2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (2)
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1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的 否定是只否定命题的结论。
2．区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B⇒/ A)，与 A 的充分不必要条 件是 B(B⇒A 且 A⇒/ B)两者的不同。
3．A 是 B 的充分不必要条件⇔綈 B 是綈 A 的充分不必要条件。
答案 (3)A
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充要条件的三种判断方法 1．定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断。 2．集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断。 3．等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题 转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题。
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(3)若集合 A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠
∅”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 (3)化简集合 A＝{x|0<x<1}，若 m>1，则 B＝{x|－1<x<m}，此时 A∩B≠∅，反之，若 A∩B≠∅，则 m>0，因(1，＋∞)⊂(0，＋∞)。故选 A。
答案 B
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二、走近高考
3．(2018·天津高考)设 x∈R，则“x－12<12”是“x3<1”的(
)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由x－12<12，得 0<x<1，所以 0<x3<1；由 x3<1，得 x<1，不能推
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 (2)因为 p：x＋y≠－2，q：x，y 不都是－1，所以綈 p：x＋y＝
－2，綈 q：x＝－1，且 y＝－1。因为綈 q⇒綈 p，但綈 p⇒/ 綈 q，所以綈 q
是綈 p 的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件。故选 A。 答案 (2)A
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A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假
解析 (2)原命题即“若 an＋1<an，n∈N*，则{an}为递减数列”为真命 题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{an}为递减数列，n∈N*，则 an＋1<an” 为真命题，所以否命题也为真命题。
答案 (2)A
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【变式训练】 (1)(2019·石家庄市质量检测)已知 p：－1<x<2，q：log2x<1，
则 p 是 q 成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 选 B。
答案
(1)由 log2x<1，解得 0<x<2，所以 p 是 q 的必要不充分条件。故 (1)B
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【变式训练】 (1)(2019·武汉模拟)对于原命题“正弦函数不是分段函 数”，下列叙述正确的是( )
A．否命题是“正弦函数是分段函数” B．逆命题是“分段函数不是正弦函数” C．逆否命题是“分段函数是正弦函数” D．以上都不正确
解析 (1)原命题可写成“若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段 函数”，否命题为“若一个函数不是正弦函数，则该函数是分段函数”， 逆命题为“若一个函数不是分段函数，则该函数是正弦函数”，逆否命题 为“若一个函数是分段函数，则该函数不是正弦函数”，可知 A、B、C 都 是错误的。故选 D。
解得 φ＝34π－kπ，k∈Z，故“φ＝－π4”是“函数 f(x)＝cos(3x－φ)的图象关
于直线 x＝π4对称”的充分不必要条件。故选 A。
答案 (1)A
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(2)已知 p：x＋y≠－2，q：x，y 不都是－1，则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
答案 C
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2．(选修 2－1P10 练习 T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 若 x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0 显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x＋2)＝0，则 x 的值也可能为－2。故选 B。
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一、走进教材 1．(选修 2－1P8A 组 T2 改编)命题“若 x2>y2，则 x>y”的逆否命题是( ) A．“若 x<y，则 x2<y2” B．“若 x>y，则 x2>y2” C．“若 x≤y，则 x2≤y2” D．“若 x≥y，则 x2≥y2”
解析 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若 x2>y2， 则 x>y”的逆否命题是“若 x≤y，则 x2≤y2”。故选 C。
4．充要关系与集合的子集之间的关系，设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 (2)若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件。 (3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件。
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D．既不充分也不必要条件
解析 因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以 a2－6a·b ＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以 a·b＝0，所以 a⊥b；反之 也成立。故选 C。
答案 C
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三、走出误区 微提醒：①对“p∧q”的否定出错；②分类讨论不全面； ③充分条件与必要条件的判定出错。 5．命题“若 a2＋b2＝0，a ，b∈R，则 a＝b＝0”的逆否命 题是 ____________。
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(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
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2．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p⇒q，则 p 是 q 的___充__分___条件，q 是 p 的___必__要___条件
p 是 q 的____充__分__不__必__要____条件
p⇒q 且 q⇒/ p
p 是 q 的____必__要__不__充__分____条件
p⇒/ q 且 q⇒p
p 是 q 的___充__要___条件
p⇔q
p 是 q 的_____既__不__充__分__也__不__必__要_____条件
p⇒/ q 且 q⇒/ p
答案 (2)A
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考点二 充分条件与必要条件的判定
【例 2】 (1)(2019·成都市毕业班模拟)“φ＝－4π”是“函数 f(x)＝cos(3x
－φ)的图象关于直线 x＝π4对称”的(
)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 (1)若函数 f(x)的图象关于直线 x＝π4对称，则34π－φ＝kπ，k∈Z，
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必考部分
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第二节 命题及其关系、 充分条件与必要条件
微知识·小题练 微考点·大课堂
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2019 考纲考题考情
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出 0<x<1。所以“x－12<12”是“x3<1”的充分而不必要条件。故选 A。 答案 A
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4．(2018·北京高考)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a
⊥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
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微考点·大课堂
考点例析 对点微练
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考点一 四种命题及其关系
【例 1】 (1)(2019·西安八校联考)已知命题 p：“正数 a 的平方不等于
0”，命题 q：“若 a 不是正数，则它的平方等于 0”，则 q 是 p 的( )
解析 由已知可得 ax2－2ax－3≤0 恒成立。当 a＝0 时，－3≤0 恒成 a<0，
立；当 a≠0 时，得Δ＝4a2＋12a≤0， 解得－3≤a<0。故－3≤a≤0。 答案 [－3,0]
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7．“a＝0”是“函数 f(x)＝sinx－1x＋a 为奇函数”的________条件。 解析 显然 a＝0 时，f(x)＝sinx－1x为奇函数；当 f(x)为奇函数时，f(－ x)＋f(x)＝0。又 f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－－1x＋a＋sinx－1x＋a＝0。因此 2a＝0， 故 a＝0。所以“a＝0”是“函数 f(x)＝sinx－1x＋a 为奇函数”的充要条件。 答案 充要
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (3)
必/考/部/分第一章集合与常用逻辑用语第一节集合2019考纲考题考情1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。
集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
2．集合间的基本关系3.集合的基本运算1．集合元素的三个特性确定性、无序性、互异性。
2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个。
3．注意空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解。
4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B ＝A⇔B⊆A。
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B ＝A⇔A⊆B。
(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A。
∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。
一、走进教材1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 018}，a ＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P解析因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 018的自然数构成的集合，所以a∉P。
故选D。
答案 D2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________。
解析由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)。
答案64二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}。
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (3)
必/考/部/分第一章集合与常用逻辑用语第一节集合2019考纲考题考情1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。
集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
2．集合间的基本关系3.集合的基本运算1．集合元素的三个特性确定性、无序性、互异性。
2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个。
3．注意空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解。
4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B ＝A⇔B⊆A。
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B ＝A⇔A⊆B。
(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A。
∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)。
一、走进教材1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 018}，a ＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P解析因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 018的自然数构成的集合，所以a∉P。
故选D。
答案 D2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________。
解析由已知得M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)。
答案64二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}。
2020高考数学(理)(人教)大一轮复习全书word
第一章 集合与常用逻辑用语第1节 集合及其运算考点一 集合的基本概念(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( A )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：本题主要考查集合的含义与表示．由题意可知A ＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A 中共有9个元素，故选A.(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( D )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根，当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．3．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( B )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a ∈{1,2,3}，b ∈{4,5}，则M ＝{5,6,7,8}，即M 中元素的个数为4，故选B.(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则log 2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋52的值为0 .解析：因为3∈A ，所以，m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3.此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)．当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32，log 2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋52＝log 2 0181＝0.考点二 集合间的基本关系角度1 两集合间基本关系的判断(2019·西安一模)已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( B )A ．M ＝NB ．N MC ．M ⊆ND ．M ∩N ＝∅解析：因为M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，所以N ＝{－1,0}，于是N M .角度2 利用集合间关系求参数(2019·郑州调研)已知集合A ＝{x |x 2－5x －14≤0}，集合B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为(－∞，4] .解析：A ＝{x |x 2－5x －14≤0}＝[－2,7]．当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]．【条件探究】 若将本典例中的集合A 改为A ＝{x |x 2－5x －14>0}，其他条件不变，则m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞) .解析：A ＝{x |x 2－5x －14>0}＝{x |x <－2或x >7}．当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＜2m －1，m ＋1≥7或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2. 解之得m ≥6.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(1)(2019·烟台调研)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( B ) A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M解析：由题意可知，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝(2k ＋4)π8－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2n π8－π4，n ∈Z ， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k π8－π4或x ＝(2k －1)π8－π4，k ∈Z ， 所以M ⊆N ，故选B.(2)已知集合A ＝{y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ . 解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2， 所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2. 又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34.考点三 集合的基本运算角度1 集合的交、并、补运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( A )A ．A ∩B ＝{x |x <0}B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅ 解析：本题主要考查集合的表示方法和集合交集、并集的概念和运算，还考查了指数函数的性质．∵3x ＜1＝30，∴x ＜0，∴B ＝{x |x ＜0}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，故选A.(2)(2019·河西五市二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}，则A ∩(∁U B )＝( D )A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(1,2) 解析：由题意得A ＝{x |y ＝lg(x －1)}＝(1，＋∞)，B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}＝[2，＋∞)，则∁U B ＝(－∞，2)，故A ∩(∁U B )＝(1,2)．角度2 利用集合运算求参数(2019·邯郸二模)已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5<0}，B ＝{x |4x >2m }，若A ∩B 有三个元素，则实数m 的取值范围是(C )A ．[3,6)B ．[1,2)C ．[2,4)D ．(2,4] 解析：集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5＜0}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |4x ＞2m }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞m 2，∵A ∩B 有三个元素，∴1≤m 2＜2，解得2≤m ＜4，∴实数m 的取值范围是[2,4)．1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图．2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，特别要注意端点值的情况．(1)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：A ＝{x |2x (x －2)＜1}＝{x |x (x －2)＜0}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( D )A ．[－1,2)B ．[－1,3]C ．[2，＋∞)D ．[－1，＋∞)解析：由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2；②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．考点四 集合的新定义问题 (1)(2019·合肥模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R }，则A ⊕B ＝( C )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥－94，B ＝{y |y ＜0}， 所以A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪ y ＜－94， A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥0或y ＜－94.故选C. (2)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x ； ②M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}；④M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是( C )A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④解析：记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0得OA ⊥OB .对于①，对任意A ∈M ，不存在B ∈M ，使得OA ⊥OB .对于②，当A 为点(1,0)时，不存在B ∈M 满足题意．对于③④，对任意A ∈M ，过原点O 可作直线OB ⊥OA ，它们都与函数y ＝e x －2及y ＝sin x ＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C.解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．(1)设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{－1,1,2,3}，定义A #B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝x y ，x ∈A ，y ∈B ，则A #B 中元素的个数是( B ) A ．5B ．7C ．10D ．15 解析：因为x ∈A ，所以x 可取－1,0,1；因为y ∈B ，所以y 可取－1,1,2,3.则z ＝x y 的结果如下表所示：故A #B 中元素有－1，－12，－13，0，13，12，1，共7个，故选B.(2)若数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a j a i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”．则( B )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1解析：对于A ，由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确；对于B ，选1,2时，有1×2属于{1,2,3,6}，同理取1,3，取1,6，取2,3时也满足，取2,6时，有62属于{1,2,3,6}，取3,6时，有63属于{1,2,3,6}，所以B 正确；由“权集”定义知1≤a 1＜a 2＜…＜a n 且a j a i需要有意义，故不能有0，故C 不正确；如集合{2,4}，符合“权集”定义，但不含1，所以D 不正确.1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( B )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．化简A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，∴∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.2．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( C )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2} 解析：本题考查集合的运算．∵A ＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B＝{1,2}，故选C.3．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( C )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：本题主要考查集合的运算．∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B ，∴1－4＋m ＝0，∴m ＝3.由x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.∴B ＝{1,3}．经检验符合题意，故选C.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：集合A 表示单位圆上的所有的点，集合B 表示直线y ＝x 上的所有的点．A ∩B 表示直线与圆的公共点，显然，直线y ＝x 经过圆x 2＋y 2＝1的圆心(0,0)，故共有两个公共点，即A ∩B 中元素的个数为2.5．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析：因为A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＞32，所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＞32＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32＜x ＜3.故选D. 6．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)·(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( C )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3} 解析：由(x ＋1)(x －2)＜0⇒－1＜x ＜2，又x ∈Z ，∴B ＝{0,1}，∴A ∪B ＝{0,1,2,3}．故选C.第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考点一四种命题及其相互关系(1)(2019·青岛调研)下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形的面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2－2ax＋a＋3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是(A)A．③④B．①③C．①②D．②④解析：对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a＞1时，Δ＝－12a＜0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.(2)给出以下五个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数；⑤若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减． 其中为真命题的是①③ .(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②否命题为“不全等三角形的面积不相等”，但不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题为真，所以它的逆否命题也为真，故③为真命题；④若ab 是正整数，则a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题；⑤构造函数f (x )＝x ，g (x )＝－x ，则f (x )－g (x )＝2x ，显然f (x )－g (x )单调递增，故⑤为假命题．1.判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p ，则q ”，则否命题是“若綈p ，则綈q ”，而命题的否定是“若p ，则綈q ”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写．(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．(1)已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(2)以下关于命题的说法正确的有②④ (填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价． 解析：①不正确．由log 2a ＞0，得a ＞1，∴f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数．②正确．由命题的否命题定义知，该说法正确．③不正确．原命题的逆命题为：“若x ＋y 是偶数，则x ，y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数．④正确．两者互为逆否命题，因此两命题等价．考点二 充分必要条件的判定角度1 用定义法判断充分、必要条件若p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( A )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：若φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＋k π＝cos(ωx ＋k π)＝⎩⎪⎨⎪⎧cos ωx ，k 为偶数，－cos ωx ，k 为奇数， 所以函数f (x )是偶函数；若f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则φ＝π2＋k π，k ∈Z .角度2 用集合法判断充分、必要条件“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由ln(x ＋1)＜0，得0＜x ＋1＜1，即－1＜x ＜0，由于{x |－1＜x ＜0}⊆{x |x ＜0}，故“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件． 角度3 用等价转化法判断充分、必要条件给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈pA ⇒/q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈qA ⇒/p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件．角度4 充分与必要条件的探求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( A )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1解析：因为函数f (x )的图象过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)的图象与直线y ＝a 无交点．数形结合可得a ≤0或a ＞1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a ＞1，应排除D ；当0＜a ＜12时，函数y＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C.故选A.1.充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．2．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q ”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．(1)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2.∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线． 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件．(2)“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 2(2x －3)＜1⇒0＜2x －3＜2⇒32＜x ＜52，4x ＞8⇒2x ＞3⇒x ＞32，所以“log 2(2x －3)＜1”是“4x ＞8”的充分不必要条件，故选A.考点三 充分必要条件的应用已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为[0,3] .解析：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．【结论探究1】 本典例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．解：由典例知P ＝{x |－2≤x ≤10}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．【结论探究2】 本典例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由典例知P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且SA ⇒/P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法及注意点(1)解决此类问题的方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)解决此类问题的注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．(1)已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[－1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 解析：由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0， 化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1； 由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＝－a 2＋a ＋6＞0，f (1)＝－a 2＋a ＋2≥0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜3，－1≤a ≤2， 所以－1≤a ≤2.(2)(2019·辽宁沈阳月考)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是( B )A ．k ≤－22或k ≥2 2B ．k ≤－2 2C ．k ≥2D ．k ≤－22或k >2解析：若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx －y －3＝0的距离d ＝|－3|k 2＋1≤1，即k 2＋1≥3，∴k 2＋1≥9，即k 2≥8，∴k ≥22或k ≤－22，∴圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是k ≤－22，故选B.1．(2018·北京卷)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断．|a －3b |＝|3a ＋b |⇔|a －3b |2＝|3a ＋b |2⇔a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2⇔2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C.2．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( A ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12得－12＜x －12＜12，解得0＜x ＜1. 由x 3＜1得x ＜1.当0＜x ＜1时能得到x ＜1一定成立；当x ＜1时，0＜x ＜1不一定成立．所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． 3．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：解法一：S 4＋S 6＞2S 5等价于(S 6－S 5)＋(S 4－S 5)＞0，等价于a 6－a 5＞0，等价于d ＞0，故选C.解法二：∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴S 4＋S 6－2S 5＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d －2(5a 1＋10d )＝d ，即S 4＋S 6＞2S 5等价于d ＞0，故选C.4．(2014·福建卷)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 解析：当k ＝1时，l ：y ＝x ＋1，由题意不妨令A (－1,0)，B (0,1)，则S △AOB ＝12×1×1＝12，所以充分性成立；当k ＝－1时，l ：y ＝－x ＋1，也有S △AOB ＝12，所以必要性不成立．5．(2018·北京卷)能说明“若f (x )＞f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一) .解析：根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0)即可，除所给答案外，还可以举出f (x )＝⎩⎨⎧ 0，x ＝0，1x ，0＜x ≤2等．第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断(1)(2019·山西临汾一中等五校联考)已知命题p ：∀x ≥4，log 2x ≥2；命题q ：在△ABC 中，若A ＞π3，则sin A ＞32.则下列命题为真命题的是( B )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨q解析：∀x ≥4，log 2x ≥log 24＝2，所以命题p 为真命题；A ＝2π3＞π3，sin A ＝32，所以命题q 为假命题，故p ∧(綈q )为真命题，故选B.(2)(2019·郑州调研)命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为(B)A．p∧q B．p∨qC．p∧(綈q) D．綈q解析：由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，∴命题p是假命题．由3x＞0，得3x＋1＞1，所以0＜13x＋1＜1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q 为假命题．1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2．含逻辑联结词命题真假的5种等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．(1)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中是真命题的是( A )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∧(綈q ) 解析：取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题．又a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ，∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题．综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题．∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题．(2)(2019·深圳联考)已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1＞0的解集为R ，则实数a ∈(0,4)，命题q ：“x 2－2x －8＞0”是“x ＞5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( D )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∧q 解析：命题p ：当a ＝0时，有1＞0恒成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＜0，解之得0＜a ＜4. ∴实数a ∈[0,4)，因此p 假，綈p 是真命题．命题q ：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此“x 2－2x －8＞0”是“x ＞5”的必要不充分条件，q 为真命题．故(綈p )∧q 为真命题．考点二 全称命题与特称命题角度1 全称、特称命题的否定(2016·浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( D )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析：原命题是全称命题，其否定应为特称命题．其否定形式应为∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2，故选D.角度2 全称、特称命题的真假判断下列命题中为假命题的是( B )A ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点解析：当α＝0，β＝π2时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 为真命题；当φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 为假命题；对于三次函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又该函数的图象在R 上连续不断，故∃x 0∈R ，x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 为真命题；当f (x )＝0时，(ln x )2＋ln x －a ＝0，则有a ＝(ln x )2＋ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点，D为真命题．综上可知选B.1.对全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．全(特)称命题真假的判断方法(1)(2019·陕西师大附中二模)若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则綈p为(D)A．不存在x0∈R，使得x30－x20＋1＜0B．存在x0∈R，使得x30－x20＋1＜0C．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0D．存在x0∈R，使得x30－x20＋1≥0解析：命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0的否定为綈p：存在x0∈R，使得x30－x20＋1≥0，故选D.(2)下列四个命题：其中真命题是(D) A．p1，p3B．p1，p4 C．p2，p3D．p2，p4考点三 由命题的真假求参数的取值范围已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为[2，＋∞) .解析：依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【条件探究】 本典例中的条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1＜0，其他不变，则实数m 的取值范围为[0,2] .解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4＞0，所以m ＞2或m ＜－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围是[0,2]．【结论探究】 本典例条件不变，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2) .解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2； 当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2. 所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略1．全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题．2．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．(1)(2019·广东汕头模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0有实根；命题q ：a ＞0.若“綈(p ∨q )”是假命题，“p ∧q ”是假命题，则实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪(0,2) .解析：当命题p 为真时，有Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.∵“綈(p ∨q )”是假命题，∴p ∨q 是真命题．又“p ∧q ”是假命题，∴p ，q 一个为真命题，一个为假命题．①当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a ≤0，解得a ≤－2； ②当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ＞0，解得0＜a ＜2. 综上可得实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪(0,2)．(2)(2019·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，2x ＜m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1 . 解析：由2x ＜m (x 2＋1)，可得m ＞2x x 2＋1， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1max ＝45，故当p 为真时，m ＞45；函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2， 令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点，则2－m －1＞0，解得m ＜1， 故当q 为真时，m ＜1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1.1．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n ，则綈p 为( C ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2n D ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：根据特称命题的否定为全称命题，知綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n ，故选C.2．(2015·浙江卷)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( D )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0解析：“f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )＞n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D.3．(2019·广东汕头一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x ＞0,2x －a ＞0.若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞) 解析：方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4＜0，即－2＜a＜2；∀x ＞0,2x －a ＞0等价于a ＜2x 在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又因“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ＞1，得1＜a ＜2，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选C.4．(2019·广东七校联考)已知命题p ：∃a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－14，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( D ) A ．綈p B ．p ∧q C ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q )解析：设h (x )＝x ＋a x ＋1.易知当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16＞0，则此时函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＜0，g (1)＝1＞0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，根据真值表可知p ∧(綈q )是真命题，故选D.第二章 函数、导数及其应用第1节 函数及其表示考点一 求函数的定义域(1)(2019·长沙模拟)函数f (x )＝2－2x＋1log 3x 的定义域为( B )A ．{x |x ＜1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ＞1}解析：要使函数有意义，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－2x≥0，x ＞0，log 3x ≠0，∴0＜x ＜1，故选B.(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)可知－1＜u ＜0，即－1＜2x ＋1＜0，得－1＜x ＜－12.【条件探究】 若典例(2)中条件变为：“函数f (x －1)的定义域为(－1,0)”，则结果如何？解：因为f (x －1)的定义域为(－1,0)，即－1＜x ＜0，所以－2＜x－1＜－1，故f (x )的定义域为(－2，－1)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－2＜2x ＋1＜－1，解得－32＜x ＜－1.所以所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1. 【结论探究】 若典例(2)中条件不变，求函数g (x )＝f (2x ＋1)＋f (3x ＋1)的定义域．解：函数f (3x ＋1)有意义，需－1＜3x ＋1＜0，解得－23＜x ＜－13，又由f (2x ＋1)有意义，解得－1＜x ＜－12，所以可知g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－12.1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．(1)(2019·唐山模拟)已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( C ) A ．(－2,0) B ．(－2,2)C ．(0,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0解析：由题意得⎩⎨⎧－1＜x 2＜1，－1＜x －1＜1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜2，0＜x ＜2，∴0＜x ＜2， ∴函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域为(0,2)，故选C.(2)函数f (x )＝2x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.解析：要使函数f (x )＝2x 21－x ＋lg(3x ＋1)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得－13＜x ＜1，所以函数f (x )＝2x 21－x＋lg(3x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.考点二 求函数的解析式(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求函数f (x )的解析式． (2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．(4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式． 解：(1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2， 故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2， x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x ＞0，所以t ＞1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R . (4)由f (－x )＋2f (x )＝2x ，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x 3，x ∈R .1.求函数解析式的四种方法2．谨防求函数解析式的2种失误(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围．(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．(1)(2019·合肥模拟)已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，则f (x )的解析式为f (x )＝－x －2x (x ≠0)．解析：由题意知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，即f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x 代换上式中的x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x，解得f (x )＝－x －2x (x ≠0)．(2)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．则函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].解析：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎨⎧k 1＝115，b 1＝0，即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎨⎧k 2＝110，b 2＝－2，即y ＝110x －2.。
2020年高考数学理科一轮温习第1章集合与经常使用逻辑用语第3讲课后作业
A 组 基础关1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ≤12”的否定为( ) A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x >12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x >12C ．∃x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x >12D ．∃x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x >12答案 D解析 已知命题是全称命题，其否定为∃x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12. 2．(2019·河北石家庄模拟)命题p ：假设sin x >sin y ，那么x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .以下命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．綈p答案 B解析 取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．3．(2018·西安质检)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，那么( )A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0答案 B解析 綈p 为∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0，此命题为真命题，因此命题p 是假命题．4．(2018·豫西五校联考)假设概念域为R 的函数f (x )不是偶函数，那么以下命题中必然为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)答案 C解析由已知得∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，因此其否定“∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)”是真命题．5．已知命题p：“∃x0∈R，1x0－1<0”的否定是“∀x∈R，1x－1≥0”；命题q：“x>2019”的一个必要不充分条件是“x>2018”，那么以下命题为真命题的是() A．綈q B．p∧qC．(綈p)∧q D．p∨(綈q)答案 C解析命题p：“∃x0∈R，1x0－1<0”的否定是“∀x∈R，1x－1≥0或x＝1”，故命题p为假命题；因为“x>2019”⇒“x>2018”且“x>2018 ⇒/x>2019”，因此命题q是真命题，因此四个选项中只有(綈p)∧q是真命题．6．假设命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－1x的单调递增区间是[1，＋∞)，那么()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题答案 D解析函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，此函数的单调递增区间是[1，＋∞)，因此命题p为真命题；函数y＝x－1x的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，因此命题q为假命题，因此p∧q，綈p是假命题，p∨q，綈q是真命题，故只有D正确．7．假设命题“∀x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命题，那么实数a的取值范围是() A．(－1,3) B．[－1,3]C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)答案 C解析由题意得，原命题的否定“∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，因此Δ＝(a －1)2－4>0.因此a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.8．命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，那么命题p可写为_______．答案存在正数x0，x0≤x0＋1解析 命题p 可写为“存在正数x 0，x 0≤x 0＋1”．9．假设∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，那么实数m 的最小值为________． 答案 1解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，tan x ∈[0,1]，假设“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，那么只需m 不小于tan x 的最大值，即m ≥1，因此m 的最小值为1.10．已知命题p ：∃x 0∈Q ，x 20＝2，命题q ：函数y ＝2cos x 是偶函数，那么以下命题： ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )．其中为假命题的序号为________．答案 ②③④解析 因为p 是假命题，q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，p ∧q ，(綈p )∧(綈q )，p ∨(綈q )都是假命题，即②③④为假命题．B 组 能力关1．(2019·九江调研)以下命题中，真命题是( )A ．存在x 0∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1答案 C解析 因为∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，因此A 是假命题；当x ＝π6时，sin x <cos x ，因此B 是假命题；任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，因此x 2＋1>x ，C 是真命题； x 2＋x ＝－1可化为x 2＋x ＋1＝0，Δ＝12－4×1×1<0，无实根，因此不存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1，D 是假命题．2．以下结论中，正确的选项是( )①“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分没必要要条件；②“p ∧q 为假命题”是“p ∨q 为真命题”的充分没必要要条件；③“p ∨q 为真命题”是“綈p 为假命题”的必要不充分条件；④“綈p 为真命题”是“p ∧q 为假命题”的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④答案 B解析 ①中，“p ∧q 为真命题”表示p ，q 都为真命题，可得“p ∨q 为真命题”，反之不成立，因此①正确；②中，“p ∧q 为假命题”表示p ，q 中至少有一个为假命题，也可能两个都是假命题，现在“p ∨q 为假命题”，因此②不正确；③中，“綈p 为假命题”表示p 为真命题，可得“p ∨q 为真命题”；反之，“p ∨q 为真命题”表示p ，q 中至少有一个为真命题，即p 可能为假命题，因此得不出“綈p 为假命题”，因此③正确；④中，“p ∧q 为假命题”表示p ，q 中至少有一个为假命题，如q 假p 真，现在“綈p ”为假命题，因此④不正确．3．(2018·和平区模拟)已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，命题p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，那么在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4答案 C解析 p 1是真命题，p 2是假命题，∴q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题．4．给定以下命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分没必要要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )．那么以下命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3答案 D解析 p 1：当a ＝12时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋x 在R 上不是增函数，因此p 1是假命题； p 2：∀a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32b 2≥0，因此p 2是假命题； p 3：cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，因此α＝2k π＋β(k ∈Z )是cos α＝cos β成立的充分没必要要条件，因此p3是真命题．因此p 1∨p 2，p 2∧p 3，p 1∨(綈p 3)是假命题，(綈p 2)∧p 3是真命题．5．给出以下四个命题：①∃x 0<0，e －x 0<1；②∀x >2，x 2>2x ；③∀α，β∈R ，sin(α－β)＝sin α－sin β；④若q 是綈p 成立的必要不充分条件，那么綈q 是p 成立的充分没必要要条件． 其中真命题的序号是________．答案 ④解析 当x <0时，－x >0，e －x >1，因此①是假命题；当x ＝5时，52<25，因此②是假命题；当α＝π，β＝π3时，sin(α－β)＝sin 2π3＝32，sin α－sin β＝sinπ－sin π3＝－32，sin(α－β)≠sin α－sin β，因此③是假命题，④是真命题．6．(2019·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，假设“p 且q ”为真命题，那么实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1 解析 由2x <m (x 2＋1)，可得m >2x x 2＋1＝2x ＋1x ， y ＝x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12上为减函数． ∴当x ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1max ＝45， 故当p 为真时，m >45，函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点，那么2－m －1>0，解得m <1. 故当q 为真时，m <1，若“p 且q ”为真命题，那么实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1.。
2020届高考理科数学一轮复习讲义：第一章§1.2 常用逻辑用语_PDF压缩
ｐ 是 ｑ 的充分条件
ｐ⇒ｑ
Ａ⊆Ｂ
ｐ 是 ｑ 的必要条件
ｑ⇒ｐ
Ａ⊇Ｂ
ｐ 是 ｑ 的充要条件
ｐ⇒ｑ 且 ｑ⇒ｐ
Ａ＝Ｂ
ｐ 是 ｑ 的充分不必要条件 ｐ⇒ｑ 且 ｑ⇒／ ｐ
Ａ⫋Ｂ
ｐ 是 ｑ 的必要不充分条件 ｐ⇒／ ｑ 且 ｑ⇒ｐ
Ａ⫌Ｂ
ｐ 是 ｑ 的既不充分 也不必要条件
ｐ⇒／ ｑ 且 ｑ⇒／ ｐ
Ａ⊈Ｂ 且 Ａ⊉Ｂ
ｓｉｎ
ｘ ＝ １，即
ｘ＝
π ２
时，取等号，所以
命题 ｑ 为假命题．
因此 ｐ∨ｑ 为真命题，ｐ∧ｑ 为假命题，ｐ∨（ ������ ｑ） 为真命题，ｐ
∧（ ������ ｑ） 为真命题，所以选 Ｄ．
２－２ 下列 ４ 个命题：
( ) ( ) １ ｘ０
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
答案 Ｂ
解析 “ 若 ｘ≠１ 或 ｙ≠２，则 ｘｙ≠２” 的逆否命题为“ 若 ｘｙ ＝
２，则 ｘ ＝ １ 且 ｙ ＝ ２”．
由
ｘ＝１
且 ｙ＝２
可以得出
ｘｙ ＝ ２，反之不成立，例如取
ｘ＝
１ ２
，
ｙ ＝ ４．
∴ “ ｘｙ ＝ ２” 是“ ｘ ＝ １ 且 ｙ ＝ ２” 的必要不充分条件．
３．全（ 特） 称命题真假的判断方法
全称命题
特称命题
真假
真
假
真
假
法一
证明所有 对象使命 题为真
存在一个 对象使命 题为假
存在一个 对象使命 题为真
证明所有 对象使命 题为假
法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真
Hale Waihona Puke （ ２０１８ 河 北 衡 水 中 学 联 考， １０ ） 已 知 函 数 ｆ （ ｘ ） ＝
2020版微点教程高三数学(人教版理)一轮复习点对点 第一章 集合与常用逻辑用语 (5)
课时作业(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件基础过关组一、选择题1．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析 选项A ，由1x ＝1y 得x －y xy ＝0，则x ＝y ，为真命题；选项B ，由x 2＝1得x ＝±1，x 不一定为1，为假命题；选项C ，若x ＝y ，x ，y 不一定有意义，为假命题；选项D ，若x <y <0，则x 2>y 2，为假命题。
故选A 。
答案 A2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b解析 将原命题的条件和结论调换位置可知D 项正确。
故选D 。
答案 D3．(2019·江西九江月考)原命题“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0B．1 C．2D．4解析当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题。
综上所述，真命题有2个。
故选C。
答案 C4．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由A∩B＝A可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A。
所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件。
故选C。
答案 C5．“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析因为cos2α＝cos2α－sin2α＝0，所以sinα＝±cosα，所以“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件。
2020届高考理科数学一轮复习讲义：第一章§1.1 集合的概念及运算_PDF压缩
合 Ｂ． 解析 （１） 解法一：由题意知，２∈Ｕ，２∉Ｎ，２∉Ｍ，
所以 ２∈∁Ｕ Ｍ，２∈∁Ｕ Ｎ，所以 ２∈（ ∁Ｕ Ｍ） ∩（ ∁Ｕ Ｎ） ． 而 ７∈Ｕ，７∉Ｍ，７∉Ｎ， 所以 ７∈∁Ｕ Ｍ，７∈∁Ｕ Ｎ，所以 ７∈（ ∁Ｕ Ｍ） ∩（ ∁Ｕ Ｎ） ． 综上，易知｛２，７｝ ＝ （ ∁Ｕ Ｍ） ∩（ ∁Ｕ Ｎ） ．故选 Ｂ． 解法二：根据集合 Ｕ，Ｍ，Ｎ 的关系画出 Ｖｅｎｎ 图，如图所示， 所以｛２，７｝ ＝ （ ∁Ｕ Ｍ） ∩（ ∁Ｕ Ｎ） ．故选 Ｂ．
值范围为 ．
答案 （ －∞ ，９］
解析 由 Ａ⊆（ Ａ∩Ｂ） ，得 Ａ⊆Ｂ，则
（１） 当 Ａ ＝ ⌀时，２ａ＋１＞３ａ－５，解得 ａ＜６；
{２ａ＋１≤３ａ－５，
（２） 当 Ａ≠⌀时， ２ａ＋１≥３， 解得 ６≤ａ≤９． ３ａ － ５≤２２，
综上可知，使 Ａ⊆（Ａ∩Ｂ）成立的实数 ａ 的取值范围为（－∞ ，９］．
４ｘ＋ｍ ＝ ０｝ ．若 Ａ∩Ｂ ＝ ｛１｝ ，则 Ｂ ＝
（ ）
Ａ．｛１，－３｝ Ｂ．｛１，０｝
Ｃ． ｛ １，３｝
Ｄ． ｛ １，５｝
解题导引
（１）思路一： 对集合 ｛ ２，７｝ 中 的 元 素 逐 一 分 析， 从 而 确 定
结论． 思路二：根据集合 Ｕ，Ｍ，Ｎ 的关系画出 Ｖｅｎｎ 图，从而确定
｛ ｘ ｜ ０＜ｘ＜１｝ ，Ｂ ＝ ｛ ｘ ｜ ｘ２ －ｃｘ＜０，ｃ＞０｝ ＝ ｛ ｘ ｜ ０＜ｘ＜ｃ｝ ．由 Ａ⊆Ｂ，画出数
轴，如图所示，得 ｃ≥１，故选 Ｂ．
解法二：Ａ ＝ ｛ ｘ ｜ ｙ ＝ ｌｇ（ ｘ－ｘ２ ） ｝ ＝ ｛ ｘ ｜ ｘ－ｘ２ ＞０｝ ＝ ｛ ｘ ｜ ０＜ｘ＜１｝ ，取
2020年高考数学一轮复习(新课改)集合
第一章集合与常用逻辑用语、不等式第一节集合突破点一集合的概念与集合间的基本关系抓牢双基•自学回扣［基本知识］1. 集合的有关概念(1) 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.(2) 集合与元素的关系：若a属于集合A,记作a C A ;若b不属于集合A，记作b?A.(3) 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.2. 集合间的基本关系一、判断题(对的打，错的打“X” )⑴{x|y= X2+ 1} ={y|y= X2+ 1} = {(x, y)|y= x2+ 1}.( )2(2) 若{xT}= {0,1}，贝U x= 0,1.( )⑶？€ {0}.( )答案：(1)x (2)X (3) X二、填空题1•已知集合P = { —2,—1,0,1}，集合Q = {y|y= |x|, x C P}，贝U Q= _______ .解析：将x=—2, —1,0,1 分别代入y=|x| 中，得到y= 2,1,0,故Q= {2,1,0}.答案：{2,1,0}2.已知非空集合A满足：①A? {1,2,3,4};②若x€ A,贝U 5—x€ A.则满足上述要求的集合A的个数为______________ .解析：由题意，知满足题中要求的集合 A 可以是{1,4}, {2,3} , {1,2,3,4}，共3 个.答案：33.设集合 M = {1, x , y}, N = {x , x 2, xy},且 M = N ，则 x 2 019 + y 2 020解析：因为M = N ，所以 f 2 dx = 1, xy = y或厂2 x = y ,由集合中元素的互异性，可知 X M 1 , xy = 1,解得r =—1, y = 0.所以 x 2 019+ y 2 020 =— 1.答案：—14•已知集合 A = {x|ax 2+ 2x + a = 0, a € R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的值是解析：因为集合A 有且只有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程 ax 2+ 2x + a = 0（a€ R ）仅有一个根•①当 a = 0时, 4—4a 2 = 0,即a = ±.综上所述，A = {0}符合题意；②当 a ^ 0时，要满足题意，需有 △=a = 0或 a = ±.答案：0或±1研透高考•深化提能［典例感悟］1.x o € M ,（20佃 厦门一中模拟）设集合 M = {x|x = 2m + 1, m € Z} , P = {y|y = 2m , m € Z}，若y °€ P , a = x °+ y °, b = x °y 0,则（ ）a € M ,b € P B . a € P , b € M a € M , b € M D . a € P , b € P解析：选 A 设 x 0= 2n + 1, y 0= 2k , n , k € Z ,贝U x 0+ y 0= 2n + 1 + 2k = 2（n + k ） + 1 € M , x 0y 0= 2k （2n + 1） = 2（2nk + k ）€ P ，即 a € M , b € P ,故选 A.2. （2019广州模拟）已知集合{x|x 2+ ax = 0} = {0,1}，则实数a 的值为（B . 0解析：选A 依题意知a 丰0,则{0, — a}= {0,1}，所以a =— 1.故选A. 3. （2019湖南长郡中学选拔考试 ）已知集合 A = {0} , B = {— 1,0,1}，若A ? C ? B ,则符合条件的集合 C 的个数为（）A . 1B . 2C . 4D . 8解析：选C 由题意得，含有元素0且是集合B 的子集的集合有{0}, {0, — 1}, {0,1},{0, — 1,1}，即符合条件的集合 C 共有4个.［方法技巧］1. 与集合概念有关问题的求解策略(1)确定构成集合的元素是什么，即确定性.⑵看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质.(3) 根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2. 判断集合间关系的常用方法3.含有n(n€ N*)个元素的集合有2°个子集，有2n- 1个非空子集，有2n- 1个真子集,有2—2个非空真子集.［针对训练］1. 设集合A = {0,1,2,3} , B = {x—x€ A,1 —x?A},则集合B中元素的个数为（）A. 1B. 2C . 3D . 4解析：选A 若x€ B，则一x € A,故x只可能是0，—1,—2,—3,当0 € B时，1 —0= 1 € A;当一1€ B 时，1—（—1）= 2 € A;当一2€ B 时，1 —（—2）= 3 € A;当一3€ B 时, 1 —（—3）= 4?A，所以B = { —3},故集合B中元素的个数为1.22. （2019贵阳高三检测）设集合P= {x|x<1} , Q = {x|x <1}，则（）A. P? QB. Q? PC. P? ?R QD. Q? ?R P解析：选B 依题意得Q= {x| —1<x<1}，因此Q? P.3. _________ 已知集合A = {x| —2< x w 5}, B= {x|m+ 1< x< 2m—1}，若B? A,则实数m 的取值范围为____ .解析：•/ B? A,「.①若 B = ?，贝U 2m—1vm+ 1,此时m<2.2m—1 > m+ 1,②若B M ?，贝U im+ 1> —2,2m—1 w 5.解得2 w m w 3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（一a, 3］.答案：（—a, 3］突破点二集合的基本运算抓牢双基咱学回扣［基本知识］2.集合基本运算的常见性质⑴A Q A= A, A A ?= ?.(2) A U A= A, A U ?= A.(3) A A ?u A= ?, A U ?u A= U, ?U(?u A)= A.(4) A? B? A A B= A? A U B = B? ? u A ? ? u B? A A (? u B) = ?.［基本能力］一、判断题(对的打，错的打“X” )(1) 对于任意两个集合A, B，关系(A A B)? (A U B)恒成立.()(2) 若集合A= ix| X>0，，则? R A=£| g w 0：()(3) 设集合u= {x|—3<x<3 ,x€ Z} ,A = {1,2} ,B = { —2, —1,2}，则A A (?u B)= {1}.( )答案：(1)2 (2)X (3) V二、填空题1. ________________________________________________________________________(2018 江苏高考)已知集合A= {0,1,2,8} , B = {—1,1,6,8},那么A A B= _______________ .答案：{1,8}2. _______________________________________________________________ 已知集合A = {x|—2< x<3} , B= {x|x< —1}，贝U A A (?R B)= __________________________ .解析：因为B= {x|x<—1}，则?R B= {x|x>—1}，所以A A (?R B)= {x|—2< x<3} A {x|x> —1}= {x|—1 w x<3}.答案：{x|—1 w x<3}3. _____________________ (2019合肥模拟)已知集合A, B均为全集u = {1,2,3,4}的子集，且？u(A U B)= {4} , B ={1,2}，则A A (?u B)= .解析：由题意，知A U B = {1,2,3}.又B= {1,2} ,••• ?u B = {3,4},二A A (?u B) = {3}.答案：{3}4. （2019淮南二中调研）已知全集 U = R ，集合 A = {x|x<3或x > 7}, B = {x|x<a}.若 （?u A ）n B M ?，则实数a 的取值范围为 _______ .解析：因为 A = {x|x<3 或 x > 7},所以？u A = {x|3< x<7}，又（？u A ） n B M ?，贝a>3. 答案：（3，+R ）研透高考•深化提能［典例感悟］21 x1. (2019 衡水模拟)已知集合 A = {x|— x + 4x >0}，B = x 亦<3 <27 f ，C = {x|x = 2n ，n € N}，则(A U B )n C =()A . {2,4} C . {0,2,4}D . {0,4}解析：选 C 集合 A = {x|0W x < 4}，B = {x| — 4<x<3}，故 A U B = {x| — 4<x < 4}，集合 C表示非负偶数，故（A U B ）n C = {0,2,4}，故选C.A = { — 1,0,1,2}，B = {x|y = x 2— 1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A . {1} C . {— 1,0}D . {— 1,0,1}解析：选B 由题意得图中阴影部分表示的集合为A n (?R B).VB = {x|y = x 2— 1}={x|x 2— 1> 0} = {x|x > 1 或 x < — 1}，••• ?R B = {x|— 1VXV1}，••• A n (?R B)= {0}，故选 B.3.设P ，Q 为两个非空实数集合， 定义集合P*Q = {z|z = a b ，a € P, b € Q}，若P = {1,2}， Q = { — 1,0,1}，则集合P*Q 中元素的个数是（）B . 3解析：选B 因为a € P ，b € Q ，所以a 的取值只能为1,2; b 的取值只能为一1,0,1.z = a b 的不同运算结果如下表所示：—10 1 1111B . {0,2}2.（2019太原阶段性测评）设集合1 I由上表可知P*Q = 1, 2 2，，显然该集合中共有 3个不同的元素.［方法技巧］1.2.耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、 新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决 这类问题的突破口.［针对训练］1. (2018 全国卷川)已知集合 A = {x|x — 1 > 0}, B = {0,1,2}，贝U A A B =( )A . {0}B . {1}C . {1,2}D . {0,1,2}解析：选 C •/ A = {x|x — 1> 0} = {x|x > 1}, B = {0,1,2} ,••• A A B = {1,2}. 2.(2018 全国卷 I )已知集合 A = {x|x 2— x — 2>0}，则?R A =()A . {x|— 1<x<2}B . {x| — 1 < x < 2}C . {x|x< — 1} U {x|x>2}D . {x|x <— 1} U {x|x > 2}解析：选 B T x 2— x — 2>0,「. (x — 2)(x + 1)>0 ,• x>2 或 x<— 1，即 A = {x|x>2 或 x< —1}.则?R A = {x|— 1 w x w 2}.故选 B.B = {x|y = ln(x — 2)}，贝V AA (?R B)=()3.已知集合2A = {x|x — 3x —A . (2,5)B . [2,5)C . (— 2,2]D . (— 2,2)解析：选C解一兀二次不等式 X 2- —3x — 10<0,得一2<x<5, • A = {x|— 2<x<5}.由 y=ln(x — 2)可知 x — 2>0 ,即 x>2，二 B = {x|x>2}，因此?R B = {x|x < 2}，则 A A (?R B)= (— 2,2].故 选C.4.已知集合A = {x € N|x 2— 2x — 3W 0}, B = {1,3},定义集合 A , B 之间的运算“* ” A* B ={x|x = X 1+ X 2 , X 1 € A , x 2 € B},贝y A* B 中的所有元素之和为()A . 15B . 16C . 20D . 21解析：选 D 由x2—2x —3< 0 ,得(x + 1)(x —3) w 0 ,又x € N ,故集合A = {0,1,2,3} .•/ A*B= {x|x= X1+ X2, x1 € A, x? €B}, •A* B 中的元素有0 + 1= 1,0 +3=3,1 + 1 = 2,1 + 3 = 4,2 + 1 =3(舍去)，2 + 3 = 5,3 +1 = 4(舍去)，3 + 3 = 6 , •A* B ={1,2,3,4,5,6}，A*B 中的所有元素之和为21.。
2020版高考数学微一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1节集合练习理
第1节集合基础对点练(时间：30分钟)1．(2015·高考陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N等于( ) A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析：由已知得M＝{0,1}，N＝{x|0＜x≤1}，则M∪N＝[0,1]．故选A.答案：A2．下列集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}解析：选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合，故选B.答案：B3．(2016·高考全国卷Ⅲ)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝( )A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)解析：先化简集合S，再利用交集的定义求解．由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0＜x≤2或x≥3}．故选D.答案：D4．(2018·郑州第一次质量预测)已知集合M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]解析：由M ⊆N ，结合数轴可得a ≥2，故选B. 答案：B5．(2018·河北沧州质检)已知集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |x ≥14}，则A ∩B 等于( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 解析：易知A ＝{x |0＜x ≤1}， 又已知B ＝{x |x ≥14}，所以A ∩B ＝{x |14≤x ≤1}，故选A.答案：A6．(2018·安徽皖南八校联考)已知集合A ＝{y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈R}，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－2，－1}解析：因为A ＝(0，＋∞)，所以A ∩B ＝{1,2}，(∁R A )∪B ＝{y |y ≤0或y ＝1,2}，A ∪B ＝{y |y ＞0或y ＝－1，－2}，(∁R A )∩B ＝{－1，－2}． 所以D 项正确． 答案：D7．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个D ．8个解析：因为M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}， 所以M ∩N ＝{1,3}．所以M ∩N 的子集共有22＝4(个)．故选B. 答案：B8．(2015·高考江苏卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________．解析：由已知得，A ∪B ＝{1,2,3,4,5}， 故集合A ∪B 中元素的个数为5.答案：59．集合A ＝{x ||x －2|＜4}中的最小整数为________． 解析：A ＝{x ||x －2|＜4}＝{x |－2＜x ＜6}， 则最小整数为－1. 答案：－110．(2018·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R.集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是________．解析：由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x<1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁R B )∩A .因为∁R B ＝{x |x ≥0}，所以(∁R B )∩A ＝{x |0≤x <6}．答案：{x |0≤x <6}能力提升练 (时间：15分钟)11．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32C ．(－∞，－1]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，＋∞解析：因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A . 当B ＝∅时，满足B ⊆A ， 此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；当B ≠∅时，要使B ⊆A ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.综上可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．故选C. 答案：C12．设全集U ，已知非空集合M 和N ，规定M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，那么M －(M －N )等于( )A．M∪N B．M∩NC．M D．N解析：设集合M＝{1,2,3,4,5}，N＝{4,5,6,7}，根据定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，则M－N＝{1,2,3}，因此M－(M－N)＝{x|x∈M且x∉M－N}＝{4,5}＝M∩N，故选B.答案：B13．已知R是实数集，集合P＝{x|y＝ln(x2＋2 017x－2 018)}，Q＝{y|y＝－x2＋2x＋3}，则(∁R P)∪Q＝________.解析：集合P表示函数y＝ln(x2＋2 017x＋2 018)的定义域，由x2＋2 017x＋2 018＞0，即(x－1)(x＋2 018)＞0，解得x＜－2 018或x＞1.故P＝(－∞，－2 018)∪(1，＋∞)，∁R P＝[－2 018,1]．集合Q表示函数y＝－x2＋2x＋3的值域，所以y∈[0,2]，即Q＝[0,2]．所以(∁R P)∪Q＝[－2 018,2]．答案：[－2 018,2]14．已知集合{a，b，c}＝{－1,0,1}，且下列三个关系：①a≠1；②b＝1；③a≠－1有且只有一个正确，则10a×5b＋2c等于________．解析：依题意可分下列三种情况：(1)若只有①正确，则a≠1，b≠1，c＝－1，此时a ＝b＝0，与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝1，a＝1，c＝－1，此时a＝b＝1，与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠－1，a＝1，b≠1，此时b＝－1，c＝0，所以10a×5b＋2c＝101×5－1＋20＝3.答案：315．某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程，他们在A，B，C三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：则三个模块都选择的学生人数是________．解析：设三个模块都选择的学生人数为x，则各部分人数如图所示，则有(1＋x)＋(5＋x)＋(2＋x)＋(12－x)＋(13－x)＋(11－x)＋x＝50，解得x＝6.答案：6。
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (3)
若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
解析 依题意知 p，q 均为假命题，当 p 是假命题时，mx2＋1>0 恒成 立，则有 m≥0；当 q 是真命题时，则有 Δ＝m2－4<0，－2<m<2。因此由 p，
A．p∧q
B．p∧(綈 q)
C．(綈 p)∧q
D．(綈 p)∧(綈 q)
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解析 因为 x>0，所以 x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以对于∀x>0，ln(x＋1)>0， 故 p 为真命题。由 1>－2,12<(－2)2 可知 q 是假命题，所以綈 q 为真命题。
(2)已知函数 f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝21x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]， 使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 m 的取值范围是________。
根据复合命题真值表可知 p∧(綈 q)为真命题。故选 B。 答案 B
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4．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式 是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2
答案 (－∞，－2]
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