反比例函数中的面积
反比例函数求面积公式大全
反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。
在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。
本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。
一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。
二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。
三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。
四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。
五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。
六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。
七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。
八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。
结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。
这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。
希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。
反比例函数中的面积问题(共26张PPT)
课后精练
解：(1)如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∵直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋4，∴B 点坐标为(0，4)， A 点坐标为(2，0)． ∵∠OAB＋∠DAH＝90°，∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH. 又∵∠BOA＝∠AHD，∴△AOB∽△DHA. ∴ADOH＝ABOH＝AADB＝12.∴D2H＝A4H＝12，解得 DH＝4，AH＝8. ∴D(10，4)，则 k＝10×4＝40. 故答案为：40.
③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2＋ 3；
7.如图，函数 y＝kx(k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线 相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧)，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F.现有以下四个结论：
课后精练
∵D(10，4)，∴D′(10，－4)． 设直线 CD′的解析式为 y＝ax＋d， 则180a＋a＋dd＝＝8－ ，4，解得da＝＝－566. ， 故直线 CD′的解析式为 y＝－6x＋56. 当 y＝0 时，x＝238，故 P 点坐标为238，0. 延长 CD 交 x 轴于 Q，此时|QC－QD|的值最大， ∵CD∥AB，D(10，4)，∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋24. ∴Q(12，0)．∴PQ＝12－238＝83. 故 P 点坐标为238，0，Q 点坐标为(12，0)，线段 PQ 的长为83.
专题2 反比例函数中的面积问题
考点解读
反比例函数中的面积类问题是最能体现数形结合思想 方法的一类问题，几何中的函数问题使图形性质代数 化，函数中的几何问题使代数知识图形化，利用“数”
反比例函数与图形面积
计算定积分
利用定积分的几何意义， 计算直线与双曲线所围成 的图形面积。
注意事项
在计算过程中，需要注意 积分上下限的确定以及被 积函数的正负问题。
参数方程在面积计算中应用
参数方程表示
对于某些复杂图形，使用 参数方程表示更为方便。
面积元素计算
根据参数方程，计算面积 元素并对其进行积分。
注意事项
在使用参数方程计算面积 时，需要确保参数范围选 取合适，且要注意参数方 程的正负问题。
02
圆形面积计算：根据圆形面积公式$S = pi r^2$（其中$r$为圆形半径）， 计算圆形区域的面积。
03
反比例函数图像面积计算：通过极坐 标下的定积分计算反比例函数图像在 圆形区域内的面积，即 $int_{theta_1}^{theta_2} int_{r_1(theta)}^{r_2(theta)} frac{k}{r} rdrdtheta$（其中$k$为反 比例函数的常数，$theta_1$和 $theta_2$为交点极角，$r_1(theta)$ 和$r_2(theta)$为交点极径）。
指数函数图像与 $x$ 轴围成的封闭 图形面积可以通过定积分
$int_{x_1}^{x_2} a^x dx$ 来计算， 其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是指定的积分
上下限。
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的图像是一个对数曲线。 当 $a > 1$ 时，曲线上升；当 $0 < a < 1$ 时，曲线下降。
在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 的值逐渐减小。
当 $k > 0$ 时，反比例函数的图像位于 第一、三象限；当 $k < 0$ 时，反比例 函数的图像位于第二、四象限。
反比例函数中的面积问题
解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。 第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相 等，列出含k的方程求k值。
例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于B， 轴于D，且矩形ABOD的பைடு நூலகம்积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标．
图象上，∴
解得x=1从而所求面积为π 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有 对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 讨论与面积有关的综合问题 例8．（2008山东省）（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上 ∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b 解得 k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6 与x轴的交点坐标C（-6，0）
（3）若点P是y轴上一动点，且 ， 求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得 -k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 （2）由 ，解得 ，
∴点A、C的坐标分别为（
，3），（3， ） （3）设点P的坐标为（0，m） 直线 与y轴的交点坐标为M（0，2） ∵
专题：反比例函数中的面积问题
微专题 反比例函数中的面积问题
模型一 一点一垂线
反比例函数图象上一点与坐标轴垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三 角形面积＝ |k|.
1
S△ABC＝ 2 |k|
S△ABC＝12 |k|
1
S△AOC＝ 2 |k|
1. 如图，点A在反比例函数y＝－ 4 的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一
方法一：S△EOF＝S△EOD－S△FOD. 方法二：作EM⊥x轴于点M，交OF于点B，FA⊥x轴于点A，则S△OEB＝S四边形 BMAF(划归到模型一)，则S△EOF＝S直角梯形EMAF.
类型一 两交点在反比例函数同一支上
Байду номын сангаас
方法一：当
BE CE
或
BFFA＝m时，则S四边形OFBE＝m|k|.
方法二：作EM⊥x轴于点M，
A. 1
B. m－1
C. 2
D. m
第3题图
模型四 两点两垂线
反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形 面积＝2|k|.
SABC 2 | k |
易得四边形ANBM是平行四边形， ∴S四边形ANBM＝AM·NM＝AM·2OM＝2|k|
模型四 两点两垂线 反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形
＝ ＝
1
2
1
OM·AM＋12 OM·BC |k|＋1 |k|＝|k|
22
S△ABM＝S△ADM＋S△MDB
＝
1 2
MD·|yB－yA|
S△ABM＝S△BMO＋S△AMO
＝
1 2
MO·|xB－xA|
3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝k (k≠0)交于点A，B，过点A作
反比例函数常见的面积类型
反比例函数常见的面积类型
反比例函数是数学中的一种基本函数类型。
在实际应用中，反比例函数常常涉及到面积问题。
下面列举一些常见的反比例函数面积类型。
1. 长方形面积
如果一个长方形的宽是固定的，而长度是随着宽的增加而减小的，那么它的面积就可以用反比例函数来表示。
设长方形宽为x，长度为y，则长方形面积为S=xy，即S与x成反比例关系，S=k/x。
其中，k 为比例常数。
2. 圆形面积
圆的半径和面积之间也存在反比例关系。
设圆的半径为r，圆的面积为S，则圆的面积可以表示为S=k/r^2。
其中，k为比例常数。
3. 梯形面积
如果一个梯形的高是固定的，而底边长度是随着高的增加而减小的，那么它的面积也可以用反比例函数来表示。
设梯形的高为h，上底为a，下底为b，则梯形面积为S=(a+b)h/2，即S与h成反比例关系，S=k/h。
其中，k为比例常数。
4. 等腰三角形面积
如果一个等腰三角形的底边长度是固定的，而高是随着底边长度增加而减小的，那么它的面积也可以用反比例函数来表示。
设等腰三角形的底边长度为b，高为h，则等腰三角形面积为S=bh/2，即S与b成反比例关系，S=k/b。
其中，k为比例常数。
综上所述，反比例函数在实际应用中常常涉及到面积问题，这些常见的反比例函数面积类型包括长方形面积、圆形面积、梯形面积和等腰三角形面积。
反比例函数面积
反比例函数面积
反比例函数面积是数学中一个非常有趣的概念，它涉及到函数的空间可视化与局部形状，这里将对它有一个介绍。
一、反比例函数面积概念
反比例函数面积指的是函数f(x)在其定义域内的函数图形的面积，并可以通过它去推断与函数空间的相关概念。
其中，函数的图形是按照特定的比例来确定的，定义域通常是这样的：x ∈ (a, b]，a与b不一定相同，可以取任意的值。
二、反比例函数面积的计算
计算反比例函数面积需要使用梯形法或辛普森积分，它们都是将函数图像分成若干个小梯形或小直条并计算梯形面积或直条面积，从而得出函数面积。
三、反比例函数面积应用
反比例函数面积可以用来计算函数空间变化，如面积方差，空间样式变化，分布发展趋势，与x轴的轨迹对比，少量数据的衡量标准，等等。
还可以运用它来分析区域空间结构性和紧密程度（比如海洋、大
自然、城市规划等）；并可用来衡量地形和土壤的凹凸分布，其中的实际图形（比如山脉或湖泊）发生了多大的变化。
四、反比例函数面积总结
反比例函数面积是对空间形式和形态上的变化和特征进行综合分析和计算的有效方法。
它是一种有效的函数空间综合术语，可以深入地分析函数的形状、面积和大小，进行视觉上的理解。
(推荐)反比例函数面积问题(公开课)
A．1 B．3
C．6
D．12
探究2
如图,点P(m,n)是反比例函数
y
k x
图象上
的一点,过点P向x轴作垂线,垂足是点A, 则
k
S△PAO=__2______.
y
B P(m,n)
OA
x
思考1
如果__ .
2
y
结论2: 过双曲线上任意一点作x轴
B P(m,n)
结论1:
B P(m,n)
过双曲线上任意一点作x轴、
y轴的垂线, 所得矩形的面
OA
x
积S为定值, 即S=|k|.
思考
图中的这些矩形面积相等吗？
结论:
y
图中的这些矩形面积相 等, 都等于|k|
yk x
O
x
图中面积相等的图形有哪些？
练习 反比例函数与矩形的面积
练习1.如图,点P是反比例函数 y=- 3x图象上的
• 故这个反比例函数的解析式为 ．
当堂检测
A.S=1 C.S>2
B.1<S<2 D.S=2
D
y
A
∟
D
∟ OC
x
B
当堂检测
6.如图, 在反比例函数的图象 y 2 (x>0上) , 有点
x
P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4, 分别过
这些点作x轴, y轴的
y y 2 （x>0)
y
P
oD
x
反比例函数与三角形的面积
变点式A、1：B分如别图作，x过轴反的比垂例线函，数垂足y 分1x别0 (为x C0.)D图，象连上结任O意A、两
OB，设AC与OB的交点为E，若⊿COE面积为1，则梯
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则 C (5,0)，D(0,10)， 于是
S⊿OAB=25 － 5 －5 =15
B (4，2 )
o
C(5,0) x
探究1：反比例函数 y 8 与一次函数y=-2x+10交于点 x
A 和B ，求：三角形⊿AOB的面积。
解法2： 如图，过A作AC⊥x轴于C，过B点 作BD⊥x轴于D 由性质（1）知：S⊿OAC=S⊿OBD=4， ∴S⊿OAB=S⊿OAC+S梯形ACDB－S⊿OBD
y1 x
的图象上关于原点O对称的任意两点，
y
A o
AC∥y轴，BC ∥ x轴，⊿ABC的面
积为S，则（ ）
C
B
x
C
A．S=1 B．1<S<2
图③
C．S=2 D．S>2
解:由性质(3)可知， S△ABC = 2|k| = 2
7B、分如别图作，x轴过的反垂比线例，函垂数足y分别2x为(xC、0D) ，图连象结上O任A意、两O点B，A、
|k| 2
|2| 2
1
y
P(m,n)
oD
x
图①
2、如图：点A在双曲y线
k x
上，AB⊥x轴于B，
且⊿AOB的面积S⊿AOB=2，则k= -4
分析：由性质1可知，
|k|
S⊿AOB=
2
2
∴k=±4, ∵k<0， ∴k=-4
y k (k 0)
3、如图②，点P是反比例函数 x
图象上
的一点，过P分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别为A,C,
=4+ 1 (2 8) 3－4=15 2
y
A(1，8 )
B (4，2 ) oC D x
探究1：反比例函数
y
8 x与一次函数y=-2x+10交于点
A和B ，求：三角形⊿AOB的面积。
解法3： 如图，过A作AC⊥x轴于点C， 过B点作BD⊥x轴于点D, CA与 DB相交于E点， 由A(1，8 ) 和 B (4，2)的坐标可知点E的坐标 为(4，8)，由性质（1）知， S⊿OAC=S⊿OBD=4， ∴S⊿OAB=S矩形ODEC －S⊿OAC－ S⊿OBD－S⊿ABE =32－4－4－9=15
阴影部分的面积为3，则这个反比例函数的解析式是
y3 x
图②
启发：如果去掉⑵中的“如图”，结论如何？
⑵如图点P是反比例函数 y k (k 0) 图象上的 x
一点，过P分别向x轴，y轴引垂线段，与x、y轴所围成
的矩形的面积是3，则这个反比例函数的解析式是
y3或 y 3
x
x
举一反三, 在平面直角坐标系内，从反比例函数y= k
y P(m,n)
oA
x
⑶如图③，设P(m，n)关于原点的对称点 P′(－m，－n)，过P作x轴的垂线与过P′作y轴的
垂线交于A点，则S⊿PAP′= 2 | k |
图③
1、如图①，点P(m,n)是反比例函数
y
2 x
图象上的
任意一点，PD⊥x轴于D，则⊿POD的面积为 1
分析：由性质1，得
S⊿OPD=
由性质1可知，S △OBC=3
C
于是有，
B
O →x
S△AOC +3=S △AOB= 12
∴ S△AOC =9
探究1：反比例函数 y 8与一次函数y=-2x+10交于点 x
A和B，求：三角形⊿AOB的面积。
解法1：设直线y=－2x+10 与x轴、y轴分别交于点C，D
y
(0，10 ) D A(1，8 )
设AC与OB的交点为E，⊿AOE与梯形ECDB的面积分别
为 S1 、S2，比较它们的大小，可得 ( B )
A．S1>S2
B．S1=S2
C．S1< S2 D．S1和S2的大小关系不确定
8上、，如且图A，B∥点xA轴在，双C曲、线D在yx轴 上1x ，上若，四点边B在形双AB曲C线D的y面积3x
为矩形，则它的面积为 2
A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小 y
B
O CA
x
5、如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y
轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比
例函数的解析式为 y 4 x
．
y
B A(m,n)
点评：将△ABO通过“等
Po
x
积变换”同底等高变为
△ABP
6、如图③，A、B是函数
重 重点:性质的灵活运用；
点
. 难点:函数知识的综合应用，通 难 过面积问题体会数形结合思想
点
y
0
x
y
0
x
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意一点 x
(1)过P分别作x轴, y轴的垂线,垂足分别为 A, B 则矩形的面积是
则S矩形OAPB OA AP | m | | n || k | (如图所示 ).
y
y2 x
A（-2,1）
O
x
B
y=-2x
1、会推导反比例函数与三角形、矩形面积
学 关系的性质；灵活运用性质解决与面积有关 的问题。
习 2、引导学生自主探索，合作研讨，培养观 目 察、分析、归纳问题的能力，体会数形结合
的思想。
标 3、通过学习活动培养学生积极参与和勇于 探索的精神，激发学习热情。
.
2．如图②，点A、B是双曲线
y
3 x
上的点，分别经过
A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S3=1，则S1+S23;S3=S2+S3=3 将S3=1代入得， 得，S1=S2=2 ∴S1+S2=4
EA
3 F SS11
B
SS33 SS22
oC D x
图②
3
3．如图，已知双曲线
y k (k 0) x
经过直角三角形OAB
斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的
坐标为（-6，4），则△AOC的面积为 ( B )
A．12 B．9 C．6 D．4
分析：∵A(-6,4),由D为
A
O∴A双的曲中线点的可解知析，式D为（：-y3,2） 6
x
y6 x
↑y
D（-3，2）
y
y
B
P(m,n)
oA
x
B
P(m,n)
oA
x
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意一点 x
(2)过P作x轴的垂线 , 垂足为 A,则
SOAP
1 2
OA
AP
1 2
|
m
|
|
n
|
1 2
|
k
|
以上两条性质 在课本内没有 提及，但在这 几年的中考中 都有出现，所 以在这里要把 它总结出来。
x
的图象上一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围
成的矩形的面积是12，则该函数解析式是 图②
y 12 或 y 12
x
x
4、如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一
个定点，点B是双曲线 y 3 (x 0)上的一个动点， x
当点B的横坐标逐渐增大时，⊿OAB的面积将会（ C ）