山西省怀仁县第一中学2018届高三上学期期末考试理数试题 含答案

2018-2018学年度第一学期高三毕业班期终考试理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0 1M =，，则满足{}0 1 2M N = ，，的集合N 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．82.如果复数21z i=-+，则（ ） A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1 C ．2z = D ．z 的虚部为1- 3.已知向量 OA OB，的夹角为60︒，2OA OB == ，若2OC OA OB =+ ，则ABC △为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形4.已知双曲线()222210 0x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12 F F ，，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3 4，，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C.221916x y -= D ．22143x y -= 5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．203 B ．163 C.86π- D ．83π- 6.已知函数()()sin cos 0 f x a x b x ab x R =-≠∈，在4x π=处取得最大值，则函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点() 0π，对称B ．偶函数且它的图象关于点3 02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称C.奇函数且它的图象关于点3 02π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 D ．奇函数且它的图象关于点() 0π，对称7.已知点() M m n ，是圆222x y +=内的一点，则该圆上的点到直线2mx ny +=的最大距离和最小距离之和为（ ） A．D ．不确定8.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a =，()2314 2 n n n b b b n n N +-+=≥∈，，则2log n b =（ ）A ．1n -B ．21n - C.2n - D ．n 9.下列五个命题中正确命题的个数是（ ）（1）对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++<； （2）3m =是直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的充要条件； （3）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为()4 5，，则回归直线方程为1.230.08y x =+；（4）已知正态总体落在区间()0.7 +∞，的概率是0.5，则相应的正态曲线()f x 在0..7x =时，达到最高点；（5）曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积是()120S x x dx =-⎰.A ．2B ．3 C.4 D ．510.某企业拟生产甲、乙两产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台设备A 、每台设备B 上加工1件甲产品所需工时分别为1h 和2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 和1h ，A 设备每天使用时间不超过4h ，B 设备每天使用时间不超过5h ，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是（ ）A ．18万元B ．12万元 C.10万元 D ．8万元11.数列{}n a满足1a =，2a =()0n a >，()2222112112n n n n n n a a a a n a a ++-+--=≥，则2017a =（ ） ABC.132 D ．333212.已知()()()1 0112 12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，，，设0a b >≥，若()()f a f b =，则()b f a ⋅的取值范围是（ ）A ．(]1 2，B ．3 24⎛⎤ ⎥⎝⎦，C.3 24⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．1 22⎛⎫⎪⎝⎭，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.P 为抛物线24y x =上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点()4 5M ，，则PQ 与PM 长度之和的最小值为 ．14.如图是某算法的程序框图，若任意输入1 192⎡⎤⎢⎥⎣⎦，中的实数x ，则输出的x 大于49的概率为 ．15.已知52x ⎛⎝的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[]0 1x ∈，时，()f x x =，若在区间[]1 3-，内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 ．16.二次函数222y x x =-+与()20 0y x ax b a b =-++>>，在它们的一个交点处切线互相垂直，则14a b+的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）ABC △的三个内角 A B C ，，依次成等差数列. （1）若2sin sin sin B A C =，试判断ABC △的形状；（2）若ABC △为钝角三角形，且a c >，试求21sin cos 2222C A A +-的取值范围. 18. （本小题满分12分）一个口袋中装有大小形状完全相同的3n +个乒乓球，其中1个乒乓球上标有数字1，2个乒乓球上标有数字2，其余n 个乒乓球上均标有数字3()*n N ∈，若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是815. （1）求n 的值；（2）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设ξ表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之和，求ξ的分布列和数学期望E ξ. 19. （本小题满分12分）三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=︒，12AB BC BB ===， M N ，分别是1 AB A C ，的中点.（1）求证：MN ∥平面11BCC B ； （2）求证：MN ⊥平面11A B C ； （3）求二面角11M B C A --的余弦值. 20. （本小题满分12分）过点()0 1B ，的直线1l 交直线2x =于()02 P y ，，过点()'0 1B -，的直线2l 交x 轴于()0' 0P x ，点，012x y +=，12l l M = .（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 与C 相交于不同的两点 S T ，，已知点S 的坐标为()2 0-，，点()0 Q m ，在线段ST 的垂直平分线上且4QS QT ⋅≤，求实数m 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()()ln x f x e a =+（a 为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1 1-，上的减函数. （1）求a 的值；（2）若()21g x t t λ≤++在[]1 1x ∈-，及λ所在的取值范围上恒成立，求t 的取值范围； （3）讨论关于x 的方程()2ln 2xx ex m f x =-+的根的个数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.（1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； （2）若直线l 经过点()1 0，，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-.（1）若()f x m ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数 a m ，的值； （2）当2a =且0t ≥时，解关于x 的不等式()()2f x t f x t +≥+.怀仁一中2018-2018学年度第一学期期终考试高三数学（理科）考试题答案一、选择题1-5:CDCCA 6-10:BBDBD 11、12：BC二、填空题1 14.2437 15.10 4⎛⎤ ⎥⎝⎦， 16.185三、解答题17.解：（1）∵2sin sin sin B A C =，∴2b ac =，∵ A B C ，，依次成等差数列，∴2B A C B π=+=-，3B π=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，22a c ac ac +-=，∴a c =， ∴ABC △为正三角形. （2）211cos 1sin cos 222222C A A C A -+-=+-121cos cos 234A A A A A π⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭11cos sin 426A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∵223A ππ<<，∴25366A πππ<+<，∴1sin 26A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭11sin 426A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭∴代数式23sin cos 2222C A A ++的取值范围是1 4⎛ ⎝. 18.解：（1）由题设111223815n n C C C ++=，即22530n n --=，解得3n =.（2）ξ取值为2，3，4，6，9.则()1112262215C C P C ξ===，()111626135C C P C ξ===，()22261415C P C ξ===，()112326265C C P C ξ===，()2326195C P C ξ===.ξ的分布列为：21121162346915515553E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.解：（1）连接1BC ，1AC ，在1ABC △中，∵ M N ，是1 AB A C ，中点，∴1MN BC ∥，又∵MN ⊄平面11BCC B ， ∴MN ∥平面11BCC B .（2）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系1B xyz -.则()10 0 0B ，，，()0 2 2C ，，，()1 2 0 0A -，，，()1 0 2M -，，，()1 1 1N -，，，()10 2 2B C = ，，，()11 2 0 0A B = ，，，()0 1 1NM =-，，. 设平面11A B C 的法向量() n x y z =，，， 111000n B C x y z n A B ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩， 令1z =，则0x =，1y =-，∴()0 1 1n =- ，，，∴n NM =，∴MN ⊥平面11A B C .（3）设平面1MB C 的法向量为()000 m x y z = ，，，()1 1 0 2B M =-，，， 001001200x z m B C y z m B M ⎧=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩， 令01z =，则02x =，01y =-，∴()2 1 1m =-，，，∴cos n mn m n m⋅<>===⋅ ，， 所求二面角11M B C A --. 20.解：由题意，直线1l 的方程是0112y y x -=-+，∵0012x y +=，∴1l 的方程是014xy x =-+， 若直线2l 与y 轴重合，则()0 1M ，，若直线2l 不与y 轴重合，可求得2l 的方程是011y x x =-， 与直线1l 的方程联立消去0x 得2214x y +=，因1l 不经过()0 1-，点，故动点M 的轨迹C 的方程是()22114x y y +=≠-.（2）设()11 T x y ，，直线l 的方程为()122y k x k ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，于是 S T ，两点的坐标满足方程组()22214y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由方程消去y 并整理得()222214161640k x k x k +++-=， 由212164214k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414ky k =+，设ST 的中点为N ，则22282 1414k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，， 以下分两种情况：①当0k =时，点T 的坐标为()2 0，，线段ST 的垂直平分线为y 轴，于是()2 QS m =-- ，，()2 QT m =-，，由4QS QT ≤得：m -≤≤②当0k ≠时，线段ST 的垂直平分线方程是2222181414k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0x =，得2614k m k =-+，∵12k ≠，∴32m ≠. 由()2112222286462214141414k k k k QS QT x m y m k k k k -⎛⎫=---=-++ ⎪++++⎝⎭()()4222416151114k k k +-=≤+，解得：k ≤≤0k ≠，∴2661144k m k k k=-=++.当0k ≤≤时，144k k+≤-；当0k <≤144k k +≥，∴3322m -≤≤且0m ≠； 综上所述：3322m -≤<且0m ≠.21.解：（1）()()ln x f x e a =+是奇函数，则()()ln ln x x e a e a -+=-+恒成立， ∴()()1x x e a e a -++=，即211x x ae ae a -+++=， ∴()0x x a e e a -++=，∴0a =.（2）由（1）知()f x x =，∴()sin g x x x λ=+， ∴()cos g x x λ=+，又∵()g x 在[]1 1-，上单调递减， ∴()()max 1sin1g x g λ=-=--，且()cos 0g x x λ=+≤对[]1 1x ∈-，恒成立， 即cos x λ≤-对[]1 1x ∈-，恒成立， ∴1λ≤-，∵()21g x t t λ≤++在[]1 1x ∈-，上恒成立， ∴2sin11t t λλ--≤++，即()21sin110t t λ++++≥对1λ≤-恒成立，令()()()21sin111h t t λλλ=++++≤-，则2101sin110t t t +≤⎧⎨--+++≥⎩， ∴21sin10t t t ≤-⎧⎨-+≥⎩，而2sin10t t -+≥恒成立， ∴1t ≤-.（3）由（1）知()f x x =，∴方程为2ln 2xx ex m x=-+， 令()1ln xf x x =，()222f x x ex m =-+， ∵()121ln 'xf x x -=， 当()0 x e ∈，时，()1'0f x ≥，∴()1f x 在(]0 e ，上为增函数； 当[) x e ∈+∞，时，()1'0f x ≤，∴()1f x 在[)0 e ，上为减函数； 当x e =时，()()11max 1f x f e e==，而()()222f x x e m e =-+-， ∴函数()1f x 、()2f x 在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当21m e e ->，即21m e e >+时，方程无解；②当21m e e -=，即21m e e =+时，方程有一个根；③当21m e e -<，即21m e e<+时，方程有两个根.22.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为24y x =，故曲线C 是顶点为()0 0O ，，焦点为()1 0F ，的抛物线.（2）直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），故l 经过点()0 1，，若直线l 经过点()1 0，，则34πα=.∴直线l的参数方程为3cos 431sin 14x t y t ππ⎧==⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩（t 为参数） 代入24y x =，得220t ++=，设 A B ，对应的参数分别为12 t t ，，则12t t +=-，122t t =， ∴18AB t =-=. 23.解：（1）由x a m -≤得a m x a m -≤≤+，所以15a m a m -=-⎧⎨+=⎩，解得23a m =⎧⎨=⎩为所求. （2）当2a =时，()2f x x =-，所以()()2222f x t f x t x t x t +≥+⇒-+--≤，当0t =时，不等式①恒成立，即x R ∈；当0t >时，不等式()22222x t t x x t <-⎧⎪⇔⎨----≤⎪⎩或()222222t x x t x t -≤<⎧⎪⎨-+--≤⎪⎩或()2222x x t x t ≥⎧⎪⎨-+--≤⎪⎩解得22x t <-或2222t t x -≤≤-或x ∈∅，即22t x ≤-； 综上，当0t =时，原不等式的解集为R ，当0t >时，原不等式的解集为22t x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭.。