人教版高中数学课件《方程的根与函数的零点》
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人教版高中数学必修一方程的根与函数的零点课件PPT
4
5 2
1
5
10
B 则在下列哪个区间内函数 f(x) 一定存在零点 （ ）
A.(2, 1) B.(1,0) C.(0,1) D.(1, 2)
三、基础知识讲解
3、零点存在性定理： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有 f(a) ·f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在 区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0， 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。
1、图象是连续不断的曲线
2、f (a) f (b) 0
零点存在
X
三、基础知识讲解
D 练习3、下列函数在区间(1, 5)上不存在零点的是（ ）
y A、
B、 y
O 1 2 345 x
O 1 2 345 x
C、 y
D、 y
O 1 2 345 x
O 1 2 345 x
解：令f ( x) 0得 即 x2 7 x 12 ( x 3)( x 4) 0 方程x2 7x 12 0有两个不相等的实数根：3, 4； 函数有两个零点，分别是3, 4. 法2： (7)2 4 12 1 0 方程x2 7x 12 0有两个不相等的实数根；
作业：
• 练习册 • P55 题型一，题型二，题型三 • P87 第1-6
作业本：
1、已知函数f ( x) loga ( x2 1), (1)判断函数f ( x)的奇偶性； (2)求f ( x)的值域. 2、练习册P70第12题
3.1.1 方程的根与函数的零点
第1课时
15. 已知函数 f (x) 2 x 1 . 2x 1
函
y
y
y
数
5 2
1
5
10
B 则在下列哪个区间内函数 f(x) 一定存在零点 （ ）
A.(2, 1) B.(1,0) C.(0,1) D.(1, 2)
三、基础知识讲解
3、零点存在性定理： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有 f(a) ·f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在 区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0， 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。
1、图象是连续不断的曲线
2、f (a) f (b) 0
零点存在
X
三、基础知识讲解
D 练习3、下列函数在区间(1, 5)上不存在零点的是（ ）
y A、
B、 y
O 1 2 345 x
O 1 2 345 x
C、 y
D、 y
O 1 2 345 x
O 1 2 345 x
解：令f ( x) 0得 即 x2 7 x 12 ( x 3)( x 4) 0 方程x2 7x 12 0有两个不相等的实数根：3, 4； 函数有两个零点，分别是3, 4. 法2： (7)2 4 12 1 0 方程x2 7x 12 0有两个不相等的实数根；
作业：
• 练习册 • P55 题型一，题型二，题型三 • P87 第1-6
作业本：
1、已知函数f ( x) loga ( x2 1), (1)判断函数f ( x)的奇偶性； (2)求f ( x)的值域. 2、练习册P70第12题
3.1.1 方程的根与函数的零点
第1课时
15. 已知函数 f (x) 2 x 1 . 2x 1
函
y
y
y
数
新人教版高中数学《函数的零点与方程的根》精品PPT课件
2. 求实数m的范围，使关于x的方程 x2（2 m 1）x 2m 1 （1）有两个实根，且一个比2小， 另一个比2大 （2）有两个实根，且都比1小，
（3）有两个实根，，且0 1， 1 4.
知识运用
1.函数f (x) ln x 2x 6有几个零点？
2. 方程2 x x 2的实数根的个数有___个.
3. 讨论方程3x 1 k的实数根情况.
4. 若函数y a x x a（a 0且a 1） 有两个零点，求实数a程x2 ax a 1 0有异号的实根.
自我感悟
1. 教材P86－P87引入“函数的 零点”的概念经历了几个过程？
2. 从知识点及思想方法角度分析， 你有哪些收获？
3. 教材研究了二次函数 y = f (x)零点 情况，那么对于一般的函数 y = f (x)零点 情况又怎样研究呢？
（1）求y = x 3 － x 的零点个数； （2）求y = x 3 － x －1 的零点个数 对此你又有怎样的想法？
课件数学_人教版必修一《方程的根与函数的零点》PPT课件_优秀版
-2和7
2 f x x 2 2 x 1
1
3 f x lgx 1
2
零点的求法（1）
代数法
问题4 如图是某地从0点到12点的气温变化图， 假设气温是连续变化的，请将图形补充成完 整的函数图象。这段时间内，是否一定有某 时刻的气温为0度？为什么？
问题探究
观 察 函 数 的 图 像图 像 是 连 续 还 是 间 断 的？
方程ax2 +bx+c=0
y
了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数
bx
0a
bx
0a
bx
思考1：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图
使f(x)=0的实数x 象是一条连续不断的曲线，若函数y=f(x)
在区间(a, b)内有零点，一定能得出 因为f(1)=1>0,f(1.
阿贝尔(1802～1829)挪威数学家. 时刻的气温为0度？为什么？
概念·形成
辨
析
:
函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
函 数 的
零
等价关系 方程f(x)=0有实数根
点
是
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
不
函数y=f(x)有零点
是 交
点
？
示例·练习
求下列函数的零点
1 f x x 2 5 x 14
两个不相等 的实数根x1 、x2
y
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
x1 0
x2 x
有两个相等的 实数根x1 = x2
y
0 x1 x
没有实数根
y
0
人教版数学高中必修一《方程的根与函数的零点》教学ppt
3 的图像，试着思考 下面问题（周围同学讨论）
1）任取该函数零点附近的两个点a、b, f (a) f (b)的符号是什么？
2）如果已知函数 f (x) x2 2x 3 在定义域 中的某个区间[a,b]上满足 f (a) f (b) 0，你 y 能得出什么结论吗？
(1, 0)
(3,0) x
结论1：若函数 y f (x)在定义域上存在两点 a,b ,
满足 f (a) f (b) 0 ，则该函数存在零点。
结论2：若函数 y f (x)在定义域的某个区间 [a,b]上
满足 f (a) f (b) 0 ，则该函数存在零点。
结论3：如果函数 y f (x) 在定义域的某个区间[a,b] 上的图像是连续不断的一条曲线，且 f (a) f (b) 0
课前回顾：
问题1：方程 x2 2x 3 0 与函数 y x2 2x 3
的图像有什么关系？
y
(x1, 0)
(x2, 0) x
定义：
对于函数 y f (x) ，我们把使 f (x) 0的实数x
叫做函数 y f (x) 的零点。
问题2 函数零点的定义中我们应该注意些什么？
零点不是“点”
3）观察函数图像有什么性质？并给出 f (x) 在整个定义域上零点的个数
4）你得出了什么结论？
5）试想如果没有计算器，你能给出 f (x) 的零
点所在的区间吗？
计算器演示
例题3 f (x) ex 1 的零点所在的区间是（ ）
x
（不用计算器）
A. (0, 1)
2
B. (1 ,1)
2
C. (1, 3)
例题1 :函数 f (x) 1 1 的零点是（ ）
x
A. (-1,0)
1）任取该函数零点附近的两个点a、b, f (a) f (b)的符号是什么？
2）如果已知函数 f (x) x2 2x 3 在定义域 中的某个区间[a,b]上满足 f (a) f (b) 0，你 y 能得出什么结论吗？
(1, 0)
(3,0) x
结论1：若函数 y f (x)在定义域上存在两点 a,b ,
满足 f (a) f (b) 0 ，则该函数存在零点。
结论2：若函数 y f (x)在定义域的某个区间 [a,b]上
满足 f (a) f (b) 0 ，则该函数存在零点。
结论3：如果函数 y f (x) 在定义域的某个区间[a,b] 上的图像是连续不断的一条曲线，且 f (a) f (b) 0
课前回顾：
问题1：方程 x2 2x 3 0 与函数 y x2 2x 3
的图像有什么关系？
y
(x1, 0)
(x2, 0) x
定义：
对于函数 y f (x) ，我们把使 f (x) 0的实数x
叫做函数 y f (x) 的零点。
问题2 函数零点的定义中我们应该注意些什么？
零点不是“点”
3）观察函数图像有什么性质？并给出 f (x) 在整个定义域上零点的个数
4）你得出了什么结论？
5）试想如果没有计算器，你能给出 f (x) 的零
点所在的区间吗？
计算器演示
例题3 f (x) ex 1 的零点所在的区间是（ ）
x
（不用计算器）
A. (0, 1)
2
B. (1 ,1)
2
C. (1, 3)
例题1 :函数 f (x) 1 1 的零点是（ ）
x
A. (-1,0)
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a
b
零点存在的定理：
如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0， 那么，函数y =f(x)在区间(a,b) 内有零点，即： 存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程 f(x)=0的根。
思考3：若f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内 函数就没有零点？
数 思考方：程1f、 (x)零=0点有是实不数根是点？ 3即、函函数数在f(区x)间=–(x23,–33)内x+有5的零零点点。所在的区间为（ ）
∴解函得数 :x1y==42，x-x12的=零-5 点是0 由2x于=1函=2数0 f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。 f2(、b)<零0点(a是<b不),则是函f(0数)？y=f(x)在(a,b)内（ ）
函数y=f(x)有零点
两个根 (2， 都 )上 ,求 在 k的取值 . 范
引入：
完成下列表格
方程 函数
x22x30 yx22x3
x22x10 x22x30 yx22x1 yx22x3
函
.y
.
y
数 的 图
2
.1
.
－1 0 1 2 3 x －1
－2
.y
.
2
1.
. .
.5 . .4 . 3.
2 1
象
－3
. －4
－1 0 1 2 x
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x11,x23 x1x2 1 无实数根
A.a 1 B.a 1 C.1 a 1 D.0 a 1
练习五：
1个
2、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，
人教版数学必修1 3.1.1方程的根与函数的零点(共16张PPT)
y
由表格可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，
14
12
说明这个函数在区间(2,3)内有零点．
10
8 6
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内
4
是增函数，所以它仅有一个零点．
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
－2
－4
－6
解法2：
函数y f (x)的零点个数就是方程
ln x2x6 0的根个数
y
又 lnx2x6
2
则该方程的解个数等于函数 1
y lnx与y 2x6
0 12 3 4 x
的交点个数，如图
-1
-2
故 函 数 f( x ) l n x 2 x 6 有 一 个 零 点 .
练习：
函数 f x2x3x的零点所在的一个区
间是〔 B 〕．
A 〔-2，-1〕B〔-1，0) C ( 0,1 )
A、B两点在x轴的两侧
A
B
X
A
X
B
思考3： A、B两点在x轴的两侧，如何用数学 符号〔式子〕来表示？
f(a)f(b)0
y
B（ b, f (b)）
x
O（ A
a,
f
( a )）
思考4：
AB间的函数图象连续不断,且 f(a)f(b)0， 那么函数图象在〔a，b〕内与x轴一定有交点 吗？即函数在〔a，b〕内一定有零点吗？
函 数 的 零 点 。
方程 f(x)＝0 有实数根
转化思想
函数 y＝f(x) 有零点 函数 y＝f(x) 的图象与x轴有交点
【考察新知】
1、以下图象表示的函数中没有零点的是：( A )
人教版高中数学必修一《方程的根与函数的零点》课件
则f(x)在区间(a，b)内存在零点．
y y y
O a
b x
O a
b x
O a
b x
定理 辨析
判断下列结论是否正确， 若不正确，请使用函数图象说明.
（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且
f(a)· f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．
y y y
O a
b x
O a
（1）函数有零点吗？
（2）如何来确定零点所在的区间的？
（3）零点是唯一的吗？为什么？
综合运用
例1. 已知 函数 f ( x) ln x 2 x - 6
课堂检测
中
方程的根与函数的零点
y
0
a
b
x
关于x的方程
3x 6 0
x2
f ( x) 3 x 6 0
（2，0）
关于x的方程
x 4x 3 0
2
x1 1, x2 3
f ( x) x 4x 3 0
2
（1，0）
（3，0）
函数零点的定义：
对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的实数x叫
做函数y=f(x)的零点（zero point)。
f ( x) 3x 6 的零点为2
f ( x) x 4x 3的零点为1,3
2
特别说明：函数的零点为实数而不是点。
等价关系
x0是y=f(x)图象与x轴交点的横坐标
x0是方程 f(x)=0的实数根
x0是函数f(x)的零点
思考：
1.你能借助哪些数学知识求一个函数的 零点？
2.在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间
y y y
O a
b x
O a
b x
O a
b x
定理 辨析
判断下列结论是否正确， 若不正确，请使用函数图象说明.
（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且
f(a)· f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．
y y y
O a
b x
O a
（1）函数有零点吗？
（2）如何来确定零点所在的区间的？
（3）零点是唯一的吗？为什么？
综合运用
例1. 已知 函数 f ( x) ln x 2 x - 6
课堂检测
中
方程的根与函数的零点
y
0
a
b
x
关于x的方程
3x 6 0
x2
f ( x) 3 x 6 0
（2，0）
关于x的方程
x 4x 3 0
2
x1 1, x2 3
f ( x) x 4x 3 0
2
（1，0）
（3，0）
函数零点的定义：
对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的实数x叫
做函数y=f(x)的零点（zero point)。
f ( x) 3x 6 的零点为2
f ( x) x 4x 3的零点为1,3
2
特别说明：函数的零点为实数而不是点。
等价关系
x0是y=f(x)图象与x轴交点的横坐标
x0是方程 f(x)=0的实数根
x0是函数f(x)的零点
思考：
1.你能借助哪些数学知识求一个函数的 零点？
2.在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间
人教版高中数学必修第一节方程的根与函数的零点PPT课件
思考探究二
所有函数都存在零点吗？ 什么条件下才能确定零点的存在呢？
人教版高中数学必修1第三章第一节方 程的根 与函数 的零点 (共26 张PPT)
人教版高中数学必修1第三章第一节方 程的根 与函数 的零点 (共26 张PPT)
思考探究二
观察二次函数 f (x) x2 2x 3 的
图象，可以发现
先观察几个具体的一元二次方程及其相应 的二次函数
（1）方程x2 2x 3 0 f x x2 2x 3
（2）方程x2 2x 1 0 f x x2 2x 1
(3)方程x2 2x 3 0 f x x2 2x 3
人教版高中数学必修1第三章第一节方 程的根 与函数 的零点 (共26 张PPT)
人教版高中数学必修1第三章第一节方 程的根 与函数 的零点 (共26 张PPT)
练习2
函数y=f( x)的图象如下， 则其零点为 -2.,1,3
y
2
1
x
O
3
人教版高中数学必修1第三章第一节方 程的根 与函数 的零点 (共26 张PPT)
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叫做函数y f (x)的零点.
(1)零点是一个实数
零点是一个点吗?
人教版高中数学必修1第三章第一节方 程的根 与函数 的零点 (共26 张PPT)
人教版高中数学必修1第三章第一节方 程的根 与函数 的零点 (共26 张PPT)
(2)方程f (x) 0的实数根 函数y f (x)的图象与x轴交点的横坐标 函数y f (x)的零点
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方程 函数
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（2）2x(x－2)＝－3； （3） x2 ＝4x－4； （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5. 练习2、求函数y=x2-5x+1的零点。 变式：判断函数y=x3-5x+1是否有零点。
fan
探究新知:
观察二次函数f(x)=x2-2x-
3的图象，如右图，我们发现
函数f(x)=x2-2x-3在区间[2，1]上有零点。计算f(2)和f(1)的乘积，你能发现这 个乘积有什么特点？在区间[2
引申:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点 和相应一元二次方程ax2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbx+c=0(a≠0)的根有何关 系?
结论: 二次函数图象与x轴交点的横坐标
就是相应方程的实数根。
fan
推广：函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程 f(x)=0的根有何关系呢？ 结论： 函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 就是方程f(x)=0的实数根。 函数零点的定义：
fan
方程解法史话:
花拉子米(约780～约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。
阿贝尔(1802～1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。
fan
问题情境:
问题1：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方 程的根有何关系？
(1)y=x2-2x-3与x2-2x-3=0
(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0 (3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0
由特殊到一般的归纳思想，数形结合的思想，函 数与方程的思想。
fan
课后探究：
2 2 y ax bx c , ax bx c 0, 研究 ax 2 bx c 0, ax 2 bx c 0 的相互关系，以零点作为研究出发点， 并将研究结果尝试以一种系统的、简洁 的方式总结表达。
y 5 4 3 2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x
,4]上是否也具有这种特点呢？
fan
探究新知:
归纳： 函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断 的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。 例：
a
b
a
b
a
fan
b
a
b
练一练:
练习3、函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点( ) A.(-2，-1) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) 练习4、求证：方程5x2-7x-1=0的一个根在区间 (-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内。 总结：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线： （1）f(a)· f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内 有零点； （2）若f(a)· f(b)>0，则函数零点可能存在，也可 能不存在。
对于函数y=f(x),我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y 注意：零点指的是一个实数 =f(x)的零点。 零点是一 等价关系： 个点吗? 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
fan
练一练:
练习1、利用函数图象判断下列方程有没有根， 有几个根。
（1）－x2＋3x＋5＝0；
作业：
1.教材P92 2 2.判定方程4 x 3 x 15 0在区间[1, 2]内 实数解的存在性，并说明理由。
fan
fan
fan
例题分析:
例: 求函数 f ( x) Inx 2 x 6的零点个数。
14 12
10
8
6
4
2
-5 -2
5
10
15
-4
-6
结论：如果加入条件函数在区间[a,b]上单调， 则存在零点，且只有一个。
fan
小结：
1.知识和要求： （1）掌握函数零点的概念； （2）了解函数零点与方程根的关系； （3）学会某区间上图象连续的函数存在零点的 判定方法。 2.数学思想方法：
fan
探究新知:
观察二次函数f(x)=x2-2x-
3的图象，如右图，我们发现
函数f(x)=x2-2x-3在区间[2，1]上有零点。计算f(2)和f(1)的乘积，你能发现这 个乘积有什么特点？在区间[2
引申:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点 和相应一元二次方程ax2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbx+c=0(a≠0)的根有何关 系?
结论: 二次函数图象与x轴交点的横坐标
就是相应方程的实数根。
fan
推广：函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程 f(x)=0的根有何关系呢？ 结论： 函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 就是方程f(x)=0的实数根。 函数零点的定义：
fan
方程解法史话:
花拉子米(约780～约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法。
阿贝尔(1802～1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式。
fan
问题情境:
问题1：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方 程的根有何关系？
(1)y=x2-2x-3与x2-2x-3=0
(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0 (3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0
由特殊到一般的归纳思想，数形结合的思想，函 数与方程的思想。
fan
课后探究：
2 2 y ax bx c , ax bx c 0, 研究 ax 2 bx c 0, ax 2 bx c 0 的相互关系，以零点作为研究出发点， 并将研究结果尝试以一种系统的、简洁 的方式总结表达。
y 5 4 3 2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x
,4]上是否也具有这种特点呢？
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探究新知:
归纳： 函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断 的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。 例：
a
b
a
b
a
fan
b
a
b
练一练:
练习3、函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点( ) A.(-2，-1) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3) 练习4、求证：方程5x2-7x-1=0的一个根在区间 (-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内。 总结：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线： （1）f(a)· f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内 有零点； （2）若f(a)· f(b)>0，则函数零点可能存在，也可 能不存在。
对于函数y=f(x),我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y 注意：零点指的是一个实数 =f(x)的零点。 零点是一 等价关系： 个点吗? 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
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练一练:
练习1、利用函数图象判断下列方程有没有根， 有几个根。
（1）－x2＋3x＋5＝0；
作业：
1.教材P92 2 2.判定方程4 x 3 x 15 0在区间[1, 2]内 实数解的存在性，并说明理由。
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例题分析:
例: 求函数 f ( x) Inx 2 x 6的零点个数。
14 12
10
8
6
4
2
-5 -2
5
10
15
-4
-6
结论：如果加入条件函数在区间[a,b]上单调， 则存在零点，且只有一个。
fan
小结：
1.知识和要求： （1）掌握函数零点的概念； （2）了解函数零点与方程根的关系； （3）学会某区间上图象连续的函数存在零点的 判定方法。 2.数学思想方法：