绪论求根习题课
计算方法一二章答案
4
x3=0.3466 x7=0.3572 ∴ x ≈ 0.3574
1) 2) 4) 3)
x=1+1/x2 x3=1+x2 x2=x3-1 x2=1/(x-1)
方程求根
解：1) x 1 1 x2
|1’(x)|= | -2 1 x3 |= 2
(x)
1 1.53 | x0=1.5 =0.59 <1(收敛)
2) x 3 1 x 2
| 2’(x)|= | 1 3
(1)单调区间：
令f’(x)=ex-4=0, x=ln4≈1.4，所以有两个单调区间： [- ∞，1.4](递减)和[1.4， ∞](递增)
(2)有根区间：∴ 存在两个有根区间为：[0，1] 和[2，3]
[- ∞，1.4]区间：f(0)=1>0，f(1)=e-4<0，所以有根区间为：[0，1] [1.4，+ ∞]区间：f(2)=e2-8<0，f(3)=e3-12>0，所以有根区间为：[2，3]
方程求根
3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的根，并验 证收敛性，精确到4位有效数字。
解：2.在区间[0,1]上构造收敛的公式并计算
x=ln(4x)= φ2(x) (1)两种等价形式： x=ex/4=φ1(x)； xk (2) x=ex/4=φ1(x)： e |φ1’(x)|=ex/4<1 (收敛)， 迭代公式为： xk 1
高一数学必修一方程的根与函数零点习题课
方程的根与函数零点习题课宁夏育才中学学益校区 马晓英课程设计目标：1、通过本节课的学习感受，使学生继续理解体会方程的根与函数零点的关系；2、感受数形结合思想方法在研究函数问题中的重要作用；3、学习体会函数与方程的思想方法。
授课类型：习题课教学用具：多媒体课件教学过程：一、复习方程的根与函数零点的概念二、例题讲解例1、函数f(x)＝log 5(x －1)的零点是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.log 5(x －1)＝0，解得x ＝2，∴函数f(x)＝log 5(x －1)的零点是x ＝2，故选C.例2、根据表格中的数据，可以判断方程e x －x －2＝0必有一个根在区间( ) x－1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.78 7.39 20.09 x ＋21 2 3 4 5 A.(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C.设f(x)＝e x －x －2，∵f(1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程e x －x －2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.例3、(2010年高考福建卷)函数f(x)＝⎩⎨⎧ x 2＋2x －3，x ≤0－2＋lnx ，x ＞0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x ≤0时，由f(x)＝x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选C.练习1、已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．解析：由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f(x－1)的零点是0和2.答案：0和2练习2、若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2 B．0，－1 2C．0，12D．2，12解析：选B.由题意知2a＋b＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，使g(x)＝0，则x＝0或－1 2.练习3、若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是() A．a＜1 B．a＞1C．a≤1 D．a≥1解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.练习4、函数f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是()A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e,3)解析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．练习5、设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B.设f(x)＝x 3－(12)x －2，则f(0)＝0－(12)－2<0；f(1)＝1－(12)－1<0；f(2)＝23－(12)0>0.∴函数f(x)的零点在(1,2)上．板书设计： 方程的根与函数零点例1............ 练习1................ 练习4............ 例2............ 练习2................ 练习5............ 例3............ 练习3............... 其它教学反思：。
ok23.2.2 求根公式法(优质课)
x1 x X= 3 2 3
×
(4)
解方程 x 21 3 x 6
解：原方程可化为：
3x 7x 8 0
2
这里a=3 b=-7 c=8
b 4ac 7 4 3 8 （ ）
2 2
49 96 - 47 0
方程没有实数根。
求根公式:
b b 4ac x 2a
2
X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
1、直接应用公式法解方程（PASS）
2、判断方程的根的情况
3、已知方程的根的情况，求字母系数的取值范围
4、证明某个方程有两个不等（相等）的实数根
2
判断方程的根的情况
一元二次方程的根有三种情况（根的判别式） 2 1 当b 4ac 0时, 、 方程有两个不相等的实数根； 2、 当b 2 4ac 0时,
自学检测
用配方法解一般形式的一元二次方程 2 ax bx c 0 (a≠0) 解: 把方程两边都除以 a
b c x x 0 a a
2
移项，得 配方，得
b c x x a a
2
b c b b x x a a 2a 2a
方程有两个相等的实数根； 2 3 当b 4ac 0时, 、 方程没有实数根；
试一试：
不解方程判别下列方程的根的情况
1、x2-6x+1=0 有两个不相等的实数根
2、2x2-x=-2 没有实数根 3、9x2+4=-12x 有两个相等的实数根
4、ax bx c （a 0，c 0） 0
问题：用公式法解一元二次方程的一般步骤？
方程求根计算方法课件及实验教学
通过实际动手操作，学生能更好地理解方程求根的概念和方法，提高问题解决能力。
拓展思考
鼓励学生思考方程求根方法的适用性和限制性，帮助他们在实际问题中做出明智的选择。
迭代改进
教师应根据学生的实际情况和反馈，不断改进教学方法和实验设计，以提高教学效果。
方程求根计算方法课件及 实验教学
欢迎来到我们的课件，探索方程求根的计算方法和实验教学。方程求根在数 学中的重要性不可忽视，让我们一起开始这次精彩的探索之旅吧！
方程求根的重要性
方程求根是解决实际问题的关键步骤。它们在物理、工程学和经济学等领域中起着重要作用，帮助我们 找到未知数的值，并解决复杂的数学问题。
方程求根的一般方法
1 代入法
将可能的解代入方程，验证是否满足等式。这是一种常用的解方程方法。
2 消元法
通过逐步消除未知数的系数，将方程转化为更简单的形式，以便求解。
3 图像法
将方程的图像与坐标轴交点作为解。这种方法通常用于一次和二次方程。
二分法求实根
二分法是一种迭代方法，通过不断缩小搜索范围，找到实根的近似值。它基于连续函数的介值定理，是问题转化为一系列有根的逼近问题，通过多次逼近来找到实根。这种方法适用于未知数只存在 于特定区间的情况。
牛顿迭代法求实根
牛顿迭代法使用泰勒级数的概念，通过迭代逼近不断靠近方程的根。它是一 种快速收敛的方法，特别适用于函数具有光滑性的情况。
割线法求实根
割线法与牛顿迭代法类似，但它使用两个近似值来逼近根，从而更具稳定性。 割线法是一种可靠的求解非线性方程的方法。
方程求根的程序实现
选择合适的编程语言
根据问题的复杂性和计算要求，选择适用于方程求根的编程语言，如Python或MATLAB。
1绪论-求根课件1
第1章 绪 论本章主要介绍科学计算的特点、数值分析基本知识和概念，它们对学习数值分析、了解科学计算原理，以及进行科学计算都是很有帮助的。
1.1 学习数值分析的重要性例 1.1 将数列15nn x I dx x =+⎰写成递推公式的形式，并计算数列12,,I I 的值。
解：因为111011111005551555n n n n n n n x x x I dxx x x dx dx I x n-----+-=+=-=-+⎰⎰⎰ 得到计算I n 的递推公式()1151,2, 1.1n n I I n n-=-=由10016ln 55I dx x ==+⎰，借助递推公式（1.1）可依次算出I 1，I 2，……。
实际中，一般需要具体的数据，因此若取0I 为准确到小数点后8位的近似值作为初始值，在字长为8的计算机上编程计算，可出现2120.3290211010I =-⨯的结果，这显然是错误的！因为数列I n 的被积函数在积分区间上是非负的，故总应有I n ≥0才对。
（请读者可以在自己的计算机上用递推公式（1.1）编程做一个数值实验，来检验当n 较大时，I n 的计算结果一定会出现负数的现象！）现在很多科学研究和工程问题的解决都是借助计算机进行的。
通常用计算机解决实际问题有四个步骤○1建立数学模型；○2选择数值方法；○3编写程序；○4上机计算。
1.2计算机中的数系与运算特点1.计算机的数系数学理论告诉我们：实数集是稠密的无限集，其中任何一个非零实数可表示为()123100. 1.2c x a a a =±⨯⋅⋅⋅其中}{9,4,3,2,1,0⋅⋅⋅∈i a ，c 为整数。
式（1.2）表示的数x 称为十进制浮点数。
类似地，数学上可以方便的定义 β 进制的浮点数⋅⋅⋅⨯±=321.0a a a x c β }{1,4,3,2,1,0-⋅⋅⋅∈βi a 。
在计算机中，由于机器本身的限制，数学中的实数被表示为t c a a a a x ⋅⋅⋅⨯±=321.0β }{1,4,3,2,1,0-⋅⋅⋅∈βi a (1.3)其中t 是正整数，表示计算机的字长；c 是整数，满足L ≤c ≤U ，L 和U 为固定整数。
17.2一元二次方程求根公式(第4课时)(2种题型基础练+提升练)(解析版)
17.2一元二次方程求根公式（第4课时）（2种题型基础练+提升练）考查题型一 公式法解一元二次方程1.24x -【答案】1x =2x =【详解】解：∵4a =，b =-1c =．∴(()22444148b ac D =-=--´´-=，∴x =，∴1x =2x =．2.解方程：220x --=【答案】122, 2.x x =-【详解】解：由题意得：1,2,a b c ==-=-(()22441216b ac \=-=--´´-=V ＞0,2,x \==122, 2.x x \=+=3．解方程：21-【答案】12x x ==【详解】解：23410x x --=a=3, b=-4, c=-1,∴()()2244431280b ac D =-=--´´-=>方程有两个不相等的实数根=即12x x =4．解方程： 2430x x +-=【答案】1222x x =-=-【详解】解：其中143a b c ===-，，，22428b -=得2x ====-即2x =-2x =-所以原方程的根是1222x x =-=-5.解方程：23【答案】12x x ==【详解】原方程可化为：23620x x --=x =12x x ==6.解方程：21=(用公式法)【答案】x 1x 2．【详解】解：23410x x --=，24b ac -=()()24431--´´- =28，x 1x 2．7.解方程：x 2﹣12x ＝4【答案】x 1＝26x =-【详解】解：2124x x -=，21240x x --=，1a =Q ，12b =-，4c =-，\△2(12)41(4)1600=--´´-=>，则6x ===±16x \=+26x =-．8.解方程：（x +2）（x ﹣3）＝4x +8；【答案】x 1=7，x 2=-2【详解】解：方程整理得：x 2-5x -14=0，则a =1，b =-5，c =-14，∵b 2-4ac =25+56=81＞0，∴x =592±，解得：x 1=7，x 2=-2．9．解方程：()()2131x x -+=【答案】1x =，2x =【详解】解：方程整理得：22540x x +-=，这里2a =，5b =，4c =-，Q 224542(4)570b ac D =-=-´´-=>，x \=即1x 2x =．10．用公式法解方程：x 2﹣﹣3＝0．【答案】x 1x 2【详解】解：∵x 2x -3=0，∴13a b c ==-=-，，∴()22Δ=4=-41-3=8+12=20b ac -´´，∴x ==，∴x 1x 211.解方程：230x --=．【答案】1x =，2x =-【详解】解：1a =Q ，b =-3c =-，224(41(3)81220b ac \-=--´´-=+=，x \===即1x =2x =考查题型二 公式法解一元二次方程的应用12.已知等腰三角形的周长为20,腰长是方程212310x x -+=的一个根,则这个等腰三角形的腰长为_______.【答案】6+【详解】212310x x -+=公式法解得：1266x x ==（1）当腰长为6时，由周长可得，底边为202(68-´+=-（686->；（2）当腰长为6202(68-´=+系（668<+.13.阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解为___________．【答案】1233,x x x ===【详解】解：∵x 3−10x ＋3＝0，∴x 3−9x−x ＋3＝0，x （x 2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，∴1233,x x x ===．故答案为：1233,x x x ===．14.解方程：()()2210290x x --++=【答案】1277x x =+=-【详解】解：()()2210290x x --++=整理，得：21470x x --=1,14,7a b c ==-=-224(14)41-7b ac =-=--´´V （）=224>0∴7x ===±1277x x =+=-15.用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【答案】（1）方程无解；（2）方程无解．【解析】（1）因为536a b c ==-=，，，则011142<-=-ac b ，所以原方程无解；（2）整理可得：0145142=++x x ，则042<-ac b ，所以原方程无解．【总结】本题主要考查对求根公式的理解及运用．16.用公式法解下列方程：（120x --=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【答案】（1）221-=x ，22=x ；（2）4531+=x ，4532-=x ；（3）41751+=x ，41752-=x ．【解析】（1）∵1a b c ==-=，942=-ac b ，∴2231±=x ，∴原方程的解为：221-=x ，22=x ；（2）整理可得：01642=+-x x ，461a b c ==-=，，，则2042=-ac b ，8526±=x ，∴原方程的解为：4531+=x ，4532-=x ；（3）整理可得：01522=+-x x ，251a b c ==-=，，，则1742=-ac b ，4175±=x ，∴原方程的解为：41751+=x ，41752-=x ．17.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a --=．【解析】（1）∵c b 42+=D ，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422c b b x +-=；当042<+c b 时，原方程无实数根；（2）原方程可化为：22100x a --=，∵2222400a b a D =+≥，∴原方程的解为：1x ，2x =．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．18.设m 是满足不等式1≤m ≤50的正整数，关于x 的二次方程（x ﹣2）2+（a ﹣m ）2＝2mx +a 2﹣2am 的两根都是正整数，求m 的值．【答案】1、4、9、16、25、36、49【详解】将方程整理得：x 2﹣（2m +4）x +m 2+4＝0，∴x 2+m ，∵x ，m 均是整数且1≤m ≤50，∴m 为完全平方数即可，∴m ＝1、4、9、16、25、36、49．19．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题：下列方程的解法对不对？为什么？ ()()310=1x x +-解：()31x +=或()10=1x -．解得2x =-或11x =．所以12x =-，211x =．同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等．小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：取()3x +与()10x -的平均值72x æö-ç÷èø，即将()3x +与()10x -相加再除以2．那么原方程可化为713713=12222x x æöæö-+--ç÷ç÷èøèø左边用平方差公式可化为22713=122x æöæö--ç÷ç÷èøèø．再移项，开平方可得x =请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：关于x 的方程()200++=¹ax bx c a 的求根公式（此时240b ac -≥）．【答案】)240x b ac =-≥【详解】∵()200++=¹ax bx c a ∴2b c x x a a+=-∴b c x x a a æö+=-ç÷èø 取x 与b x a æö+ç÷èø的平均值2b x a æö+ç÷èø，即将x 与b x a æö+ç÷èø相加再除以2，即b 2x b a x 22a+=+ 那么原方程可化为：2222b b b b c x x a a a a a æöæö+-++=-ç÷ç÷èøèø 左边用平方差公式可化为：2222b b c x a a a æöæö+-=-ç÷ç÷èøèø 再移项可得：222224244b c b ac b x a a a a -+æö+=-+=ç÷èø240b ac -≥Q开平方可得：b x 2a =-±2b a -=．。
求根公式中根的判别式的应用 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
正解错：解：因为原方程有两个不相等的实数根，
2．已知关所于以xΔ的>0方，程即x(2－＋2a)x2＋－a4－k·(2－＝10)>. 0，且k≠0.
(1)若该方解程得的k一>－个1根. 为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：所不以论k的a取最何小实整数数，值该是方0.程1 都有两个不相等的实数根．
九年级上册第二十一章第2节
求根公式中根的判别式的应用
难点名称：利用根的判别式确定字母的取值或
范围
1
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小节
2
导入
下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是( D )
A.x2 x 1 0，B.x2 2x 4 0 4
C.x2 x 2 0，D.x2 2x 0
证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根.
解： m2 - （ 4 - 2m 5) m2 8m 20
(m2 8m 16) 4 (m 4)2 4 0 所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根.
课堂练习
难点巩固
1．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实 数根，求k的最小整数值．
8
课堂练习
2．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
难点巩固
(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)∵1为原方程的一个根，
(2)证明：∵在x2＋ax＋a－2＝0中，
∴1＋a＋a－2＝0.
Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4>0，
∴a＝1 .
2
求根公式(课件)
b2－4ac = (-2)2－4×1×(-1) =8＞0
∴ x1 1 2
x2 1 2
1、先把下列一元二次方程化成一般形 式，再写出一般形式的a、b、c：
（1）方程2x2+x-6=0中，a= 2 ，b= 1 ， c= -6 ；b2－4ac= 49 . （2）方程5x2－4x=12中，a= 5 ，b= -4 ， c=-12；b2－4ac= 256 . （3）方程4x2－4x+1=0中，a= 4 ，b=-4 ， c= 1 ；b2－4ac= 0 .
(1)求根公式的概念及其推导过程; (2)公式法的概念; (3)应用公式法解一元二次方程; (4)初步了解一元二次方程的根的情况.
一、复习引入
用因式分解法解下列方程：
（ 1 ） 3x 2 x 0
2
（2）x 2 x
2
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数 一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边 直接开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
一元二次方程的一般形 式： ax bx c （ 0 a 0）
2
问题：怎样解下列方程: 2 （1 ）x 2 x 1 0
( 2) 2 x
2
? 3x 2 0
（ 1 ）x 2 x 1 02来自用求根公式法解下列方程：
解：∵ a=1，b=－2，c=－1
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习题课1.假设8675.41=x ，08675.42=x ，08675.03=x 是由四舍五入得到的近似数，求下列各近似数的误差限：（1）321x x x ++；（2）;21x x （3）21x x 。
解：因为 411021)(-⨯≤x e ，521021)(-⨯≤x e ，531021)(-⨯≤x e （1） 由123123123()()()()()()e x x x e x x e x e x e x e x ++=++=++得123123()()()()e x x x e x e x e x ++=++ )()()(321x e x e x e ++≤5554106102110211021----⨯=⨯+⨯+⨯≤ （2）由)()()(211221x e x x e x x x e +≈得)()()(211221x e x x e x x x e +≈ 45421121028675.210218675.4102108675.4)()(---⨯=⨯⨯+⨯⨯≤+≤x e x x e x（3）由)()(1)(22211221x e x x x e x x x e -≈得 )()(1)(22211221x e x x x e x x x e -≈ 5524222112103692.1102108675.48675.4102108675.41)()(1---⨯≤⨯⨯+⨯⨯≤+≤x e x x x e x2.用一元二次方程求根公式1,22b x a-±=8位的计算机上求一元二次方程()2991044100x x -++⨯=的根，将求出的计算解与方程的准确解做对比，对你的计算结果给出解释。
3．若1<<ac ，能否用常用的求根公式aacb b x 2422,1-±-=来求根？若不能，请给出说明及更好的求根公式。
4 说明把相对误差的计算公式()***r e x x e x x x -==用公式****e x x x x -=来代替的合理性，并指出这种替代的条件。
设x 为精确值，*x 为其近似值，证明：2211r r r r r r e e e e e e -==+-这里,)(x x x x e r -=***-=x x x x e r )( 证明：*r r x x x xe e x x **---=-***2*11()()()x x x xx x xx =---=因而**22**()()r r r x x x x e e e x x x e x *--=⋅=⋅- 22*1()11r r r e e e x e x=⋅=-- ， ,)(x x x e -=*或，22*()()r r r x x x xe e e x x x e x *--=⋅=⋅+ 221()11r r r e e e x e x=⋅=++5.设n 次多项式0111)(a x a x a x a x P n n n n n ++⋅⋅⋅++=--试构造一个计算P n （x ）的算法，使其计算量尽可能小。
6.设,280=y 按递推公式 ⋅⋅⋅=-=-,2,1,78310011n y y n n计算到100y ，若取982.27783≈（5位有效数字），试问计算到100y 将有多大误差？解 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=-=-28,2,1783100101y n y y n n （1）设 0128127.982,1,2,100nn y y y n ***-⎧=⎪⎨=-⨯=⋅⋅⋅⎪⎩（2）记*-=n n n y y e ，将（1）和（2）相减，得⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=-⨯-==-,2,1),982.27783(1001010n e e e n n递推可得 ⋅⋅⋅=--=,2,1),982.27783(100n ne n因而31001001021)982.27783(-⨯≤--=e e非线性方程求根1.？A 为已知数。
2若已知对任意初始值01,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由不动点迭代12kx k x -+=，k=0,1,2,……产生的序列{}k x 都收敛于方程2xx -=在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦的唯一根p 。
若要求p 的近似值的误差不超过410-（取初始值023x =），试估计迭代次数。
解：对迭代法()12kx k k x x ϕ-+==有迭代公式()2xx ϕ-=则()2ln 2x x ϕ-'=-对1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有()2ln 2xx ϕ-'=-∈[0.34657, 0.8733 1]所以有()2ln 2xx ϕ-'=-≤0.87331<1 取 L=0.87331取初始值023x = 则0231220.62996x x --==≈为使解p 的近似值k x 的误差不超过410-，根据误差估计式：10,1kk L x p x x L-≤-- 只要410101kL x x L--<-。
因此k 应取为410lg10lg1lg x x L k L---->≈0.666670.629964lg 10.87331lg 0.87331-⎛⎫-- ⎪-⎝⎭≈58.84667取k=59.于是迭代59次必可使近似解的误差不超过410-3.证明： 设()x ϕ在[],a b 上连续可微，且()01x ϕ'<<，()x x ϕ=在[],a b 上有根*x，0[,]x a b ∈，但*0x x ≠，则由()1,0,1,2...k k x x k ϕ+==产生的迭代序列{}k x 单调收敛于*x 。
证明：因为()x x ϕ=在[],a b 上有根*x ，故有()**x x ϕ=设*0xx b<≤，则由()()**10x x x x ϕϕ-=-()()*00x x ϕξ'=-及()01x ϕ'<<知**100x x x x <-<-于是*10x x x <<同理可得**211,,k k x x x x x x +<<<<，因而{}0k k x ∞=单调下降并以*x为下界，所以limk k x →∞存在，记为x，由()01x ϕ'<<知方程在[],a b 内的根是唯一的，显然有x =*x 。
所以 *limk k x x →∞=4.设函数()f x 的导数满足'0()m f x M <≤≤，且0)(=x f 的根存在，x 任意，证明：任取2(0,)Mλ∈，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-对任意初值0x 均收敛于0)(=x f 的根*x 。
证明：由题意可取定义域为R 。
由于0)('>x f ，0)('>x f 为单调函数，又0)(=x f 的根存在，所以方程0)(=x f 的根*x 是唯一的。
由迭代格式1()k k k x x f x λ+=-可以得到迭代函数)()(x f x x λϕ-=且|)('1||)('|x f x λϕ-=又'0()m f x M <≤≤及M20<<λ得 2)('0<≤≤<M x f m λλλ所以有 11)('111<-≤-≤-<-m x f M λλλ 故 1|}1||,1max{||)('|<--=≤M m L x λλϕ 此外，显然有()x R x R ϕ∀∈⇒∈由定理知迭代)()(111---=-=k k k k x x f x x ϕλ对任意初值0x 均收敛于0)(=x f 的根*x 。
3.设32()()f x x a =-(1)写出解方程()0f x =的Newton 迭代公式； (2)证明迭代格式是收敛的。
解：(1)32()()f x x a =-∴23'()6()f x x x a =-构造Newton 迭代公式：1()'()k k k k f x x x f x +=-326k k kx a x x -=-0,1,2,k =(2)3126k k k kx ax x x +-=-∴令32()6x ax x x ϕ-=-又可知x*=是()0f x =的根，∴必存在x *的某个邻域，使()x ϕ连续可微且 35'()63ax xϕ=-∴1'()2x ϕ*=∴1|'()|12x ϕ*=<根据定理可知：存在0δ>，只要初值0x 满足||x x δ*-<，迭代序列{}k x 就收敛于x *。
（局部收敛）得证。
1'()02x ϕ*=≠，是线性收敛。
（重根）。