〖含高考模拟卷15套〗云南省文山州广南县第一中学2020届高考适应性考试数学试卷含解析
云南师范大学附属中学2020届高考适应性月考卷(四) 文科数学附答案与详解
西南名校联盟高考适应性月考卷文科数学试卷注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2|10A x x =->，{}|0,1,2,3B x =，则()R C A B =I （ ） A. {}2,3 B. {}0,1C. []1,1-D. ()(),11,-∞-+∞U2. 复数z 满足()12z i i ⋅-=，则z =（ ） A. 1i - B. 1i + C. 1i --D. 1i -+3. 《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.如果经过n 天，该木锤剩余的长度为n a （尺），则n a 与n 的关系为（ ）A. 12n n a =B. 112n n a =-C. 1n a n=D. 11n a n=-4. 若关于x 的不等式210ax ax ++≥的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A. []0,4 B. ()0,4 C. [)4,0-D. []4,0-5. 已知命题p ：0x ∀≥，1xe ≥或sin 1x ≤，则p ∀为（ ）A. 0x ∃<，1xe <且sin 1x > B. 0x ∃<，1xe ≥或sin 1x ≤C. 0x ∃≥，1xe <或sin 1x > D. 0x ∃≥，1xe <且sin 1x >6. 两个红球与两个黑球随机排成一行，从左到右依次在球上标记1，2，3，4，则红球上的数字之和小于黑球上的数字之和的概率为（ ）A.16 B.14 C. 13D. 127. 定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象交于点P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12P P 的长为（ ）A.23B.C.D.568. 某多面体的三视图如图所示，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长棱的长为（ ）A.B. C. 3D. 9. 如图是函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象，则34f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A. -2B.C. 2D.10. 已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A. 1B.C.1D.1l. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，对任意的实数1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，则不等式()1f x x ->的解集为（ ） A. (),2-∞- B. ()2,+∞C. ()(),11,-∞-+∞UD. ()(),22,-∞-+∞U12. 在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成曲边三角形，作两个内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块，阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的，由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，他称此为“皮匠刀定理”，如图，若2AC CB =，则阴影部分与最大半圆的面积比为（ ）A.1081B.2081C.49D.89二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知狄利克雷函数()1,0,R x QD x x C Q∈⎧=⎨∈⎩，则()()D D x =______.14. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l α⊂，m β⊂.给出下列三个论断：①l m ⊥；②l β⊥；③αβ⊥.以其中一个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出一个真命题：______.（用论断序号和推出符号“⇒”作答）15. 双曲线S ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以线段12F F 为直径的圆与S 的渐近线的交点恰是一个正六边形的顶点，则S 的离心率为______. 16. 已知数列{}n a满足112n a +=+134a =，则2020a =______. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知三角形ABC，56A π=，D 在边BC 上，6CAD π∠=，2BD DC =，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求a ，b ，c .18. 2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年~2018年，我国GDP 从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均CDP 从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018年GDP总量y（万亿元）的折线图.注：年份代码1~7分别对应年份2012~2018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年全国GDP的总量.附注：参考数据：71492.01 iiy ==∑，70.29y=，712131.99 i iit y ==∑165.15≈.参考公式：相关系数()()ni it t y y r--=∑回归方程$$y a bt=+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ni iiniit t y ybt t==--=-∑∑$，$a y bt=-$.19. 如图，楔形几何体EF ABCD-由一个三棱柱截去部分后所得，底面ADE⊥侧面ABCD，90AED∠=︒，楔面BCF是边长为2的正三角形，点F在侧面ABCD的射影是矩形ABCD的中心O，点M在CD上，且CM DM=.（1）证明：BF ⊥平面AMF ； （2）求楔形几何体EF ABCD -的体积. 20. 已知函数()1sin ln 12f x x x x =+--，()'f x 为()f x 的导数. （1）证明：()f x 在定义域上存在唯一的极大值点； （2）若存在12x x ≠，使()()12f x f x =，证明：124x x <.21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点为()1F .（1）求C 的标准方程；（2）若动点M 为C 外一点，且M 到C 的两条切线相互垂直，求M 的轨迹D 的方程；（3）设C 的另一个焦点为2F ，自直线l ：7x =上任意一点P 引（2）所求轨迹D 的一条切线，切点为Q ，求证：2PQ PF =.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是曲线段C ：2x t y t=⎧⎨=-⎩（t 是参数，1122t -≤≤）的左、右端点，P 是C 上异于A ，B 的动点，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（1）建立适当的极坐标系，写出点Q 轨迹的极坐标方程； （2）求PA PQ ⋅的最大值. 23.【选修4-5：不等式选讲】已知()()()2f x x x a a R =--∈，若关于x 的不等式()6f x >的解集为()()4,58,+∞U . （1）求a ；（2）关于x 的方程()f x b =的方程有三个相异实根1x ，2x ，3x ，求123x x x ++的取值范围.云南师大附中2020届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5：BDAAD 6-10：CACBC11-12：BB【解析】1. (){}{}{}|110,1,2,30,1R C A B x x =-≤≤=I I ，故选B.2. ()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+，故选D. 3. {}n a 是一个首项为12，公比为12的等比数列，所以12n n a =，故选A. 4. 当0a =时，不等式为10≥，恒成立，满足题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨-≤⎩，解得04a <≤，或0a ≠时，()f x 有最小值，且最小值大于或等于0，即0102a f >⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得04a <≤.综上，实数a 的取值范围是[]0,4，故选A.5. 全称命题的否定为特称命题，()()()p q p q ⌝∧=⌝∨⌝，()()()p q p q ⌝∨=⌝∧⌝，故选D.6. 红球与黑球上标记数字情况用表格列举如下：共6种情况，其中红球与黑球上数字之和相等的情况有两种，其余4种情况中红球上数字之和小于黑球上数字之和与红球上数字之和大于黑球上数字之和是“对等”的，各占一半，故所求概率为2163=，故选C. 7. 如图，从6cos 5tan 02x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭中解出sin x 的值为23，即为所求线段12P P 的长，故选A.8. 多面体的直观图如图所示，111AE A E ==，111112AD AA EE A D DD DC ======，11CE D E ==，1CD =13CE =，最长棱为1CE ，其长为3，故选C.9. 根据图象，可得()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以332sin 424f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10. 法一：将A ，C 视为定点，OA OC ⊥，O 视为以AC 为直径的圆上的动点，AC 的中点为M ，当BO过圆心M ，且O 在BM 的延长线上时，OB 1，故选C.法二：设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy-+=⇒+=++11≤+=+取等号条件：ay cx =，令d B O ==，则212d d ≤+，得1d ≤，故选C.1l. 设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，得()()112211f x x f x x --<--，即()()12F x F x <，所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->，所以11x ->，2x >，故选B.12. 设2BC r =，则4AC r =，6AB r =，建立如图所示的坐标系，()0,0C ，()12,0O r -，(),0O r -，()2,0O r ，设()3,O a t -，()4,O b v ，则()()22222r a r a t +--=，得t =所以(3O a -，由圆O与圆3O3r a=-，解得23a r=.同理()()222r b r b v+--=，得v=O与圆4O3r b=-，解得23b r=，于是阿基米德“皮匠刀定理”得证.()()222211123222223rr r rSππππ⎛⎫⋅-⋅--⋅⋅ ⎪⎝=⎭阴影2109rπ=，所以22102099812SrrSππ==阴影大半圆，故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 1 14. ②⇒①③15. 2 16.24+【解析】13. ()0D x=或1，()()1D Dx=.14. ②⇒①③.15. tan60ba=︒=2223c aa-=，224ca=，所以2cea==.16.由题意，112na≤≤，22111122n n n na a a a++⎛⎫=-=-⎪⎝⎭221114n n n na a a a++⇒-+=--①，于是22221114n n n na a a a++++-+-=-②，②-①得()()2210n n n na a a a++-+-=，因为134a=，所以210n na a++-≠，所以2n na a+=，所以数列{}n a是周期数列，周期为2，所以202021224a a==+=.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 解：如图，2sinsin 32sin sin 6ABD ACD c S BD c BAD S DC b CAD b ππ∆∆∠==⇒=∠2==，①1151sin sin 2264ABC S bc A bc bc π∆====联立①，②，解得b =c =在ABC ∆中，由余弦定理，得22252cos 682266a b c bc A π=+-=+-=，所以a =18. 解：（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得4t =，()72128ii tt=-=∑，()()777111iii iii i i tty y t y t y===--=-∑∑∑2131.994492.01163.95=-⨯=，所以163.950.99165.15r =≈，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（2）由70.29y =及（1）得()()()71721163.955.8628iii ii tty y btt===≈--=-∑∑$， $70.29 5.86446.85ay bt ≈-⨯==-$， 所以y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+.将2019年对应的代码8t =代入回归方程得$46.85 5.86893.73y =+⨯=. 所以预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元.19.（1）证明：如图，连接MO 交AB 于N ，连接FN ，MB . 则N 是AB 的中点，2AD NM BC ===.因为FO ⊥平面ABCD ，所以平面FMN ⊥平面ABCD ，又平面ADE ⊥平面ABCD ，所以平面//ADE 平面FMN ， 根据题意，四边形ABFE 和DCFE 是全等的直角梯形， 三角形ADE 和NMF 是全等的等腰直角三角形，所以NF MF ==1OF =，在直角三角形BFN 中，NB ==所以AB =2AF =，MB =于是222AF BF AB +=，222MF BF MB +=，所以BF AF ⊥，BF MF ⊥. 因为,AF MF ⊂平面AMF ，AF MF F =I ， 所以BF ⊥平面AMF .（2）解：据（1）可知，楔形几何体EF ABCD -由直三棱柱ADE NMF -和四棱锥F BCMN -组成，直三棱柱ADE NMF -的体积为ADE NMF ADE V S AN -∆=⋅12==四棱锥F BCMN -的体积为13F BCMN BCMN V S FO -=⋅12133=⨯=，所以楔形几何体EF ABCD -的体积为3ADE NMF F BCMN V V --+=. 20. 证明：（1）()11'cos 12f x x x =+-， 当2x ≥时，1102x <≤，11112x -<-≤-，()11111cos 1cos cos 102222x x x x +-≤-=-≤，“=”不能同时取到，所以()'0f x <；当02x <<时，()211''sin 02f x x x =--<，所以()'f x 在()0,2上递减， 因为()1'1cos102f =>，()11'2cos 2022f =-<，所以在定义域()0,+∞存在唯一0x ，使()0'0f x =且()01,2x ∈；当00x x <<时，()'0f x >；当0x x >时，()'0f x <，所以0x 是()f x 在定义域()0,+∞上的唯一极值点且是极大值点.（2）存在12x x ≠，使()()12f x f x =，即11122211sin ln 1sin ln 122x x x x x x +--=+--， 得()1212121sin sin ln ln 2x x x x x x ---=-. 设()sin g x x x =-，则()'1cos 0g x x =-≥，()g x 在()0,+∞上递增， 不妨设120x x >>，则()()12g x g x >，即1122sin sin x x x x ->-，1212sin sin x x x x ->-， 所以()()()()1212121211sin sin 22x x x x x x x x ---<---12ln ln x x =-，得12122ln ln x x x x -<-，121212ln ln 2x x x x x x -+<<-2<，124x x <. 21.（1）解：设()2220a b c c -=>，由题设，得c =4c a =，所以4a =，29b =， 所以C 的标准方程为221169x y +=. （2）解：设(),M m n ，切点分别为1P ，2P ，当4m ≠±时，设切线方程为()y n k x m -=-，联立方程，得()221169y n k x m x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，得()()()22216932161440k x k n km x n km ++-+--=，① 关于x 的方程①的判别式()()()222221324169161440k n km k n km ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦， 化简，得()22216290m k mnk n -++-=，②关于k 的方程②的判别式()()2222244169m n m n ∆=---()224916144m n =+-，因为M 在椭圆221169x y +=外，所以221169m n +>，即229161440m n +->，所以20∆>， 关于k 的方程②有两个实根1k ，2k 分别是切线1MP ，2MP 的斜率.因为12MP MP ⊥，所以121k k =-，即229116n m-=--，化简为2225m n +=. 当4m =±时，可得3n =±，满足2225m n +=，所以M 的轨迹方程为2225x y +=.（3）证明：如图，)2F ，设0P y ⎫⎪⎪⎝⎭，2202022256812577y PQ OP Q y O ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝=⎭-， 2222200817PF y y =+=+⎝， 所以222PQ PF =，即2PQ PF =.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）如图，曲线段C 即为抛物线上一段21122y x x ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭， 端点11,24A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，11,24B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 在A 处的切线斜率为1212⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，与y 轴的交点坐标为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为QA QB ⊥，所以Q 的轨迹是以线段AB 为直径的圆弧（不含端点），以线段AB 的中点10,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭为极点，射线MB 为极轴，建立极坐标系， 则Q 点轨迹的极坐标方程为1022πρθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.（2）设直线PM 与以10,4M ⎛⎫-⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆交于两点E ，F ， 则12ME MF ==, 由相交弦定理，得PA PQ PE PF ⋅=⋅()()214ME PM MF PMPM =+⋅-=-2222211114444t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 当0t =，即()0,0P 时，PA PQ ⋅最大，最大值为316。
云南省文山州广南县第一中学校2024届高三上学期第一次省统测数学模拟试题
一、单选题二、多选题1. 在下列各组向量中，可以作为基底的一组是（ ）A．B．C．D．2. 在梯形中，，，且，若与交于点，则（ ）A．B．C．D．3. 下列函数中最小正周期不是的周期函数为（ ）A．B．C．D．4. 函数的最小正周期和最大值分别是（ ）A．B．C．D．5. 某地区一个家庭中孩子个数X 的情况如下．X 1230P每个孩子的性别是男是女的概率均为，且相互独立，则一个家庭中男孩比女孩多的概率为（ ）A．B．C．D．6.已知 是方程的根，是方程的根，则的值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．107. “a=0”是“直线l 1：x+ay a=0与l 2：ax （2a 3）y 1=0”垂直的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A．B．C．D．9. 放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（ ）物质τ的量纲单位τ的值铀234万年35.58铀235亿年10.2铀238亿年64.75A．B．与成正比例关系C．D．云南省文山州广南县第一中学校2024届高三上学期第一次省统测数学模拟试题三、填空题四、解答题10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．的最大值为1B．的图象关于点对称C ．在上单调递增D ．存在，使得对任意的都成立11. 已知，是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．在上的投影向量为12. 棱长为6的正四面体的四个顶点均在球的表面上，若点为球面上的任意一点，则的取值可以为（ ）A．B ．3C ．5D．13.已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为__________.14. 在四面体PABC中，平面平面ABC ，，，则该四面体的外接球的体积为___________.15. 某学校实行导师制，该制度规定每位学生必须选一位导师，每位导师至少要选一位学生，若，，三位学生要从甲，乙中选择一人做导师，则选中甲同时选中乙做导师的概率为______.16. 已知四棱锥如图所示，其中，，，，平面平面，点在线段上，，点在线段上.(1)求证：；(2)若平面与平面所成角的余弦值为，求的值.17.在正四棱柱中，O为的中点，且点E 既在平面内，又在平面内．(1)证明：；(2)若，，E 为AO 的中点，E 在底面ABCD 内的射影为H ，指出H 所在的位置（需要说明理由），并求线段的长．18. 已知等差数列的各项均为正数.若分别从下表的第一､二､三列中各取一个数，依次作为，且中任何两个数都不在同一行.第一列第二列第三列第一行4511第二行3109第三行876(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为.求证：.19. 已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G．证明△PQG是直角三角形．20. 某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l，单位:cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于 85 cm和155 cm之间，得到如下频数分布表：分组频2922332482数已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).（1）求；（2）公司规定:当时，产品为正品:当时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元;若是次品，则亏损30元.记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：，若，则，，21. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离.。
云南省文山州广南县第一中学校2024届高三上学期第一次省统测数学模拟试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 奇函数满足，当时，，则（ ）A．B．C．D．2.已知函数的图象的一个对称中心是，则函数图象的一条对称轴是( )A．B．C．D．3. 下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程（单位：公里）及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是（）A ．这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多B ．这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里C ．这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4D ．这10城市地铁运营线路条数的极差是124. 已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）A．B．C．D．5.椭圆的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线的斜率之积为，则C 的离心率为（ ）A．B．C．D．6. 中国古代数学名著《九章算术》中“均输”一章有如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少．”意思是“今有竹9节，下部分3节总容量4升，上部分4节总容量3升，且自下而上每节容积成等差数列，问中间二节容积各是多少？”按此规律，中间二节（自下而上第四节和第五节）容积之和为（ ）A．B．C．D．7. 设[x]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x, y, 有A ．[－x]=－[x]B ．[x + ]=[x]C ．[2x]=2[x]D．8. 函数的极小值点为（ ）A．B．C．D．9. 已知且满足，则以下是真命题的有（ ）A．B．C．D．云南省文山州广南县第一中学校2024届高三上学期第一次省统测数学模拟试题 (2)云南省文山州广南县第一中学校2024届高三上学期第一次省统测数学模拟试题 (2)三、填空题四、解答题10. 5G 技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围.目前，我国加速了5G 技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G 手机销量，如下表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份编号12345销量/部5295185227若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）A ．5G 手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台B．C．与正相关D ．预计12月份该手机商城的5G 手机销量约为318部11.梯形中，，沿着翻折，使点到点处，得到三棱锥，则下列说法正确的是（ ）A ．存在某个位置的点，使平面B．若的中点为，则异面直线与所成角的大小和平面与平面所成角的大小相等C ．若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是D ．若的中点为，则必存在某个位置的点，使12.已知函数的定义域为，且满足，则（ ）A．B．C．既是奇函数又是偶函数D．13.若，则过点的切线方程为_________________.14. 设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．15. 过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若三棱锥与三棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的正切值为______.16. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点.（1）若直线与椭圆的长轴垂直，，求椭圆的离心率；（2）若直线的斜率为1，，求椭圆的短轴与长轴的比值.17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若，边上的中线的长为1，求的面积.18.已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)对任意的，令，求数列的前n项和．19.已知函数.（1）常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；（2）若函数在上的最大值为，求实数的值.20. 已知函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若，且在上，恒成立，求实数的取值范围．21.已知函数.(1)当时，求在点的切线方程；(2)若恒成立，求的取值范围.。
云南省文山州广南县第一中学校2024届高三上学期第一次省统测数学模拟试题
一、单选题二、多选题1. 若函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 已知，，若，则（ ）A．B．C ．5D ．103. 在中内角的对边分别为，若,，，则值是（ ）A．B．C．D．4. 已知为虚部单位，复数为纯虚数，则的虚部为（ ）A ．B．C．D．5.函数的定义域为（ ）A．B．C．D．6.化简A．B．C．D．7.已知等差数列的前n项和为，，.若对任意且，总有恒成立，则实数的最小值为（ ）A ．1B．C．D．8. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增，其中正确的命题有（ ）A ．②③B ．①③C ．②④D ．①②③④9. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）A．B ．的图象关于点对称C．D ．（）10. 已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，m ∥，则C ．若，则D ．若，则11. 已知函数则（ ）A ．的最小正周期为B．在上单调递增C ．直线是图象的一条对称轴D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到云南省文山州广南县第一中学校2024届高三上学期第一次省统测数学模拟试题云南省文山州广南县第一中学校2024届高三上学期第一次省统测数学模拟试题三、填空题四、解答题12. 函数的图象经过怎样的平移可以得到函数的图象（ ）A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度C ．向左平行移动个单位长度D ．向右平行移动个单位长度13. 如图，四棱锥中，底面为四边形.其中为正三角形，又.设三棱锥，三棱锥的体积分别是，三棱锥，三棱锥的外接球的表面积分别是.对于以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确命题的序号为______.14. 如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正八棱锥的高和底面边长之比为________.(参考数据：)15. 已知角，的终边关于原点O对称，则______．16. 记的内角所对的边分别为，，，已知，且，，依次成等比数列.(1)求；(2)若，求的周长.17. 已知函数，为的导函数.(1)证明：当时，；(2)判断函数的零点个数.18.在中, ,.(1)求的长;(2)设是平面内一动点,且满足，求的取值范围.19.如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点.(1)求此圆锥的表面积：(2)求异面直线PQ 与SO 所成角的大小.20. 在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的最大值.21.设函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）如果对于任意的，都有成立，试求的取值范围.。
云南省文山壮族苗族自治州2024年数学(高考)部编版模拟(自测卷)模拟试卷
云南省文山壮族苗族自治州2024年数学（高考）部编版模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（）A．B．C．或1D．第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知等差数列中，与的等差中项为8，且，则（）A．6B．9C．12D．18第(5)题已知等比数列满足，其前项积为，则（）A．B．C．D．第(6)题已知是坐标原点，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上的点，且，是的角平分线上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3第(7)题已知正方体以某直线为旋转轴旋转角后与自身重合，则不可能为（）A．B．C．D．第(8)题复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（）A．椭圆的长轴长为B．椭圆的离心率C．△的周长为D．的取值范围为第(2)题若实数，满足，，，则（）A．且B．的最小值为C．的最小值为7D．第(3)题已知函数，则下列判断正确的是（）A．若，且，则B．若，且，则C．是偶函数D．在区间上单调递增三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知函数.若函数存在5个零点，则实数的取值范围为_________.第(2)题已知为圆上三点，且，则____________.第(3)题某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方案数为___________．四、解答题（本题包含5小题，共77分。
云南2020届高三下学期高考适应性月考卷(七)文科数学(含答案)z
2020届云南高三下学期高考适应性月考卷(文科)数学（七）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目.设集合U={甲班全体同学},集合A= {参加跳高的甲班同学},集合B= {参加跳远的甲班同学},则()U A B ⋂ð)表示的是A.既参加跳高又参加跳远的甲班同学B.既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C.参加跳高或跳远的甲班同学D.不同时参加跳高和跳远的甲班同学2.已知复数13,z i =-+则28z= .13A i -+.13B i -- .13C i +.13D i - 3.已知平面向量,,a b rr 命题“||2||a b =r r ”是“|2||2|a b a b +=-r r r ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某工厂为了对40个零件进行抽样调查,将其编号为00, 01, 38, 39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表,从第一行第3列开始，由左至右依次读取,则选出来的第5个零件编号是A.36B.16C.11D.145. 一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多则可以完全确定的是A.甲同学三个科目都达到优秀B.乙同学只有一个科目达到优秀C.丙同学只有一个科目达到优秀D.三位同学都达到优秀的科目是数学6.朱世杰是元代著名的数学家,有“中世纪世界最伟大的数学家”之称.其著作《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著,受到数学史研究者的高度评价.《四元玉鉴》下卷“杂范类会”中第一问为: "今有沈香立圆球一只，径十寸,今从顶截周八寸四分,问厚几何?"大意为现有一个直径为10的球,从上面截一小部分,截面圆周长为8.4,问被截取部分几何体的高为多少.已知朱世杰是以圆周率为3来计算，则《四元玉鉴》中此题答案为(注:24.823.04=)A.0.2B.0.4C.0.6D.0.87.函数25()x xx f x e e -=+的图象大致为8.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为3,则p= A.1 B.2 C.3 D.49.在正四面体A-BCD 中, E. F 分别为AB, CD 的中点,则下列命题不正确的是 A. EF ⊥ABB. EF ⊥CDC.EF 与AC 所成角为4πD.EF 与BD 所成角为3π 10. 如图1,已知在算法中“\”和“mod”分别表示取商和取余数.为了验证三位数卡普雷卡尔“数字黑洞”( 即输入一个无重复数字的三位数，经过如图的有限次的重排求差计算，结果都为495).小明输入x=325，则输出的i=A.3B.4C.5D.611.已知函数2()cos ,f x x x =-1351(log 3),(log ),5a f b f ==C=31(()),5fA. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b12.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位我们来看一种简单的“特殊”状况:如图2所示,已知三个发射台分别为A, B. C 且刚好三点共线，已知AB=34海里，AC=20海里.现以AB 的中点为原点, AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P 在双曲线22(27)13664x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs(已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs.1海里=1.852km),则点P 的坐标(单位:海里)为A.903211(,)7B.135322(,7 32.(17,)3C ±D. (45,162)±二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分) 13. 曲线2(1)ln y x x =+在(1, 0)处的切线方程为_____14.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足13,a =且1413,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =____15. 已知x, y 满足315,212,,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N,则z=3x+2y 的最大值为____16.已知ω>14，函数()sin()4f x x ωπ=+在区间(π, 2π)上单调. 1(,1].4ω∈①②f(x)在区间(π, 2π)上单调递减;③f(x)在区间(0, π)上有零点;④f(x) 在区间(0, π)上的最大值一定为1. 以上四个结论，其中正确结论的编号是____三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分12分）华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢。
2020年高中阶段学校招生统一考试适应性考试数学试题含答案
2020年高中阶段学校招生统一考试适应性考试数 学 试 卷全卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共4页。
全卷满分120分,考试时间共120分钟。
答题前,请考生务必在答题卡上正确填写自己所在的学校、班级、姓名、考号。
考生作答时,须将答案写在答题卡上,在试卷、草稿纸上答题无效。
选择题每小题选出的答案须用2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案。
非选择题须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答。
作图题须画在答题卡上,可先用铅笔绘出,所得图形经过确认后,再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描画清楚。
第I 卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置） 1．3-的倒数是A ．3B ．3-C ．31-D ．312．中国教育在线发布的《2019年全国研究生招生调查报告》显示，2019年全国硕士研究生报名人数强势增长，达到2900000人，2900000这个数用科学记数法表示为 A ．5109.2⨯B ．6109.2⨯C ．7109.2⨯D ．51029⨯3．下列结果等于46a 的是A ．2223a a +B ．2223a a ⋅C ．22)3(aD ．2639a a ÷4．下列图形中，是正方体的平面展开图的是A ．B ．C ．D ． 5. 如图，AB ∥CD ，点E 在CA 的延长线上． 若°50=∠BAE ， 则ACD ∠的大小为 A ．°120B ． °130C ．°140D ．°1506．据统计，某住宅楼30户居民今年三月份最后7天每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，26，25，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是A ．25，30B ．25 ，29C ．28，30D ．28，297.菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点O ，若6=BD ，则菱形ABCD 的面积是E DCBA第5题图A ．12B ．24C ．48D ．968．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙 购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是A ．⎩⎨⎧=-=-4738x y x yB ．⎩⎨⎧=-=-4738y x x yC ．⎩⎨⎧=-=-4738x y y xD ．⎩⎨⎧=-=-4738y x y x 9．如果关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取 值范围是A ． 2<k 且1≠kB ．2<k 且0≠kC ． 2>kD ．2-<k 10．如图，直线x y 3=经过点A ，作x AB ⊥轴于点B ，将ABO ∆绕点B 顺时针旋转︒60得到CBD ∆，若点B 的坐标为（1，0）， 则点C 的坐标为 A ．（3，21）B ．（25，21） C ．（3，23） D ．（25，23） 11．如图,在正方形ABCD 中，a AB =，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，BF ，DE 相交于点G ，若AB AE 31=，AD AF 31=，则 四边形BCDG 的面积是A ．2107aB ．22417aC ．243aD ． 254a12．已知一次函数a ax y 3=1-，二次函数32=222-）-（-x a x y ．若x ＞0时021≥y y 恒成立,则a 的取值范围是A. 2≤-a 或2≥a B . 2≤≤2a -且0≠a C . 2=-a D . 2=a 第II 卷（非选择题 共84分）注意事项：用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上对应题号位置作答，在试卷上作答无效。
云南省2020届高三适应性考试数学试题(A卷)(理)
云南省2020届高三适应性考试数学试题（A 卷）（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|0}A x x x =+≤，{|ln(21)}B x y x ==+，则A B =（ ）A ．1(,0]2-B ．1[,0]2-C ．1[0,)2D ．1[1,]2--2．已知i 是虚数单位，复数2(12i)-的共轭复数虚部为（ ） A ．4iB ．3C ．4D ．4-3．已知向量(3,2)=a ，(1,1)=-b ，若()λ+⊥a b b ，则实数λ=（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．14．已知(1)n x +的展开式的各项系数和为32，则展开式中4x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．15D ．205．已知命题:0p x ∀≥，1x e ≥或sin 1x ≤，则p ⌝为（ ） A ．0x ∃<，1x e <且sin 1x > B ．0x ∃<，1x e ≥或sin 1x ≤ C ．0x ∃≥，1x e <且sin 1x >D ．0x ∃≥，1x e <或sin 1x >6．已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当(,1]x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设41lo ()g 2a f =，13lo ()g 3b f =，3lo (9)gc f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<7．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.4＋12π 12π+ D.4+ 8．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭。
高三年 级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队 吃饭的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．188种C ．120种D ．156种9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的是（ ）①平面1PB D ⊥平面1ACD ②．1A P ∥平面1ACD③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π(0,]3④．三棱锥1D APC -的体积不变 A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ③④ 10．若函数)2,0)(sin(2)(πθπωθω<<>+=x x f 的图象过点)(,30x f ），（在 ），（π0 只有两个零点，则ω的最值情况为 A ．最小值为31，最大值为34B ．无最小值，最大值为34C ．无最小值，最大值为37D ．最小值为31，最大值为37 11．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果 是奇数，则乘3加1，如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终 总能够得到1。
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A． 2 12
B． 2 4
3 C． 4 D． 3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球 O 的表面上，AB 平面 BCD, BC CD, AB 1, BC 2,CD 3,
则球 O 的表面积为__________．
14．设全集U {1, 2,3, , 20} ，非空集合 A ， B 满足以下条件： ① AB U ， A B ； ②若 x A， y B ，则 x y A 且 xy B
求证：平面 PBC 平面 DEBC ；求三棱锥 P EBC 的体积. 21．（12 分）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 AB AC 2, AB AC, M 是棱 BC 的中点，点 P 在线段 A1B 上．
若 P 是线段 A1B 的中点，求直线 MP 与直线 AC 所成角的大小若 N 是 CC1
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）在极坐标系中，已知曲线 C1 ： 2cos 和曲线 C2 ： cos 3 ，以极点 O 为坐标原点，
极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.求曲线 C1 和曲线 C2 的直角坐标方程；若点 P 是曲线 C1 上一动
点，过点 P 作线段 OP 的垂线交曲线 C2 于点 Q ，求线段 PQ 长度的最小值.
18．（12 分）在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 b 3
2, cos A
6 ,B A
3
2 .求 a
的值；求 cos 2C 的值.
19．（12 分）已知 a, b 为正实数，函数 f (x) | x a | | x 2b | .求函数 f (x) 的最大值；若函数 f (x) 的最 大值为 1，求 a2 4b2 的最小值. 20．（12 分）如图，在四边形 ABDE 中， AB / /DE ， AB BE ，点 C 在 AB 上，且 AB CD ， AC BC CD 2 ，现将 ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PE 2 2 .
x2 a2
y2 3
1(a
3) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过左焦点 F1 的直线 l 与椭圆的一个交
点为 M ，右焦点 F2 关于直线 l 的对称点为 P ，若 F1MP 为正三角形，且其面积为 3 ，则该椭圆的离心
率为（ ）
3
21
3
A． 2 B． 2 C． 2 D． 3
12．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
云南省文山州广南县第一中学 2020 届高考适应性考试数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．已知函数
f
(
x)
e
x
1 ex
,x
0
的图像上存在两个点关于 y 轴对称，则实数 m
的取值范围为（
）
x2 m, x 0
1（ a b 0 ）的左，右焦点分别为 F1 ， F2 ，以 F2 为圆心的圆过椭圆 C
的
中心，且与 C 在第一象限交于点 P ，若直线 PF1 恰好与圆 F2 相切于点 P ，则 C 的离心率为（ ）
3 1
2
5 1
A． 3 1 B． 2 C． 2 D． 2
8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，
13
17
19
25
A． 3 升 B． 6 升 C． 9 升 D． 12 升
5．7 人乘坐 2 辆汽车，每辆汽车最多坐 4 人，则不同的乘车方法有（ ） A．35 种B．50 种C．60 种D．70 种
6．等差数列 中的 、 是函数
的两个极值点，则
（）
A．
B．5 C．
D．
7．已知椭圆 C
：
x2 a2
y2 b2
上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽 3 丈，
长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？”（已知 1 丈为 10 尺）该锲体的三视图如图所示， 则该锲体的体积为（ ）
A．12000 立方尺
B．11000 立方尺
C．10000 立方尺 D．9000 立方尺
数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第 n 行的所有数字之和为 2n1 ，若去除所有为 1 的项，依次
构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（ ）
A．110 B．114 C．124 D．125 4．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的 容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1,3,9 节，则这 3 节的容积之和为（ ）
当 7 A时，1______ B （填 或），此时 B 中元素个数为______.
15．在极坐标系中，直线
π 3
R
被圆
2a sin
a
0 所截弦长为 2
3 ，则 a _______.
16．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长为 a ，点 G 为 CD 的中点，则 AE GF __________．
A． (1, ) B． (2, ) C． (1, 2) D． (0,1)
x 2y 0
2．设
x，y
满足约束条件
x
y
0
,则z x y 的最大值是 (
)
y 4 0
A． 4 B．0 C．8 D．12
3．里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是
9．如图，四棱锥 P ABCD 的底面为矩形，矩形的四个顶点 A ， B ， C ， D 在球 O 的同一个大圆上，
且球的表面积为16 ，点 P 在球面上，则四棱锥 P ABCD 体积的最大值为（ ）
A．8
8 B． 3
16 C．16 D． 3
10．函数
的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知椭圆 O ：
7 的中点，直线 A1B 与平面 PMN 所成角的正弦值为 7 ，求线段 BP 的长度．
22．（10 分）在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，