二项式定理与数列求和
二项式定理与数列求和
二项式定理与数列求和陕西 刘大鸣1对一道高考题的探究题目（03上海高考）已知数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列.⑴ 求 223122021C a C a C a +-，334233132031C a C a C a C a -+-; ⑵ 由 ⑴ 的结果归纳慨括出关于正整数的n 的一个结论，并加以证明.简析： 注意二项式定理展开式的特征“除二项式系数外是关于ab为公比的等比数列的和”.用等比数列的通项公式，逆用定理解决.⑴ 223122021C a C a C a +-()21211112q a q a q a a -=+-=，334233132031C a C a C a C a -+-();q a q a q a q a a 31312111133-=-+-= ⑵ 由⑴的结果归纳慨括出关于正整数的n 的一个结论：数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，则()()n n n n n n n n n q a C a C a C a C a C a -=-++-+-+111134231201 将通项公式代入逆用二项式定理证明：()()()[]().q a C q C q C q qC C a q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a nnn n nn n n n nnn n n n nn n nn n n n -=-++-+-=-++-+-=-++-+-+1111133221133122111011342312012类比推广探究方法和结论：重新认识二项式定理，其展开式，实质为二项式系数构成的一个数列与一个等比数对应项的积构成的数列的和，于是，沟通了二项式定理和数列的求和的关系.凡与二项式系数有关的恒等式问题，常常借助二项式定理和数列求和的解决. 问题：如何求 ∑=ni ini C a 0？ 探究的结论及方法： 若{}n a 是等比数列，则通项公式代入，逆用二项式定理求和；若a n 是某等比数列的和，则求和公式代入分解组合，整体逆用二项式定理求和；若{}n a 是等差数列，则“反序整体思维求和”. 3应用().A ,a C a C a C A ,N n ,q q q q nn nn n n n n n *n n 21,q 3-11.a 1221112求若例<<+++=∈±≠++++=- 简析：如何求和？等比数列求和公式代入，分解组合整体逆用二项式定理化简求解.注意二项式定理展开式的特征，两个特殊数列对应项的积构成的数列之和，重新改写所求和，分解组合，目标逆用二项式定理.()()()[]()[].q qq q q C q C q C qq C C C q q q C q q C q q C A ,q q n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n +--=++---=++--+++-=--⨯++--∙+--∙=∴--=121111121111111111111a 22121221n 由题设知，例 2 （教材第二册下(A) 146页8题）nn n n nC C C ++++= 321n n32C S 求.简析：教材的意图是用组合数性质推论“连锁反应”求证. 若注意二项式定理展开式的特征和组合数的性质及等差数列“角数和”性质，“反序求和”使问题简单化.().n S ,n nC nC nC nC S C C C n nC S ,nC C C n n nn n n n n n n n n nnn n nn n n 1021121321n n 2222132C S --∙=∴=++++=∴+++-+=++++=例3 求和()=>++++-++r n C C C C rn rr rr rr121 ？简析：可用组合数性质推论“连锁反应”求证.若注意到二项式定理和组合数及数列求和之间的关系，受教材第二册下(A) 146页7题求解的启示，构造等比数列和的恒等式，对照某项的系数获解.依题设可构建()()()()()[]()()()[],x ,x x xx x x x x x r r n r n r nr r系数可得对照两边的111111111111111+++-++-+=+-+-+=++++++ ()rn r n r r r r r r C r n C C C C 1121+-++=>++++ .。
二项式定理中有关求和问题
二项式定理与组合一、求和的基本问题（1）1=∑nk n k kC .（2）0=∑nk kn k q C .（3）=∑nr k k r C .（4）1(1)!=+∑nk k k .（5）20()nk n k C =∑.例1 （1）求证：()21202!22!!nkn nk n Cn n -==+⋅⋅∑.（2）设m n ∈，*N ，求证：()()()122013313n k nm k m k m mn n -=+++=++-∑.例2 求证：1012311112123411n n nnn n n C C C C C n n +-+++++=++.例3 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．【变式】化简：11(21)mk m kk k C -+=+∑．例4 求证：012121231(2)1233n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+.二项式定理与组合一、有关求和问题1. 二项式定理()+n a b ：2. 常见方法：①赋值法；②求导；③利用性质：11-++=r r r n n n C C C ；11--=k k n n kC nC ；④比较二项展开式两边的系数； ⑤构造排列组合模型； ⑥数学归纳法.3. 常见和式：①1=∑nknk kC ； ②0=∑nkk nk q C ； ③1(1)=-∑nk nk k kC ；变：21nk n k k C C =∑④21=∑nknk k C ； ⑤2()=++∑nk nk ak bk c C ； ⑥0=∑nk kn k kq C ；⑦=∑nrkk rC ； ⑧1(1)!=+∑n k k k ； ⑨(1)=+∑nr k k r k C ；（11(1)(1)+++=+r r k k k C r C 证明：11121...++-++=+++++m n m n m n m m m m m m C C C C C C 证法一组合数公式法: 有组合数性质11n -++=k nk n k C C C 可得： 左边=m n m n m m m m m m C C C C C +++++-++++12111...)（=mnm n m m m m m m C C C C C +++++-++++13212...)（ =m n m n m m m m m m C C C C C +++++-++++14313...)（=......=mn m n m n C C C ++-+-111 ===++++111m n m n m n C C C 右边 证法二组合数实际意义：设有n+1个不同元素,,,...,,,1321+n n a a a a a 从这n+1个元素中取出m+1个不同元素的取法有11++m n C 种。
二项式定理与数列求和
我们讨论下面的数列的前n项和：
（1）1、1、1、1、1、……、1
（2）1、2、3、4、5、……、n
（3）
（4）
（5）
……
对于数列（1），前n项和为：
对于数列（2），由等差数列求和公式可知：
但是对于数列（3）、（4）、（5）就不这么容易了，虽然我们可以通过数学归纳法证明：
但是，稍有思想的人都不会满足于这种证明，他们会更加注重这个要证明的结果的来历。
为了叙述简单，我们采用下面的简单记法：
……
首先我们证明一个特殊的关系：
命题一：
证明：
两式相减有：
命题二：
由乘法的定义可知：n个1相加的结果为n。
命题三：
证明：由二项式定理知： ，从而：
即：
由此可得：
即：
命题四：
证明：由二项式定理可知： ，从而
即：
由此可得：
即：
命题五：
证明：由二项式定理可知： ，从而
即：
由此可得：
即：
命题六：
证明：由二项式定理可知： ，从而
即：
由此可得：
从上面的推导过程可以看出，连续用上面的方法，可以得到任意次的自然数的和。下面我们讨论一般情况下数列的和，即：
由二项式定理可知：
从而有：
可Байду номын сангаас：
即：
至此，我们求出了连续自然数任意次方的和。
2010年11月5日星期五
文档：巧用二项式定理求数列和
巧用二项式定理求数列和二项式定理的展开式，实质为二项式系数构成的一个数列与一个等比数对应项的积构成的数列的和，于是，沟通了二项式定理和数列的求和的关系.因此凡与二项式系数有关的恒等式问题，常常借助二项式定理和数列求和的解决.下面来赏析几个例子。
例1n n n n nC C C ++++= 321n n 32C S 求.解析：123n n S C 23,n n n n C C nC =++++()12112n n n n n n n S nC n C C C -=+-+++ 120122,2n n n n n n n n n S nC nC nC nC n S n -∴=++++=∴=•点评：利用二项式定理展开式的特征和组合数的性质及等差数列“角数和”性质，倒序相加使问题简单化.本题也可以利用组合数性质推论“连锁反应”来求解，显然没有此法简单。
例2求和()121r r r r r r r n C C C C n r ++-++++> 解析：依题设可构建 ()()()1111r r n x x x +++++++=()()()111111r n r x x x -+⎡⎤+-+⎣⎦-+= ()()1111,n r x x x +⎡⎤+-+⎣⎦ 1,r x +对照两边的系数可得 ()1211r r r r r C C C C n r C r r r n n ++++>=++-+.点评：注意到二项式定理和组合数及数列求和之间的关系通过构造等比数列和的恒等式，对照某项的系数获解，本题也可以组合数性质推论“连锁反应”求解。
例3（上海高考题）已知数列是首项为，公比为的等比数列.⑴ 求 223122021C a C a C a +-，334233132031C a C a C a C a -+-;⑵ 由 ⑴ 的结果归纳慨括出关于正整数的的一个结论，并加以证明. 解析：⑴ 223122021C a C a C a +-()21211112q a q a q a a -=+-=，334233132031C a C a C a C a -+- 113a a q =-+ ()32311131;a q a q a q -=-⑵ 由⑴的结果归纳慨括出关于正整数的的一个结论：数列是首项为，公比为的等比数列，则()()n n n n n n n n n q a C a C a C a C a C a -=-++-+-+111134231201 将通项公式代入逆用二项式定理证明：()()()[]().q a C q C q C q qC C a q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=-++-+-=-++-+-=-++-+-+1111133221013312211101134231201 点评：本题注意到二项式定理展开式的特征“除二项式系数外是关于为公比的等比数列的和”.然后利用等比数列的通项公式，逆用定理获得了解决.。
活用二项式定理解数列问题
活用二项式定理解数列问题数列是数学重要的基础知识，并且在各学科中都扮演着重要的角色。
然而，许多数列知识有一个重要的共同特点，即都可以由二项式定理来解决。
因此，学习使用二项式定理来解决一些数列知识，对我们来说是非常有用的。
首先，我们来认识二项式定理。
它是数学中一个重要的定理，它可以用来表示某一个数学序列的和或乘积的概念。
简言之，二项式定理可以帮助我们计算某一个数列的和或乘积，并且可以有效解决许多数列问题。
其次，我们来看看二项式定理是如何解决数列问题的。
首先，我们将要使用二项式定理来解决的数列需要具备两个基本要求：首先，要求数列中的元素是有限的，其次，要求数列是有规律的。
如果满足这两个基本要求，我们就可以使用二项式定理来解决这个数列知识。
接下来，我们来看看具体的案例。
假设我们有一个有限的数列，其元素如下：1，2，3，4，5，6。
那么，我们可以使用二项式定理来计算这个数列的和，可以得到：S=1+2+3+4+5+6=21。
也可以使用二项式定理来计算数列的乘积，其结果为：P=1×2×3×4×5×6=720。
可以看出，二项式定理对解决数列知识是非常有用的。
总之，二项式定理是一种非常有用的数学定理，可以用来解决许多数列问题。
它的优点在于它可以有效的计算某一个有限的数列的和或乘积，有效的解决许多问题。
因此，学习使用二项式定理来解决一些数列知识，对我们来说是非常重要的。
此外，在使用二项式定理解决数列问题的过程中，要注意使用正确的计算方法来计算结果，这样才能得到有效的结果。
此外，在实际应用中，要注意要求解决的数列具备一定的规律，这样才能有效的解决问题。
综上所述，二项式定理是一种有效的解决数列知识的重要工具，学习使用二项式定理来解决一些数列知识，对我们来说是非常有用的。
只要正确的使用二项式定理，我们就可以有效的解决许多问题。
二项式与数列结合的题目
二项式与数列结合的题目【原创实用版】目录1.二项式定理的概述2.二项式定理与数列的结合3.解题技巧与方法4.例题解析5.总结正文【一、二项式定理的概述】二项式定理，是组合数学中的一项重要定理，主要用于计算二项式展开式的系数和。
它的一般形式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 +...+ C(n, n)b^n其中，C(n, k) 表示组合数，即从 n 个元素中取 k 个元素的组合个数。
【二、二项式定理与数列的结合】在实际的数学题目中，二项式定理常常与数列结合出现。
这种题目的特点是，数列的项是由二项式定理的展开式得出的。
解这类题目，需要熟练掌握二项式定理的运用，以及对数列的理解。
【三、解题技巧与方法】解决这类题目，通常有以下几种方法：1.直接利用二项式定理展开，然后根据数列的性质求解。
2.利用数列的求和公式，将数列求和，再利用二项式定理求解。
3.利用数学归纳法，证明一个关于二项式定理与数列结合的结论。
【四、例题解析】例题：求数列{n(n+1)}的前 n 项和。
解：这是一个典型的二项式定理与数列结合的题目。
首先，我们可以写出数列的通项公式：an = n(n+1)。
然后，利用求和公式求解：S_n = a1 + a2 +...+ an= 1*2 + 2*3 +...+ n*(n+1)= (1^2 + 2^2 +...+ n^2) + (1 + 2 +...+ n)= (n(n+1)(2n+1)/6) + (n(n+1)/2)= n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2= n(n+1)(n+1)/3所以，数列{n(n+1)}的前 n 项和为 n(n+1)(n+1)/3。
【五、总结】二项式定理与数列的结合是一个深入且复杂的数学领域，需要我们熟练掌握二项式定理的运用，以及对数列的理解。
常用的一些求和公式
常用的一些求和公式在数学中，求和公式是指通过特定的公式或者规律来表示一系列数的和。
求和公式在数学证明、数列运算、级数计算等方面有着广泛的应用。
下面是一些常用的求和公式：1.等差数列求和公式：对于一个等差数列，其前n项和可以通过以下公式求得：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
2.等差数列通项公式：等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
3.等比数列求和公式：对于一个等比数列，其前n项和可以通过以下公式求得（当公比r不等于1时）：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。
4.等比数列通项公式：等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
5.二项式定理：二项式定理是一个关于幂的展开公式，它可以用来求解任意整数幂的展开式。
二项式定理的公式如下：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n 其中，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
6.等差数列前n项和的立方：对于一个等差数列的前n项和的立方，可以利用以下公式进行求解：(Sn)^3 = (n^2 * (a1 + an)^2) / 47.平方数和公式：平方数和公式用来求解1到n的所有平方数的和。
平方数和公式为：1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n*(n+1)*(2n+1))/68.立方数和公式：立方数和公式用来求解1到n的所有立方数的和。
立方数和公式为：1^3+2^3+3^3+...+n^3=((n*(n+1))/2)^29.等差数列平方和公式：等差数列平方和公式用来求解一个等差数列的前n项平方的和。
等差数列平方和公式为：1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n*(n+1)*(2n+1))/610.等差数列立方和公式：等差数列立方和公式用来求解一个等差数列的前n项立方的和。
二项式定理在数列求和中的应用
二项式定理在数列求和中的应用【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系，结合组合不等式，推导出形如(,,)a n a n a ==234的前n 项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。
【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一， 二项式定理和杨辉三角介绍：1,二项式定理： ()n n n n r n r rn nn n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b ---+=+++++00111222其中rn C 叫做二项式系数。
2,杨辉三角：二，重要组合恒等式:（1）,r r rn n n C C C ---+=111证明：()!()!()!()!!()!r r n n n n C C r n r r n r -----+=+----1111111=()!![()]!()!!()!rn n n r n r C r n r r n r -+-==--1（证 毕）（2），()r r rr r r r r n n C C C C C n r +++-++++=>1121证明（数学归纳法）：当n r =+1时 上式 左边=1 右边是r r C ++=111，所以是正确的。
假设上式对()n k k r =>正确 即r r rr r r r r k k C C C C C +++-++++=1121那么就有r r rr r r r r r r k k k k C C C C C C C +++-+++++=+1121 再有组合不等式（1）可得r r r r r r r r r k k k C C C C C C +++-++++++=11211故综上所述 对于所有大于r 的正整数n （2）式都是成立的。
三，一元n 次多项式根与系数的关系对于多项式n n n n n x a x a x a x a ---++++=121210 若,,n x x x x 123是它的n 个根则有一下等式成立：()n a x x x -=+++11121()n n a x x x x x x --=+++22121311()i i i k k k a x x x -=∑121（所有i 个不同的根的乘积的和）()n n a a a a -=1231四， 应用举例为了方便应用，（2）式也可以写成()r r rr r r r r r n r n C C C C C n r ++++-+++++=>1121当r=1，2，3，4的时候上式也就是： ()!n n n ++++=+112312()()()!!n n n n n +++++=++1113611223 ()()()()()!!n n n n n n n ++++++=+++1114101212334()()()()()()()!!n n n n n n n n n +++++++=++++111515123123445 例一：求数列n a n =2 的前n 项和。
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由此可得：
即：
命题六：
证明：由二项式定理可知： ，从而
即：
由此可得：
从上面的推导过程可以看出，连续用上面的方法，可以得到任意次的自然数的和。下面我们讨论一般情况下数列的和，即：
由二项式定理可知：
从而有：
可得：
即：
至此，我们求出了连续自然数任意次方的和。
2010年11月5日星期五
为了叙述简单，我们采用下面的简单记法：
……
首先我们证明一个特殊的关系：
命题一：
证明：
两式相减有：
命题二：
由乘法的定义可知：n个1相加的结果为n。
命题三：
证明：由二项式定理知： ，从而：Biblioteka 即：由此可得：即：
命题四：
证明：由二项式定理可知： ，从而
即：
由此可得：
即：
命题五：
证明：由二项式定理可知： ，从而
二项式定理与数列求和
我们讨论下面的数列的前n项和：
（1）1、1、1、1、1、……、1
（2）1、2、3、4、5、……、n
（3）
（4）
（5）
……
对于数列（1），前n项和为：
对于数列（2），由等差数列求和公式可知：
但是对于数列（3）、（4）、（5）就不这么容易了，虽然我们可以通过数学归纳法证明：
但是，稍有思想的人都不会满足于这种证明，他们会更加注重这个要证明的结果的来历。