气体动理论课件

Nf (v)
A
A 0 v v0 Nv v 0 A f (v ) v0 v 2v0 N 0 v 2v0
v0
2v0
v
（1）由归一化条件求A
f v dv 1
0
2 v0


v0
0
f v dv
2N A 3v0
2 v0
v0
f v dv
i 1 1 2 2 3 3 i 1 2 3 i i i
【算术平均值】

N M
i i
i
N
【统计平均值】
M lim
N M
i i
i
N
N
Pi M i
i
•对大量分子组成的气体系统的统计假设：
（1）平衡态时分子按位置的分布是均匀的，即分子 数密度到处一样； （2）平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均匀的
麦克斯韦速率分布函数
3 2
m f v 4 e 2 kT
3 2
mv 2
2 kT
v2
三、麦克斯韦速率分布曲线 f(v)
vp最概然速率
(1 )
v0
v
vp
令
说明：
df v 0 dv
f(v) 0
v vp
V
f ( v )最大
解得
2kT 2RT vp m
i i E1mol N A kT RT 2 2 M i M i M千克理想气体内能： E N A kT RT 2 2
1mol理想气体内能:
理想气体的内能只是温度的函数 而且与热力学温度成正比 内能是一宏观量，也是统计平均值
7-4 麦克斯韦速率分布律
一、速率分布函数
一定量的气体分子总数为N dN表示速率分布在某区间 v~v+dv内的分子数 dN/N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的 比率（或百分比）。 dN/N还应与区间大小成正比 dN/N 是 v 的函数 因此有 或
dN N
f v dv
f(v):速率分布函数
dN f v N dv
物理意义：速率在 v 附近，单位速 率区间的分子数占总分子数的比率。
二、麦克斯韦速率分布函数
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略 时，分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总 分子数的比率为
dN v m mv 2 2 kT 2 v dv 4 e N 2 kT
这里m为分子的质量，为分子的摩尔质量。 现教材为一个分子的质量，M为分子的摩尔质量.
f(v)
N Nf (v)dv
v1
v2
面积= dN/N
dN Nf (v)dv
v1 v2 vp v v+dv V
（2）曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在 此速率区间内的分子数占总分子数的比率dNv/N 。 1 dN dv f ( v ) dv dN Ndv N 整个曲线下的面积：
v
2
v
2
v
2
v1
v1
v1
f v dv
0

N
dN N
0
1
归一化条件
（3）T变化时，曲线如何变化？ f(v) f(vp1) T1 T2 T3
vp
2kT m
2 RT
f(vp2) f(vp3)
T3 T2 T1
vp 温度越高，速率大的分子数越多
v
同一温度下不同种气体速率分布比较
二、状态参量
压强 p Pa 温度 T 273 t K 体积 V m 3
f ( p ,V ,T ) 0
三、理想气体及状态方程
状态方程
在压强不太高、温度不太低的实际气体都可视为理想气体
pV
M

RT
或 p nkT
M 气体质量， kg R 8.31 J mol -1 K -1
vix dt
dI = 2 mnivix2 dt dA i (vix>0)
从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加 在单位面积器壁上的平均冲量。有 2
dI 2 P m ni vix dt dA i
2 x
v
2 x
2 y 2 z
n v
i
i ix
1 2 v v v v 3
vx v y vz 0
1 2 v v v v 3
2 x 2 y 2 z
三、压强公式的推导 设在体积为V的容器中储有N个质量为m的分子组成 的理想气体。分子数密度为n=N/V.
设第 i 组分子的速度在 vi vi d vi 区间内。
为讨论方便，将分子按速度分组
气体摩尔质量， kg
1 N N R p RT T nkT V NA V NA
p1V1 p2V2 T1 T2
7-2 理想气体的压强公式
一、理想气体的微观模型
分子本身的线度，比起分子之间的距离来说可以忽略 不计。可看作无体积大小的质点。 除碰撞外，分子之间以及分子与器壁之间无相互作用。 分子之间以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性的， 即碰撞前后气体分子动能守恒。
平均速率： v

0
vdN N

vf ( v )dv
0

v
8 kT m
8 RT
方均根速率： v 2 0
v
2
v 2 dN N
v 2 f ( v )dv
0



0
v f ( v )dv
2
v
2
3kT m
3 RT
三种速率的大小关系：
2
讨论分布
v : v : vp 3 :
•宏观物体是由大量微粒--分子（或原子）组成的。 •物体中的分子处于永不停息的无规则运动中，其激烈程 度与温度有关。 •分子之间存在着相互作用力。
7-1 平衡态 状态参量 理想气体
一、平衡态： 在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间改变的 状态，称为平衡态。 说明两个概念： 动态平衡 处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间 改变。这称为动态平衡。 涨落 处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。 平衡态是一个理想化模型，我们主要研究平衡态的热学规律。
中的气体分子的分布将如何？？ 当系统在力场中处于平衡态时:
n n0 e
P kT
p为分子在外力场中的势能 n0为 p＝0处的分子数密度
二、重力场中粒子按高度的分布
z0
p 0
P ( z ) mgz
mgz kT
z
0
Z
n n0 e
假设：大气为理想气体 不同高度处温度相等 P = nkT
3 Av 0 f v dv 1 2N
Nf (v)
A
（2）
dN Nf (v)dv
1 .5 v 0 v0
v0
1 .5 v 0
2v0
v
2 N Nf v dv Nf v dv Nf v dv N 0 0 v0 3 2 v0 v0 11 （3）v 0 vf v dv 0 vf v dv v0 vf v dv 9 v0
2 3
t 3 2 kT
温度的微观意义
平均平动动能只与温度有关
温度标志物体内部分子无规运动的剧烈程度。
温度的统计意义
温度是统计概念，只能用于大量分子。
7-3 能量均分定理 理想气体的内能
自由度：确定一个物体的空间位置 所需要的独立坐标数目。
t : 平动自由度
r : 转动自由度
按分子结构：分子可分为单原子分子，双原子分子， 多原子分子。 单原子分子(自由运动质点) t=3 刚性双原子分子 t=3 r=2 刚性多原子分子 t=3 r=3
若要求 0 1.5v0 区间分子速率的平均值
v?

1 .5 v 0
0
vf v dv
v
0
1 .5 v 0 1 .5 v 0
vdN dN
0

1 .5 v 0
0 1 .5 v 0 0
vf v dv f v dv
7-5 玻尔兹曼分布
一、玻尔兹曼分布 对于更一般的情形，如在外力场
mgz kT
n n0 e
mgz kT

P n0 kTe
n
2 P1 mn v 3
压强公式
2 t 1 m v 2
分子平均平动动能
2 3 1 2
P n( mv ) 2 3 n t
2
#显示了宏观量与微观量的关系。 #是力学原理与统计方法相结合得出的统 计规律。
四、理想气体的温度和分子平均平动动能
理想气体的状态方程P nkT
P n t
N个 原子组成的分子 总自由度= 3N，其中分子整体 平动自由度 =3 ，整体转动自由度= 3 振动自由度 = 3N - 6
一、能量均分定理
一个分子的平均平动动能为 平衡态下 可得
1 2
2 3 t 1 m v 2 kT 2
v v v v
2 x 2 y 2 z 1 3
2 x 1 2 2 y 1 2 2 z
i
3 kT 单原子分子 2 5 刚性双原子分子 kT 2 6 刚性多原子分子 kT 3kT 2
#是气体分子无规则碰撞的结果。
i kT 2
# 是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。