2014考研数学：考研教材及练习题推荐
2014年考研数学(一)真题与解析(完整版)
1
1
应该选（D）
４． 若函数
( x a1 cos x b1 sin x ) 2 dx min ( x a cos x b sin x ) 2 dx ，则 a1 cos x b1 sin x
a ,bR
（Ａ） 2 sin x 【详解】注意
1 y 1 ，可知 lim 1 且 lim ( y x ) lim sin 0 ，所以有斜渐近线 y x x x x x x x
（B）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) （D）当 f ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x )
（Ｂ） 2 cos x
（Ｃ） 2 sin x
（Ｄ） 2 cos x
x
2
2 dx 3 ， cos 2 xdx sin 2 xdx ， x cos xdx cos x sin xdx 0 ， 3 2
x sin xdx 2 ，
如果换成直角坐标则应该是
0
1
dx
1 x 2
0
f ( x , y )dy dx
0
1
1 x
0
（ A） ， （B） f ( x , y )dy ，
两个选择项都不正确；
如果换成极坐标则为
2 0
d cos sin f ( r cos , r sin )rdr d cos sin f ( r cos , r sin )rdr ．
2 2
其中 :
2014考研数一真题答案及详细解析
令y'=O,得y = -2x,或y =O (不适合方程 ， 舍去）．
将y =-2x代入方程得-6 x 3 +6 =0,解得x=l,J(l) =-2.
在3y
2
I
y
+y
2
I
+ 2x y y
+2xy +X
2
I
y
=0两端关于x求导
，得
(3y 2 +2xy +x 勹 y"+2(3y +x) (y') 2 +4(y+x)y'+2y =0.
l
cosb
b
2
n
an
•
l -cosb n
= — 2l nl-im00
1
an -cosb n
1 2
ln-im00
a
n
an +l -cosa
n
2，
00
00
2 且级数 n = l 从收敛，所以: n = l 生 bn 收敛．
(2 0)解 C I)对矩阵A施以初等行变换
。 。01 0
A�(�-; -0� �n-(� 1
(8) D
解
厂 [f EY 1 = _00Yfy1(y)dy = 了
+■a
_00Yf1(y)dy+f_=yj、z(y)dy]
=
(EX
了
1
+EX2
),
EY2=— 2 ECX1 +Xz)
=
—(EX
2
1
+EX2
),
故EY1 =EY2 , 又因为
DY 1 =E(Y�)-(EY 1 凡DY2 = ECY!) -(EY2 凡
考研数学练习册推荐
考研数学练习册推荐考研数学，是很多学子心中的一道高难关。
而解决这道关卡当然少不了大量的练习。
在众多的数学练习册中，有一些是备考考研的必备教材，今天我将为大家推荐一些不可错过的数学练习册。
首先，令人难以忽视的是《高等数学考研精讲精练》系列。
这套教材以全面系统的方式，对高等数学中的各种知识点进行了详尽讲解，并配以大量的实例和习题。
这套教材的特点是实用性强，对于复习数学基础知识起到了很好的辅助作用。
尤其是其中的习题部分，难度适中，覆盖了考研中常出现的题型，非常贴合考试要求。
通过反复练习这些习题，可以帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
其次，推荐《线性代数考研精讲精练》。
在考研数学中，线性代数是一个重点、难点，也是考察的频率最高的一个知识点。
这本教材对线性代数的各个章节进行了详尽的讲解，通过简明扼要的方式，将复杂的概念和定理解释得非常清晰。
同时，每章都配有大量的习题，这些习题不仅覆盖了各种题型，而且在难度上也相对均衡。
通过大量的练习，可以帮助考生理解线性代数的基本概念和方法，并培养解题能力。
另外，还推荐一本名为《概率论与数理统计考研精讲精练》的教材。
概率论与数理统计是考研数学中难度较高的一个知识点，但在考试中的分值却相对较高，因此备考过程中需要下大功夫。
这本教材以详细和系统的方式解释了概率论与数理统计的基本概念和方法，同时又配有丰富的习题，供考生练习。
这些习题不仅考察了基本的运算技巧，还引导考生运用概率论与数理统计的方法解决实际问题。
通过反复习题的练习，可以帮助考生掌握该知识点的核心内容，并提高解题的能力。
最后，我想推荐《高等数学分析教程》系列。
这套教材是一个不可多得的高层次数学教材，既适合考研备考，又可以作为进一步深入学习数学的基础。
该教材以严谨的数学推理和详细的数学定义和定理为特点，从数学分析的基本概念入手，逐步引入极限、导数、微分、积分等高级概念和方法。
此外，每章都有大量的例题和习题，习题包含了不同难度层次，从基础题到扩展题都有，使得学生可以从浅到深地掌握数学分析的思想和方法。
2014考研数学一真题及答案
（23） 【答案】 （1） EX
ˆ （2）
（3）存在
1 n X i2 n i 1
6( y )2 y 3 y 2 y 2 yy 2 yy x 2( y )2 x 2 yy 2 y 2 xy 2 xy x 2 y 0 12 y( 1 ) 4 y( 1 ) 4 y( 1 ) 0 9 y( 1 ) 4 y( 1 ) 9 0 4
y 2x 1 x
（12） （13）[-2,2] （14）
2 5n
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、 ．．． 证明过程或演算步骤. （15） 【答案】
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
x
lim
x
1
[ t ( e 1 ) t ] dt x 2 ln( 1
2E 2E f ( e x cos y )e 2 x ( 4 E e x cos y )e 2 x x 2 y 2 f ( e x cos y ) 4 f ( e x cos y ) e x cos y
令 e x cos y u ， 则 f ( u ) 4 f ( u ) u ， 故 f ( u ) C1e 2 u C 2 e 2u 由 f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 0 , 得
（21） 【答案】利用相似对角化的充要条件证明。
0, y 0, 3 y, 0 y 1, 4 （22） 【答案】 （1） FY y 1 1 1 y ,1 y 2, 2 2 1, y 2.
（2）
3 4 1 , EX 2 2
1 x x
2014年考研数学试题详解及评分参考
有
ò ò ò EY1 =
+¥ -¥
y
×
1 2
[
f1( y) +
f2 ( y)]dy
=
1 2
+¥ -¥
y
×
f1( y)dy
+
1 2
+¥ -¥
y
×
f2 ( y)dy
=
1 2
(m1
+
m2 ),
EY2
=
1 2
(EX1
+
EX 2
)
=
1 2
(m1
+
m2
)
，可见
EY1
=
EY2
；
ò ò ò 又 E(Y12 ) =
+¥ -¥
x + sin x
1 x
= 1，且 lim[(x+ sin x®=
0
，故
y
=
x
是其斜渐近线.
综上所述，应选 (C) .
(2) 设函数 f (x) 具有 2 阶导数， g(x) = f (0)(1- x) + f (1)x ，则在区间[0,1] 上
(A) 当 f ¢(x) ³ 0 时， f (x) ³ g(x)
y2
×
1 2
[
f1( y) +
f2 ( y)]dy=
1 2
+¥ -¥
y2
f1 (
y)dy
+
1 2
+¥ -¥
y2
f2
(
y)dy
=
1 2
(s12
+
m12 )
+
2014考研数学三真题及答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ）（A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式00000000a b abc d c d= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
2014考研数学(一)真题
2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题一、选择题（1—8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．下列曲线有渐近线的是（ ）。
（A）（B）sin y x x =+2sin y x x =+ （C）1siny x x =+（D）21siny x x =+2．设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0上（ ）。
,1]（A）当时，()0f x '≥()()f x g x ≥ （B）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C）当时，()0f x ''≥()()f x g x ≥（D）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤3．设是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰（ ）。
（A）110010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰（B）11001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰⎰（C）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθdrθ（D）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθrdrθ4．若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）。
（A）2sin x（B）2cos x（C）2sin x π（D）2cos x π5．行列式0000000aba bc d c d =（ ）。
（A）（B）（C）（D）2(ad bc -))2(ad bc --2222a dbc -2222b c a d -6．设123,,ααα均为三维向量，则对任意常数，向量组l k ,132,k 3l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）。
2014考研数学(一、三)真题
2
P n a 0 ? lim n
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2014 考研数学真题
（23）【数三】设随机变量 X、Y 的概率分布相同， X 的概率分布为 PX 0
2z 2z 4( z e x cos y )e 2 x 。若 f (0) 0 ， f (0) 0 。求 f (u ) 的表达式。 x 2 y 2
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2014 考研数学真题
（18）【 数 一 】 设 Σ 为 曲 面 z x y ( z 1) 的 上 侧 ， 计 算 曲 线 积 分
x 1
dx
0
0
f ( x, y )dy dx
1
1 x 2
（C）
x 2 0
d
1 cos sin 0
f (r cos , r sin )dr x d f (r cos , r sin )dr
2 0 x 1
（D）
x 2 0
d cos sin f (r cos , r sin )rdr x d f (r cos , r sin )rdr
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2014 考研数学真题
（3）【数一】设 f ( x) 是连续函数，则 （A） （B）
dy
0
1
1 y
1 y 2
f ( x, y )dx
（ ）
1
0 1
dx
x 1
0 1 x
2014年数学一真题与答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列曲线有渐近线的是 ( )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1sin y x x =+ (D)21sin y x x=+ 【答案】(C)【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=，又 11lim[sin ]lim sin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选(C).(2) 设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 ( )(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】(D)【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选(D).2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一(3) 设()f x 是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰( )(A) 1100010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰ (B)1101(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰(C)112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ(D)112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ【答案】(D) 【解析】1101101(,)(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy ---=+⎰⎰⎰⎰⎰112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr +=+⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθθ.故选(D). (4) 若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=32260y xy x y +++= ( )(A) 2sin x (B) 2cos x (C) 2sin x π (D) 2cos x π 【答案】(A) 【解析】2222(cos sin )(sin )2cos (sin )cos x a x b x dx x b x a x x b x a x x dx --⎡⎤--=---+⎣⎦⎰⎰ππππ22222(2sin sin cos )x bx x b x a x dx -=-++⎰ππ2222202(sin cos 2sin )x dx b x a x bx x dx -=++-⎰⎰πππ223124()422223a b b =+⋅-⋅+πππ 2232(4)3a b b =+-+ππ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2232(2)43a b ⎡⎤=+--+⎣⎦ππ当0,2a b ==时，积分最小. 故选(A).(5) 行列式0000000a b abc d c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a dbc - (D)2222b c a d - 【答案】(B)【解析】由行列式的展开定理展开第一列0000000000000000a b a b a b a ba c d cbcd d c d c d=-- ()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.故选(B).(6) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组()123=B ααα线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】(A) 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，A . 若123,,ααα线性无关，则2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一()()()2r A r BC r C ===，故()0.3P A B -=线性无关.()P B A -= 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数402Q p =-，向量p 线性无关是向量D 线性无关的必要非充分条件. 故选(A).(7) 设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5P B =，()0.3P A B -=，则()P B A -= ( ) (A)0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】(B)【解析】 已知a =，A 与()2123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++独立，a ，()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=-()0.5()0.5()0.3P A P A P A =-==，则 ()0.6P A =，则()()()()()()0.50.50.60.50.30.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=-=.故选(B).(8) 设连续性随机变量1X 与2X 相互独立，且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度为1121()[()()]2Y f y f y f y =+，随机变量2121()2Y X X =+，则( )(A) 12EY EY >，12DY DY > (B) 12EY EY =，12DY DY =(C) 12EY EY =，12DY DY < (D) 12EY EY =，12DY DY > 【答案】(D)【解析】 用特殊值法. 不妨设12,(0,1)X X N ，相互独立. 22212221())2y y y Y f y ---==，1(0,1)Y N .2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一2121()2Y X X =+，212212111()(()())0,()(()())242E Y E X E X D Y D X D X =+==+=. 12121()()0,()1()2E Y E Y D Y D Y ===>=.故选(D).二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 曲面22(1sin )(1sin )z x y y x =-+-在点(1,0,1)处的切平面方程为__________. 【答案】21x y z --=【解析】由于22(1sin )(1sin )z x y y x =-+-，所以22(1sin )cos x z x y x y '=--⋅，(1,0)2x z '=；2cos 2(1sin )yz x y y x '=-+-，(1,0)1y z '=-. 所以，曲面在点(1,0,1)处的法向量为{2,1,1}n =--. 故切平面方程为2(1)(1)(0)(1)0x y z -+----=，即21x y z --=.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.【答案】1【解析】由于()f x '2(1)x =-，[0,2]x ∈，所以2()(1)f x x C =-+，[0,2]x ∈.又()f x 为奇函数，(0)0f =，代入表达式得1C =-，故2()(1)1f x x =--，[0,2]x ∈.()f x 是以4为周期的奇函数，故2(7)(18)(1)(1)[(11)1]1f f f f =-+=-=-=---=.(11) 微分方程(ln ln )0xy y x y '+-=满足条件3(1)y e =的解为y =__________.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一【答案】21(0)x y xe x +=>【解析】(ln ln )0xy y x y '+-=ln()y y y x x'⇒=. 令yu x=，则y x u =⋅，y xu u ''=+，代入原方程得 ln xu u u u '+=(ln 1)u u u x-'⇒=分离变量得，(ln 1)du dxu u x=-，两边积分可得 ln |ln 1|ln u x C -=+，即ln 1u Cx -=.故ln1y Cx x -=. 代入初值条件3(1)y e =，可得2C =，即ln 21yx x=+. 由上，方程的解为21,(0)x y xe x +=>.(12) 设L 是柱面221x y +=与平面0y z +=的交线，从A 0x =轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lzdx ydz +=⎰ __________.【答案】π【解析】由斯托克斯公式，得0Ldydz dzdx dxdyzdx ydz dydz dzdx x y z z y∑∑∂∂∂+==+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰xyD dydz dzdx =+=⎰⎰π，其中22{(,)|1}xy D x y x y =+≤.(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.(14) 设总体X 的概率密度为()22,2,;30,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩θθθθ其他,其中θ是未知参数，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单样本，若221()nii E cX==∑θ，则c =_________.【答案】25n【解析】 222222()(;)3x E X x f x dx x dx +∞-∞==⋅⎰⎰θθθθ 2422215342x =⋅=θθθθ，222215[]()2ni i n E cX ncE X c ===⋅=∑θθ， 25c n∴=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim [(e 1)]xx x x →+∞=--2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)设函数()y f x =由方程32260y xy x y +++=确定，求()f x 的极值. 【解析】对方程两边直接求导：2223220y y y xyy x y xy '''++++= ①令1x 为极值点，则由极值必要性知：1()0y x '=，代入①式得：2111()2()0y x x y x +=.即1()0y x =或11()2y x x =-. 将其代入原方程知：1()0y x =（舍去），即11()2y x x =-. 代入，有 33311184260x x x -+-+=，∴11x =. 即(1)2y =-，(1)0y '=.对①式两边再求导：22226()322()222220y y y y yy x y xyy yy xy x y y xy ''''''''''''+++++++++=.将(1)2y =-，(1)0y '=代入得：4(1)09y ''=>. ∴()y f x =在1x =处取极小值，(1)2y f ==-.(17)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，()cos xz f e y =满足()222224cos .x xz z z e y e x y∂∂+=+∂∂若()()00,00f f '==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,xz f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂，2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得，()()22cos 4[cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+,即()()cos 4cos 4cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,x e y t 得()()44f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+ 设特解*y at b =+，代入方程得1,0a b =-=，特解*y t =- 则原方程通解为()2212=tty f t c e c et -=+-由()()'00,00f f==，得1211,44c c ==-, 则()2211=44u uy f u e e u -=-- (18)(本题满分10分)设∑为曲面22z x y =+(z 1)≤的上侧，计算曲面积分33(1)(1)(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰.【解析】∑非闭，补1∑：平面1z =，被22z x y =+所截有限部分下侧，由Gauss 公式，有 133+(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑∑--+-+-⎰⎰223(1)3(1)1x y dV Ω⎡⎤=-+-+⎣⎦⎰⎰⎰ 223()667x y dV xdV ydV dV ΩΩΩΩ=+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一∑和1∑所围立体为Ω，Ω关于yoz 面和zox 面对称，则0xdV ydV ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221221()x y x y x y dV dxdy dz +Ω+≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=21220(1)d r r rdr -⎰⎰πθ461011112()2()46466r r =-=-=πππ22112x y zdV dzdxdy zdz Ω+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ173746222∑+∑∴-=⋅+⋅=+=⎰⎰πππππ 14∑+∑∴-=⎰⎰π又22111(1)(11)0x y z dxdy dxdy ∑∑+≤=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1114I ∑+∑∑∴=-=-⎰⎰⎰⎰π(19)(本题满分10分)设数列{}{},n n a b 满足02n a <<π，02n b <<π，cos cosb n n n a a -=，且级数1nn b∞=∑收敛.(I) 证明：lim 0n n a →∞=.(II) 证明：级数1nn na b ∞=∑收敛. 【解析】(I )1nn b∞=∑收敛 lim 0n n b →∞∴=cos cos 2sinsin 022sin 02n n n n n n n n n a b a ba ab a b+-=-=->-∴<又424nn a b --<< ππ，042n n a b-∴-<<π2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一即：n n a b <又0,n n a b << lim 0n n b →∞= lim 0n n a →∞∴=(II )证明：由(I )2sinsin 22n n n n n a b a ba +-=- 2sin sin 22n n n nn n na b a b a b b +--∴= 222222222n n n nn n n n n n n a b b a b a b b b b b +--≤=<= 又 1n n b ∞=∑收敛 ∴12nn b ∞=∑收敛,1n n na b ∞=∑收敛(20)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(21)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=， 则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n =λ的特征向量为(1,1,,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故A 相似于对角阵0=0n ⎛⎫ ⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭. B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0=λ有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B . (22)(本题满分11分)设随机变量X 的概率分布为{}{}112,2P X P X ====在给定X i =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布()0,,(1,2)U i i =.（I ）求Y 的分布函数()Y F y ； （II ）求EY .【解析】（I ）设Y 的分布函数为(y)Y F ，则2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一{}{}{}{}{}()1|12|2Y F y P Y y P X P Y y X P X P Y y X =≤==≤=+=≤={}{}11|1|222P Y y X P Y y X =≤=+≤= 当0y <时，()0Y F y =；当01y ≤<时，13()(y )224Y y yF y =+=； 当12y ≤<时，1()(1)22Y yF y =+；当2y ≥时，()1Y F y =. 所以Y 的分布函数为0,03,014()1(1),12221,2Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩(II) Y 的概率密度为3,01,41(y),12,40,Y y f y ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他.120131()=()d 44Y E Y f y y y dy y dy +∞-∞=+⎰⎰⎰ =31113(41)42424⨯+⨯-=(23)(本题满分11 分)设总体X 的分布函数为21(;)0,0,0,x x x e F x -≥<⎧⎪-=⎨⎪⎩θθ其中θ是未知参数且大于2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一零.12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（I ）求()E X ，2()E X ；（II ）求θ的最大似然估计量nθ；（III ）是否存在实数a ，使得对任何0>ε，都有{}lim 0n n P a →∞-≥=θε？【解析】X 的概率密度为22,0(;)(;)0,xx e x f x F x -⎧⎪>'==⎨⎪⎩θθθθ其它 （I ）22()(;)x xE X xf x dx xedx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ222[]x x x xdexeedx ---+∞+∞+∞=-=--⎰⎰θθθ2x edx -+∞=⎰θ12==22222()(;)x xE X x f x dx x edx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ222220[2]x x x x dex eexdx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθ22x xedx -+∞=⎰θθθ=θ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一（II ）似然函数2112,0()(;)0,ix n i ni i i x e x L f x -==⎧⎪∏>=∏==⎨⎪⎩θθθθ其它当0(1,,)i x i n >=⋅⋅⋅时，212()i x nii x L e-==∏θθθ，21ln ()[ln 2ln ]ni i i x L x ==--∑θθθ222211ln ()11[][]0n ni i i i x d L x n d ===-+=-=∑∑θθθθθθ 解得 211n i i x n ==∑θ所以，θ的最大似然估计量为211ˆnni i X n ==∑θ （III ）依题意，问ˆnθ是否为θ的一致估计量. 2211ˆ()()()nni i E E X E X n ====∑θθ 242211ˆ()()[()()]nD D XE X E X n n==-θ 24442()(;)x xE X x f x dx x edx -+∞+∞-∞==⎰⎰θθθ2224430[4]x x x x dex eex dx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθ2304x x edx -+∞=⎰θ22222022[2]x x x x dex eexdx ---+∞+∞+∞=-=--⋅⎰⎰θθθθθ2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一24x xedx -+∞=⎰θ2222()x x ed -+∞=--⎰θθθ22=θ2221ˆ()[2]nD n n∴=-=θθθθ ˆlim ()0n n D →∞=θˆn∴θ为θ的一致估计量 a ∴=θ。
2014考研数学资料书推荐
2014考研数学资料书推荐
考研人首要关注考研数学用书。
不管是从网上还是从师哥师姐那里，到处都在打听。
店铺考研给大家推荐历届考生用书心得。
第一、课本
数学最重要的是基础。
一定要把课本复习好，包括课后习题和例题，例题也非常重要，可能考原题。
刚开始做的时候会感觉到困难，没关系，咬紧牙，看完两遍，以后就很顺利了。
课本推荐如下：《高等数学》(上下册) 同济大学应用数学系高等教育出版社第五版或第四版
《线性代数》同济大学应用数学系高等教育出版社第四版
《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等高等教育出版社第三版第二、复习全书
对于你手头的数学复习全书类资料，全书一定要自己动笔做，千万不能以为你看过就会了。
全书内容当然还是课本内容的拔高，当然不简单。
你要做的就是一个知识点一个知识点搞清楚。
每题自己都会做。
不会的返回书看知识点，这样循序渐进的复习。
第三、真题
历年考研数学真题是必做的，研究透彻，总结出题规律。
第四、模拟冲刺题
适当的做模拟训练题必不可少，其中《考研数学接力题典1800》可以很好的练手。
冲刺阶段，模拟考场做几套模拟题，有利于在考场把握好时间!
考研数学学习重基础，重能力;考生应该脚踏实地，多思多练，不要过多是受到外界干扰，书不在多，而在精。
祝愿2014所有学子都梦想成真!。
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2014备考已经进行了一段时间，为方便考生的学习，在这一篇文章中，我将根据自己的学习体会，点评点评我使用过的有价值的，受大家关注的考研辅导书和资料。
其中数学和专业课的辅导书都需要看两遍以上。
教材就不说了，时间多的话是属于必看的。
顺便申明一下，纯属个人观点。
大家还是辩证地看吧。
其实不管什么书，只要用心多看多做，都会有收获的。
正所谓书读百遍，其义自见。
WD《考前冲刺最后3套题》★★★
比较简单，练练手不错。
恩波《最后冲刺成功8套卷》★★★
网上都喊不难，但是我做的不是很理想。
怎么说呢，总觉得题目怪怪的。
和真题完全不是一个类型。
考试虫《8套模拟试卷》★★★
面市时间过早。
没有一定的能力就去做模拟题的话，效果不是很大。
虽然卖点是众多前命题组成员的集体智慧结晶，但也意味着出题风格与极力创新的现命题组的思路格格不入。
陈文灯《复习指南之100问专题串讲》★★★
两位考研前辈编写的一本书，具有一定的示范效应。
形式有点类似大帝的《超越135》，不过内容没那么全。
有些很巧很赞的方法，也有些方法复杂到不实用。
知识部分的讲解常有神来之笔。
李永乐《最后冲刺超越135分》★★★☆
以专题的形式呈现考研数学的重点内容。
并附有典型例题，有些难度很大，有些极其复杂。
但大部分还是令人舒坦的。
因为是例题，有人可能会倾向于只看不做。
我觉得还是笔耕不辍为妙。
不能说冲刺必备，但用来配合全书或指南做最后一轮复习还是可行的。
李永乐《基础过关660题》★★★☆
一本客观题练习集。
真的如传闻所言只是第一轮复习书吗?我看未必。
书中的相当部分题目还是很有难度的。
我是这样理解的，如果660道题全会做，你的基础才算过关。
李永乐《线性代数辅导讲义》★★★★
大帝无愧于“线代之王”的称号。
薄薄的一本书把考研数学线性代数部分研究的非常透彻。
第二三轮复习必备。
得力于该书所讲的求行列式的递进法，我幸运地做对了08年考试中线代的一道难题。
黄先开曹显兵《经典冲刺5套卷》★★★☆
难度一般，可以拿来建立信心。
一些题目体现出了新鲜的元素，不妨做做让脑筋转转弯。
陈文灯《单选题解题方法与技巧》★★★★
Excellent，难以用语言形容。
如果用心做完这本书选择题还拿不了满分，真可以称得上是奇迹了。
《考研数学考试分析》★★★★
在复习末期，精心准备的考生一定会有这样一个问题。
那就是解题的规范性。
计算题和证明题，究竟怎么答才算标准，才不用担心因解题不规范而丢掉分数?答案就在这本书中。
近四年数一到数四的真题及标准解题过程应有尽有，好好研究模仿吧。
对于经济类考生的又一大福音就是可以接触到数学一的真题。
做做数一还是有助于拓宽思路提升水平的。
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姚孟臣《概率论与数理统计讲义》&《概率论与数理统计题型精讲》★★★★
在做这两本书之前，我感觉概率与统计部分很难很难。
做完之后，我豁然开朗到08年考试概率与统计部分得到了满分。
题量有点大，要学会举一反三才行。
有些数学符号和语言表述可能会让大家不太习惯。
李永乐《历年试题解析》★★★★
数学真题具有重大的战略意义。
从第二轮复习开始到考试前，需要经常反复地揣摩鉴赏。
大帝的这本书，解析详尽，触类旁通，非常不错。
另外其单独地列出真题，可以直接拿来模拟。
武忠祥《历年真题分类解析》★★★★☆
另一本优秀的数学真题书。
汇集了从1987起所有的历年真题，独一无二。
分类解析虽然算不上有新意(大帝也是这么做的)，但难能可贵的是对题目在各章的分布做了详细统计，使考生对考试重点一目了然。
每章还附有练习题，可惜没有解析。
客观题解题方法部分犹如隔靴搔痒，令人意犹未尽。
李永乐《全真模拟经典400题》★★★★☆
大名鼎鼎，模拟必备。
前半部分重点解读新增考点，后半部分的十套题基本涵盖了全部知识点。
这本书拿在手中，首先要心态平稳，戒除恐惧。
从我第一年花5，6个小时做完拿七八十分到第二年花3个小时做完拿一百二三十分的经历来看，如果你觉得它太难，可能你的复习还有不少薄弱环节或者知识还未连成体系。
《考研数学大纲解析》★★★★☆
还是反复强调的权威性，该书中没出现的符号，公式等可以不用再考虑了。
对待这本书，要像对待全书或指南那么严肃。
内容均耳熟能详，例题也都是历年真题并附有常见错误做法以提醒考生。
看起来应该不会很费时费力。
另外，需要重点关注下书中提到的每章常考题型。
李永乐《复习全书》&陈文灯《复习指南》★★★★★
绝代双骄。
没必要纠缠在这两本书的比较上。
大帝的书不是那么简单，灯哥的书也不见得有多难。
前者内容完整即所谓的基础性，但编排略显杂乱;后者概括性很强令人一目了然但内容有所欠缺。
一个事实：大帝专攻线代，灯哥长于高数。
另一个事实：两者都是好书。
当然前提是你认真地做了两遍以上。
注意是做不是看。
也不能只做不思考。