九年级数学上册 2.4 用因式分解法求解一元二次方程导学案 (新版)北师大版
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 用因式分解法求解一元二次方程作业设计 北师大版
2.4用因式分解法求解一元二次方程一．选择题（本题包括8个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（）A. 6B. 9C. 6或9D. 以上都不正确2. 已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A. 7B. 10C. 11D. 10或113. 解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A. 开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法4. 若分式的值为0，则x的值为（）A. 3或﹣2B. 3C. ﹣2D. ﹣3或25. 已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A. 1B. ﹣3C. ﹣3或1D. ﹣1或36. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A. 14B. 12C. 12或14D. 以上都不对7. 一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A. x=B. x=3C. x1=3，x2=﹣D. x1=3，x2=8. 已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）A. 方程一定有两个不相等的实数根B. 方程一定有两个实数根C. 当k取某些值时，方程没有实数根D. 方程一定有实数根二．填空题（本题包括5个小题）9. 方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为_____．10. 若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=_____．11. 如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是_____．12. 关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为_____．13. 对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=_____．三．解答题（本题包括5个小题）14. 解方程：①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；③（x+3）（x﹣1）=5；④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．15. 解下列方程：（1）9（y+4）2﹣49=0；（2）2x2+3=7x（配方法）；（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）；（4）x2=6x+16；（5）2x2﹣7x﹣18=0；（6）（2x﹣1）（x+3）=4．16. 用适当的方法解下列方程：（1） x2﹣5x﹣6=0；（2）（1﹣x）2﹣1=；（3）8x（x+2）=3x+6；（4）（y+）（y-）=20．17. 阅读下面的例题与解答过程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．解得 y1=2，y2=﹣1．当y=2时，|x|=2，∴x=±2；当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|=0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．18. 现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）求4※7的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．答案一．选择题1. 【答案】B【解析】解方程得：，（1）若等腰三角形的腰长为1，底边为4，∵1+1<4，∴此时围不成三角形，此种情况不成立；（2）若等腰三角形的腰长为4，底边为1，∵1+4>4，∴此时能围成三角形，三角形的周长为9；故选B.2.【答案】D【解析】把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．故选D．3. 【答案】D【解析】方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，即5（2x-1）（5x-1）=0，根据分析可知分解因式法最为合适．故选D．考点：解一元二次方程-因式分解法．4. 【答案】A【解析】由题意可得：，解得：.∵当时，，当时，，∴的值为3或-2.故选A.5. 【答案】A【解析】设x2+x+1=y，则原式可化为y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1.∵22131024x x x⎛⎫++=++>⎪⎝⎭，∴x2+x+1=1.故选A.6.【答案】B【解析】解，得(x-5)(x-7)=0，∴x1=5,x2=7.又∵3,4,7不能组成三角形；∴x=5.则周长为3+4+5=12，故选B考点：一元二次方程的解7. 【答案】D【解析】2x（x－3）＝5（x－3），2x（x－3）-5（x－3）=0，,（x－3）（2x－5）=0，所以x－3=0，或2x－5=0，所以x1＝3，x2＝，故选：D．考点：解一元二次方程．8. 【答案】D【解析】原方程可化为：，（1）当时，原方程可化为：，此时原方程是一元一次方程，有实数根；（2）当时，原方程是一元二次方程，此时：△=，∴此时，原方程有两个实数根；综上所述，无论k 为何值，原方程都有实数根.故选D.二．填空题9.【答案】1或【解析】原方程可化为为：，∴或，∴或.10. 【答案】6【解析】设a=x2+y2，则原方程可化为a2-5a-6=0，解得a1=6，a2=-1（舍去），所以x2+y2=6.11.【答案】3【解析】设，则原方程可化为：，解得：，∵，∴.12. 【答案】x1=4，x2=﹣1【解析】∵方程是关于的一元二次方程，∴，解得：，∴原方程为：，化简得：，解得：.∴原方程的解为：.13. 【答案】4【解析】设，则原方程可化为：，解得：，∵，∴. 点睛：在解出“x”的值之后，不要忽略了“”这一隐含条件.三．解答题14. 【答案】①x1=1+，x2=1﹣②x1=1，x2=﹣③x1=﹣4，x2=2④y1=1，y2=﹣1【解析】①②按题中指定方法解答即可；③先将方程整理为一般形式，再用“因式分解法”解方程即可；④根据方程特点用“因式分解法”解方程即可.解：①移项得：x2﹣2x=配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，∴x﹣1=±∴ x1=1+，x2=1﹣．② ∵在方程4x2﹣3x﹣1=0中，a=4，b=﹣3，c=﹣1，∴ △ =9+16=25x=，∴x1=1，x2=﹣．③原方程整理得：x2+2x﹣8=0，(x+4)(x﹣2)=0，∴ x1=﹣4，x2=2．④原方程可化为：(3y﹣2+2y﹣3)(3y﹣2﹣2y+3)=0，(5y﹣5)(y+1)=0，∴ y1=1，y2=﹣1．15. 【答案】（1）y1=﹣，y2=﹣；（2）x1=3，x2=；（3）x1=2.5，x2=1；（4）x1=﹣2，x2=8（5）x=；（6）x1=﹣3.5，x2=1．【解析】（1）用“直接开平方法”解此方程即可；（2）、（3）按指定方法解方程即可；（4）先将方程化为一般形式，再用“因式分解法”解此方程：（5）用“公式法”解此方程即可；（6）先整理为一般形式，再用“因式分解法”解此方程.解：（1）方程可化为：（y+4）2=，开方得：y+4=±，解得：y1=﹣，y2=﹣；（2）方程整理得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=3，x2=；（3）∵在方程2x2﹣7x+5=0中，a=2，b=﹣7，c=5，∴△=49﹣40=9，∴x=，解得：x1=2.5，x2=1；（4）原方程整理得：x2﹣6x﹣16=0，即(x+2)(x﹣8)=0，解得：x1=﹣2，x2=8；（5）∵在方程2x2﹣7x﹣18=0中，a=2，b=﹣7，c=﹣18，∵△=49+144=193，∴ x=；∴，.（6）原方程整理得：2x2+5x﹣7=0，即(2x+7)(x﹣1)=0，解得：x1=﹣3.5，x2=1．16. 【答案】（1）x1=6，x2=﹣1（2）x1=﹣，x2=（3）x1=﹣2，x2=（4）y1=5，y2=﹣5【解析】（1）用“因式分解法”解方程即可；（2）用“直接开平方法”解方程即可；（3）先移项，再用“直接开平方法”解方程即可；（4）先化简，再用“直接开平方法”解方程即可；解：（1）x2﹣5x﹣6=0，原方程可化为：（x﹣6）（x+1）=0，∴x-6=0或x+1=0，∴ x1=6，x2=﹣1．（2）原方程可化为：（1﹣x）2=+1，即：（1﹣x）2=，∴1﹣x=，∴x1=﹣，x2=．（3）原方程可化为：8x（x+2）﹣3（x+2）=0，∴(x+2)(8x﹣3)=0，∴x+2=0或8x-3=0解得x1=﹣2，x2=．（4）原方程可化为：y2﹣5=20，∴y2=25，∴y=±5，即 y1=5，y2=﹣5．17. 【答案】（1）x1=0，x2=﹣2，x3=2（2）x1=﹣1，x2=3【解析】（1）把原方程化为：|x|2﹣2|x|=0，再按照“范例”中的方法解答即可；（2）把原方程化为：|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0，再按照“范例”中的方法解答即可.解：（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|=0，设|x|=y，则y2﹣2y=0．解得 y1=0，y2=2．当y=0时，|x|=0，∴x=0；当y=2时，∴x=±2；∴原方程的解是：x1=0，x2=﹣2，x3=2．（2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．设|x﹣1|=y，则y2﹣4y+4=0，解得 y1=y2=2．即|x﹣1|=2，∴x=﹣1或x=3．∴原方程的解是：x1=﹣1，x2=3．20. 【答案】（1）112（2）x1=2，x2=﹣4（3）a=【解析】（1）按照“新运算：※”的运算规则，把题目中的“新运算”转化为普通运算，再按有理数的相关运算法则计算即可；（2）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化普通运算，就可将涉及“新运算”的方程转化为“一元二次方程”，然后再解方程即可；（3）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化为普通运算，得到普通的含有“字母”系数的方程，再根据题意解答即可.解：（1）4※7=4×4×7=112；（2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0，解得x1=2，x2=﹣4；（3）∵由新运算的定义得4ax=x，∴（4a﹣1）x=0，∵不论x取和值，等式恒成立，∴4a﹣1=0，即．点睛：在涉及“新运算”的问题中，弄清把“新运算”转化为“普通运算”的规则，把题目中涉及新运算的部分按“规则”转化为普通运算，其余部分不变，再按普通方法解答即可.。
2.4 用因式分解法求解一元二次方程第一课时课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册
复习回顾
1.将下列各式因式分解
2.一物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过X秒 物体离地的高度为10x-4.9x²，物体经过多少秒落回地面 呢？
解：设物体经过x秒后落回地面
依题意，得 10x-4.9x²=0
①
思考：除配方法和公式法外找其他的方法解方程①
次方程的方法叫
。
例1 解下列一元二次方程
（1）5X2=4X
解：原方程可变形为 5X2-4X=0 X(5X-4)=0
X=0或5X-4=0
X1=0, X2=
（2）X-2=X(X-2)
解：原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0 (X-2)(1-X)=0 X-2=0或1-X=0 X1=2, X2=1.
2.一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数 解：设这个数为x
依题意，得2x²=7x
解得x=0或x=3.5
归纳
课堂小结
1.解一元二次方程的基本思路
转化 一元二次方程
一次方程 即降次
2.应用因式分解法解某些一元二次方程时比较简单
课后作业
习题2.7 第1～3题
课间休息时间
请做做眼保健操，记得保护眼睛哦。
小华：对于x(x-2)=x-2,两边都除以x-2,得x=1 小丽：由x(x-2)=x-2，得(x-2)(x-1)=0,得x1=2 x2=1
小华是错误的，x-2可以为0，方程两边除以x-2，会 造成丢根
随堂练习
1.解下列一元二次方程
(1)2x²+3x=0
(2)2(y-3)=3y(y-3)
（3）x²-4=0
想一想
10x-4.9x²=0
北师大版数学9年级上册教案2.4 用因式分解法求解一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程课标要求【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法．【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．【教学重点】用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．教学过程一、情景导入，初步认识复习：将下列各式分解因式(1)5x 2－4x ；(2)x 2－4x ＋4；(3)4x (x －1)－2＋2x ；(4)x 2－4；(5)(2x －1)2－x 2.【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度．二、思考探究，获取新知一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法．【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．三、运用新知，深化理解1．解方程5x 2＝4x .解：原方程可变形为x (5x －4)＝0……第一步∴x ＝0或5x －4＝0……第二步∴x 1＝0，x 2＝45. 【教学说明】教师提问、板书，学生回答．分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤(二)对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．2．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2＋3x ＝0；(2)7x (3－x )＝4(x －3)；(3)9(x －2)2＝4(x ＋1)2.分析：(1)左边＝x (5x ＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，即7x (3－x )－4(x －3)＝0，找出(3－x )与(x －3)的关系；(3)应用平方差公式．解：(1)因式分解，得x (5x ＋3)＝0，于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35； (2)原方程化为7x (3－x )－4(x －3)＝0，因式分解，得(x －3)(－7x －4)＝0，于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47； (3)原方程化为9(x －2)2－4(x ＋1)2＝0，因式分解，得[3(x －2)＋2(x ＋1)][3(x －2)－2(x ＋1)]＝0，即(5x －4)(x －8)＝0，于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8.【教学说明】(1)用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．(2)对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．3．选择合适的方法解下列方程．(1)2x 2－5x ＋2＝0；(2)(1－x )(x ＋4)＝(x －1)(1－2x )；(3)3(x －2)2＝x 2－2x .分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x )与(x －1)的关系用因式分解法；(3)3(x －2)2＝x ·(x －2)用因式分解法．解：(1)a ＝2，b ＝－5，c ＝2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，x ＝－（－5）±92×2＝5±34， x 1＝2，x 2＝12； (2)原方程化为(1－x )(x ＋4)＋(1－x )(1－2x )＝0，因式分解，得(1－x )(5－x )＝0，即(x －1)(x －5)＝0，x －1＝0或x －5＝0，x 1＝1，x 2＝5；(3)原方程变形为3(x －2)2－x (x －2)＝0，因式分解，得(x －2)(2x －6)＝0，x －2＝0或2x －6＝0，x 1＝2，x 2＝3.【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．4．已知(a 2＋b 2)2－(a 2＋b 2)－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把(a 2＋b 2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a 2＋b 2)为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0.a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2. 即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不符合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3.【教学说明】(1)整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．(2)在做题时要注意隐含条件．5．用一根长40 cm 的铁丝围成一个面积为91 cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？解：设长为x cm ，则宽为(402－x ) cm ，x ·(402－x )＝91， 解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13.当x ＝7 cm 时，402－x ＝20－7＝13(cm)(舍去)；当x ＝13 cm 时，402－x ＝20－13＝7(cm)． 当围成正方形时，它的边长为404＝10(cm)，面积为102＝100( cm 2)． 【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．四、师生互动，课堂小结1．本节课我们学习了哪些知识？2．因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？【教学说明】对某些方程而言因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其它方法．课后作业1．布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题．2．完成练习册中本课时练习．教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法．。
北师大版九年级数学上《2.4用分解因式法求解一元二次方程》说课稿
北师大版九年级数学上《2.4用分解因式法求解一元二次方程》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学上《2.4用分解因式法求解一元二次方程》这一节主要介绍了用分解因式法求解一元二次方程的方法。
学生在学习了方程的解法之后，已经掌握了一元一次方程和一元二次方程的一些基本解法，如配方法，公式法等。
但是，对于一些特殊的一元二次方程，如x²=0或x²=1等，用配方法和公式法求解会比较繁琐。
而用分解因式法求解则可以简化运算，提高解题效率。
因此，本节课的学习对于学生来说，既有挑战性，又有实用性。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的基本解法有一定的了解。
但是，对于用分解因式法求解一元二次方程，大部分学生可能还没有接触过。
因此，学生对于这一节的内容既有好奇心，又有一定的挑战性。
另外，学生在这个阶段的学习中，已经形成了自己的学习习惯和方法，对于新的学习内容，他们更希望老师能给予他们足够的引导和实践的机会。
三. 说教学目标1.让学生掌握用分解因式法求解一元二次方程的基本步骤。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：用分解因式法求解一元二次方程的基本步骤。
2.教学难点：如何引导学生发现和运用分解因式法求解一元二次方程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生自主探究和发现用分解因式法求解一元二次方程的方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示一元二次方程的图像，帮助学生直观地理解一元二次方程的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的一元二次方程，让学生尝试用已学的解法去求解，从而引出本节课的主题。
2.自主探究：让学生分组讨论，尝试用分解因式法去求解一元二次方程，并总结出解题步骤。
3.讲解：教师根据学生的探究结果，进行讲解和归纳，明确用分解因式法求解一元二次方程的步骤。
4.练习：让学生独立完成几个类似的一元二次方程的求解，巩固所学知识。
用因式分解法求解一元二次方程导学案
2.4用因式分解法求解一元二次方程导学案科目：数学课题：2.4用因式分解法求解一元二次方程课型：新授课授课人：李建锋教材北师大版九年级数学上册第46页到48页学习目标：会用因式分解法解一元二次方程。
重点难点：熟练用因式分解法解一元二次方程。
学法指导：自主探究、合作交流学习过程课前预习1. 把一个多项式分解成几个整式的形式叫做因式分解.2. 解一元二次方程的基本方法：①；②；③ .3.将下列各式因式分解：①2x2-4x= ；②4x2--9=；4.方程(y+2)(2y-1)=0的解是。
互动探究﹑发现新知一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？试一试解下列方程：①x2-4=0 ；②（x+1)2-25=0例解下列方程:(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2);基础训练：巩固提高：22 ) 2 5 ( ) 4 )( 5 ( x x - = - 2 4 ) 1 2 (3 )4 ( + = + x x x 0 2 = + x x 0 121 4 ) 2 (2 = - x 0363)3(2=+-x x小结：课堂小测1、方程(3)0x x+=的根是。
2、下列方程适合用因式分解法的是（）A.210x x++=-+= C.2230 ++= B.2x xx x2310D.2-=-x x(1)13、方程2+=+的根是________________。
x x2(1)14、用因式分解法解下列方程：(1) (41)(57)0x x-+= (2) 2x=(3) 3(3)-=- (3)2x x x-=-x x2(3)9。
2.4 用因式分解求解一元二次方程 北师大版九年级上册教学课件
∴x+2=0,或x-2=0
∴x+6=0,或x-4=0
∴x1=-2, x2=2
∴x1=-6, x2=4
例3 一个数平方的 2 倍等于这个数的 7 倍,求这个数.
三、运用新知 解：设这个数为 x ,根据题意,得 2x2 = 7x, 2x2 - 7x = 0, x(2x - 7) = 0, ∴x = 0, 或 2x – 7 = 0. 7 x1 0, x2 2
3. 选择合适的方法解下列方程
（1）x2-6x=7
（2）3x2+8x-3=0
一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是 几？你是怎样求出来的？
二、合作交流，探究新知 小颖,小明,小亮都设这个数为 x ,根据题意得 x2 3x .
小颖是这样解的 : 解 : x2 3x 0
x 3 9 2
的方法二称为分、解因合式法作. 交流，探究新知
老师提示: 1. 用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3. 理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么其中至少有一个因式等于 零.”
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
二1. 化、方程合为一作般形式交; 流，探究新知
再见
四、巩固新知
思考：二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解.
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
x2 6x 9 (x 3)2;
x 2 5 x 6 (x 2)( x 3);
但对于一般的二次三项式 ax2+bx+c (a≠0) ,怎么把它分解因式呢?
观察下列各式,也许你能发现些什么？
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6;
北师大版九年级数学上册习题 2.4 用因式分解法求解一
2.4 用因式分解法求解一元二次方程01 基础题知识点1 用因式分解法求解一元二次方程1．方程(x －1)(x ＋2)＝0的两根分别为(D)A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝1，x 2＝－22．(南阳唐河县期末)方程x 2＝2x 的解是(C)A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝±23．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是(A)A ．(2x －2)(3x －4)＝0，∴2x －2＝0或3x －4＝0B ．(x ＋3)(x －1)＝1，∴x ＋3＝0或x －1＝1C ．(x －2)(x －3)＝2×3，∴x －2＝2或x －3＝3D ．x(x ＋2)＝0，∴x ＋2＝04．方程x －2＝x(x －2)的解是(D)A ．x ＝1B ．x 1＝0，x 2＝2C ．x ＝2D ．x 1＝1，x 2＝25．利用因式分解法求解下列方程：(1)2x 2－3x ＝0；解：把方程左边因式分解，得x(2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0，解得x 1＝0，x 2＝32.(2)4x 2－121＝0；解：(2x ＋11)(2x －11)＝0，∴x 1＝－112，x 2＝112.(3)x(x －2)＝x.解：∵x(x －2)－x ＝0，∴x(x －3)＝0.∴x ＝0或x －3＝0.∴x 1＝0，x 2＝3.知识点2 用适当的方法解一元二次方程6．一元二次方程x 2－x －2＝0的解是(D)A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝27．用适当的方法解方程：(1)9x 2－25＝0；解：x 1＝－53，x 2＝53.(2)5x 2－2x ＝0；解：x 1＝0，x 2＝25.(3)(漳州中考)x 2－4x ＋1＝0；解：∵Δ＝(－4)2－4×1×1＝12，∴x ＝4±122，即x ＝2±3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.(4)2(t －1)2＋t ＝1.解：2(t －1)2＋(t －1)＝0，(t －1)(2t －1)＝0，∴t －1＝0或2t －1＝0，∴t 1＝1，t 2＝12.02 中档题8．解下列方程：①2x 2－18＝0；②9x 2－12x －1＝0；③3x 2＋10x ＋2＝0；④2(5x －1)2＝2(5x －1)．用较简便的方法依次是(D)A ．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B ．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C ．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D ．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法9．(三门峡期中)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(A)A ．12B ．9C ．13D ．12或910．若(2m ＋n)2＋2(2m ＋n)＋1＝0，则2m ＋n 的值是－1．11．(襄阳中考)若正数a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，－a 是一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根，则a 的值是5．12．解方程x(x ＋5)＝3(x ＋5)，甲同学的解法如下：解：方程两边同除以(x ＋5)，得x ＝3.请回答：(1)甲同学的解法正确吗？为什么？(2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的解法．解：(1)不正确．因为当x ＋5＝0时，甲的解法便无意义，而当x ＋5＝0时，方程两边仍相等．(2)原方程可化为x(x ＋5)－3(x ＋5)＝0，(x －3)(x ＋5)＝0，∴x 1＝3，x 2＝－5.13．用适当的方法解方程：(1)y 2＋3y ＋1＝0；解：y 1＝－3－52，y 2＝－3＋52.(2)2x 2－22x －5＝0；解：a ＝2，b ＝－22，c ＝－5，∵Δ＝8＋40＝48，∴x ＝22±434＝2±232. ∴x 1＝2＋232，x 2＝2－232.(3)(3x －1)2－4(2x ＋3)2＝0；解：(3x －1)2－[2(2x ＋3)]2＝0，(3x －1＋4x ＋6)(3x －1－4x －6)＝0，(7x ＋5)(－x －7)＝0，∴x 1＝－57，x 2＝－7.(4)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝13.解：原方程可化为x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.14．如图，把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆的半径为x m ，则大圆的半径为(x ＋5)m ，根据题意，得π(x ＋5)2＝2πx 2，解得x ＝5＋52或x ＝5－52(不合题意，舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52)m.03综合题15．阅读理解：例如：因为x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3，所以x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．所以方程x2＋5x＋6＝0用因式分解法解得x1＝－2，x2＝－3.又如：x2－5x＋6＝x2＋[(－2)＋(－3)]x＋(－2)×(－3)．所以x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)．所以方程x2－5x＋6＝0用因式分解法解得x1＝2，x2＝3.一般地，x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．所以x2＋(a＋b)x＋ab＝0，即(x＋a)(x＋b)＝0的解为x1＝－a，x2＝－b.请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：(1)x2＋8x＋7＝0；解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－7，x2＝－1.(2)x2－11x＋28＝0.解：∵x2＋[(－4)＋(－7)]x＋(－4)×(－7)＝0，(x－4)(x－7)＝0，∴x1＝4，x2＝7.。
2.4北师版九年级上册数学因式分解法解一元二次方程--说课稿北师大版
因式分解法解一元二次方程说课稿我是_________选手。
我今天说课的课题是因式分解法解一元二次方程选自北师大版九年级上册第二章第四节。
我说课的流程主要分为五大步：一、教材分析二、学情分析三、教法学法四、教学过程五、教学反思向大家介绍一下我对本节课的理解与分析。
一、教材分析1、教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。
很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。
而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。
本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。
2、学生学情分析任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。
这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。
分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。
当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的配方法问题。
而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，用配方法公式法后，这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。
3、教学目标根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的心理特征及已有的知识经验，本节课的三维目标主要体现在：知识与能力目标：（1）理解因式分解法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程; （2）能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。
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2.4 用因式分解法求解一元二次方程
1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
体会解决问题方法的多样性。
2．会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
自学指导阅读教材第46至47页，完成预习内容.
将下列各题因式分解：
am+bm+cm=(a+b+c)m；a2-b2=(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2.
解下列方程：
(1)2x2+x=0(用配方法)；
(2)3x2+6x=0(用公式法).
知识探究
仔细观察上面两个方程特征，除配方法或公式法，你能找到其他的解法吗？
(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.
(2)如果a·b=0，那么a=0或b=0，这是因式分解法的根据.如：如果(x+1)(x-1)=0，那么x+1=0或x-1=0，即x=-1或x=1.
自学反馈
1.说出下列方程的根：
(1)x(x-8)=0；(2)(3x+1)(2x-5)=0.
解：(1)x1=0，x2=8；(2)x1=-1
3，x2=5
2
.
2.用因式分解法解下列方程：(1)x2-4x=0；(2)4x2-49=0；
(3)5x2-20x+20=0.
解：(1)x1=0，x2=4；(2)x1=7
2，x2=-7
2
；(3)x1=x2=2.
活动1 小组讨论
例1用因式分解法解下列方程：
(1)5x2-4x=0；(2)3x(2x+1)=4x+2；
(3)(x+5)2=3x+15.
解：(1)x1=0，x2=4
5；(2)x1=2
3
，x2=-1
2
；
(3)x1=-5，x2=-2.
解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的思想.例2用因式分解法解下列方程：
(1)4x2-144=0 ；(2)(2x-1)2=(3-x)2；
(3)5x2-2x-1
4=x2-2x+3
4
；(4)3x2-12x=-12.
解：(1)x1=6，x2=-6；(2)x1=4
3
，x2=-2；
(3)x1=1
2，x2=-1
2
；(4)x1=x2=2.
注意本例中的方程可以试用多种方法.活动2 跟踪训练
1.用因式分解法解下列方程：
(1)x2+x=0；(2)x2-23x=0；
(3)3x2-6x=-3；(4)4x2-121=0；
(5)(x-4)2=(5-2x)2.
解：(1)x1=0，x2=-1；(2)x1=0，x2=23；
(3)x1=x2=1；(4)x1=11
2，x2=-11
2
；
(5)x1=3，x2=1.
2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为x m. 则可列方程2πx2=π(x+5)2.
解得x1=5+52，x2=5-52(舍去).
答：小圆形场地的半径为(5+52)m.
活动3 课堂小结
1.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积；
(3)令每个因式分别为0，得两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.归纳解一元二次方程不同方法的优缺点.
请使用《名校课堂》相应的练习部分.。