【恒心】浙江省温州市2014届高三第二次适应性考试数学(理科)试题及参考答案
浙江省温州市12月高中学业水平考试适应性测试数学试题问酷网
2014年12月温州市高中学业水平考试适应性测试数学试题选择题1.(2014温州学业水平测试)已知全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，3}，则( U A)∪B= （ ）A. {1，2，3}B. {2，3，4}C. {1，3，4}D.{1，2，4} 【答案】B2.(2014温州学业水平测试)函数的定义域是（ ）A. {x|x>0}B. {x|x>1}C. {x|x≥1}D. {x|x ≥0} 【答案】D3.(2014温州学业水平测试) log 336－log 34=（ ）A.2B.0C.12D.－2【答案】A4.(2014温州学业水平测试)若函数f(x)=(a 2－1)x+2为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为 （ ）A.a>1B.a<1C.－1<a<1D.－1≤a≤1 【答案】C5.(2014温州学业水平测试)直线x+y 的倾斜角是（ ）A.4πB.3π C. 23π D. 34π【答案】D6.(2014温州学业水平测试)某棱柱如图所示放置，则该棱柱的正视图是（ ）A.B. C. D.【答案】A7.(2014温州学业水平测试)要得到函数y=cos(2x+π)的图象，只要将函数y=cos2x 的图象 （ ）A.向左平移3π个单位B. 向右平移3π个单位C. 向左平移6π个单位D. 向右平移6π个单位【答案】C8.(2014温州学业水平测试)在等比数列{ a n }中，a 2=2，a 5=16，则数列{ a n }的通项公式为 （ ）A.a n =2nB. a n =2n －1C. a n =1()2nD. a n =11()2n -【答案】B9.(2014温州学业水平测试)已知sin(π+α)=45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是 （ ）A.35-B.35C.35±D.45【答案】B10.(2014温州学业水平测试)轮船A 和轮船B 在某日中午12时离开海港C ，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120°，轮船A 的航行速度是25 /h ，轮船B 的航行速度是15 n mile/h ，则该日下午2时 A.B 两船之间的距离是 （ ）A.35 n mile 【答案】C11.(2014温州学业水平测试)化简cos70°sin115°+cos20°sin25°的结果是（ ）A.1 C. D.12【答案】B12.(2014温州学业水平测试)过点(0，4)作直线，使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有 （ ）A.1条B.2条C.3条D.4条 【答案】C13.(2014温州学业水平测试)已知sin2α=45-，α∈(,)44ππ-，则sin4α的值为（ ）A.2425B.－2425C.45D.725 【答案】B14.(2014温州学业水平测试)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 （ ）A.ACB.BDC.A 1DD.A 1D 1 【答案】B15.(2014温州学业水平测试)已知双曲线C 以直线x±2y=0为渐近线，且经过点A(2，－2)，则双曲线C 的方程是（ ）A.221y x -=B.221y x -=C.221y x -=D.221y x -= 【答案】D16.(2014温州学业水平测试)如果AB>0，BC>0，那么直线Ax －By －C=0经过的象限是 （ ）A.第一.二.三象限B.第二.三.四象限C.第一.三.四象限D.第一.二.四象限 【答案】C17.(2014温州学业水平测试)当x∈[－π，2π]时，函数y=sin(x －3π)的最大值为 （ ）A.12D.1 【答案】C18.(2014温州学业水平测试)双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的右焦点是抛物线y 2=8x 的焦点F ，两曲线的一个公共点为P ，且|PF|=5，则此双曲线的离心率为 （ ）C.2【答案】C19.(2014温州学业水平测试)已知实数x ，y 满足不等式组022020x x y x y ≤≤⎧⎪+-≥⎨-+≥⎪⎩，则目标函数z=3x －4y 的最小值m 与最大值M 的积为 （ ）A.－60B.－48C.－80D.36 【答案】A20.(2014温州学业水平测试)如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD ，则下列结论不正确的是 （ ）A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D21.(2014温州学业水平测试)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，上底边长为8，下底边长为24，高为20，为降低消耗，开源节流，现在从这此边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，则截取的矩形面积最大值为（）A.190B.180C.170D.160 【答案】B22.(2014温州学业水平测试)已知函数f(x)=2221,0,0 ax x xx bx c x⎧--≥⎨++<⎩为偶函数，方程f(x)=m有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A.(－3，－1)B.(－2，－1)C.(－1，0)D.(1，2) 【答案】B23.(2014温州学业水平测试)分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为V1.V2.V3，则（）A. V1＝V2+V3B. V12＝V22+V32 C.222123111V V V=+ D.123111V V V=+【答案】C24.(2014温州学业水平测试)已知函数f(x)=ax3，对任意的x1，x2，满足x 1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)，若f(1+2a)+f(2+a)>0，则实数a的取值范围是（）A.(－∞，－1)B.(0，1)C.(－1，+∞)D.(－1，0) 【答案】A25.(2014温州学业水平测试)已知两个平面向量,m n满足：对任意的λ∈R，恒有|()|||2m n m m n λ+--≥，则（ ）A.||||m m n =-B. ||||m n =C. ||||m m n =+D. ||2||m n =【答案】B 填空题26.(2014温州学业水平测试)已知函数f(x)=12x -，则当x∈[3，5)时函数的值域为【答案】13⎛⎤⎥⎝⎦，127.(2014温州学业水平测试)以C(0，2)为圆心的圆交直线y=－3于A ，B 两点，且△CAB 为等腰直角三角形，则圆的方程是【答案】x 2+(y-2)2=5028.(2014温州学业水平测试)两平行线：4x+3y －1=0，8x+6y －5=0间的距离等于 .【答案】31029.(2014温州学业水平测试) “1<x<2”是“|x|<a”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 【答案】a ≥230.(2014温州学业水平测试)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2BC=2CD=2，E是AB 的中点，F 是DE 的中点，沿直线DE 将△ADE 翻折成棱锥A －BCDE ，当棱锥A －BCDE 的体积最大时，直线AB 与CF 所成角的余弦值为【答案】10解答题31.(2014温州学业水平测试)已知{a n }是数列，且a 1+a 3=8，a 2+a 4=12.（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k+2成等比数列，求正整数k 的值。
2014年全国高考浙江省高中数学理科试卷和答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设a,b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( )A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D.123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不 同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______15.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________ 17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 。
2014届浙江省高三高考适应性考试理科数学试题(含答案解析)
绝密★考试结束前2014年高考适应性考试 数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 棱台的体积公式S = 4πR 2 )2211(31S S S S h V ++=球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积,V =34πR 3h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合}12|{<=x x A ,}0|{2≤-=x x x B ,则=B A C R )(A.}10|{<<x xB.{|01}x x ≤<C.{|01}x x <≤D.{|01}x x ≤≤ 2.函数x y 2sin 232-=的最小正周期为 A.2πB. πC. π2D. π4 3.设实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-≤-+04320206y x y x y x ，则y x z 2-=的最小值是A.8-B.6-C. 3-D. 518- 4.已知R x ∈，则“0<x ”是“x x cos <”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.定义在R 上的奇函数)(x f 满足⎩⎨⎧+∞∈-∈--=),1(),1(2)1,0[|,12|1)(x x f x x x f ，则)221(-f 的值是A.0B.512-C.1024-D.2048- 6.从6名教师中选4名开设D C B A ,,,四门课程，每人开设一门课程且开设的课程各不相同，若这6名教师中甲、乙两人不开设A 课程，则不同的选择方案共有A.300种B.240种C.144种D.96种 7.已知为c b a ,,ABC ∆的三边，若,222bc a c b =-+则acb +的取值范围是 A.]2,1( B.]3,1( C.]2,3[ D.]2,3(8.设直线)0(0≠=++m m y x 与曲线:E )0(122>=+a by a x 相交于B A ,两点，O 是坐标原点，且)(21+=，若直线OP 的斜率为21-，则曲线E 的离心率是 A.22 B.23 C.3 D.269.已知ABC ∆中,2290==︒=∠BC AB ACB ，，将ABC ∆绕BC 旋转得PBC ∆,当直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为66时，A P 、两点间的距离是 A.2 B.4 C.22 D.3210.已知直线x y l 3:1=和x y l 3:2-=，对于任意一条直线kx y l =:进行变换，记该变换为R ，得另一条直线)(l R .变换R 为：先经1l 反射，所得直线（即以1l 为对称轴，l 的轴对称图形）再经2l 反射，得到)(l R .令)()1(l R R =，对于2≥n 定义))(()()1()(l R R l R n n -=，则使得l l Rm =)()(恒成立的最小正整数m 为A.2B.3C.4D.6非选择题部分 (共100分)注意事项：1． 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
浙江省温州中学2014年春学期高三3月月考数学试卷(理科,有答案)
浙江省温州中学2014年春学期高三3月月考数学试卷（理科，有答案）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1),(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 )(312211S S S S h V++=24S R π= 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，球的体积公式 h 表示棱台的高 334R V π=其中R 表示球的半径 选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{2}xA x y ==，{|B y y ==，则A B = ( )A ．{0}x x >B ．{0}x x ≥C ．{24}x x x ≤≥或D ．{024}x x x <≤≥或2．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩.若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是( )A ．[]1,1-B ．[2,0]-C ．[]0,2D ．[]2,2-3．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是( ) A ．13cm B ．33cm C ．53cm D ．73cm侧视图俯视图4．已知条件p ：34k =，条件q ：直线()21y k x =++与圆224x y +=相切，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5．将函数)(x f y =的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为22cos y x =，则函数)(x f 的表达式可以是（ ） A ．x sin 2 B ．x cos 2 C ．x 2sinD ．x 2cos6．如图所示的程序框图，若执行运算111112345⨯⨯⨯⨯，则在空白的执行框中，应该填入（ ）A ．(1)T T i =⋅+B ．T T i =⋅7．从6名教师中选4名开发A 、B 、C 、D 四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A 课程，则不同的选择方案共有（ ）A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种8．在△ABC 中，(3)AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π9．已知点(0,0),(1,1)O A -，若F 为双曲线122=-y x 的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值范围为（ ）A ．1,1)B ．C ．D ．)+∞10．如图，矩形ABCD 中，E 为边AD 上的动点，将△ABE 沿直线BE 翻转成△A 1BE ，使平面A 1BE ⊥平面ABCD ，则点A 1的轨迹是（ ） A ．线段 B ．圆弧 C ．椭圆的一部分 D ．以上答案都不是第10题图1A E DCBA非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．二项式281()x x-的展开式中，含x 的项的系数是________.12．已知,x y 是实数,且2(2i-2)1i 0x x y ++-=(其中i 是虚数单位),则|i |x y +=_____. 13．甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量ξ为两人中能达标的人数，则ξ的数学期望E ξ为 ． 14．数列{}n a 满足*12211131,333n n a a a n n N +++=+∈,则=n a . 15．已知函数()'()sin cos ,6f x f x x π=+则()6f π的值为 .16．已知实数,x y 满足1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2x y 的最小值是 .17．设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，若n q m r =+（其中q ，r ∈Z ，且0r m <≤），则记()m f n r =，如2(3)1f =，3(8)2f =.下列关于该映射:m f →Z Z 的命题中，正确的是 .①若a ，b ∈Z ，则()()()m m m f a b f a f b +=+②若a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，则()()m m f ka f kb =③若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b=，()()m m f c f d =，则()()m m f a c f b d +=+ ④若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f ac f bd = 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.19．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知nn a b 1log 3=，记12n n S b b b =+++， 111111111111133636n nT S =+++++++++++,求证：20141013.T < 20．（本题满分14分）四棱锥P ABCD -底面是菱形，PA ABCD 平面⊥，60ABC ︒∠=,,E F 分别是,BC PC 的中点.（Ⅰ）求证: 平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）H 是PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成的最大角为45︒，求二面角E AF C --的正切值.21.（本题满分15分）抛物线2:4C x y =，直线AB 过抛物线C 的焦点F ，交x 轴于点P . （Ⅰ）求证：2PF PA PB =⋅；（Ⅱ）过P 作抛物线C 的切线，切点为D （异于原点）， （i ）,,DA DF DB k k k 是否恒成等差数列，请说明理由； （ii ）ABD ∆重心的轨迹是什么图形，请说明理由.22．（本题满分15分）已知32()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈） （Ⅰ）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x ，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由．理科数学答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．-56 12．1.6 14．112,13,2n n n +=⎧⎨≥⎩ 15．-1 16．4 17．②③④三、解答题： 18（本小题满分14分） 解：（Ⅰ） 3 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）13n n a =20.四棱锥P-ABCD底面是菱形，PA ⊥面ABCD ，∠ABC=060,E,F 分别是BC,PC 的中点. （1）求证: 面AEF ⊥面PAD（2）H 是PD 上的动点，EH 与面PAD 所成的最大角为045，求二面角E-AF-C的正切值.(1)设菱形ABCD 的边长为2a ，则22202(2)22cos603,AE a a a a a =+-⋅=222BE AE AB +=,∴AE ⊥BC,又AD||BC, ∴AE ⊥AD.∵PA ⊥面ABCD, ∴PA ⊥AE,AE ⊥面PAD, ∴面AEF ⊥面PAD.（2）过E 作EQ ⊥AC ，垂足为Q ，过作QG ⊥AF ，垂足为G ，连GE ，∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥EQ,EQ⊥面PAC ，则∠EGQ 是二面角E －AF －C 的平面角.过点A 作AH ⊥PD ，连接EH ，∵ AE ⊥面PAD ，∴∠AHE 是EH 与面PAD 所成的最大角. ∵∠AHE ＝045，∴AH ＝AE＝，AH ﹒PD ＝PA ﹒AD ，2a ﹒PA=﹒,CQ=12a,tan ∠EGQ=23EQ GQ =. 21.(1) 即证121y y = (2) 能 抛物线24(2)3x y =-22．（本题满分15分）已知32()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈） （Ⅰ）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由． （Ⅰ）解：由()0f x =得：30x ax -=或2ln(1)0x a +-= 可得0x =或2x a =且210x a +-> ∵方程()0f x =有3个不同的根，∴方程2x a =有两个不同的根 ∴0a >又∵210x a +->，且要保证x 能取到0∴10a -> 即1a < ∴01a <<．（Ⅱ）解：∵222222()()(3)ln(1)1x x a f x x a x a x a-'=-+-++-令2x t =，设2()()(3)ln(1)()1t t a g t t a t a f x t a-'=-+-+=+-∴(0)ln(1)0g a a =--> 2(1)(1)(3)ln(2)2a g a a a-=--+- ∵01a << ∴21a -> ∴(1)0g >()0g a =2()2()ln(1)ln(1)22222212a a a a a a a a g a a ⋅-=-+=---- ∵01a << ∴11122a <-<，20a -> ∴()02ag <∴存在1(0,)2a t ∈，使得1()0g t =，另外有(,1)2a a ∈，使得()0g a = 假设存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =则存在1x ∈，使得1()0f x '=，另外有0f '=，即2x =∴1x =，∴0f '=，即3()324ln(1)034414a a a a a ⋅---+=- 即333(1)ln(1)0442a a a --+= （*） 设333()(1)ln(1)442h a a a a =--+ ∴3333333()ln(1)ln(1)4442444h a a a '=---+=--+ ∵01a << ∴3ln(1)04a -< ∴()0h a '> ∴()h a 在(0,1)上是增函数 ∴()(0)0h a h >= ∴方程（*）无解，即不存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =。
浙江省温州市2024届高三第二次适应性考试数学试题(含解析)
浙江省温州市2024届高三第二次适应性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知z C ∈，则“2R z ∈”是“R z ∈”的（ ）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件2．已知集合{{,M x y N y y ===，则M N ⋂=（ ）A ．∅B ．RC ．MD ．N3．在正三棱台111ABC A B C -中，下列结论正确的是（ ）A ．1111113ABC A B C A BB C V V --=B ．1AA ⊥平面11AB C C ．11A B B C⊥D ．1AA BC⊥4．已知0.50.3sin0.5,3,log 0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c<<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<5．在()()531x x --展开式中，x 的奇数次幂的项的系数和为（ ）A ．64-B ．64C ．32-D ．326．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且{}n S 单调递增．若55a =，则d ∈（ ）A ．50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．100,7⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．100,7⎛⎫⎪⎝⎭7．若关于x 的方程22112x mx x mx mx +++-+=的整数根有且仅有两个，则实数m 的取值范围是（ ）A ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C．55,22,22⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．55,22,22⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知定义在()0,1上的函数()()1,,1,m x m n f x n n x ⎧⎪=⎨⎪⎩是有理数是互质的正整数是无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于12x =对称B ．()f x 的图象关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 在()0,1单调递增D ．()f x 有最小值二、多选题9．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，()3,4P -为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y x =-对称，则（ ）A ．()3cos π5α+=B ．()π2π22k k βα=++∈Z C ．7tan 24β=D ．角β的终边在第一象限10．已知圆221:6C x y +=与圆222:20C x y x a ++-=相交于,A B 两点．若122C AB C AB S S =△△，则实数a 的值可以是（ ）A ．10B ．2C ．223D ．14311．已知半径为r 球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为d ，则（ ）A ．r 有最大值，但无最小值B ．r 最大时，球心在正四面体外C ．r 最大时，d 同时取到最大值D ．d 有最小值，但无最大值三、填空题12．平面向量,a b满足()2,1a = ，a b ，a b ⋅= ，则b = ．13．如图，在等腰梯形ABCD 中，12AB BC CD AD ===，点E 是AD 的中点．现将ABE 沿BE 翻折到A BE ' ，将DCE △沿CE 翻折到D CE '△，使得二面角A BE C '--等于60︒，D CE B '--等于90︒，则直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于 ．14．已知P ，F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b -=>与抛物线()220y px p =>的公共点和公共焦点，直线PF 倾斜角为60 ，则双曲线的离心率为 ．四、解答题15．记ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知2sin c B =．(1)求C ；(2)若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC 的面积．16．已知直线y kx =与椭圆22:14xC y +=交于,A B 两点，P 是椭圆C 上一动点（不同于,A B ），记,,OP PA PB k k k 分别为直线,,OP PA PB 的斜率，且满足OP PA PB k k k k ⋅=⋅．(1)求点P 的坐标（用k 表示）；(2)求OP AB ⋅的取值范围．17．红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x （万元）与年收益y （万元）的8组数据：x1020304050607080y12.816.51920.921.521.92325.4(1)用ln y b x a =+模拟生产食品淀粉年收益y 与年投入资金x 的关系，求出回归方程；(2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10%．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元）附：①回归直线ˆˆˆu bv a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii v u nv ubvnv ==-⋅=-∑∑，ˆˆa u bv =-⋅②81ii y=∑81ln ii x=∑821ii x=∑()128ln i i x =∑81ln i ii y x=∑1612920400109603③ln20.7,ln5 1.6≈≈18．数列{}{},n n a b 满足：{}n b 是等比数列，122,5b a ==，且()()*1122238N n n n n a b a b a b a b n ++⋅⋅⋅+=-+∈．(1)求,n n a b ；(2)求集合()(){}*0,2,N i i A x x a x b i n i =--=≤∈中所有元素的和；(3)对数列{}n c ，若存在互不相等的正整数()12,,,2j k k k j ⋅⋅⋅≥，使得12j k k k c c c ++⋅⋅⋅+也是数列{}n c 中的项，则称数列{}n c 是“和稳定数列”．试分别判断数列{}{},n n a b 是否是“和稳定数列”．若是，求出所有j 的值；若不是，说明理由．19．如图，对于曲线Γ，存在圆C 满足如下条件：①圆C 与曲线Γ有公共点A ，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C 与曲线Γ在点A 处有相同的切线；③曲线Γ的导函数在点A 处的导数（即曲线Γ的二阶导数）等于圆C 在点A 处的二阶导数（已知圆()()222x a y b r -+-=在点()00,A x y 处的二阶导数等于()230r b y -）；则称圆C 为曲线Γ在A 点处的曲率圆，其半径r 称为曲率半径．(1)求抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程；(2)求曲线1y x=的曲率半径的最小值；(3)若曲线e x y =在()11,e x x 和()()2212,e xx xx ≠处有相同的曲率半径，求证：12ln2x x +<-．参考答案：1．B 【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可.【详解】易知2i R z z =⇒∈，所以不满足充分性，而2R R z z ∈⇒∈，满足必要性.故选：B 2．D 【分析】根据题意，由集合交集的运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，{[)1,M x y ∞===-+，{[)0,N y y ∞===+，则[)0,N M N ⋂=+∞=.故选：D 3．D 【分析】对于A ：求出体积，然后作差确定大小；对于BC ：举例说明其错误；对于D ：通过证明BC ⊥面1A ADP 来判断.【详解】设正三棱台111ABC A B C -上底面边长为a ，下底面边长为b ，a b <，高为h ，对于A ：1112213ABC A B C V h -⎫=⎪⎪⎭三棱台，111213A BB C V h -=，则111111222133ABC A B C A BB C V V h h --⎫-=++-⎪⎪⎭()222222220h b a ab a ⎫==-+->⎪⎪⎭，即1111113ABC A B C A BB C V V -->，A 错误；对于B ：由正三棱台的结构特征易知11AA B ∠为钝角，所以1AA 与1AB 不垂直，所以1AA 与面11AB C 不垂直，B 错误；对于C ：（反例）假设该棱台是由正四面体被其中截面所截后形成的棱台，则11120A B B ∠=，若2b a =，1BB a =，所以()()21111111111111A B B C A B B B B B BC A B B B A B BC B B B B BC⋅=+⋅+=⋅+⋅++⋅ 2222102a a a a =-+-≠，即1A B 与1B C 不垂直，C 错误；对于D ：取BC 中点D ，11B C 中点P ，连接1,,AD DP A P ，则,BC AD BC PD ⊥⊥，且AD PD D =I ，,AD PD ⊂面ADP ，所以BC ⊥面ADP ，同理11B C ⊥面1A DP ，又11//BC B C ，所以BC ⊥面1A DP ，则面ADP 与面1A DP 是同一个面（过一点只有一个平面与已知直线垂直）所以BC ⊥面1A ADP ，又1A A ⊂面1A ADP ，所以1AA BC ⊥.故选：D.4．B 【分析】构造函数sin y x x =-，利用导数法求最值得sin x x <，从而有0.5a <，再利用函数0.3log y x =单调递减得0.51c <<，利用函数3x y =单调递增得1b >，即可比较大小.【详解】对π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-<，即函数sin y x x =-在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，且0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <，所以sin0.50.5a =<，因为0.30.30.32log 0.5log 0.25log 0.31=>=且0.30.3log 0.5log 0.31<=，所以0.30.5log 0.51c <=<，又0.50331b =>=，所以a c b <<.故选：B5．A【分析】设()()523456012345631x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，利用赋值法计算可得.【详解】设()()523456012345631x x a a x a x a x a x a x a x --=++++++，令1x =可得01245630a a a a a a a +++++=+，令=1x -可得0123456128a a a a a a a -+-+-+=，所以1350128642a a a -++==-，即在()()531x x --展开式中，x 的奇数次幂的项的系数和为64-.故选：A 6．A 【分析】因为数列{}n S 为递增数列，所以{}n a 从第二项开始，各项均为正数，由此可求d 得取值范围.【详解】因为{}n a 为等差数列，且55a =，所以()55n a n d =+-，又数列{}n S 为递增数列，所以{}n a 从第二项开始，各项均为正数.由()25250a d =+->⇒53d <.因为0n a >()2n ≥恒成立，所以数列{}n a 为常数数列或递增数列，所以0d ≥.综上，50,3d ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：A 7．C 【分析】设2,1A mx B x ==+，利用绝对值三角不等式得||||2||B A B A A ++-≥，()()0A B B A +-≤时等号成立，进而有422(2)10x m x +-+≤且整数根有且仅有两个，对于22()(2)1f t t m t =+-+，应用二次函数性质及对称性有0∆≥且2224t x =<=，得(4)0f >，即可求参数范围.【详解】设2,1A mx B x ==+，则原方程为||||2||B A B A A ++-=，由||||||||||2||B A B A A B A B A B A B A ++-=++-≥++-=，当且仅当()()0A B A B +-≥，即()()0A B B A +-≤时等号成立，所以22222()()(1)()0A B B A B A x mx +-=-=+-≤，整理得422(2)10x m x +-+≤①，显然0x =不满足，令2t x =，即22(2)10t m t +-+=必有两根，且1210t t =>，故12,t t 为两个正根，所以2222(2)4(4)0m m m ∆=--=-≥，可得2m ≤-或2m ≥，对于22()(2)1f t t m t =+-+，有2(1)40f m =-≤，即21t x ==，即1x =±恒满足①，要使①中整数根有且仅有两个，则对应两个整数根必为1±，若整数根为12,x x 且12x x <，则12202x x -<<<<，即2222112224,24t x t x =<==<=，所以2(4)2540f m =->，得5522m -<<，综上，55,22,22m ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭故选：C【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式的等号成立得到422(2)10x m x +-+≤，且整数根有且仅有两个为关键.8．A【分析】利用特殊值可排除B 、C ，利用函数的性质可确定A 、D.【详解】对于BC ，由题意可知：13122f f ⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪⎭⎝⎭，显然()f x 的图象不关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，而3122<-，故B 、C 错误；对于D ，若x 为有理数，则()1f x n=，显然n →+∞，函数无最小值，故D 错误；对于A ，若mx n=是有理数，即(),m n m n <互质，则,n m n -也互质，即1m n m f f n n n -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若x 为无理数，则1x -也为无理数，即()()11f x f x =-=，所以()f x 的图象关于12x =对称，故A 正确.下证：,m n 互质，则,n m n -也互质.反证法：若,m n 互质，,n m n -不互质，不妨设,n m ka n kb -==，则(),m k b a n kb =-=，此时与假设矛盾，所以,n m n -也互质.故选：A【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A 、B ，而作为抽象函数可以适当选取特殊值验证选项，提高正确率.9．ACD 【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,4P -，所以：5OP =，所以4sin 5α=，3cos 5α=-，所以()3cos πcos 5αα+=-=，故A 对；又4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：724,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y x =-对称，所以角β的终边与单位圆的交点为247,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以7tan 24β=，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y x =-的角为：ππ,4k k -∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y x =-对称，所以2ππ24k αβ+=-⇒π2π22k βα=--()k ∈Z ，故B 错误.故选：ACD 10．BD 【分析】根据题意，由条件可得弦AB 所在的直线方程，然后将122C AB C AB S S =△△转化为圆心到直线AB 的距离关系，列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得弦AB 所在的直线方程为12:260C C x a -+-=，因为圆221:6C x y +=，圆心()10,0C ，圆222:20C x y x a ++-=，圆心()21,0C -，设圆心()10,0C 与圆心()21,0C -到直线AB 的距离分别为12,d d ，因为122C AB C AB S S =△△，即1211222AB d AB d ⋅=⨯⋅，所以122d d =，又12d2320280a a -+=，即()()31420a a --=，解得2a =或143a =.故选：BD 11．ABD【分析】求出r 的取值范围可判断A ，B ；设1OO x =，根据题意得到d 关于x 的表达式，构造函数()f x x =+()f x 求导，得到()f x 的单调性和最值可判断C ，D.【详解】对于AB ，设球心为O ，正四面体为A BCD -，BCD △的中心为1O ，则O 在1AO上，AH ==，123DO ==球与平面ACD ，平面ABC ，平面ABD 相切，与平面ABC 相切于点2O，113HO ==，1AO ==因为2r OO =，在1Rt AO H中，111tan O H O AH AO ∠==，则1sin 31O AH ∠=所以在2Rt AOO △中，2212tan r OO AO O AH AO ==∠=，因为2AO ⎛∈ ⎝，所以2r AO ⎛=∈ ⎝，r 有最大值，但无最小值，故A 正确；当max r =，此时13sin r AO r O AH ===>∠r 最大时，球心在正四面体外，故B 正确；对于CD ，设1OO x =，AO x =，OD ==所以3d OA OD x =+=-+，令()f x x =-+令()10f x =-=='，解得：x =或x =，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x在⎛ ⎝上单调递减，当x ∈时，()0f x '>，()f x在上单调递减，所以当x =时，()max f x =，所以d 有最小值，但无最大值，故D 正确，C 错误.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题CD 选项解决的关键在于，假设1OO x =，将d 表示为关于x 的表达式，再利用导数即可得解.12【分析】根据题意，设向量(),b x y = ，由向量共线以及数量积的结果列出方程，即可得到b的坐标，从而得到结果.【详解】设向量(),b x y = ，由a b可得21x y =，又a b ⋅=，则2x y +=解得x =y =，则b ⎛= ⎝ ，所以b ==13【分析】根据图象可得直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于A BK ∠'的正弦值，设2AB a =，利用余弦定理求得相关线段的长度再进行计算即可.【详解】设2AB a =，取CE 的中点K ,连接,BK A K ',由题知平面BCE ⊥平面D CE ',平面BCE 平面D CE CE '=,又BK ⊂平面BCE ,BK CE ⊥所以BK ⊥平面D CE '，则直线A B '与平面D CE '所成角的余弦值等于A BK ∠'的正弦值，易求得,BK A C '==，2225cos 28EA EC A C A EC EA EC +-''⋅'=='∠,又2225cos 28EA EK A K A EC EA EK +-''⋅'=='∠,解得A K '=，222cos 2A B BK A K A BK A B BK +-'⋅''=='∠则sin A BK ∠=='所以直线A B '与平面D CE '142【分析】由题意2pc =，根据直线PF 倾斜角为60 得直线PF的方程为)y x c -，联立24y cx =得P 点坐标，代入双曲线方程即可得离心率.【详解】因为F 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>与抛物线()220y px p =>的公共焦点，所以2pc =，故24y cx =，因直线PF 倾斜角为60 ，故直线PF的斜率为k =PF的方程为)y x c =-，联立24y cx =，得()234x c cx -=，即2231030x cx c -+=，得3x c =或13x c =，当3x c =时，2212y c =，代入22221x y a b-=得22229121c c a b -=，又因222b c a =-，ce a=，得4292210e e -+=，解得2e =，又因1e >，得e =当13x c =时，2243y c =，代入22221x y a b -=得222214931c c a b -=，又因222b c a =-，ce a=，得422290e e -+=，解得211e =±1e >，得2e =+2.15．(1)π4C =或3π4(2)43【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得sin C ，从而确定角C .（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.【详解】（1）由2sin c B =得2sin sin C B B =，而B 为三角形内角，故sin B >0,得sin C =C 为三角形内角，∴π4C =或3π4（2）由()tan tan tan tan A B C B C =-+=+得tan tan tan tan 1tan tan B CB C B C+-=+-，又tan tan 0B C +≠，∴tan tan 2B C =， ，故π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）得tan 1C =，故tan 2B =，∴tan tan tan 3A B C =+=，而A 为三角形内角，∴sin A .又sin sin a c A C ==⇒c =又tan 2B =，而B为三角形内角，故sin B =，114sin 2223S ac B ∴==⨯=.16．(1)(P或P （0k ≠）；(2)(4,5].【分析】（1）设出点,A P 的坐标，利用点差法求得14OP k k ⋅=-，再联立直线y kx =与椭圆方程求解即得.（2）利用（1）的结论求出||,||OP AB ，再借助基本不等式求出范围即可.【详解】（1）依题意，点A 、B 关于原点对称，设()()1122,,,A x y P x y ，则()11,B x y --，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+，于是14OP k k ⋅=-，由22440y kx x y =⎧⎨+-=⎩，整理得22(14)4k x +=，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩用14k -代替上述坐标中的k ，得(P或P （0k ≠）.（2）由（1）得，0k ≠，OP AB ⋅====221168816k k ++≥=，当且仅当12k =±时取等号，显然2292511116168k k <+≤++，所以45OP AB <⋅≤，即OP AB ⋅的取值范围是(4,5].17．(1)5ln 2ˆyx =+(2)36.5【分析】（1）利用回归直线的公式求ˆb和ˆa 的值，可得回归方程.（2）建立函数关系，利用导数分析函数单调性，求出函数的最大值.【详解】（1）()()()()88881111882222211ln 29161ln 8ln ln 860388888529ln 8ln ln 81098ˆln 8iii i i ii ii i iii i x yx y x yx y bx xx x======-⋅-⋅-⨯⨯====⎛⎫---⨯ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑1ˆˆ6129ln 5288y ab x =-⋅=-⨯=∴回归方程为：5ln 2ˆyx=+（2）2024年设该企业投入食品淀粉生产x 万元，预计收益y （万元）()15ln 220010y x x =++-⋅，0200x ≤≤515001010x y x x-=-=>'，得50x <∴其在()0,50上递增，()50,200上递减()()max 5ln5021552ln5ln21752 1.60.71736.5y =++=++≈⨯⨯++=18．(1)31n a n =-，2nn b =(2)()2log 61122212462433n n n n ⎡-+⎤⎢⎥+⎣⎦++--(3)数列{}n a 是“和稳定数列”，()*31,N j m m =+∈，数列{}n b 不是“和稳定数列”，理由见解析【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出{}n b 的通项公式，由已知和求通项可得{}n a 的通项公式，（2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果（3）根据“和稳定数列”的定义可判定.【详解】（1）()1111238a b a b =-+ ，112,2b a =∴=又()11222223a b a b a b +=-，1122,2,5b a a =∴==，解得：24b =因为{}n b 是等比数列，所以{}n b 的公比212b q b ==，2n n b ∴=又当2n ≥时，()11221111238n n n n a b a b a b a b ----++⋅⋅⋅+=-+，作差得：()()112323n n n n n n a b a b a b --=---将2nn b =代入，化简：()()1233n n n a a a -=---，得：()132n n a a n --=≥{}n a ∴是公差3d =的等差数列，()1131n a a n d n ∴=+-=-（2）记集合A 的全体元素的和为S ，集合{}122,,,n M a a a =⋅⋅⋅的所有元素的和为()22261262n n n A n n -+==+，集合{}122,,,n N b b b =⋅⋅⋅的所有元素的和为()22122122212nn n B +-==--，集合M N ⋂的所有元素的和为T ，则有22n n S A B T =+-对于数列{}n b ：当()*21N n k k =-∈时，()()2121*2123131N k k k b p p ---==-=-∈是数列{}n a 中的项当()*2N n k k =∈时，()()*221223132N k k b b p p p -==-=-∈不是数列{}n a 中的项1321k T b b b -∴=++⋅⋅⋅+，其中()()21222212log 611log 61122k n k n b a n n k b a -+≤⎧---+⇒<≤⎨>⎩即()2log 6112n k ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦（其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数）()()()2log 61122142241411433n k kT ⎡-+⎤⎢⎥⎣⎦⎛⎫- ⎪∴==-=--⎪⎝⎭()2log 61122212462433n n S n n ⎡-+⎤⎢⎥+⎣⎦∴=++--（3）①解：当()*3,N j m m =∈时，12j k k k a a a ++⋅⋅⋅+是3的正整数倍，故一定不是数列{}n a 中的项；当()*31,N j m m =-∈时，()121mod3j k k k a a a ++⋅⋅⋅=+，不是数列{}n a 中的项；当()*31,N j m m =+∈时，()122mod3j k k k a a a +++= ，是数列{}n a 中的项；综上，数列{}n a 是“和稳定数列”，()*31,N j m m =+∈；②解：数列{}n b 不是“和稳定数列”，理由如下：不妨设：121j k k k ≤<<⋅⋅⋅<，则12j j k k k k b b b b ++⋅⋅⋅+>，且121112121222222j j j j j j kk k k k k k k b b b b b b b +++++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-<=故12j k k k b b b ++⋅⋅⋅+不是数列{}n b 中的项.数列{}n b 不是“和稳定数列”.19．(1)221124x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭(3)证明见解析【分析】（1）设抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为()222x y b b +-=，求出导数、二阶导数，结合所给定义求出b 即可；（2）设曲线()y f x =在()00,x y 的曲率半径为r ，根据所给定义表示出r ，再由基本不等式计算可得；（3）依题意函数e x y =的图象在(),e xx 处的曲率半径()322e 1e xxr +=，即242333e e x x r -=+，从而得到112242423333e e e e x x x x --+=+，令1231e xt =，2232e xt =，即可得到()12121t t t t +=，再由基本不等式证明即可．【详解】（1）记()2f x x =，设抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为()222x y b b +-=，其中b 为曲率半径．则()2f x x '=，()2f x ''=，故()()231200b f b b ===-''，232r b =，即12b =，所以抛物线2y x =在原点的曲率圆的方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）设曲线()y f x =在()00,x y 的曲率半径为r ．则法一：()()()0002030x a f x y b r f x b y -⎧=-⎪-⎪⎨'''⎪=⎪-⎩，由()()22200x a y b r -+-=知，()()220201r f x y b ⎡⎤+='⎣⎦-，所以(){}()322001f x r f x ⎡⎤+='''⎣⎦ ，故曲线1y x=在点()00,x y 处的曲率半径3222030112x r x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-+⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=，所以3340220220301111242x r x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+≥ ⎪⎝⎭，则2212333020122r x x -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，则322020112r x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭20201x x =，即201x =时取等号，故r ≥1y x=在点()1,1处的曲率半径r =法二：()0202330012x a x y b r x b y -⎧-=-⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩r ，所以23001323013022x ry b r x a x ⎧⋅⎪-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎪⎩，而()()4423322200022233022x r r r x a y b x ⋅=-+-=+⋅，所以2223302012r x x -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程可得322020112r x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则3220201124r x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当20201x x =，即201x =时取等号，故r ≥1y x=在点()1,1处的曲率半径r =（3）法一：函数e x y =的图象在(),exx 处的曲率半径()322e1exxr +=，故242333e e x x r -=+，由题意知：112242423333eeeex x x x --+=+ 令12223312,e ex x t t ==，则有22121211t t t t +=+，所以22122111t t t t -=-，即()()12121212t tt t t t t t --+=，故()12121t t t t +=．因为12x x ≠，所以12t t ≠，所以()()123212121212122e x x t t t t t t t t +=+>⋅==，所以12ln2x x +<-．法二：函数e x y =的图象在(),e x x 处的曲率半径()322e 1e x x r +=，有()3224222e 1e 3e 3e e x x x xx r -+==+++令122212,e e x x t t ==，则有22112212113333t t t t t t +++=+++， 则()121212130t t t t t t ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，故1212130t t t t ++-= ， 因为12x x ≠，所以12t t ≠，所以有12121211033t t t t t t =++->-，令t ，则21230t t +-<，即()3220231(1)21t t t t >+-=+-， 故12t <，所以1212e x x t +==<，即12ln2x x +<-；法三：函数e x y =的图象在(),e x x 处的曲率半径()322e 1e x x r +=． 故242333e e x xr =+设()4233e e x x g x =+，则()()4222333422e e e 2e 1333x x x x g x ---='=-，所以当1,ln22x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时()0g x '<，当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()0g x '>，所以()g x 在1,ln22∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln2,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，故有121ln22x x <-<，所以121,ln2,ln22x x ∞⎛⎫--∈-- ⎪⎝⎭，要证12ln2x x +<-，即证12ln2x x <--，即证()()()212ln2g x g x g x =>-- 将12ln2x x +<- ，下证：当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，有()()ln2g x g x >--，设函数()()()ln2G x g x g x =---（其中1ln22x >-），则()()()()21423332ln22e 1e 2e 03x x x G x g x g x --⎛⎫=+--=--⋅> ⎪'⎝⎭'，故()G x 单调递增，()1ln202G x G ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故()()22ln2g x g x >--，所以12ln2x x +<-．法四：函数e x y =的图象在(),e x x 处的曲率半径()322e 1ex x r +=， 有()3224222e 1e 3e 3e e x x x x x r -+==+++，设()422e 3e 3e x x x h x -=+++．则有()()()24222224e 6e 2e 2e e 12e 1x x x x x x h x --=+-+'=-，所以当1,ln22x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时()0h x '<，当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时()0h x '>，故()h x 在1,ln 22∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln 2,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增．故有121ln22x x <-<，所以121,ln2,ln22x x ∞⎛⎫--∈-- ⎪⎝⎭，要证12ln2x x +<-，即证12ln2x x <--，即证()()()212ln2h x h x h x =>--．将12ln2x x +<-，下证：当1ln2,2x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，有()()ln2h x h x >--，设函数()()()ln2H x h x h x =---（其中1ln22x >-），则()()()()222411ln22e 11e e 024x x x H x h x h x --''⎛⎫=+--=-++> ⎪⎝⎭'，故()H x 单调递增，故()1ln202H x H ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭ ，故()()22ln2h x h x >--，所以12ln2x x +<-．【点睛】方法点睛：极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.。
数学_2014年浙江省某校高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2014年浙江省某校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，则1+√3i=( )A √34−14i B √34+14i C √32+12i D √32−12i2. 设集合M ={x ∈Z|0≤x <2}，P ={x ∈R|x 2≤4}，则M ∩P =( ) A {1} B (0, 1) C M D P3. 函数f(x)=2sin(x2−π3)，x ∈R 的最小正周期为（ ） A π2 B π C 2π D 4π4. a ，b ，c ∈R ．则“a ，b ，c 成等比数列”是“b =√ac”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5. △ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且b 2+c 2−a 2+bc =0，则asin(30∘−C)b−c等于（ ）A 12 B √22 C √32 D√6+√246. 在平面直角坐标系中，不等式|y −2|+|x +2|≤2表示的平面区域的面积是（ ） A 8 B 4 C 4√2 D 2√27. 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（ ） A √2 B 12 C √22 D √248. 如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边BC 上的动点，BE ⊥AD于E ，则CE 的最小值为（ ） A 1 B 2−√3 C √3−1 D √32 9. 已知椭圆C:x 22+y 2=1，点M 1，M 2…，M 5为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为k(k ≠0)的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为（ ） A −116B −132C 164D −1102410. 下列四个函数：①f(x)=x 3+x 2；②f(x)=x 4+x ；③f(x)=sin 2x +x ；④f(x)=cos2x +sinx 中，仅通过平移变换就能使函数图象为奇函数或偶函数图象的函数为（ ） A ①②③ B ②③④ C ①②④ D ①③④二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. 二项式(1−x 2)5的展开式中x 6的系数为________．12. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为________．13. 若非零向量a →，b →，满足|a →+b →|=|b ¯|，a →⊥(a →+λb →)，则λ=________． 14. 已知函数f(x)=asin2x +cos(2x +π3)的最大值为1，则a =________．15. 对任意x ∈R ，都有f(x +1)=f(x)，g(x +1)=−g(x)，且ℎ(x)=f(x)g(x)在[0, 1]上的值域[−1, 2]，则ℎ(x)在[0, 2]上的值域为________．16. 两对夫妻分别带自己的3个小孩和2个小孩乘缆车游玩，每一缆车可以乘1人，2人或3人，若小孩必须有自己的父亲或母亲陪同乘坐，则他们不同的乘缆车顺序的方案共有________种． 17. 已知：长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，AB =2，AD =4，AA 1=4，O 为对角线AC 1的中点，过O 的直线与长方体表面交于两点M ，N ，P 为长方体表面上的动点，则PM →⋅PN →的取值范围是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量X 为取出2球中白球的个数，已知P(X =2)=512． （1）求袋中白球的个数；（2）求随机变量X 的分布列及其数学期望．19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ={2(n =1)2a n (n ≥2)．（1）求a n ； （2）设b n =S n +1(S n +log 2S n )(S n+1+log 2S n+1)，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，CD =PD ，∠ADP =90∘，∠CDP =120∘，E ，F ，G 分别为PB ，BC ，AP 的中点． （1）求证：平面EFG // 平面PCD ；（2）求二面角D −EF −B 的平面角的大小．21. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点F(−1, 0)，离心率为√22，函数f(x)=12x +34x ，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P(t, 0)(t ≠0)，Q(f(t)，0)，过P 的直线l 交椭圆P 于A ，B 两点，求QA →⋅QB →的最小值，并求此时的t 的值． 22. 已知a ∈R ，函数f(x)=−lnx x+e ax−1（e 为自然对数的底数）．（1）若a =1，求函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)的最小值为a ，求a 的最小值．2014年浙江省某校高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. C3. D4. D5. A6. A7. C8. C9. B 10. D 11. −10 12. 1376013. 2 14. 0或√3 15. [−2, 2] 16. 648 17. [−8, 8]18. 解：（1）设袋中有白球n 个，则P(X =2)=C n2C 92=512，解得n =6．（2）由（1）可知：袋中共有3个黑球，6个白球．随机变量X 的取值为0，1，2，则P(X =0)=C 32C 92=112，P(X =1)=C 31C 61C 92=12，P(X =2)=512．随机变量X 的分布列如下：EX =0×112+1×12+2×512=43．19. 解：（1）n ≥2时，S n =2a n =2(S n −S n−1)， ∴ S n =2S n−1，S 1=2 所以S n =2n a n ={2n−1(n ≥2)2(n =1)（2）b n =2n +1(2n +n)(2n+1+n+1) =12n +n −12n+1+n +1T n =b 1+b 2+...+b n =12+1−122+2+122+2−123+3+⋯+12n +n −12n+1+n +1 =13−12n+1+n +120. （1）证明：因为E ，G 分别为BP ，AP 中点，所以EG // AB ，又因为ABCD 是正方形，AB // CD ，所以EG // CD ， 所以EG // 平面PCD ．因为E ，F 分别为BP ，BC 中点，所以EF // PC ， 所以EF // 平面PCD ．所以平面EFG // 平面PCD ．（2）解：取PC 中点M ，连接EM ，DM ，则EM // BC ，又AD ⊥平面PCD ，AD // BC ，所以BC ⊥平面PCD ， 所以EM ⊥平面PCD ，所以EM ⊥DM ，EM ⊥PC ． 因为CD =DP ，则DM ⊥PC ，所以 DM ⊥平面PCB ． 又因为EF // PC ，所以EF ⊥EM ，所以∠DEM 就是二面角D −EF −B 的平面角的补角．不妨设AD =CD =PD =2，则EM =1，DM =1，∠DEM =π4．所以二面角D −EF −B 的平面角的大小为34π． 21. 解：（1）∵ 左焦点F(−1, 0)，离心率为√22， ∴ c =1，a =√2， ∴ b =1，∴ 椭圆方程为x 22+y 2=1；（2）若直线l 斜率不存在，则QA →⋅QB →=(12t+34t)2−2设直线l:y =k(x −t)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，Q(x 0, 0)，直线代入椭圆方程可得(2k 2+1)x 2−4k 2tx +2k 2t 2−2=0， ∴ x 1+x 2=4k 2t 1+2k2，x 1x 2=2k 2t 2−21+2k 2∴ QA →⋅QB →=(k 2+1)x 1x 2−(k 2t +x 0)(x 1+x 2)+x 02+k 2t 2=x 02−2=(12t+34t)2−2≥−2+(2√12t⋅34t)2=−12，故QA →⋅QB →的最小值为−12，此时t =±√63． 22. 解：（1）a =1时，f(x)=−lnx x+e x−1，f′(x)=−1−lnx x 2+e x−1，当x >1时，f′(x)>−1−lnx x 2+1=x 2−1+lnxx 2>0，当0<x <1时，f′(x)<−1−lnxx 2+1=x 2−1+lnxx 2<0，所以f(x)的单调递减区间为(0, 1)，单调递增区间为(1, +∞)． （2）由题意可知：−lnx x+e ax−1≥a 恒成立，且等号可取．即xe ax−1−ax −lnx ≥0恒成立，且等号可取．令g(x)=xe ax−1−ax −lnx 则g′(x)=(ax +1)(e ax−1−1x ) 由e ax−1−1x =0，得到a =1−lnx x ，设p(x)=1−lnx x，p′(x)=lnx−2x 2当x >e 2时，p′(x)>0；当0<x <e 2时，p′(x)<0．p(x)在(0, e 2)上递减，(e 2, +∞)上递增．所以p(x)min =p(e 2)=−1e 2当a≤−1e2时，a≤1−lnxx，即e ax−1−1x≤0，在(0, −1a)上，ax+1>0，g′(x)≤0，g(x)递减；在(−1a, +∞)上，ax+1<0，g′(x)≥0，g(x)递增．所以g(x)min=g(−1a)设t=−1a ∈(0, e2],g(−1a)=ℎ(t)=te2−lnt+1，ℎ′(t)=1e2−1t≤0，ℎ(t)在(0, e2]上递减，所以ℎ(t)≥ℎ(e2)=0故方程g(x)min=g(−1a )=0有唯一解−1a=e2，即a=−1e2．综上所述，当a≤−1e2时，仅有a=−1e2．满足f(x)的最小值为a，故a的最小值为−1e2．。
2014年高三数学二模试卷(理科含答案)
1 / 42014年高考模拟考试试卷高三数学（理科）（考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1． 每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2． 答卷前，考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚； 3． 本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．2、已知集合1|1, A x x R x ⎧⎫=<∈⎨⎬⎩⎭，集合B 是函数lg (1)y x =+的定义域，则A B = ．3、方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．5、在261)x x-（的展开式中，含3x 项的系数等于 ．（结果用数值作答） 6、方程sin cos 1x x +=-的解集是 ． 7、实系数一元二次方程20x ax b ++=的一根为131ix i+=+（其中i 为虚数单位），则 a b += ．8、某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在 全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样（按年级分层） 在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 ．9、已知()2x f x =的反函数为111(), ()(1)(1)y f x g x f x f x ---==--+，则不等式()0g x <的解集是．10、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）． 11、在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线 ()6R πθρ=∈的距离等于 ．12、如果函数(]()210,1()311,ax x f x ax x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，2()log g x x =，关于x 的不等式()()0f x g x ⋅≥ 对于任意(0, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2 / 413、已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项 和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等 于 ．14、已知圆22: (01)O x y c c +=<≤，点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点，则a b c ++的最小值等于 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
【原创解析】温州市高三第二次适应性数学理科试卷
温州市高三第二次适应性测试【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：命题，不等式、复数、向量、椭圆、导数、数列、三角函数的性质，立体几何等；考查学生解决实际问题的能力。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
【题文】1．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ▲ ）A ．2y x=-B ．2y x =C ．2log y x =D ．2xy =【知识点】函数的单调性奇偶性B3 B4 【答案】B【解析】反比例函数y=-2x在其定义域上没有单调性；一次函数y=2x 时奇函数，且在其定义域上为增函数，∴B 正确；根据对数函数y=log 2x ，和指数函数y=2x 的图象知，这两函数都不是奇函数．【思路点拨】根据反比例函数单调性，奇函数的定义，一次函数的单调性，对数函数和指数函数的奇偶性即可找到正确选项【题文】2．命题“任意的x ∈R ，都有20x ≥成立”的否定是（ ▲ ）A ．任意的x ∈R ，都有20x ≤成立B ．任意的x ∈R ，都有20x <成立C ．存在0x ∈R ，使得200x ≤成立D ．存在0x ∈R ，使得200x <成立【知识点】命题及其关系A2 【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“任意的x ∈R ， 都有x 2≥0成立”的否定是：存在x 0∈R ，使得20x ＜0成立．故选：D ． 【思路点拨】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【题文】3．要得到函数32cos 2y x x =+的图像，只需将函数2sin 2y x =的图象（ ▲ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案】C【解析】32cos 2y x x =+=2sin(2x+6π)是由2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得。