人教b版选修2-1 1-3-2命题的四种形式

高中数学学习材料
（灿若寒星精心整理制作）
1.3.2命题的四种形式
一、选择题
1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为()
A．1B．2C．3D．4
[答案] B
[解析]原命题和它的逆否命题为真．
2．(2009·重庆高考)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是() A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
[答案] B
3．下列说法中，不正确的是()
A．“若p则q”与“若q则p”是互逆命题
B．“若綈p则綈q”与“若q则p”是互否命题
C．“若綈p则綈q”与“若p则q”是互否命题
D．“若綈p则綈q”与“若q则p”是互为逆否命题
[答案] B
[解析]“若綈p则綈q”与“若q则p”互为逆否命题．
4．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中以下结论成立的是()
A．都真B．都假
C．否命题真D．逆否命题真
[答案] D
[解析]原命题为真，则它的逆否命题为真．
5．如果命题p的否命题为r，命题r的逆命题是s，则s是p的逆命题t的()
A．逆否命题B．逆命题
C．否命题D．原命题
[答案] C
[解析]不妨设p为“若m，则n”则r为“若綈m，则綈n，”则s为“若綈n则綈m”，p的逆命题为“若n则m”，∴s是p的逆命题t的否命题．
6．给定原命题：“若a2＋b2＝0，则a、b全为零”，下面正确的是()
A．逆命题：若a、b全不为0，则a2＋b2＝0
B．否命题：若a2＋b2≠0，则a，b全为0
C．逆否命题：若a、b不全为0，则a2＋b2≠0
D．以上都不对
[答案] C
[解析]由四种命题的关系可得C.
7．如果x2＝1，则x＝1的否命题为()
A．如果x2≠1，则x＝1
B．如果x2＝1，则x≠1
C．如果x2≠1，则x≠1
D．如果x≠1，则x2≠1
[答案] C
[解析]“若p则q”的否命题形式为“若綈p则綈q”．
8．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是()
A．若ab≠0，则a≠0或b≠0
B．若a≠0或b≠0，则ab≠0
C．若ab≠0，则a≠0且b≠0
D．若a≠0且b≠0，则ab≠0
[答案] D
[解析]注意a＝0或b＝0的否定是a≠0且b≠0，故选D.
9．给出命题：如果函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()
A．3B．2C．1D．0
[答案] C
[解析] 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题，否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题只有一个．
10．命题“如果函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2<0”的逆否命题是( )
A ．如果log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数
B ．如果log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数
C ．如果log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数
D ．如果log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数
[答案] A
[解析] 根据逆否命题的定义，易得答案．
二、填空题
11．已知下列四个命题：
①a 是正数； ②b 是负数；
③a ＋b 是负数； ④ab 是非正数．
选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的命题是____________________．
[答案] 若a 是正数且a ＋b 是负数，则一定有b 是负数．
逆否命题为真命题，即该命题为真，a 是正数，且a ＋b 是负数，则b 一定是负数，故填a 是正数且a ＋b 是负数，则b 一定是负数．
12．(2009·江苏南京4月考)以命题“如果2x 2－3x －2＝0，则x ＝－12
或x ＝2”为原命题，在它的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定这四个命题中，有______个真命题，其中它的否定形式的逆命题是________．
[答案] 3 如果x ≠－12
且x ≠2，则2x 2－3x －2＝0 [解析] 当2x 2－3x －2＝0时(2x ＋1)(x －2)＝0.
∴x ＝－12
或x ＝2， ∴原命题及其逆否命题是真命题．
反之，当x ≠－12
且x ≠2时，2x 2－3x －2≠0， ∴否命题和逆命题也是真命题．
其否定为：如果2x 2－3x －2＝0则x ≠－12
且x ≠2， 其逆命题为：
如果x ≠－12
且x ≠2，则2x 2－3x －2＝0.
13．(1)命题“如果a >b ，则2a >2b －1”的否命题是______________．
(2)命题“已知a ，b ∈R ，如果|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”的逆否命题是______________．
[答案] (1)如果a ≤b ，则2a ≤2b －1
(2)已知a ，b ∈R ，如果a ≠1或b ≠1，则|a －1|＋|b －1|≠0
14．命题“ax 2－2ax －3≤0恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
[答案] [－3,0]
[解析] 因为ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧
a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0.
故－3≤a ≤0.
三、解答题
15．若m ≤0或n ≤0，则m ＋n ≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，同时指出它们的真假．
[解析] 逆命题：若m ＋n ≤0，则m ≤0或n ≤0，逆命题为真；
否命题：若m >0且n >0，则m ＋n >0，否命题为真；(逆命题与否命题是等价的) 逆否命题：若m ＋n >0，则m >0且n >0，逆否命题为假．(逆否命题与原命题等价)
16．命题：“已知p >0，q >0，若p ＋q ≤2，则p 3＋q 3＝2”写出它的逆命题，判断其真假，并证明你的结论．
[解析] 逆命题：已知p >0，q >0，若p 3＋q 3＝2，则p ＋q ≤2，为真命题．
证明：设p ＋q >2，∵p >0，q >0，
∴(p ＋q )3＝p 3＋3p 2q ＋3pq 2＋q 3＝p 3＋q 3＋3pq (p ＋q )>8.
又p 3＋q 3＝2，∴3pq (p ＋q )>6，即pq (p ＋q )>2.
因为p 3＋q 3＝(p ＋q )(p 2－pq ＋q 2)＝2，
所以pq (p ＋q )>(p ＋q )(p 2－pq ＋q 2)，
于是有(p －q )2<0，这是不可能的，故必有p ＋q ≤2.
17．写出以下原命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；
(2)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0；
(3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若a ，b 都是奇数，则ab 必是奇数．
[解析] (1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学；(假)
否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑；(假)
逆否命题：如果不会使用电脑，那就学不好数学．(假)
(2)逆命题：若(x －3)(x －7)＝0，则x ＝3或x ＝7；(真)
否命题：x ≠3且x ≠7，则(x －3)(x －7)≠0；(真)
逆否命题：若(x －3)(x －7)≠0则x ≠3且x ≠7.(真)
(3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形；(真)
否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形；(真)
逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形．(真)
(4)逆命题：若ab 是奇数，则a ，b 都是奇数；(真)
否命题：若a 或b 是偶数，则ab 是偶数；(真)
逆否命题：若ab 是偶数，则a 或b 是偶数．(真)
18．证明：如果m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2.
[证明] 将“如果m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“如果m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”．
由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12
×22＝2，所以m 2＋n 2≠2. 这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．。