高二数学选修21四种命题的关系及全称量词与存在量词PPT课件
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高中数学第1章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词课件新人教A版选修2_1
[解] (1)①可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°， 故为全称命题．
②含有存在量词“有的”，故为特称命题． ③含有全称量词“任意”，故为全称命题． ④含有存在量词“有些”，故为特称命题． ⑤若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
(2)①这是全称命题，由等比数列的定义知，等比数列中任意项
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根 [答案] C
4．命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1≤0”的否定是________． [答案] ∀x∈R，x2＋x＋1>0
2．全称命题与特称命题真假的判断方法 (1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M 中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0， 使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题． (2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立 的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．
1．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°．
A．0
B．1
C．2
D．3
D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三 角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]
2．下列命题中特称命题的个数是( )
④这是特称命题，因为对任意x∈R，x2－2x＋3＝(x－1)2＋ 2≥2>0，所以不存在x0∈R，使x20－2x0＋3<0，故命题为假命题．
高二数学选修2-1 全称量词与存在量词(二) ppt
命题（ 2）的否定为“并非存在 有理数 x, 使x 2 2 0” , 即“对所有的有理数 x, x 2 2 0” .命题否定后，存在 量词变为全称量词，“ 肯定”变为“否定”。
命题（3）的否定为“并非对所 有的实数 a，都有 a 0” , 即“存在实数 a，使 a 0” .
新课讲授
注：非p叫做命题的否定，但“非p”绝不是“是”与“不是”的简 演绎。因注意命题中是否存在“全称量词”或“特称量词”
例2写出下列命题的否定，并判断真假： 1）p:任意两个等边三角形都是相似的； 2 2）p:x R,x +2x+2=0；
3 ）空集是任何集合的真子集.
变式练习
巩固训练
小结
含有一个量词的命题的否定
你能否用学过的“全称量词和存在量词”来解决上述问题
可以在“平行四边形是矩形”的前面加上全称量词，变为
p:“所有的平行四边形是矩形” 假命题
¬p:“不是所有的平行四边形是矩形” 也就是说“存在至少一个平行四边形它不是矩形”
所以，¬p : “存在平行四边形不是矩形”真命题
情景二 对于下列命题：
想一想？
含有存在量词的命题，叫做特称命题
复习回顾
常见的全称量词有“所有的”“任意一个” “一切” “每一个” “任给”“所有的”等.
常见的存在量词有“存在一个”“至少一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
判断全称命题和特称命题真假 要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中 每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使 得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题 要判定特称命题 “ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合 M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使 p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题
命题（3）的否定为“并非对所 有的实数 a，都有 a 0” , 即“存在实数 a，使 a 0” .
新课讲授
注：非p叫做命题的否定，但“非p”绝不是“是”与“不是”的简 演绎。因注意命题中是否存在“全称量词”或“特称量词”
例2写出下列命题的否定，并判断真假： 1）p:任意两个等边三角形都是相似的； 2 2）p:x R,x +2x+2=0；
3 ）空集是任何集合的真子集.
变式练习
巩固训练
小结
含有一个量词的命题的否定
你能否用学过的“全称量词和存在量词”来解决上述问题
可以在“平行四边形是矩形”的前面加上全称量词，变为
p:“所有的平行四边形是矩形” 假命题
¬p:“不是所有的平行四边形是矩形” 也就是说“存在至少一个平行四边形它不是矩形”
所以，¬p : “存在平行四边形不是矩形”真命题
情景二 对于下列命题：
想一想？
含有存在量词的命题，叫做特称命题
复习回顾
常见的全称量词有“所有的”“任意一个” “一切” “每一个” “任给”“所有的”等.
常见的存在量词有“存在一个”“至少一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等.
判断全称命题和特称命题真假 要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中 每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使 得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题 要判定特称命题 “ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合 M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可，如果在集合M中，使 p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题
高中数学新人教A版选修2-1课件：第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词
4
解:由已知得,不等式 x+ − 1 − 2 + 2 > 0 对一切x>0 恒成立.
4
所以 a2-2a<x+ − 1.
4
4
由基本不等式可知 x+ − 1 ≥ 2 · − 1 = 3,
4
当且仅当x=2 时取等号,即 x+ − 1 的最小值为3,
因此,要使不等式恒成立,应满足a2-2a<3,解得-1<a<3.
.
重难聚焦
1.全称命题与特称命题的真假
剖析:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一
个元素x验证p(x)成立;但要判定一个全称命题是假命题,却只需找
出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的
“举出一个反例”).要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合
M中,至少能找到一个x=x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题
(2)假命题,如边长为 1 的正方形,对角线长为 2, 就不是正有理数.
(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解.
(4)假命题,只有x=2或x=1时,等式x2-3x+2=0才成立.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
对含有一个量词的命题的否定
(1)有些质数是奇数;
请分别给出(1)和(2)的否定.
错解:(1)三颗种子都不发芽;(2)三颗种子至多有两颗发芽.
错因分析:(1)“都”在否定中是“不都”而不是“都不”;(2)“至少有两
颗发芽”的否定应是“至多有一颗发芽”.因为至多有两颗和至少有
解:由已知得,不等式 x+ − 1 − 2 + 2 > 0 对一切x>0 恒成立.
4
所以 a2-2a<x+ − 1.
4
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由基本不等式可知 x+ − 1 ≥ 2 · − 1 = 3,
4
当且仅当x=2 时取等号,即 x+ − 1 的最小值为3,
因此,要使不等式恒成立,应满足a2-2a<3,解得-1<a<3.
.
重难聚焦
1.全称命题与特称命题的真假
剖析:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一
个元素x验证p(x)成立;但要判定一个全称命题是假命题,却只需找
出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的
“举出一个反例”).要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合
M中,至少能找到一个x=x0,使得p(x0)成立即可;否则,这一特称命题
(2)假命题,如边长为 1 的正方形,对角线长为 2, 就不是正有理数.
(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解.
(4)假命题,只有x=2或x=1时,等式x2-3x+2=0才成立.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
对含有一个量词的命题的否定
(1)有些质数是奇数;
请分别给出(1)和(2)的否定.
错解:(1)三颗种子都不发芽;(2)三颗种子至多有两颗发芽.
错因分析:(1)“都”在否定中是“不都”而不是“都不”;(2)“至少有两
颗发芽”的否定应是“至多有一颗发芽”.因为至多有两颗和至少有
人教A版高二数学选修2-1 1.4全称量词与存在量词 课件
【解析】A:∃x0∈{无理数},x02∈Q. B:∃x0∈{无理数}, x02∉Q. C:∀x∈Z,2x+1是奇数. D:∃x0∈R,2x0+1是奇数.
【方法技巧】判断一个语句是全称命题还是特称命题 的步骤 (1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称 命题或特称命题. (2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词 的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.
2.基本不等式的内容和指数函数的定义域是什么?
提示:基本不等式:a,b∈R+时, a b
,指数函数的 ab
定义域为R.
2
【解析】1.选C.对于①,这是全称命题,因为Δ=(-3)24×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故①为真命题;对于 ②,这是全称命题,因为当x=-1时,2x+1>0不成立,故② 为假命题;对于③,这是特称命题,当x0=0或x0=1时,有 x02≤x0成立,故③为真命题;对于④,这是特称命题,当 x0=1时,x0为29的约数成立,所以④为真命题.
【解析】1.选C.因为“有的”“存在”为存在量 词,“任意”为全称量词,所以选项A,B,D均为特称命题, 选项C为全称命题.
2.(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于 360°”,是全称命题. (2)含有存在量词“有些”,故是特称命题. (3)含有全称量词“任意”,故是全称命题. (4)含有存在量词“有一个”,是特称命题. 【延伸探究】把本例1中的各个选项用符号∃,∀表示:
【知识探究】 探究点 全称量词(全称命题)与存在量词(特称命题) 的理解 1.你能说出一些常用的全称量词和存在量词吗? 提示:全称量词:一切、任意、任给、每一个、都是 (有)、全体、全部、…,存在量词:有一个、有一些、 有的、对某个、不都是、个别的、部分、….
人教版高中数学选修2-1第一章4全称量词与存在量词(共14张PPT)教育课件
2.若“x0 R,函数f (x) mx2 xma 的图象x和轴没有公共点”为题假，命 求实数 a的取值范围。
完全达标教学
2. 已知命题 p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0； 命题 q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0. (1)若命题“p∧q”是真命题，求实数 a 的取值范围； (2)若命题“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题， 求 a 的取值范围．
、
有些 、 有的 .
符号表示 特称命题
含有
∃ 存在量词
的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可用符号
记为 “∃x0∈M；p(x0)”
.
否定
xM,p(x)
3．如何判定全称命题和特称命题的真假？ 对全称命题，若要判定为真命题，需对每一个x都验 证使p(x)成立； 若要判定为假命题，只需举一个反例．
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
完全达标教学
2. 已知命题 p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0； 命题 q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0. (1)若命题“p∧q”是真命题，求实数 a 的取值范围； (2)若命题“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题， 求 a 的取值范围．
、
有些 、 有的 .
符号表示 特称命题
含有
∃ 存在量词
的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可用符号
记为 “∃x0∈M；p(x0)”
.
否定
xM,p(x)
3．如何判定全称命题和特称命题的真假？ 对全称命题，若要判定为真命题，需对每一个x都验 证使p(x)成立； 若要判定为假命题，只需举一个反例．
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
高中数学人教A版选修2-1课件： 1.4.2 存在量词 课件
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
最新中小学教学课件
14
谢谢欣赏！
2019/7/9
最新中小学教学课件
15
课堂检测
课堂检测
课堂小结
•存在量词与特称命题概念： •特称命题语言表达： • 特称命题的真假性判断：
•全程命题与特称命题的联系
课外作业
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
• 特称命题语言表达：
“存在M中一个x0，使p（x x0）成立”。
xxMM,,pp((xx))
归纳总结
• 特称命题的判定：
要判一个特称命题是真命题，只需要在限定集合M中找到一个x= x0,使 得p（x0）成立，否则这个特称命题就是假命题
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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课堂小结
•存在量词与特称命题概念： •特称命题语言表达： • 特称命题的真假性判断：
•全程命题与特称命题的联系
课外作业
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
• 特称命题语言表达：
“存在M中一个x0，使p（x x0）成立”。
xxMM,,pp((xx))
归纳总结
• 特称命题的判定：
要判一个特称命题是真命题，只需要在限定集合M中找到一个x= x0,使 得p（x0）成立，否则这个特称命题就是假命题
高中数学 1-4-1、2 全称量词与存在量词课件 新人教A版选修2-1
类型三
全称命题与特称命题的真假判断
[例 3] 给出下列四个命题． ①∀ x∈ R， x2＋ 2>0； ②∀ x∈ N， x4≥ 1；
3 ③∃ x0∈ Z， x0 <1；
④∃ x0∈ Q， x2 0＝ 3. 其中是真命题的是 ________( 把所有真命题的序 号都填上)．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①四个命题中有两个全称命题，两个特称命题；
出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出
“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思 想)．而特称命题为真，则只需在给定的集合中，找到 一个元素具有某性质，使该语句为真即可．
解决有关存在性命题的参数取值范围问题，应尽 量分离参数，若得到g(a)＝f(x)成立，则只需求f(x)的
值域B，进而确定使g(a)∈B的a的值即可．若g(x)>f(x)，
类型二 [ 例 2]
全称命题与特称命题的表述 (1) 设集合 S ＝ { 四边形 } ， p(x) ：内角和为
360°. 试 用 不 同 的 表 述 写 出 全 称 命 题 “ ∀ x∈S ，
p(x)”． (2) 设 q(x) ： x2 ＝ x ，试用不同的表达方法写出特称 命题“∃x∈R，q(x)”．
不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． 3．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集 合 M 中，能找到一个 x0 使 p(x0) 成立即可；否则，这个 特称命题就是假命题．
迁移体验1
指出下列命题是全称命题，还是特称
命题，并判断它们的真假．
(1)对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立．
(2) 至少有一个整数，它既能被 2 整除，又能被 5 整
x0＋1＝0 无解，∴是假命题． (4)∵x＝－1 时，|－ 1＋ 1|＝0，∴是假命题．
选修2-1《1.4全称量词与存在量词》课件(共15张PPT)
x０ M , p(x０).
读作“存在一个x0,使p(x0)成立”.
1.4.3 含有一个量词 的命题的否定
探究
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形；x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； x M,p(x)
3)x R, x2 2x 1 0.
x M,p(x)
x0 M,p(x0 ) x0 M,p(x0 ) x0 M,p(x0 )
1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形;
3) x R, x2 1 0
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论:
全称命题P：x M , P(x),
它的否定P：x0 M , P(x0 ).
全称命题的否定是特称命题.
探究
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数；
2)某些平行四边形是菱形； 3)x0 R, x02 1 0
否定:
从命题形式上看,这三个特称命题的否定 都变成了全称命题.
一般地,对于含有一个量词的特称命题的 否定,有下面的结论:
特称命题P：x0 M , P(x0 ).
它的否定P：x M , P(x),
特称命题的否定是全称命题.
并用符号“ ”表示.含有全称
量词的命题,叫做全称命题.
常见的全称量词有:
“对所有的”, “对任意一个”, “对一 切”, “对每一个”, “任给”, “所有的” 等.
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。
读作“存在一个x0,使p(x0)成立”.
1.4.3 含有一个量词 的命题的否定
探究
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形；x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； x M,p(x)
3)x R, x2 2x 1 0.
x M,p(x)
x0 M,p(x0 ) x0 M,p(x0 ) x0 M,p(x0 )
1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形;
3) x R, x2 1 0
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论:
全称命题P：x M , P(x),
它的否定P：x0 M , P(x0 ).
全称命题的否定是特称命题.
探究
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数；
2)某些平行四边形是菱形； 3)x0 R, x02 1 0
否定:
从命题形式上看,这三个特称命题的否定 都变成了全称命题.
一般地,对于含有一个量词的特称命题的 否定,有下面的结论:
特称命题P：x0 M , P(x0 ).
它的否定P：x M , P(x),
特称命题的否定是全称命题.
并用符号“ ”表示.含有全称
量词的命题,叫做全称命题.
常见的全称量词有:
“对所有的”, “对任意一个”, “对一 切”, “对每一个”, “任给”, “所有的” 等.
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。
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Help
2020/11/19
郑平正制作
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
2020/11/19
郑平正制作
几条结论:
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但 其逆命题、否命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但 其原命题、逆否命题不一定为真。
∴ 2( p2 q2 ) 4 , ∴ p2 q2 2 , 尝试成功
∴ p2 q2 2 .
得证
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命
题也为真命题.
2020/11/19
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变式练习
1、已知 p3 q3 2。求证：pq 2.
解：假设p+q>2,那么q>2-p,
根据幂函数 y x 3 的单调性，得 q3 (2p)3,
反面成立。推理过程中一定要用到才行
2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出
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矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题
的结论正确。
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例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性，要证原命题为真命题，可以证明它 的逆否命题为真命题。
3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。
4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。
2.四种命题真假的个数可能为（
）个。
答：0个、2个、4个。（对） （ Nhomakorabea） （错）
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
即 q3812p6p2p3,
p3q3812p6p2
6(
p
1)2
1 3
,
所以 p3 q3 2. 因此 p3 q3 2.
这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原 命题为真命题。
（假） （假） （假） （假）
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练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若q<1,则方程 x2 2xq0 有实根。
（2）若ab=0,则a=0或b=0.
（3）若 m 0 或n 0 ，则 mn0。 （4）若x2 y2 0，则x,y全为零。
想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？
即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。
(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).
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练一练
1.判断下列说法是否正确。
1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。
即证明“ 若 pq2 ,则 p2q22 .” 为真命题
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例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明: 假设 p q 2 ,
假设原命题结 论的反面成立
则 ( p q)2 4 , ∴ p2 q2 2 pq 4 ,
看能否推出原命题 条件的反面成立
∵ p2 q2 ≥ 2 pq ,
3 ） 若 f( x ) 不 是 正 弦 函 数 ， 则 f( x ) 不 是 周 期 函 数 。 4 ） 若 f( x ) 不 是 周 期 函 数 ， 则 f( x ) 不 是 正 弦 函 数 。
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你能说出其中任意 两个命题之间的关
系吗?
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课堂小结
原命题 若p则q
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真)
2）原命题：若a=0, 则ab=0。
(真)
逆命题：若ab=0, 则a=0。
(假)
否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。
(假)
逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
(真)
3）原命题：若x∈A∪B，则x∈ U A∪ UB。 假 逆命题： x∈ UA∪ UB ，x∈A∪B 。 假 否命题： xA∪B，x UA∪ UB。 假 逆否命题： x UA∪ UB ，xA∪B 。 假
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反证法：
要证明某一结论A是正确的，但不直接证 明，而是先去证明A的反面（非A）是错 误的，从而断定A是正确的。
即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。
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反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的
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总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
否命题 若﹁ p则﹁ q
逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
看下面2.的四种例命题子的真：假
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。
(真)
逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。
(真)
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。
(真)
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原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: 原命题: 若 p, 则 q 逆命题: 若 q, 则 p 否命题: 若┐p, 则┐q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
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？ 观察与思考
1 ） 若 f( x ) 是 正 弦 函 数 ， 则 f( x ) 是 周 期 函 数 。 2 ） 若 f( x ) 是 周 期 函 数 ， 则 f( x ) 是 正 弦 函 数 。
1.1.3四种命题的 相互关系
高二数学 选修2-1
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第一章 常用逻辑用语
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回顾
交换原命题的条件和结论，所得的命题是 _逆__命__题__。_
同时否定原命题的条件和结论，所得的命 题是__否__命__题__。
交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题是_逆__否__命__题__。_