新人教版高中数学必修第一册：课时跟踪检测(三十五) 诱导公式五、六

课时跟踪检测（三十五） 诱导公式五、六A 级——学考合格性考试达标练1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．若cos(α＋π)＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2＝( )A ．23B ．－23C ．53D ．－53解析：选A 因为cos(α＋π)＝－cos α＝－23，所以cos α＝23.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α－3π2＝cos α＝23. 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝－ 3.4．化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的结果是( ) A ．1 B ．sin 2α C ．－cos 2αD ．－1解析：选C 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α，所以原式＝cos α(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，选C. 5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A 、B 错． ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cos A ＋C 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错．∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，故D 正确．6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．已知sin(π＋α)＝－13，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________．解析：因为sin(π＋α)＝－sin α＝－13，所以sin α＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.答案：－138．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α)＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.答案：－sin 2α9．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫a ，35，求sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋2sin ⎝⎛⎭⎫π2－α2cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α的值．解：因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫a ，35，所以a 2＋925＝1(a <0)， 所以a ＝－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos αsin α＝⎝⎛⎭⎫－32×－4535＝2. 10．化简：(1)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （π＋α）；(2)tan （3π－α）sin （π－α）sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋sin （2π－α）cos ⎝⎛⎭⎫α－7π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos （2π＋α）.解：(1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， ∴原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.(2)∵tan(3π－α)＝－tan α， sin(π－α)＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α， ∴原式＝－tan αsin α（－cos α）＋（－sin α）（－sin α）（－cos α）·cos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.B 级——面向全国卷高考高分练1．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32，则tan(2 019π－α)＝( )A. 3B ．－ 3 C.3或－ 3D.33或－33解析：选B 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝32得sin α＝－32，又0<α<3π2，所以π<α<3π2，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－322＝－12，tan α＝ 3. 所以tan(2 019π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－ 3. 故选B.2．已知角α的终边上有一点P (1，3)，则sin （π－α）－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2cos （－π＋α）的值为( )A ．－25B ．－45C ．－47D ．－4解析：选A ∵点P (1，3)在α终边上，∴tan α＝3，∴sin （π－α）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2cos （－π＋α）＝sin α－cos α－sin α－2cos α＝tan α－1－tan α－2＝3－1－3－2＝－25.故选A.3．如果f (sin x )＝cos 2x ，那么f (cos x )的值为( ) A ．－sin 2x B ．sin 2x C ．－cos 2xD ．cos 2x解析：选C f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos(π－2x )＝－cos 2x .4．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C.892D ．45解析：选C ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，……，∴sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝44＋12＝892.5．sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝________．解析：sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝1.答案：16．已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos （－π－α）tan （π－α），则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________．解析：∵f (α)＝（－sin α）（－cos α）（－cos α）（－tan α）＝cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12.答案：127．在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，试判断△ABC 的形状．解：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B .又∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C 2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，∴cos C ＝cos B .又B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．8．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在角α，β满足条件，则由题可得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴cos 2α＝12，∴cos α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos α＝22.由cos α＝22，3cos α＝2cos β，得cos β＝32. ∵β∈(0，π)，∴β＝π6.∴sin β＝12，结合①可知sin α＝22，则α＝π4.故存在α＝π4，β＝π6满足条件．C 级——拓展探索性题目应用练已知函数f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan （2π－α）tan （α＋π）sin （α＋π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)·f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值；(3)若f ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2f (α)，求f (α)·f ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值．解：(1)f (α)＝－cos αsin α（－tan α）tan α（－sin α）＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α，因为f (α)·f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，所以cos α·sin α＝18，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （α）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22＝(sin α－cos α)2＝34，由5π4≤α≤3π2，得cos α>sin α，所以f (α)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32.(3)由(2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2f (α)即为sin α＝－2cos α，联立sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos 2α＝15，所以f (α)·f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin αcos α＝2cos 2α＝25.。