24.1.反比例函数与面积关系
反比例函数求面积公式大全
反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。
在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。
本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。
一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。
二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。
三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。
四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。
五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。
六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。
七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。
八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。
结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。
这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。
希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。
反比例函数关系式中k与图形面积的关系
作EB、FC、GD垂直于x轴，垂足分别为B、C、D，且 OB=BC=CD，△OBE的面积记为S1，△BCF的面积记为S2， △CDG的面积记为S3，若S1+S3=2，则S2= ．
变式：如图,直线 和双曲线 交于A、B亮点,P是线段AB上的
点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足 分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、 △BOD面积是S2、△POE面积是S3、则S1,S2,S3的大小 关系是（ ）
双曲线在第一象限内的图象如图所示作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于ab两点连接oaob则aob的面积为12yyxx??和1saof2在一次函数反比例函数的图象组合图形的面积计算要注意选择恰当的分解方法
专题习题课
反比例函数关系式中k与 图形面积的关系
k 点P为反比例函数 y 上任意一点，求 x S矩形OAPB
当堂检测：
1.如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作 轴于点B，点P在x 轴上，△ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。
当堂检测：
2.双曲线 在第一象限内的图象如图所示，作一条平 行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则 △AOB的面积为（ ） 3.如图，在直角坐标系中， A点 是 轴正半轴上的一个定点， 3 点 B是双曲线 y 上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时， x △OAB的面积将会( ) A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小
5、根据面积求k值要注意图象的象限、K值的符号.；
x
2.如图，A、B两点在双曲线y= 4 上，分别经过A、B两点向轴作 ）
热身运动
3.如图，点A、B在反比例函数 (k>0，x>0)的图象上，过点 A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C， 若OM= MN= NC，△AOC的面积为6，则k的值为
反比例函数中的面积问题(共26张PPT)
课后精练
解：(1)如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∵直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋4，∴B 点坐标为(0，4)， A 点坐标为(2，0)． ∵∠OAB＋∠DAH＝90°，∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH. 又∵∠BOA＝∠AHD，∴△AOB∽△DHA. ∴ADOH＝ABOH＝AADB＝12.∴D2H＝A4H＝12，解得 DH＝4，AH＝8. ∴D(10，4)，则 k＝10×4＝40. 故答案为：40.
③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2＋ 3；
7.如图，函数 y＝kx(k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线 相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧)，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F.现有以下四个结论：
课后精练
∵D(10，4)，∴D′(10，－4)． 设直线 CD′的解析式为 y＝ax＋d， 则180a＋a＋dd＝＝8－ ，4，解得da＝＝－566. ， 故直线 CD′的解析式为 y＝－6x＋56. 当 y＝0 时，x＝238，故 P 点坐标为238，0. 延长 CD 交 x 轴于 Q，此时|QC－QD|的值最大， ∵CD∥AB，D(10，4)，∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋24. ∴Q(12，0)．∴PQ＝12－238＝83. 故 P 点坐标为238，0，Q 点坐标为(12，0)，线段 PQ 的长为83.
专题2 反比例函数中的面积问题
考点解读
反比例函数中的面积类问题是最能体现数形结合思想 方法的一类问题，几何中的函数问题使图形性质代数 化，函数中的几何问题使代数知识图形化，利用“数”
反比例函数与图形面积
计算定积分
利用定积分的几何意义， 计算直线与双曲线所围成 的图形面积。
注意事项
在计算过程中，需要注意 积分上下限的确定以及被 积函数的正负问题。
参数方程在面积计算中应用
参数方程表示
对于某些复杂图形，使用 参数方程表示更为方便。
面积元素计算
根据参数方程，计算面积 元素并对其进行积分。
注意事项
在使用参数方程计算面积 时，需要确保参数范围选 取合适，且要注意参数方 程的正负问题。
02
圆形面积计算：根据圆形面积公式$S = pi r^2$（其中$r$为圆形半径）， 计算圆形区域的面积。
03
反比例函数图像面积计算：通过极坐 标下的定积分计算反比例函数图像在 圆形区域内的面积，即 $int_{theta_1}^{theta_2} int_{r_1(theta)}^{r_2(theta)} frac{k}{r} rdrdtheta$（其中$k$为反 比例函数的常数，$theta_1$和 $theta_2$为交点极角，$r_1(theta)$ 和$r_2(theta)$为交点极径）。
指数函数图像与 $x$ 轴围成的封闭 图形面积可以通过定积分
$int_{x_1}^{x_2} a^x dx$ 来计算， 其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是指定的积分
上下限。
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的图像是一个对数曲线。 当 $a > 1$ 时，曲线上升；当 $0 < a < 1$ 时，曲线下降。
在每个象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 的值逐渐减小。
当 $k > 0$ 时，反比例函数的图像位于 第一、三象限；当 $k < 0$ 时，反比例 函数的图像位于第二、四象限。
反比例函数中的面积很全面课件
05
反比例函数中的面积的深入探讨
面积的几何意义
面积
01
表示一个平面图形所占的范围。
计算方法
02
通过数格子或使用公式计算。
几何意义在反比例函数中的应用
03
通过图形直观地理解反比例函数的性质和变化规律。
面积与反比例函数的关系的深入理解
1 2
反比例函数的图像
双曲线，分布在两个象限内。
面积与反比例函数的关系
与幂函数的联系
幂函数和反比例函数在形式上也有所不同，但它们在某些情况下也可以相互转化 。例如，当反比例函数的分子和分母都为常数时，它可以转化为幂函数的形式。 这种转化有助于我们更好地理解和应用这两个函数。
幂函数和反比例函数在图像上也有所不同。幂函数的图像是一条直线或者是一个 点，而反比例函数的图像是双曲线。但它们在坐标轴上的交点可以通过求解方程 得到，这对于解决一些实际问题非常有用。
，即需求量与价格成反比。
在数学问题函数可以用于解决一些与面积和体积有关的 问题，例如计算由反比例函数图像围成的区域的面积。
概率论
在概率论中，反比例函数用于描述某些事件的概率分布，例如泊松 分布。
数列
在数列中，反比例函数可以用于研究数列的性质和规律，例如等差 数列和等比数列的通项公式。
01
02
03
奇偶性
由于反比例函数的图像关 于原点对称，因此它是奇 函数。
单调性
在各自象限内，反比例函 数是单调递减的。
有界性
反比例函数的值域是除0 以外的所有实数，因此它 是无界函数。
02
反比例函数中的面积
面积的基本概念
面积
一个平面图形所占的二维 空间大小，通常用数值表 示。
反比例函数图像面积问题
y
k x
图象上
的一点,过点P向x轴作垂线,垂足是点A，O’为
y轴上一点，则S△PAO’=____k_2___. y
O’
P(m,n)
OA
x
思考1
如果是向y轴作垂线,垂足是点B，
k
则S△PBO的面积是___2__ . y
结论2： 过双曲线上任意一点作x轴
B P(m,n)
(或y轴）的垂线，所得直 O’
x
A
S 2k
S=2︱K︱ S 4 k
例 1、函数 y 1 和 y 4 在第一象限内的图象
如图，点P是
x y
4
x
图象上一动点，PC⊥x轴于点C，
x
PD⊥y轴于D点，交 y
1
的图象于点A和点B，
x
（1）求出△AOP的面积。
（2）说明 CA 1 AP
3
BD与BP之间又有怎样的关系？ D
反比例函数图象中的面积问题
y
y
0
x
0
x
探究1 反比例函数与矩形的面积
k 已的象足知图上分(2点点像)别的过P上P是一（P(分m，点点m,,A别那，n过、)n作么点在）BxPm，函轴是分n则,数反别y=轴 S比y向矩y2=的形例xO轴垂 函AkxP、B数线=.y,_垂y轴__作足|_kkx_|垂(分_k_≠线_别0.),垂图为A, B,
图中面积相等的图形有哪些？
y
yk x
O
x
学会寻找图像中的基本构图、寻找单位面积 矩形或三角形、寻找变化中的不变量
拓展.如图，已知点A，C在反比例函数 y 的图象上，点B，D在反比例函数 y b (b
a x
0)
例析反比例函数与三角形面积的关系
例析反比例函数与三角形面积的关系
函数与三角形面积的关系是一个重要的数学研究领域，深入了解它们之间的联系有助于我们更好地理解微积分或几何学中复杂的函数概念。
反比例函数是定义在实数集合上的函数，通常使用y = k/x 来表示它，其中k是常数，x是变量。
该函数的图
像是一条直线，当x的增加时，y的减少与它成反比。
也就是说，增加一个x的值将减少k/x 的值，这就是反比例函数的性质。
三角形的面积是指由三点构成的一个正多边形中的面积，可以使用“海伦-勾股定理”来计算它，由a，b，c三边
表示为：
面积= 根号(s(s-a)(s-b)(s-c))
其中s= (a+b+c)/2 。
反比例函数和三角形面积是有关联的，它们都可以用于
描述相关性。
例如，“海伦-勾股定理”中，如果一个三
角形的边长a增加，则边长b和c的大小将使面积降低。
因此，这两个值之间的联系是以反比例函数来表示的。
另外，在几何学中，反比例函数也可以用来描述两个三角形之间的关系，例如，当一个三角形的边长增加时，另一个三角形的边长将减少，这也能以反比例函数形式表示。
总之，反比例函数与三角形面积之间有着很多有趣的关系，它可以用于几何和数学问题的研究，从而帮助我们理解更多关于微积分和几何的知识。
【初中数学知识点解析】反比例函数的面积问题
2
2
∴S△AOB＝S△AOG＋S△ABG＝
1 2
×3×3＝
9 2
.
解：由题意，易得出S△ODB＝S△AOC＝
1 2
×|－4|＝2.
因为OC＝OD，AC＝BD(易求得)，
所以S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2. 所以四边形ACBD的面积为
S△AOC＋S△ODA＋S△ODB＋S△OBC＝2×4＝8.
类型2 已知面积求反比例函数解析式
4． 如在图第，一直象线限y的＝图k1象x＋交7于(kC1＜，0D)与两x点轴，交点于O点为A坐，标与原y轴点交，于△点AOBB，的与面反积比为例4函29 ，数点yC＝的kx横2 坐(k2标＞为0)1. (1)求反比例函数的解析式； (2)如果一个点的横、纵坐标都是整数， 那么我们就称这个点为“整点”， 请求出图中阴影部分(不含边界)所包 含的所有整点的坐标．
钢条一共花多少钱？
解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩
形ABCD分成四个全等的小矩形． 因为点A为y＝ 6 的图象上的一点，
x
所以S矩形AEOH＝6，从而S矩形ABCD＝4×6＝24. 所以总费用为25×24＝600(元)．
答：所需钢条一共花600元．
题型3：利用点的坐标及面积公式求面积
∵x1＜x2，y1＜y2，
∴M(x1，y1)，N(x2，y2)不在同一个象限．
∴点M在第三象限，点N在第一象限．
题型2：利用对称性求面积
7．如图是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数
解析式分别为y＝－
6 x
，y＝
6 x
. 现用四根钢条固定这四条曲线，这种钢条加工
成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需
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四、反比例函数图象中的面积规律
（1）过双曲线上任意一点作轴的垂线，则垂足、已知点及原点这三点所构
成的三角形面积为S ＝
k 21。
（2）反比例函数y=k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=k x
(k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k │.
1、如图，A 为反比例函数x
k y =
图象上一点，AB ⊥x 轴与点B ，若3=∆AOB S ，则k 为（ ） 2、已知，如图所示的P 是反比例y=k x 函数图象上的一点，•若图中阴影部分的矩形面积为2，则这个反比例函数的关系式为（ ）
A ．y=
2x B ．y=－2x C ．y=12x D ．y=－12x
3、如图：A ，B 是函数x y 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点。
AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，求△ABC 的面积。
4、正比例函数y=x 与反比例函数y=1x
的图象相交于A 、C 两点.AB ⊥x 轴于B,CD ⊥y 轴于D(如图),则四边形ABCD 的面积为( ) A.1 B.
32 C.2 D.52
例3、如图，点A 在反比例函数)0(≠=k x
k y 的图象上，AB 垂直于x 轴，若S △AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为 。
X O
例3 变式议练1 变式议练2
变式议练1、如图，过反比例函数x
y 1=
（x ＞0）的图形上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB 。
设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S1，S2，比较它们的大小，可得（ ）
A. S1＞S2
B. S1=S2
C. S1＜S2
D. 大小关系不能确定
变式议练2、如图，A 、B 是函数x
y 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ）
A. S=1
B. 1＜S ＜2
C. S=2
D. S ＞2
2、反比例函数与斜三角形面积
例4、如图，函数kx y -=（0≠k ）与x
y 4-=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为 。
变式议练、如图，正比例函数kx y =（k ＞0）与反比例函数x
y 1=
的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，△ABC 面积S=
例4。