方形的边长均为1，∴由勾股定理得：AC==2，AB==2，BC==2，DC==，CE==，DE==，∴==，故选：A．11．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，交BA的延长线于点F．若AD=4，DC=3，AF=2，则AE的长是（）A．B．C．D．【分析】延长FO，交BC于点G．由平行四边形的性质得出OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，根据ASA证明△DOE≌△BOG，得出DE=BG．再由AE∥BG，得出△AEF∽△BGF，根据相似三角形对应边成比例得出==，设AE=2x，则BG=5x，DE=BG=5x，根据AE+DE=AD=4，求出x=，那么AE=2x=．【解答】解：如图，延长FO，交BC于点G．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，∴∠EDO=∠GBO，又∠DOE=∠BOG，∴△DOE≌△BOG（ASA）．∴DE=BG．∵AE∥BG，∴△AEF∽△BGF，∴=，即==，设AE=2x，则BG=5x，∴DE=BG=5x，∵AE+DE=AD=4，∴2x+5x=4，∴x=，∴AE=2x=．故选：C．12．（3分）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于点O、A，顶点为B，连接AB并延长，交y轴于点C，则图中阴影部分的面积和为（）A．4B．8C．16D．32【分析】先通过解方程x2﹣4x=0得到A（4，0），再把解析式配成顶点式得到B （2，﹣4），接着利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=2x﹣8，则可得到C（0，﹣8），然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分的面积和=S△OBC，最后根据三角形面积公式求解．【解答】解：当y=0时，x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4，则A（4，0），∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴B（2，﹣4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（4，0），B（2，﹣4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=2x﹣8；当x=0时，y=2x﹣8=﹣8，则C（0，﹣8），∴图中阴影部分的面积和=S=×8×2=8．△OBC故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标是（﹣1，﹣2）．【分析】已知抛物线为解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y=﹣2（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．故答案为（﹣1，﹣2）．14．（3分）如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为4m．【分析】根据题意，易证得△ACE∽△ABD，根据相似三角形的性质得到=，然后利用比例性质求出BD即可．【解答】解：如图，CE=1.5m，∵CE∥BD，∴△ACE∽△ABD，∴=，即=，∴BD=4（m），即树的高度为4m．故答案为：4m．15．（3分）某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价9元出售这种水果．【分析】设这种商品每千克应降价x元，利用销售量×每千克利润=2090元列出方程求解即可．【解答】解：设这种商品每千克应降价x元，根据题意得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2090，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=9．故答案是：9．16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将△ABE沿BE翻折，使点A落在点A′处，作射线EA′，交BC的延长线于点F，则CF=．【分析】先根据正方形的性质得AB=AD=BC=2，AD∥BC，得到∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质得∠AEB=∠BEF，EA′=AE=，∠BA′E=∠A=90°，A′B=AB=2，可推出∠BEF=∠EBF，证得BF=EF，设CF=x，则BF=2+x，A′F=+x，在Rt△A′BF中，由勾股定理得：（2）2+（+x）2=（2+x）2，解此方程即可求得结论．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD=BC=2，AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，∵E为AD边的中点，∴AE=，由折叠的性质得∠AEB=∠BEF，EA′=AE=，∠BA′E=∠A=90°，A′B=AB=2，∴∠BEF=∠EBF，∴BF=EF，设CF=x，则BF=2+x，A′F=+x，在Rt△A′BF中，（2）2+（+x）2=（2+x）2，解得：x=，故答案为．三、解答题（共7小题，满分52分）17．（5分）计算：sin30°﹣2sin60°+tan45°+cos245°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=﹣2×+×1+（）2=﹣++=1．18．（5分）用适当的方法解方程x2﹣5x+6=0．【分析】把方程x2﹣5x+6=0的左边分解因式得到（x﹣2）（x﹣3）=0，得出方程x﹣2=0，x﹣3=0，求出方程的解即可．【解答】解：方程x2﹣5x+6=0，（x﹣2）（x﹣3）=0，x﹣2=0，x﹣3=0，x1=2，x2=3．19．（8分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2表示）．（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为；（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明；（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1；（3）找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率P2．【解答】解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=；（2）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1==；（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，所以两个项目都是径赛项目的概率P2==．故答案为，．20．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE ∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）连接BE，交AC于点F．若BE⊥ED于点E，求∠AOD的度数．（1）先证明四边形AODE是平行四边形，再由矩形的性质得出OA=OC=OD，【分析】即可得出四边形AODE是菱形；（2）连接OE，由菱形的性质得出AE=OB=OA，证明四边形AEOB是菱形，得出AB=OB=OA，证出△AOB是等边三角形，得出∠AOB=60°，再由平角的定义即可得出结果．【解答】（1）证明：∵AE∥BD，ED∥AC，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，∴OA=OC=OD，∴四边形AODE是菱形；（2）解：连接OE，如图所示：由（1）得：四边形AODE是菱形，∴AE=OB=OA，∵AE∥BD，∴四边形AEOB是平行四边形，∵BE⊥ED，ED∥AC，∴BE⊥AC，∴四边形AEOB是菱形，∴AE=AB=OB，∴AB=OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOD=180°﹣60°=120°．21．（8分）如图，某校20周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣传条幅，EF为旗杆，气球从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AF延长线上的点B处测得气球和旗杆EF的顶点E在同一直线上．（1）已知旗杆高为12米，若在点B处测得旗杆顶点E的仰角为30°，A处测得点E的仰角为45°，试求AB的长（结果保留根号）；（2）在（1）的条件下，若∠BCA=45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC 的长（结果保留根号）？【分析】（1）在直角△BEF中首先求得BF，然后在直角△AEF中求得AF，根据AB=BF+AF即可求解；（2）作AG⊥BC于点G，在直角△ABG中首先求得AG，然后在直角△AGC中利用三角函数求解．【解答】解：（1）∵在直角△BEF中，tan∠EBF=，∴BE===12．同理AF=EF=12（米），则AB=BF+AF=12+12（米）；（2）作AG⊥BE于点G，在直角△ABG中，AG=AB•sin30°=（12+12）=6+6．又∵直角△AGC中，∠ACG=45°，∴AC=AG=6+6（米）．22．（9分）如图1，直线y=2x﹣2与曲线y=（x＞0）相交于点A（2，n），与x 轴、y轴分别交于点B、C．（1）求曲线的解析式；（2）试求AB•AC的值？（3）如图2，点E是y轴正半轴上一动点，过点E作直线AC的平行线，分别交x轴于点F，交曲线于点D．是否存在一个常数k，始终满足：DE•DF=k？如果存在，请求出这个常数k；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）首先把A代入直线解析式求得A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数解析式；（2）首先求得A和B的坐标，过A作AM⊥x轴于点M，然后利用勾股定理求得AB和BC的长，则AB和AC的长即可求得，则两线段的乘积即可求得；（3）过点D作DN⊥x轴于点N．过点E作EG⊥DN于点G，易证△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．【解答】解：（1）∵直线y=2x﹣2经过点A（2，n），∴n=2×2﹣2=2，即A的坐标是（2，2），把（2，2）代入y=得m=4，则反比例函数的解析式是y=（x＞0）；（2）过A作AM⊥x轴于点M．在y=2x﹣2中，令x=0解得y=﹣2，则C的坐标是（0，﹣2），令y=0，则2x﹣2=0，解得x=1，则B的坐标是（1，0）；则AB===，BC===，则AB•AC=×2=10；（3）存在常数k，过点D作DN⊥x轴于点N．过点E作EG⊥DN于点G，则∠AMB=∠DNF=∠DGE=90°，设D的坐标是（a，），则EG=a，DN=，∵DF∥AC，EG∥FN，∴∠ABM=∠DFG=∠DEG，∴△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，∴=，有DF：=，则DF=，又=，有=，则ED=a，于是，DE•DF=a•=10．即存在常数k=10．23．（9分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？【分析】（1）将点A、B代入抛物线解析式，求出a、b值即可得到抛物线解析式；（2）根据已知求出点D的坐标，在y轴上取点G，使GC=CD=2，只要证明证明△CDB≌△CGB，可知∠PBC=∠DBC，写出直线BP解析式，联立二次函数解析式，求出点P坐标；（3）分两种情况，第一种情况重叠部分为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二种情况重叠部分为三角形，可利用三角形面积公式求得．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），，解得：a=﹣1，b=2．故抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）存在将点D代入抛物线解析式得：m=3，∴D（2，3），令x=0，y=3，∴C（0，3），∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，如下图，在y轴上取点G，使GC=CD=2，在△CDB与△CGB中∵BC=BC、∠DCB=∠BCO、GC=DC（SAS）∴△CDB≌△CGB，∴∠PBC=∠DBC，∵点G（0，1），设直线BP：y=kx+1，代入点B（3，0），∴k=﹣，∴直线BP：y=﹣x+1，联立直线BP和二次函数解析式：，解得：或（舍），∴P（﹣，）．（3）直线BC：y=﹣x+3，直线BD：y=﹣3x+9，当0≤t≤2时，如下图：设直线C′B′：y=﹣（x﹣t）+3联立直线BD求得F（，），S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣）整理得：S=﹣t2+3t（0≤t≤2）．当2＜t≤3时，如下图：H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）S=S△HIB=[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t）整理得：S=t2﹣6t+9（2＜t≤3）综上所述：S=．。
【精编】2015-2016年广东省深圳市沙井中学高一(上)数学期中试卷带解析答案
2015-2016学年广东省深圳市沙井中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}2．（5分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或03．（5分）函数y=的定义域为（）A．[1，+∞）B．[1，2） C．（0，1） D．（0，1]4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y=2x B．y=lgx C．y=x3 D．5．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x|C．f（x）=|x|D．f（x）=﹣x6．（5分）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）A．f（x）与g（x）均为偶函数B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数7．（5分）集合A={y|y=﹣x2+4，x∈N，y∈N}的子集的个数为（）A．9 B．8 C．7 D．68．（5分）已知m=0.91.1，n=1.10.9，p=log0.91.1，则m、n、p的大小关系（）A．m＜n＜p．B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m9．（5分）设函数f（x）=，则f（）的值为（）A．B．﹣C．D．1810．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．11．（5分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣512．（5分）已知y=log a（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．（5分）已知集合，试用列举法表示集合A=．14．（5分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于．15．（5分）f（x）=x2+2x+1，x∈[﹣2，2]的最大值是．16．（5分）下列命题：（1）f（x）=有意义；（2）函数是其定义域到值域的映射；（3）函数y=2x（x∈N）的图象是一直线；（4）函数y=的图象是抛物线，其中正确的命题是（把你认为正确的命题的序号都填上）．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）计算下列各式的值：（1）（2×）﹣4×（）﹣×80.25（2）．18．（12分）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求B及∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=（1）求方程f（x）=的解；（2）求不等式F（x）≤2的解集．20．（12分）已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，求函数f（x）的解析式．21．（12分）已知函数（1）研究此函数的奇偶性；（2）证明f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；（3）画出此函数的图象草图．22．（12分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x2与h（x）=2x﹣b是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．2015-2016学年广东省深圳市沙井中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={4，6，7，8}，∴（C U A）∩B={4，6}．故选：B．2．（5分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0【解答】解：∵A∪B=A∴B⊆A∴B=∅；B={﹣1}；B={1}当B=∅时，m=0当B={﹣1}时，m=﹣1当B={1}时，m=1故m的值是0；1；﹣1故选：D．3．（5分）函数y=的定义域为（）A．[1，+∞）B．[1，2） C．（0，1） D．（0，1]【解答】解：由log0.5x≥0，得log0.5x≥log0.51，∴0＜x≤1．∴函数y=的定义域为（0，1]．故选：D．4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y=2x B．y=lgx C．y=x3 D．【解答】解：对于A，B，C函数是增函数，对于D，函数是减函数，故选：D．5．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x|C．f（x）=|x|D．f（x）=﹣x【解答】解：对于A，f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2f（x）=2x+2，A不正确；对于B，f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2f（x）=2x+2|x|，B正确；对于C，f（x）=|x|，f（2x）=2|x|=2f（x）=2|x|，C正确；对于D，f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2f（x）=﹣2x，D正确；故选：A．6．（5分）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）A．f（x）与g（x）均为偶函数B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数【解答】解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g （x）．对函数f（x）=3x+3﹣x有f（﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x）所以为偶函数．对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g（﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．故选：D．7．（5分）集合A={y|y=﹣x2+4，x∈N，y∈N}的子集的个数为（）A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：A={y|y=﹣x2+4，x∈N，y∈N}={0，3，4}，有3个元素；则其子集有23=8个；故选：B．8．（5分）已知m=0.91.1，n=1.10.9，p=log0.91.1，则m、n、p的大小关系（）A．m＜n＜p．B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m【解答】解：∵0＜m=0.91.1＜1，n=1.10.9＞1，p=log0.91.1＜0，∴n＞m＞p．故选：C．9．（5分）设函数f（x）=，则f（）的值为（）A．B．﹣C．D．18【解答】解：当x＞1时，f（x）=x2+x﹣2，则f（2）=22+2﹣2=4，∴，当x≤1时，f（x）=1﹣x2，∴f（）=f（）=1﹣=．故选：A．10．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据指数函数y=（）x可知a，b同号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确故选：A．11．（5分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5【解答】解：奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣5．故选：B．12．（5分）已知y=log a（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）【解答】解：∵f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，∴f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴，∴1＜a＜2．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．（5分）已知集合，试用列举法表示集合A={1，2，4，5，7} ．【解答】解：∵集合，是整数，∴x﹣3是4的约数，而4的约数是﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，所以x﹣3=﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4解得x=﹣1，1，2，4，5，7，而x为自然数，所以，A={1，2，4，5，7}．故答案为：{1，2，4，5，7}．14．（5分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于﹣10．【解答】解：∵f（﹣2）=﹣8a﹣2b﹣4=2∴8a+2b=﹣6∴f（2）=8a+2b﹣4=﹣10故答案为：﹣1015．（5分）f（x）=x2+2x+1，x∈[﹣2，2]的最大值是9．【解答】解：∵f（x）=x2+2x+1，∴开口向上，对称轴x=﹣1，∵开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大∴f（x）在[﹣2，2]上的最大值为f（2）=9故答案为9．16．（5分）下列命题：（1）f（x）=有意义；（2）函数是其定义域到值域的映射；（3）函数y=2x（x∈N）的图象是一直线；（4）函数y=的图象是抛物线，其中正确的命题是（1）（2）（把你认为正确的命题的序号都填上）．【解答】解：（1）f（x）=的定义域为{2}，故（1）正确；（2）函数是其定义域到值域的映射，故（2）正确；（3）函数y=2x（x∈N）的图象是一直线上的散点，故（3）错误；（4）函数y=的图象是两段部分抛物线的组合，故（4）错误，故正确的命题是：（1）（2），故答案为：（1）（2）三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）计算下列各式的值：（1）（2×）﹣4×（）﹣×80.25（2）．【解答】解：（1）原式=4﹣7﹣2=﹣5．（2）原式=18．（12分）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求B及∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【解答】（改编自课本19页本章测试13、14两题）解：（1）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…2分∴A∩B={x|2≤x＜3}…4分∴C U（A∩B）={x|x＜2或x≥3}…7分（2）由B∪C=C得B⊆C…9分C={x|2x+a＞0}=根据数轴可得，…12分从而a＞﹣4，故实数a的取值范围是（﹣4，+∞）．…14分．19．（12分）设函数f（x）=（1）求方程f（x）=的解；（2）求不等式F（x）≤2的解集．【解答】解：（1）当x＜1时，由f（x）=，得，即x=2；当x≥1时，由f（x）=，得，即x=．（2）由f（x）≤2，得①，或②．解①得：﹣1≤x＜1．解②得：1≤x≤16．∴不等式f（x）≤2的解集为[﹣1，16]．20．（12分）已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，求函数f（x）的解析式．【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，a≠0∵f[f（x）]=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a2x+ab+b又f[f（x）]=4x﹣1，∴a2x+ab+b=4x﹣1比较系数可得解得或∴，或f（x）=﹣2x+121．（12分）已知函数（1）研究此函数的奇偶性；（2）证明f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；（3）画出此函数的图象草图．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）且对定义域内任意x，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．（3分）（2）任取x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，∴，∴f（x1）＞f（x2）由减函数定义可知，f（x）在（0，1）上为减函数．同理可证f（x）在（1，+∞）上为增函数（5分）（3）函数的图象如图，由（1）知，f（x）的图象关于原点对称，先画出f（x）在（0，+∞）的图象，再将所得图象关于原点对称得到f（x）在（﹣∞，0）内的图象；由（2）知f（x）在（0，+∞）上递增．22．（12分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x2与h（x）=2x﹣b是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．【解答】解：（1）是，理由如下：当x∈[0，1]时，总有g（x）=x2≥0，满足①，当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，g（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2≥x12+x22=g（x1）+g（x2），满足②…（4分）（2）h（x）=2x﹣b为增函数，h（x）≥h（0）=1﹣b≥0，∴b≤1，由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），﹣b+﹣b，即b≥1﹣（﹣1）（﹣1），∵x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，∴0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1，x2不同时等于1∴0≤（﹣1）（﹣1）＜1；∴0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1，当x1=x2=0时，1﹣（﹣1）（﹣1）的最大值为1；∴b≥1，则b=1，综合上述：b∈{1} …（12分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
广东省深圳市宝安区2015-2016学年高二上学期期末考试文科数学试卷 Word版含答案
2015-2016学年第一学期宝安区期末调研测试卷高二 文科数学2016.1一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题p ：2,10x R x x ∃∈+->，则p ⌝ A ．2,10x R x x ∀∈+-< B ．2,10x R x x ∀∈+-≤C ．2,10x R x x ∃∉+-=D ．2,10x R x x ∃∈+-≤2．抛物线22y x =-的焦点坐标是（ ） A ．(1,0)-B ．1(,0)2-C ．1(0,)4-D ．1(0,)8-3．设231a x x =-+，22b x x =+， 则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ≥bD ．a ≤b4．已知△ABC 中，4a =，b =，30A ∠=︒，则∠B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120° 5．等比数列{}n a 的公比为q ，“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知310x y +-=，则关于28xy +的说法正确的是( )A ．有最大值8B ．有最小值2 2C ．有最小值8D ．有最大值2 27．等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是( ) A ．3B ．5C ．7D ．98．在ABC ∆中，2sin sin cos 2AB C =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 9．已知数列{}n a ,如果121321,,,,,n n a a a a a a a ----(2n ≥)是首项为1公比为13的等比数列，那么n a 等于（ ） A ．31(1)23n - B ．131(1)23n -- C ．21(1)33n - D ．121(1)33n --10． 已知直线kx y =是曲线x y ln =的切线，则k 的值为（ ）A ．e -B ．eC ．1e- D ．1e11．已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '=（ ）A ．0B ．－4C ．－2D ．212．下列各式中最小值为2的是（ ）A2B ．b aa b+ CD ．1sin sin x x+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若数列{}n a 成等比数列，其公比为2，则234522a a a a ++=_____________． 14．给出平面区域为图中四边形ABOC 内部及其边界，目标函数为z ax y =-，若当且仅 当1,1x y ==时，目标函数z 取最小值，则实数a 的取值范围是_________________．15．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是_____________ ．16．有以下几个命题：①已知a 、b 、c ∈R ，则“a ＝b ”的必要不充分条件是“ac ＝bc ”；②已知数列{a n }满足a 1＝2，若a n +1∶a n ＝(n ＋1)∶n *()n ∈N ，则此数列为等差数列； ③0()f x '＝0是函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处有极值的的充分不必要条件； ④若F 1(0，－3)、F 2(0，3)，动点P 满足条件129PF PF a a+=+，（ a R +∈， a 为常数），则点P 的轨迹是椭圆．其中正确的命题序号为_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分。
广东省宝安第一外国语学校2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷
2015～2016学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分共计60分)。
1．设集合，，则（） A． B． C．D． 2． B． C．D． 3． B. C. D. 4. 已知函数 , 那么的值为（）.A. 32B. 16C. 8D. 64 5．函数（且）的图象一定经过点（）A.(0，)B.(0，3)C.(2，2)D.(2，3) 6．的定义域为（） A. B. C. D. 7．A. B. C. D. 8．9．已知则等于（） A. B. C. D. 10．已知其中为常数，若，则的值等于( )A． B． C． D． 11． ( ) 12．定义符号的含义为：当时，；当时，。
如，，则的最小值是（） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分共计20分)。
13．幂函数的图象过点，则=． 1．上的函数为奇函数，则=_____. 15. 函数的定义域是，值域是，则的取值范围是______. 16. 下列各式： （）; （2）已知，则； （3）函数的图象与函数的图象关于原点对称； （4）函数f(x)=的定义域是R，则m的取值范围是； （5）已知函数为偶函数，则的值是正确的有 .（把你认为正确的序号全部写上） 17. （本小题分）， （1）求：。
（2）若集合，满足,求实数的取值范围． 18.（本小题分）是定义在R上的奇函数，当时， （1）求的解析式 （2）解关于的不等式。
19．（本小题分）（本小题分）为定义域在上的 增函数，且满足，。
（1）求的值； （2）如果，求的取值范围。
21.（本小题分） （1）分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资的函数关系式； （2）已知该企业已筹集18万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的生产。
问：怎样分配 这18万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 22.（本小题12分）高一数学期中考试参考答案（2015-2016学年度第一学期） 。
广东省深圳市宝安中学高一(上)期末数学试卷
2012-2013学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）（2010•大纲版Ⅱ）设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}2．（5分）（2014•天津学业考试）sin300°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（5分）（2010•河南模拟）函数的图象是（）A． B．C．D．4．（5分）（2012秋•宝安区校级期末）函数的单调递增区间是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）5．（5分）（2011•天心区校级模拟）函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为（）A．1，B．2，C．1，﹣D．2，﹣6．（5分）（2012秋•宝安区校级期末）函数f（x）=ax2﹣2x+2对1＜x＜4恒有f （x）＞0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）（2012秋•宝安区校级期末）已知f（x）=（x﹣m）（x﹣n）﹣2，且α、β是方程f（x）=0的两根，则下列不等式可能成立的是（）A．β＜m＜n＜αB．m＜α＜n＜βC．α＜m＜β＜n D．n＜α＜β＜m8．（5分）（2012秋•宝安区校级期末）方程实根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无穷多个二、填空题（每题5分，共30分）9．（5分）（2011•浙江）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=0．10．（5分）（2016春•林芝地区期末）当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x﹣2﹣3必过定点（2，﹣2）．11．（5分）（2011•北京）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=1．12．（5分）（2011•西安一模）设2a=5b=m，且+=2，m=．13．（5分）（2011•辽宁模拟）若两个向量与的夹角为θ，则称向量“×”为“向量积”，其长度|×|=||•||．已知||=1，||=5，•=﹣4，则|×|=3．14．（5分）（2012秋•宝安区校级期末）实数x，y满足，则x+y=4．三、解答题（6小题，共80分）15．（12分）（2012秋•宝安区校级期末）已知（1）设，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的最大值与最小值．16．（12分）（2012秋•宝安区校级期末）已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα）．（1）若||=||，α∈（，）．求角α的值；（2）若•，求的值．17．（14分）（2012秋•宝安区校级期末）（1）已知=（2x﹣y+1，x+y﹣2），=（2，﹣2），①当x、y为何值时，与共线？②是否存在实数x、y，使得⊥，且||=||？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．（2）设和是两个单位向量，其夹角是90°，，若，求实数k的值．18．（14分）（2012秋•宝安区校级期末）已知函数f（x）=asin（x+）+a+b．（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a、b的值．19．（14分）（2014•内江四模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式．（2）根据（1）的结果，若函数y=f（kx）（k＞0）周期为，当时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．20．（14分）（2012秋•宝安区校级期末）设．（1）当a=﹣1，b=4时，求函数f（e x）（e是自然对数的底数．）的定义域和值域；（2）求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同．2012-2013学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）（2010•大纲版Ⅱ）设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}，∴A∪B={1，3，5}，|x＜6}={1，2，3，4，5}，∵U={x∈N+∴∁U（A∪B）={2，4}，故选C．2．（5分）（2014•天津学业考试）sin300°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故选D3．（5分）（2010•河南模拟）函数的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：研究函数知，其是一个偶函数，且在（0，+∞）上增，在（﹣∞，0）上减，由此可以排除C，D，又函数的指数＞1，故在（0，+∞）其递增的趋势越来越快，由此排除B，故A正确．故选A．4．（5分）（2012秋•宝安区校级期末）函数的单调递增区间是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）令t=x2+2x﹣3，则y=∵y=为减函数，t=x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣3）上为减函数；在（1，+∞）为增函数∴函数的单调递增区间是为（﹣∞，﹣3）．故选D5．（5分）（2011•天心区校级模拟）函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为（）A．1，B．2，C．1，﹣D．2，﹣【解答】解：∵函数的一个零点为x=，与之最近的最小值点为x=∴函数的周期T==4（﹣），即=π，可得ω=2函数表达式为y=sin（2x+φ），∵x=时，函数的最小值为﹣1∴2×+φ=﹣+2kπ，可得φ=﹣+2kπ，（k∈Z）∵|φ|＜，∴取k=1，得φ=故选：B6．（5分）（2012秋•宝安区校级期末）函数f（x）=ax2﹣2x+2对1＜x＜4恒有f （x）＞0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＜0时，由于函数f（x）=ax2﹣2x+2开口向下，且对1＜x＜4恒有f（x）＞0，则即，则a无解；当a=0时，由于函数f（x）=﹣2x+2为减函数，且对1＜x＜4恒有f（x）＞0，则只需f（4）≥0，即﹣8+2≥0，则a无解；当a＞0时，由于函数f（x）=ax2﹣2x+2开口向上，且对1＜x＜4恒有f（x）＞0，则即，则；综上可得参数a的范围为故答案为D7．（5分）（2012秋•宝安区校级期末）已知f（x）=（x﹣m）（x﹣n）﹣2，且α、β是方程f（x）=0的两根，则下列不等式可能成立的是（）A．β＜m＜n＜αB．m＜α＜n＜βC．α＜m＜β＜n D．n＜α＜β＜m【解答】解：设g（x）=（x﹣m）（x﹣n），则f（x）=（x﹣m）（x﹣n）﹣2，分别画出这两个函数的图象，其中f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向下平移2个单位得到，如图，若β＜α由图可知：β＜m＜n＜α．故选A8．（5分）（2012秋•宝安区校级期末）方程实根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无穷多个【解答】解：令f（x）=+﹣，其定义域为x∈[1，+∞）．由在定义域上单调递增，∴﹣在定义域上单调递减；而、、在定义域x∈[1，+∞）上单调递减，故函数f（x）在定义域x∈[1，+∞）上单调递减．又f（1）==1＞0，f（2）=﹣2＜1﹣2=﹣1＜0，即f（1）×f（2）＜0，因此函数f（x）在区间（1，2）内存在一个零点，又由函数f（x）在定义域x∈[1，+∞）上单调递减，故有唯一的一个零点．即方程实根的个数是1．故选B．二、填空题（每题5分，共30分）9．（5分）（2011•浙江）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=0．【解答】解：∵f（x）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）恒成立即x2﹣|x+a|=x2﹣|x﹣a|恒成立即|x+a|=|x﹣a|恒成立所以a=0故答案为：0．10．（5分）（2016春•林芝地区期末）当a＞0且a≠1时，函数f（x）=a x﹣2﹣3必过定点（2，﹣2）．【解答】解：因为a0=1，故f（2）=a0﹣3=﹣2，所以函数f （x）=a x﹣2﹣3必过定点（2，﹣2）故答案为：（2，﹣2）11．（5分）（2011•北京）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=1．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．12．（5分）（2011•西安一模）设2a=5b=m，且+=2，m=．【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log2m，b=log5m，由换底公式得，∴m2=10，∵m＞0，∴故应填13．（5分）（2011•辽宁模拟）若两个向量与的夹角为θ，则称向量“×”为“向量积”，其长度|×|=||•||．已知||=1，||=5，•=﹣4，则|×|=3．【解答】解：∵∴∵θ∈[0，π），∴||=故答案为：314．（5分）（2012秋•宝安区校级期末）实数x，y满足，则x+y=4．【解答】解：因为，设f（x）=（x﹣2）2013+2013（x﹣2），则函数f（x）关于点（2，0）对称．所以f（x）+1=0对应的点在x=2处向上平移一个单位，f（y）﹣1=0在x=2处向下平移一个单位，此时仍关于点（2，0）对称．所以，所以x+y=4．故答案为：4．三、解答题（6小题，共80分）15．（12分）（2012秋•宝安区校级期末）已知（1）设，求t的最大值与最小值；（2）求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（1）在是单调增函数，∴t max=log28=3，…（5分）（2）令，，∴原式变为：f（x）=t2﹣2t+4，∴f（x）=（t﹣1）2+3，…（7分）∵，∴当t=1时，此时x=2，f（x）min=3，…（10分）当t=3时，此时x=8，f（x）max=7．…（12分）16．（12分）（2012秋•宝安区校级期末）已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα）．（1）若||=||，α∈（，）．求角α的值；（2）若•，求的值．【解答】解：（1）∵=（cosα﹣3，sinα），=（cosα，sinα﹣3），∴||=，||=．由||=||得sinα=cosα．…（4分）又∵α∈（，），∴α=．…（6分）（2）由•=﹣1可得（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）=﹣1．∴sinα+cosα=．两边平方得1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=．…（8分）又=sinαcosα．∴…（12分）17．（14分）（2012秋•宝安区校级期末）（1）已知=（2x﹣y+1，x+y﹣2），=（2，﹣2），①当x、y为何值时，与共线？②是否存在实数x、y，使得⊥，且||=||？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．（2）设和是两个单位向量，其夹角是90°，，若，求实数k的值．【解答】解：（1）①∵与共线，∴存在非零实数λ使得=λ，∴∴x=，y∈R；②由⊥得，（2x﹣y+1）×2+（x+y﹣2）×（﹣2）=0所以x﹣2y+3=0．（i）由||=||得，（2x﹣y+1）2+（x+y﹣2）2=8．（ii）解（i）（ii）得或；（2）由题意，，①，②③…（10分）∵，∴，得，将①②③代入得：k2+5k﹣1=0，…（12分）解得…（14分）18．（14分）（2012秋•宝安区校级期末）已知函数f（x）=asin（x+）+a+b．（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a、b的值．【解答】解：（1）∵a=1，∴f（x）=sin（x+）+1+b，∵y=sinx的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z），∴当2kπ﹣≤x+≤2kπ+，…（4分）即2kπ﹣≤x≤2kπ+（k∈Z）时，f（x）是增函数，故f（x）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）．（2）由（1）得f（x）=asin（x+）+a+b，∵x∈[0，π]，∴≤x+≤，∴﹣≤sin（x+）≤1．显然a≠0，①当a＞0时，，∴，而f（x）的值域是[3，4]，故∴，解得：．②当a＜0时，a≤asin（x+）≤﹣a，a+a+b≤f（x）≤b，而f（x）的值域是[3，4]，故有，a+a+b=3，且b=4，解得a=1﹣，b=4．综上可得，；或a=1﹣，b=4．19．（14分）（2014•内江四模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式．（2）根据（1）的结果，若函数y=f（kx）（k＞0）周期为，当时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，得，由，得ω=1，又，解得令，即，解得，∴．（2）∵函数的周期为，又k＞0，∴k=3，令，∵，∴，如图，sint=s在上有两个不同的解，则，∴方程f（kx）=m在时恰好有两个不同的解，则，即实数m的取值范围是．20．（14分）（2012秋•宝安区校级期末）设．（1）当a=﹣1，b=4时，求函数f（e x）（e是自然对数的底数．）的定义域和值域；（2）求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同．【解答】（14分）解：（1），由﹣e2x+4e x≥0解得0＜e x≤4，∴x≤ln4，所以函数f（e x）的定义域是（﹣∞，ln4]．…（2分）设e x=t＞0，则，记g（t）=﹣t2+4t（t＞0），∴g（t）∈[0，4]，∴f（e x）∈[0，2]，即f（e x）的值域是[0，2]…（4分）（2）①若a=0，则对于每个正数b，的定义域和值域都是[0，+∞）故a=0满足条件；…（6分）②若a＞0，则对于正数b，的定义域为D={x|ax2+bx≥0}=，但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，即a＞0不合条件；…（9分）③若a＜0，则对正数b，的定义域由于此时，故f（x）的值域为则综上所述：a的值为0或﹣4…（14分）。
广东省深圳市宝安职业技术学校高一数学文上学期期末试题含解析
广东省深圳市宝安职业技术学校高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合M= ，集合 (e为自然对数的底数），则=（）A． B． C． D．参考答案：C2. 把一根长度为7的铁丝截成3段，如果3段的长度均为正整数，那么能构成三角形的概率为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】列出所有基本事件，并确定基本事件的数目，然后找出能构成三角形的所有基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率。
【详解】所有的基本事件有：、、、，共个，其中，事件“能构成三角形”所包含的基本事件有：、，共个，由古典概型的概率公式可知，事件“能构成三角形”的概率为，故选：D。
【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，这类问题的求解一般就是将基本事件列举出来，常用的方法有枚举法和树状图法，在列举时遵循不重不漏的原则进行，考查计算能力，属于中等题。
3. 对于等式，下列说法中正确的是（）A．对于任意，等式都成立 B. 对于任意，等式都不成立C．存在无穷多个使等式成立 D.等式只对有限个成立参考答案：C略4. （5分）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，8），则f（﹣）的值等于（）A．﹣B．C．﹣8 D．8参考答案：A考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数f（x）的图象经过点（2，8），求出函数的解析式，再计算f（﹣）即可．解答：设幂函数f（x）=xα（α∈R），其图象经过点（2，8），∴2α=8，解得α=3；∴f（x）=x3，∴f（﹣）==﹣．故选：A．点评：本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数解析式求函数值的问题，是基础题目．5. 已知函数f（x）=e x+x﹣5．，则f（x）的零点所在区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的单调性，利用f（1），f（2）函数值的符号，结合零点判定定理推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=e x+x﹣5，是增函数，因为f（1）=e+1﹣5＜0，f（2）=e2+2﹣5＞0，可得f（1）f（2）＜0．由零点判定定理可知，函数的零点所在区间为：（1，2）．故选：A．6. 在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为、，则=（）A．﹣B．+C．﹣+D．﹣﹣参考答案：B【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【专题】计算题．【分析】欲求出向量则，关键是求出向量则与向量的线性．关系过点F作BC的平行线交DE 于G，则G是DE的中点，利用相似三角形有知识即可得出它们的线性关系，从而解决问题．【解答】解：过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且GF=EC=BC∴GF=AD，则△AHD∽△GHF从而FH=AH，∴又∴故选B．【点评】本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义、平行四边形的几何性质，属于基础题．7. 定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+]上是减函数，又，则A、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6B、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6C、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6D、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6参考答案：D8. 已知集合M＝｛a，b，c｝中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( )．A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形参考答案：D9. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0，+∞)上为增函数的是( )A. y=x3B. y=ln xC. y=x2D. y=sin x参考答案：A10. 设定义在R上的函数，，且对任意，满足，，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先把转化成，与进行加法运算，依次推倒，得到，再根据条件，得到，然后根据等式关系，用累加法计算得到结果.【详解】∵，∴（1）∵（2）∴（1）+（2）得=，即（3）∴（1）+（3）得=，即，∵，∴∴=== ++++ +3?22+3?20=2008+++++3?22+3?20==.考点：不等式性质；叠加法；等比数列前n项和公式；函数的求值【点睛】本题考查不等式同向相加的性质，考查累加法和等比数列前n项和公式，难度比较大，属于难题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若为实数，且，则的最小值为参考答案：1/3略12. 若幂函数的图像过点(2,8)，则a= ．参考答案：3∵幂函数的图像过点(2,8)，，故答案为3. 13. 函数f (x) =是定义在(–1，1)上的奇函数，且f =，则a = ，b = ．参考答案：a = 1 ，b = 014. 函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是实数集R上的偶函数，并且f（x）＜0的解为（﹣2，2），则的值为．参考答案：-4【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义求出a，b，c，d的关系，结合一元二次不等式的解法进行求解即可，【解答】解：∵f（x）=ax3+bx2+cx+d是实数集R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即﹣ax3+bx2﹣cx+d=ax3+bx2+cx+d，即﹣ax3﹣cx=ax3+cx，则﹣a=a且﹣c=c，解得a=c=0，则f（x）=bx2+d，∵f（x）＜0的解为（﹣2，2），∴bx2+d＜0的解为（﹣2，2），即2，﹣2是方程bx2+d=0得两个根，且b＞0，则4b+d=0，则d=﹣4b，即=﹣4，故答案为：﹣4．15. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角A=______．参考答案：60°【分析】由，根据余弦定理可得结果.【详解】，由余弦定理得，，又，则，故答案为.【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16. 函数的值域是_________参考答案：17. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是．参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
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2015-2016学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期末数学试卷 一、选择题（1-12题，每小题5分，共60分） 1．（5.00分）角θ的终边过点P（﹣1，2），则sinθ=（ ） A． B． C．﹣ D．﹣
2．（5.00分）已知向量，，则与（ ） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 3．（5.00分）=（ ）
A． B． C． D． 4．（5.00分）函数f（x）=2x﹣的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 5．（5.00分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（ ） A． B． C．﹣ D．﹣ 6．（5.00分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2 7．（5.00分）设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（ ） A． B．1 C．2 D．3 8．（5.00分）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的 π倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式是（ ） A． B．
C． D． 9．（5.00分）设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（ ） A． B．2 C． D．4 10．（5.00分）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（ ）
A． B． C． D． 11．（5.00分）函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（ ）
A． B． C． D． 12．（5.00分）已知函数f（x）=（）x﹣log2x，实数a、b、c满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若实数x0是方程f（x）=0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ） A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c
二、填空题（13-16题，每小题5分，共20分） 13．（5.00分）函数f（x）=log（x2﹣2x）的单调递减区间是 ．
14．（5.00分）若x=log43，（2x﹣2﹣x）2= ． 15．（5.00分）已知f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，（a，b，α，β为非零实数），f（2015）=5，则f（2016）= ． 16．（5.00分）给出下列命题： ①若，则； ②若A（x1，y1），B（x2，y2），则； ③已知是三个非零向量，若；，则； ④已知λ1＞0，λ2＞0，是一组基底，=λ1+λ2，则与不共线，与也不共线； ⑤与共线⇔． 其中正确命题的序号是 ．
三、解答与证明题（17-22题，共70分） 17．（10.00分）已知，与的夹角为120°， 求：（1）； （2）． 18．（12.00分）设函数f（x）=﹣x2+2x+a（0≤x≤3，a≠0）的最大值为m，最小值为n． （1）求m，n的值（用a表示）；
（2）若角θ的终边经过点P（m﹣1，n+3），求的值． 19．（12.00分）已知，且． （1）求sinα+cosα的值； （2）若，且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大小．
20．（12.00分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表： x x1 x2 x3
ωx+φ 0 π 2π Asin（ωx+φ） 0 0 ﹣ 0 （1）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式； （2）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分 别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小； （3）求△OQP的面积．
21．（12.00分）由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表
示为y=．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用． （1）判断函数的单调性（不必证明）； （2）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？ （3）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值． 22．（12.00分）设a为实数，函数的最大值为g（a）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）设，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域； （3）求g（a）． 2015-2016学年广东省深圳市宝安中学高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（1-12题，每小题5分，共60分） 1．（5.00分）角θ的终边过点P（﹣1，2），则sinθ=（ ） A． B． C．﹣ D．﹣ 【解答】解：由题意可得，x=﹣1，y=2，r=|OP|=，∴sinθ===， 故选：B．
2．（5.00分）已知向量，，则与（ ） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 【解答】解：∵6×10﹣（﹣5）×（﹣12）=0， ∴， 故选：D．
3．（5.00分）=（ ） A． B． C． D． 【解答】解：sin=sin（670π+π+）=sin（π+）=﹣sin=﹣sin（π﹣）=﹣sin=﹣， 故选：D．
4．（5.00分）函数f（x）=2x﹣的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：令=0， 可得， 再令g（x）=2x，， 在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象， 可知g（x）与h（x）的交点在（，1），
从而函数f（x）的零点在（，1）， 故选：B．
5．（5.00分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（ ） A． B． C．﹣ D．﹣ 【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点 ∵=2，=，
∴=， ∴λ=， 故选：A．
6．（5.00分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点， 所以函数的周期T=2（）=，
所以T==，所以ω==4．
故选：B．
7．（5.00分）设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（ ） A． B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵向量，满足||=2，在方向上的投影为1， ∴==2×1=2． ∵存在实数λ，使得与﹣λ垂直， ∴==0， ∴22﹣2λ=0， 解得λ=2． 故选：C．
8．（5.00分）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，将所得图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的解析式是（ ） A． B． C． D． 【解答】解将函数的图象上各点的横坐标变为原来的π倍，可得y=sin（+）的图象； 将所得图象向右平移个单位，可得y=sin[（x﹣）+]=sin 的图象； 再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=sin+1的图象，
则函数y=g（x）的解析式位 g（x）=sin+1， 故选：B．
9．（5.00分）设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（ ） A． B．2 C． D．4 【解答】解：设的夹角为θ，
则cosθ==﹣， ∴sinθ=， ∴ =2×2× =2． 故选：B．
10．（5.00分）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A.； ∵x＜0； ∴； ∴y′＜0； ∴该函数在（﹣∞，0）上为减函数，∴该选项正确；
B.； ∵x＜0； ∴； ∴y′＞0； ∴该函数在（﹣∞，0）上为增函数，∴该选项错误；
C.； ∵x＜0； ∴； ∴y′＞0； ∴该函数在（﹣∞，0）上为增函数，∴该选项错误；
D．x＜0时，函数无意义，∴该选项错误． 故选：A．
11．（5.00分）函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：∵函数y=sinx||（0＜x＜π），
∴函数y=， ∴根据余弦函数的图象可得其图象为： 故选：B． 12．（5.00分）已知函数f（x）=（）x﹣log2x，实数a、b、c满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），若实数x0是方程f（x）=0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ） A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c 【解答】解：∵y=（）x是R上的减函数， y=log2x是（0，+∞）上的增函数； ∴f（x）=（）x﹣log2x是（0，+∞）上的减函数； 又∵f（a）f（b）f（c）＜0，且0＜a＜b＜c； ∴f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0； 或f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0； 故f（c）＜f（x0）=0； 故c＞x0； 故x0＞c不可能成立， 故选：D．
二、填空题（13-16题，每小题5分，共20分） 13．（5.00分）函数f（x）=log（x2﹣2x）的单调递减区间是 （2，+∞） ．
【解答】解：由题意可得函数的定义域为：（2，+∞）∪（﹣∞，0） 令t=x2﹣2x，则y=
因为函数y=在定义域上单调递减 t=x2﹣2x在（2，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减 根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为：（2，+∞）
故答案为：（2，+∞）