上海高中数学三角函数大题压轴题练习
上海高考数学函数压轴题解析详解
，
化简得 ．
当 时，上式恒成立．
因此，在 轴上存在定点 ，使 ．（12分）
9．(本小题满分14分)
已知数列 各项均不为0，其前 项和为 ，且对任意 都有 （ 为大于1的常数），记 ．
(1)求 ；
(2)试比较 与 的大小（ ）；
(3)求证： ，（ ）．
解：(1)∵ ，①
∴ ．②
②－①，得
，
即 ．（3分）
∴ ．（当且仅当 时取等号）．
综上所述， ，（ ）．（14分）
在①中令 ，可得 ．
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列， ．（4分）
(2)由(1)可得 ．
．
∴ ，（5分）
．
而 ，且 ，
∴ ， ．
∴ ，（ ）．（8分）
(3)由(2)知 ， ，（ ）．
∴当 时， ．
∴
，（10分）
（当且仅当 时取等号）．
另一方面，当 ， 时，
．
∵ ，∴ ．
∴ ，（当且仅当 时取等号）．（13分）
又MN⊥MQ， 所以
直线QN的方程为 ，又直线PT的方程为 ……10分
从而得 所以
代入（1）可得 此即为所求的轨迹方程.………………13分
6．（本小题满分12分）
过抛物线 上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数 使得 若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
40若u[0，1]，v[–1，0],同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
3. (本小题满分14分)
已知点P( t , y )在函数f ( x ) = (x –1)的图象上，且有t2– c2at + 4c2= 0 ( c 0 ).
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完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习三角函数大题压轴题练1.已知函数$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期和图象的对称轴方程。
解：（1）$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$frac{1}{3}\cos(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{3}(\cos^2x-\sin^2x-\frac{1}{2})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x-1)+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x+2\sin x\cos x-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin2x\cos\frac{\pi}{3}-\cos2x\sin\frac{\pi}{3}-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(2\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-\frac{2}{3})$frac{1}{3}(\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)-\frac{1}{3}$frac{2}{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3})-\frac{1}{3}$所以，函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$，图象的对称轴方程为$x=k\pi+\frac{\pi}{3}$（$k\in Z$）。
2）在区间$[-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$上，$f(x)$单调递增，而在区间$[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}]$上单调递减。
上海重点高中三角函数汇编
1、（2017华二高一下期末3）函数1arcsin (22y x x =≤≤的值域为 ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、（2018建平高一下期末2）函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T = π3、（2018建平高一下期末3） 判断函数2arctan y x x =+的奇偶性为 函数 奇4、（2018建平高一下期末4） 函数()3cos sin 1f x x b x =++的最大值为6，则b = 4±5、（2019交大附中高一下期末3） 已知4cos()5πα-=，且α为第三象限角，则tan α的值等于 346、（2016交大附中高一下期末2）函数y =的定义域是 [1,2]7、（2016交大附中高一下期末4）函数()tan cot f x x x =+的最小正周期为 π8、（2019控江高一下期末1）函数arcsin(2)y x =-的定义域 [1,3]9、（2019控江高一下期末2）函数2tan()13y x ππ=++的最小正周期为 1T =10、（2019控江高一下期末4）已知tan 3α=，则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα-=- 1311、（2016七宝高一下期末1）方程cos sin6x π=的解为x = 23k ππ±()k Z ∈12、（2016七宝高一下期末3） 求值：2sin[arccos()]3-= 313、（2016七宝高一下期末4） 函数arccos(sin )y x =在2(,)33x ππ∈-上的值域为 5[0,)6π14、（2016七宝高一下期末7） 若()2sin 1f x x =-在区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）上至少含有30个零点，则b a -的最小值为863π15、（2016七宝高一下期末12） 关于x 的方程224arctan(cos )0x x a π-+⋅=只有一个实数根，则实数a =1±16、（2018七宝高一下期末7） 已知函数()arcsin(2)2f x x π=+，则1()3f π-=17、（2016交大附中高一下期末8） 函数()arcsin(cos )f x x =，5[,]46x ππ∈的值域为 [,]34ππ-18、（2018七宝高一下期末5）函数arccos y x =在1[1,]2x ∈-的值域是 19、（2018七宝高一下期末9）若3x π=是方程2cos()1x α+=的解，其中(0,2)απ∈，则α=20、（2019控江高一下期末6） 在△ABC 中，角A 所对的边为a ，若2a =，且△ABC 的外接圆半径为2，则A =6π或56π21、（2016交大附中高一下期末7）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若23a =，2c =，120A ︒=，则ABC S ∆=322、（2017华二高一下期末5）在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 所对应的边，1tan 3A =，1tan 2B =，如果1a =，则b =2 23、（2019控江高一下期末5） 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若4a =，6b =，9c =，则角C = 29arccos48π- 24、（2016七宝高一下期末11） 在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是 (0,]3π25、（2019交大附中高一下期末5）已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为 326、（2019交大附中高一下期末7）三角方程sin2cos x x =在[0,]π内的解集合为 5{}626πππ，，27、（2016交大附中高一下期末10） 设[]x 表示不超过x 的最大整数，则[sin1][sin 2][sin3][sin10]+++⋅⋅⋅+= 4-28、（2016交大附中高一下期末11）已知225sinsin 240αα+-=，α为第二象限角，则cos2α=3529、（2019交大附中高一下期末9）已知()sin(2)3f x x π=+，若对任意x ∈R ，均有()()()f a f x f b ≤≤，则||a b -的最小值为 2π30、（2019交大附中高一下期末11） 如图△ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，M 为AB 边上的动点，MD AC ⊥，D 为垂足，则MD MC +的最小值为 3231、（2019交大附中高一下期末15）下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ）CA. 22tan21tan 2xy x =- B. 1cot y x = C. sin 21cos2x y x =+ D. 1cos2sin 2x y x -= 32、（2017华二高一下期末11）方程tan 2x =的解集为（ ）CA. {|2arctan 2,}x x k k π=+∈ZB. {|2arctan 2,}x x k k π=±∈ZC. {|arctan 2,}x x k k π=+∈ZD. {|(1)arctan 2,}kx x k k π=+-∈Z 33、（2018建平高一下期末13）要得到函数2sin()3y x π=-的图像，只需将函数2sin y x =的图像（ ）BA. 向左平移3π个单位B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位D. 向右平移6π个单位34、（2016交大附中高一下期末16）若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>>≤ 局部图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为（ ）DA. 3sin(2)26y x π=+B. 3sin(2)26y x π=- C. 3sin(2)23y x π=+ D. 3sin(2)23y x π=- 35、（2019控江高一下期末13）已知ϕ是常数，那么“tan 2ϕ=”是“sin 2cos )x x x ϕ+=+”等式对任意x ∈R 恒成立”的（ ）CA. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件36、（2019控江高一下期末14）已知ϕ是常数，如果函数5cos(2)y x ϕ=-+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）C A.3π B. 4π C. 6π D. 2π 37、（2016七宝高一下期末17） 函数sin(2)y x ϕ=+(0)2πϕ<<图像的一条对称轴在(,)63ππ内，则满足此条件的一个ϕ值为（ ）D A.56π B. 6π C. 3π D. 12π38、（2018七宝高一下期末13） 在 ABC 中，“A B >”是“cos cos A B <”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要39、（2019七宝高一下期末9）在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若2222019a b c +=，则cot cot cot CA B=+ 100940、（2019七宝高一下期末15） 对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是（ ）C A. cos()sin sin αβαβ+<+ B. sin()cos cos αβαβ+>+ C. cos()cos cos αβαβ+<+ D. sin()sin sin αβαβ+>+ 41、（2017华二高一下期末16）已知函数2()cos ()3sin()cos()(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （1）求ω的值和函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 的单调递增区间及其图像的对称轴方程. （1）1ω=，113()sin 2,6222f x x π⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （2）单调递增区间为,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，对称轴方程为()26k x k ππ=+∈Z . 42、（2016交大附中高一下期末19） 已知函数()cos 23sin 22f x a x a x a b =--++(0)a ≠，[0,]2x π∈，值域为[5,1]-， 求常数a 、b 的值；2a =，5b =-；或2a =-，1b =；43、（2019交大附中高一下期末19）函数2()6cos 3sin()32xf x x ωω=+-（0ω>）在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且为△ABC 正三角形. （1）求ω的值及函数()f x 的值域； （2）若083()5f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.（1）4πω=；（2）()[23,23]f x ∈-.44、（2019控江高一下期末18）设函数22()2cos(2)4sin 3f x x x π=-+，定义域为R . （1）求函数()f x 的最小正周期，并求出其单调递减区间； （2）求关于x 的方程()23f x =-的解集. （1）T π=，单调递减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z ；（2）(1)()2126k k x πππ=+-⋅-+，k ∈Z . 45、（2019控江高一下期末21）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ<<）的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图像的一条对称轴. （1）求函数()f x 的解析式；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =， 若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围；（3）将函数()y f x =的图像向右平移4π个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变， 横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作()y g x =，已知常数λ∈R ，n *∈N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值.（1）()cos2f x x =；（2）(2,21)+；（3）1λ=-，1347n =.46、（2018七宝高一下期末18） 已知()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,0||)2πωϕ><<，(0)0f =，且函数()f x 图像上的任意两条对称轴之间距离的最小值是2π. （1）求()8f π的值；（2）将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 在[,]62ππ上的最值，并求取得最值时的x 的值.47、（2019七宝高一下期末17） 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图像，5(,2)12M π，2(,0)3N π. （1）求ω、A 、ϕ； （2）7[,]26x ππ∈时，求()f x 的值域和单调减区间.（1）2ω=，2A =，3πϕ=-；（2）[2,3]-，11[,]212ππ.48、（2016七宝高一下期末20） 已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =⋅++-，x R ∈；（1）求函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，若()2f A =，4C π=，2c =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值；（1）()2sin(2)6f x x π=-，(0,]3π和5[,)6ππ；（2）3A π=，S =；49、（2016七宝高一下期末21） 已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）令1ω=，判定函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性，并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =图像向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，对任意a R ∈，求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值；（1）非奇非偶；（2）()2sin(2)13g x x π=-+，零点个数可能值集合为{20,21}；。
高中数学 三角函数多选压轴小题(有答案)
三角函数多选压轴小题一.图像类1．函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫⎪⎝⎭为该图像最高点，则（ ）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴2．函数()()sin (0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象如图所示，则（ ）A ．2ω=B ．6πϕ=C ．f （x ）的一条对称轴为6x π=-D ．f （x ）的图像向左平移6π个单位可得到()cos2g x x =的图像二.平移类3．已知函数()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()g x 的图象关于y 轴对称B ．()g x 的最小正周期是πC ．()g x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减4．已知函数()πsin 223f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图像可以由()sin 22g x x =+的图像向右平移π3个单位得到B ．函数()f x 的一条对称轴是5π12x =C ．函数()f x 的对称中心是()ππ,0Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 的单调递增区间是()π5ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭三.零点相关5．已知函数()2sin 03y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值可以为（ ）A ．14B ．23C ．1D ．26．已知函数()sin()3f x x πω=+，ω>0．若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的可能值是（ ） A ．12 B ．1C ．56D ．87四.最值类7．若函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,12πθ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内不存在最小值，则θ的值可以是（ ）A ．πB ．56π C ．3π D ．6π8．函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,1上恰有两个最大值点，则ω可能为（ ）A ．2πB ．136π C ．3π D ．256π五.实际应用型9．衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，则（ ）A ．点P 第一次达到最高点，需要20秒B ．当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C ．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D ．点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式为ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭10．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A 到达最高点时开始计时，设水车转动t （分钟）时水斗A 距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为()f t （米），下列选项正确的是（ ）A ．()()6cos4π40f t t t =+≥B ．()()π6sin π402f t t t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭C ．若水车的转速减半，则其周期变为原来的12 D ．在旋转一周的过程中，水斗A 距离水面高度不低于7米的时间为10秒六.奇偶性相关11．已知函数()1tan tan f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期是π B ．函数()f x 的最小值是2 C ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 在(π2-，π2)上单调递增12．已知函数()f x =()y f x =说法正确的是（ ） A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 的定义域为[)0,∞+C ．函数()f x 的值域为⎡⎣D ．函数()f x 为周期函数七.交点个数类13．函数()214f x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，对于任意的[)0,1a ∈，方程()()10f x a x m -=≤≤仅有一个实数根，则m 的取值可以为（ ） A ．8πB ．58π C ．38π D ．34π14．函数[]()()cos()2|sin()|,0,22f x x x x πππ=-++∈的图像与直线y k =有且只有两个不同的交点，则k 的取值不可能是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．-1八.含绝对值型15．已知函数()sin cos f x x x =⋅，则有（ ） A ．()2,0π是()f x 的一个对称中心 B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的图像关于直线4x π=对称D ．在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减16．已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =+-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是以π2为周期的周期函数B ．()f x 在5π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的值域为[]0,1D ．存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数答案1．函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫⎪⎝⎭为该图像最高点，则（ ）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴2．函数()()sin (0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的图象如图所示，则（ ）A ．2ω=B ．6πϕ=C ．f （x ）的一条对称轴为6x π=-D ．f （x ）的图像向左平移6π个单位可得到()cos2g x x =的图像确故选：ABD3．已知函数()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()g x 的图象关于y 轴对称B ．()g x 的最小正周期是πC ．()g x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减4．已知函数()sin 223f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图像可以由()sin 22g x x =+的图像向右平移π3个单位得到B ．函数()f x 的一条对称轴是5π12x =C ．函数()f x 的对称中心是()ππ,0Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 的单调递增区间是()π5ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】BD5．已知函数()2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值可以为（ ）A ．14B ．23C ．1D ．26．已知函数()sin()3f x x ω=+，ω>0．若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的可能值是（ ） A ．12 B ．1C ．56D ．877．若函数()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,12θ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内不存在最小值，则θ的值可以是（ ）A ．πB ．56π C ．3π D ．6π8．函数()()2sin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,1上恰有两个最大值点，则ω可能为（ ）A ．2πB ．136π C ．3π D ．256π[]0,1x ∈又函数在∴52πω≤+故选：BC 9．衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时（图中0P ）开始计时，则（ ）A ．点P 第一次达到最高点，需要20秒B ．当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C ．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D ．点P 距离水面的高度h （米）与t （秒）的函数解析式为ππ4sin 2306h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故答案为：ABD现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A 到达最高点时开始计时，设水车转动t （分钟）时水斗A 距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为()f t （米），下列选项正确的是（ ）A ．()()6cos4π40f t t t =+≥B ．()()π6sin π402f t t t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭C ．若水车的转速减半，则其周期变为原来的12 D ．在旋转一周的过程中，水斗A 距离水面高度不低于7米的时间为10秒11．已知函数()1tan tan f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期是π B ．函数()f x 的最小值是2 C ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 在(π2-，π2)上单调递增A ．函数()f x 为偶函数B ．函数()f x 的定义域为[)0,∞+C ．函数()f x 的值域为⎡⎣D ．函数()f x 为周期函数13．函数()214f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，对于任意的[)0,1a ∈，方程()()10f x a x m -=≤≤仅有一个实数根，则m 的取值可以为（ ） A ．8πB ．58π C ．38π D ．34π14．函数[]()()cos()2|sin()|,0,22f x x x x ππ=-++∈的图像与直线y k =有且只有两个不同的交点，则k 的取值不可能是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．-1()f x y k =, (1,3)k ∈. A ．()2,0π是()f x 的一个对称中心B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的图像关于直线4x π=对称D ．在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减A ．()f x 是以π2为周期的周期函数B ．()f x 在5π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的值域为[]0,1D ．存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数。
2023-2024学年上海市高中数学人教B版 必修三第七章-三角函数专项提升-5-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市高中数学人教B 版 必修三第七章-三角函数专项提升(5)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知α为第二象限角，且 ，则 （ ）A.B. C.D.2. 已知， ， ，则（ ）．A. B. C. D. 3. 定义行列式运算.将函数的图象向左平移个单位得函数的图象，则的图象的一个对称中心为 （ ）A. B.C. D.41﹣24. 已知满足 ，则g （x ）=2cos （ωx+φ）在区间 [0，] 上的最大值为（ ）A. B. C. D. 5. 设平面向量 的一个法向量，点在平面 内，点 在平面 外，设直线 与平面 所成角为 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.6. 在 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则角C 的值为或或A. B. C. D.若，且是第一象限角，则若，则若由，组成的集合中有且仅有一个元素，则方程的根所在的区间是7. 下列说法正确的是（）A.B.C.D.8. 如图点是角的终边与单位圆的交点，则点一定在下列哪个函数图象上（）A. B. C. D.32659. 已知函数f（x）=sinωx+ cosωx（ω＞0），f（）+f（）=0，且f（x）在区间（，）上递减，则ω=（）A. B. C. D.10. 若，则（）A. B. C. D.①①②②③①②③11. 已知函数.给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象.其中所有正确结论的序号是（）A. B. C. D.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度12. 已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（）A.先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度B. C. D. 13. 给出下列命题：①函数 不是周期函数；②函数 在定义域内为增函数；③函数 的最小正周期为 ；④函数 ， 的一个对称中心为 .其中正确命题的序号是 .14. 已知 ，则 ； .15. 若sinα=2cosα，函数f （x ）=2x ﹣tanα，则f （0）= ．16. 已知sinαcosα= ，且 ＜α＜ ，则cosα﹣sinα的值是 ．17. 已知向量 ， ， 函数在内单调递增．(1) 求实数m 的取值范围；(2) 如图，某小区要建一个四边形ABCD 花圃，其中AB ＝4，AD ＝2，∠A 是实数m 的最大值， ，求四边形ABCD 花圃周长的最大值．18. 已知函数的部分图象如图所示.(1) 求的解析式；(2) 设，若关于的不等式恒成立，求的取值范围.19. 已知函数（A＞0，＞0，＜π）的一段图象如图所示．(1) 求函数的单调增区间；(2) 若，，求函数的值域．20. 在“①；②，， ”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在中，，，分别是三内角，，的对边，已知，是边上的点，且，，若 ▲ ，求的长度.21.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）求函数f（x+1）的单调递增区间．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.21.。
沪教版数学高一第二学期三角部分(三角比、三角函数)练习题卷(二)
高一第二学期三角部分练习卷（二）一．填空题（本大题每题5分，共40分）1. 半径为1的圆上长度为2的弧所对的圆心角的弧度是____________.2. 设角α的终边过点()3,4P -，则()()()()cos 5tan 3sin cot 2απαππαπα--=+-_________.3. 若3cos 5α=，且0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cot 2α=________. 4. 函数cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为_______________.5. 已知1cos ,03x x π=-<<，则角x 的值为___________. 6. 给出下列命题：○1 sin y x =在第一象限是增函数；○2 α是锐角，则sin 4y πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是[]1,1-； ○3 22sin cos y x x =-的最小值是1-；○4 方程2cos xx =只有1个实数根. 其中正确命题的序号是______________.7. 把sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移8π个单位，再把所得图像上各点的横坐标压缩成原来的12，所得图像的函数解析式为()f x ，则()f x 的奇偶性为______________. 8. 如图，一艘轮船在海中A 处遇难，当时航向为北偏东30°，航速为每小时60海里，后因故于某未知地点B 改向朝正东方向行驶，航速不变，直至在另一未知地点C 失去联系，从A 至C 共行驶了半个小时，则A 、C 两地距离的最小值是__________海里.二．解答题（本大题共60分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 9. （本题满分10分）在等腰直角三角形ABC 中，∠C = 90°，点D 、 E 分别是BC 的三等分点. （1） 求tan α、()tan αβ+的值； （2） 求tan β、tan γ的值.10. （本题满分10分）（1） 已知,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求tan x 的取值范围；（2） 在（1）的条件下，求函数212tan 1cos y x x=++的最小值及相应的x 的值.11. （本题满分12分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1） 求角C 的大小； （2） 若角6A π=，求△ABC 的面积.12. （本题满分14分）若函数()()sin cos 0f x A x B x ωωω=+>的最小正周期为2，并当13x =时，()f x 取得最大值2. （1） 求函数()f x 的表达式；（2） 在闭区间2123,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否存在()f x 的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；若不存在，说明理由.13. （本题满分14分）已知函数4sin cos ,2sin 2c 0,2os 1x x y x x x π⎛⎫∈ ⎪⎝++⎭=，（1） 令sin cos t x x =+，可将已知三角函数关系()y f x =转换成代数函数关系()y g t =，试写出函数()y g t =的表达式及定义域；（2） 求函数()y f x =的最大值；（3） 函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内是单调函数吗？请说明理由.参考答案：一．填空题（本大题每题5分，共40分）1. 半径为1的圆上长度为2的弧所对的圆心角的弧度是____________. 22. 设角α的终边过点()3,4P -，则()()()()cos 5tan 3sin cot 2απαππαπα--=+-_________.433. 若3cos 5α=，且0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cot 2α=________. 2 4. 函数cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为_______________.()112,21212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 5. 已知1cos ,03x x π=-<<，则角x 的值为___________. 1arccos 3- 6. 给出下列命题：○1 sin y x =在第一象限是增函数；○2 α是锐角，则sin 4y πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是[]1,1-； ○3 22sin cos y x x =-的最小值是1-；○4 方程2cos xx =只有1个实数根. 其中正确命题的序号是______________. ○3○4 7. 把sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移8π个单位，再把所得图像上各点的横坐标压缩成原来的12，所得图像的函数解析式为()f x ，则()f x 的奇偶性为______________.偶函数 8. 如图，一艘轮船在海中A 处遇难，当时航向为北偏东30°，航速为每小时60海里，后因故于某未知地点B 改向朝正东方向行驶，航速不变，直至在另一未知地点C 失去联系，从A 至C 共行驶了半个小时，则A 、C 两地距离的最小值是__________海里. 153二．解答题（本大题共60分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 9. （本题满分10分）在等腰直角三角形ABC 中，∠C = 90°，点D 、 E 分别是BC 的三等分点. （1） 求tan α、()tan αβ+的值； （2） 求tan β、tan γ的值.10. （本题满分10分）（1） 已知,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求tan x 的取值范围；（2） 在（1）的条件下，求函数212tan 1cos y x x=++的最小值及相应的x 的值. 2tan 2tan 2,tan 3,1y x x x ⎡⎤=++∈-⎣⎦，当4x π=-时，min 1y = 11. （本题满分12分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1） 求角C 的大小；3C π= （2） 若角6A π=，求△ABC 的面积. 23S = 12. （本题满分14分）若函数()()sin cos 0f x A x B x ωωω=+>的最小正周期为2，并当13x =时，()f x 取得最大值2. （1） 求函数()f x 的表达式；（2） 在闭区间2123,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否存在()f x 的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；若不存在，说明理由.13. （本题满分14分）已知函数4sin cos ,2sin 2c 0,2os 1x x y x x x π⎛⎫∈ ⎪⎝++⎭=，（1） 令sin cos t x x =+，可将已知三角函数关系()y f x =转换成代数函数关系()y g t =，试写出函数()y g t =的表达式及定义域；（2） 求函数()y f x =的最大值；（3） 函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内是单调函数吗？请说明理由.。
上海高中数学三角函数大题压轴题练习
三角函数大题压轴题练习1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 22x x x =- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=，当12x π=-时，()f x 取最小值-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,663A A πππ-==（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=； （2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。
第7章 三角函数(章节压轴题专练)高一数学(沪教版2020必修第二册)
第7章 三角函数章节压轴题专练一、单选题 1．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中m 、n 、α、β为已知实常数，x ∈R ，有下列四个命题：（1）若(0)02f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭π，则()0f x =对任意实数x 恒成立；（2）若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；（3）若02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，则函数()f x 为偶函数；（4）当22(0)02f f ⎛⎫=≠⎪⎝⎭π时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-=（k Z ∈）；则上述命题中，正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】利用两角和的余弦公式化简()f x 表达式. 对于命题（1），将(0)0,02f f π⎛⎫== ⎪⎝⎭化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出（1）选项的真假；对于命题（2）选项，将(0)0f =化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为奇函数，由此判断出（2）选项的真假；对于命题（3）选项，将()02f π=化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为偶函数，由此判断出（3）选项的真假；对于命题（4）选项，根据22(0)02f f π⎛⎫+≠⎪⎝⎭、()()120f x f x ==，求得()f x 的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假.【详解】()(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )f x m x x n x x ααββ=-+-(cos cos )cos (sin sin )sin m n x m n x αβαβ=+-+不妨设 ()()11221122()cos cos cos sin sin sin f x k k x k k x αααα=+-+．1212,,,k k αα为已知实常数.若(0)0f =，则得 1122cos cos 0k k αα+=；若()02f π=，则得1122sin sin 0k k αα+=．于是当(0)02f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭π时，()0f x =对任意实数x 恒成立，即命题（1）是真命题；当(0)0f =时，()1122()sin sin sin f x k k x αα=-+，它为奇函数，即命题（2）是真命题；当()02f π=时，()1122()cos cos cos f x k k x αα=+，它为偶函数，即命题（3）是真命题；当22(0)02f f π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭时，令()0f x =，则()()11221122cos cos cos sin sin sin 0k k x k k x αααα+-+=，上述方程中，若cos 0x =，则sin 0x =，这与22cos sin 1x x +=矛盾，所以cos 0x ≠． 将该方程的两边同除以cos x 得11221122cos cos tan sin sin k k x k k αααα+=+，令11221122cos cos sin sin k k t k k αααα+=+ （0t ≠）， 则 tan x t =，解得 arctan x k t π=+ （k Z ∈）．不妨取 11arctan x k t π=+，22arctan x k t π=+ （1k Z ∈且2k Z ∈）， 则()1212x x k k π-=-，即12x x k π-= （k Z ∈），所以命题（4）是假命题． 故选：C【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型.2．（2017·上海嘉定区·高一期末）设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中,,,m n αβ为已知实常数，x ∈R ，则下列命题中错误的是（ ） A ．若(0)()02f f π==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；B ．若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；C ．若()02f π=，则函数()f x 为偶函数；D ．当22(0)()02f f π+≠时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-= （k ∈Z ）．【答案】D【分析】利用两角和的余弦公式化简()f x 表达式.对于A 选项，将(0)0,()02f f π==化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出A 选项为真命题.对于B 选项，将(0)0f =化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为奇函数，由此判断出B 选项为真命题.对于C 选项，将()02f π=化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为偶函数，由此判断出C 选项为真命题.对于D 选项，根据22(0)()02f f π+≠、12()()0f x f x ==，求得()f x 的零点的表达式，由此求得12x x k π-= （k Z ∈），进而判断出D 选项为假命题. 【详解】()()()cos cos sin sin cos cos sin sin f x m x x n x x ααββ=-+-()()cos cos cos sin sin sin m n x m n x αβαβ=+-+.不妨设 11221122()(cos cos )cos (sin sin )sin f x k k x k k x αααα=+-+．1212,,,k k αα为已知实常数.若(0)0f =，则得 1122cos cos 0k k αα+=；若()02f π=，则得1122sin sin 0k k αα+=．于是当(0)()02f f π==时，()0f x =对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；当(0)0f =时，1122()(sin sin )sin f x k k x αα=-+，它为奇函数，即命题B 是真命题；当()02f π=时，1122()(cos cos )cos f x k k x αα=+，它为偶函数，即命题C 是真命题；当22(0)()02f f π+≠时，令()0f x =，则11221122(cos cos )cos (sin sin )sin 0k k x k k x αααα+-+=，上述方程中，若cos 0x =，则sin 0x =，这与22cos sin 1x x +=矛盾，所以cos 0x ≠． 将该方程的两边同除以cos x 得11221122cos cos tan sin sin k k x k k αααα+=+，令11221122cos cos sin sin k k t k k αααα+=+ （0t ≠）， 则 tan x t =，解得 arctan x k t π=+ （k Z ∈）．不妨取 11arctan x k t π=+，22arctan x k t π=+ （1k Z ∈且2k Z ∈）， 则1212()x x k k π-=-，即12x x k π-= （k Z ∈），所以命题D 是假命题． 故选：D【点睛】本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.3．（2019·上海复旦附中高一期中）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设()()2h x f x =-，可得()h x 为奇函数，进而得到4M m +=，从而得到()g x 解析式；根据()4sin 4s x x x =+的对称中心，平移可得()g x 对称中心的坐标；再分别对应四个选项，当k 不是整数时，则不可能为对称中心，由此可得选项. 【详解】设()()24sin 21x x h x f x x +=-=+，则()()24sin 1x xh x h x x ---==-+ 即()h x 为奇函数 ()()224M m h x h x ∴+=++-+=()4sin 44sin 43333g x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()4sin 4s x x x =+ 则()()4sin 44sin 24222k k s x s x x x x k x k ππππ⎛⎫⎛⎫+-=++-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈ 可知()4sin 4s x x x =+的对称中心为(),4k k k Z ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭将()4sin 4s x x x =+的图象向右平移12π个单位，再向上平移3π个单位得()g x 的图象 ()g x ∴的对称中心为(),4123k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭ 当24123k πππ+=时，73k =，不合题意，可知不可能为C又当1,0,5k =时分别对应选项,,A B D ，可知,,A B D 均为()g x 的对称中心 本题正确选项：C【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用奇偶性求解最值、与三角函数有关的对称中心的求解、函数图象平移变换问题，对于学生函数性质的掌握要求较高，属于偏难题. 二、填空题4．（2017·上海市七宝中学高一期中）已知02πθ<<，若2cos 2sin 220m m θθ+--<对任意实数θ恒成立，则实数m 应满足的条件是__________. 【答案】12m ≥-【分析】不等式2cos 2sin 220m m θθ+--<变形为2sin 2sin 210m m θθ-+--<令()sin 01x x θ=<<，即上式变形为关于x 的一元二次不等式22210x mx m -+--<，对应的二次函数为2()21f x x m =-+-，根据题意，若满足02πθ<<时不等式2cos 2sin 220m m θθ+--<恒成立，则需01x <<时，()0f x <恒成立，分类讨论，当0x m =≤或01x m <=<或1x m =≥时，判断函数单调性，解不等式，求解即可.【详解】2cos 2sin 220m m θθ+--<221sin 2sin 22sin 2sin 210m m m m θθθθ∴-+--=-+--<.设()sin 01x x θ=<<，2()221f x x mx m =-+--. 由题意可知，01x <<时，()0f x <恒成立. 当对称轴0x m =≤时()f x 在(0,1)x ∈上单调递减， 则()(0)210f x f m <=--≤，即102m -≤≤ 当对称轴01x m <=<时，222()()221210f x f m m m m m m ≤=-+--=--<解得11m <<01m <<当对称轴1x m =≥时()f x 在(0,1)x ∈上单调递增， 则()(1)122120f x f m m <=-+--=-<，即m 1≥ 综上所述：12m ≥- 故答案为：12m ≥-【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，同时也考查同角三角函数基本关系，属于难题.5．（2018·宝山区·上海交大附中高一期中）设函数f(x)=a 1⋅sin (x +α1)+a 2⋅sin (x +α2)+⋯+a n ⋅sin (x +αn )，其中a i 、αi (i =1,2,⋯,n,n ∈N ∗,n ≥2)为已知实常数，x ∈R . 下列所有正确命题的序号是____________．①若f(0)=f(π2)=0，则f(x)=0对任意实数x 恒成立；②若f(0)=0，则函数f(x)为奇函数；③若f(π2)=0，则函数f(x)为偶函数；④当f2(0)+f2(π2)≠0时，若f(x1)=f(x2)=0，则x1−x2=kπ(k∈Z).【答案】①②③④.【分析】对于①，由f(0)=f(π2)=0，证明函数f(x)既是奇函数又是偶函数即可得出f(0)=0；对于②，根据奇函数的定义可得出结论；对于③，根据偶函数的定义进行判断即可得出结论；对于④，根据f(x1)=f(x2)=0得(sin x1−sin x2)(a1cosα1+a2cosα2+⋯+a n cosαn)+(cos x1−cos x2)(a1sinα1+a2sinα2+⋯+a n sinαn)=0，于此得出结论.【详解】对于命题①，若f(0)=0，则f(0)=a1sinα1+a2sinα2+⋯+a n sinαn=0，则f(−x)+f(x)=a1sin(−x+α1)+a2sin(−x+α2)+⋯+a n sin(−x+αn)+a1sin(x+α1)+a2sin(x+α2)+⋯+a n sin(x+αn)=cos x⋅(a1sinα1+a2sinα2+a n sinαn)=0，∴函数f(x)为奇函数，若f(π2)=0，则f(π2)=a1sin(π2+α1)+a2sin(π2+α2)+⋯+a n sin(π2+αn)=−a1cosα1−a2cosα2−⋯−a n cosαn=0，∴f(−x)−f(x)=a1sin(−x+α1)+a2sin(−x+α2)+⋯+a n sin(−x+αn)−a1sin(x+α1)−a2sin(x+α2)−⋯−a n sin(x+αn)=sin x⋅(a1cosα1+a2cosα2+⋯+a n cosαn)=0，∴函数f(x)为偶函数，若f(0)=f(π2)=0，则函数f(x)既是奇函数，又是偶函数，即f(x)=0，命题①正确；对于命题②，由①的证明过程可知，当f(0)=0时，函数f(x)为奇函数，命题①正确；对于命题③，由①的证明过程可知，当f(π2)=0时，函数f(x)为偶函数，命题②正确；对于命题④，当f2(0)+f2(π2)≠0时，∵f(x)=a1⋅sin(x+α1)+a2⋅sin(x+α2)+⋯+a n⋅sin(x+αn)=(a1cosα1+a2cosα2+⋯+a n cosαn)sin x+(a1sinα1+a2sinα2+a n sinαn)cos x，令a=a1cosα1+a2cosα2+⋯+a n cosαn=f(π2)，b =a 1sin α1+a 2sin α2+a n sin αn =f(0)，则a 2+b 2=f 2(0)+f 2(π2)≠0， 由辅助角公式得f (x )=a sin x +b cos x =√a 2+b 2sin (x +φ)， 其中cos φ=√，sin φ=，∵f (x 1)=f (x 2)=0，则(x 1,0)、(x 2,0)是函数y =f (x )的两个对称中心点，函数y =f (x )的最小正周期为2π，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半， 因此，x 1−x 2=kπ (k ∈Z )，命题④正确. 故答案为①②③④.【点睛】本题的考点是三角形与数列的综合，主要考查三角函数的化简，考查新定义与三角函数性质的判断，解题的关键就是利用三角函数基本性质的定义来进行计算，从而判断结论的正误，运算量较大，综合性较强，属于难题.三、解答题6．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与底面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C 采用锥形灯罩，射出的管线与平面ABC 部分截面如图中阴影所示，2,,33ABC ACD ππ∠=∠=路宽AD =24米，设.126BAC ππθθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭（1）求灯柱AB 的高h （用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制作路灯灯柱AB 和灯杆BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？【答案】(1)32sin θsin θ36h ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭126ππθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭；(2) 12πθ=时，所用材料的总长度最小，最小值为8+【分析】(1)分别在△ABC 和△ACD 中，利用正弦定理即可解出答案；(2)在△ABC 中，利用正弦定理求出BC ，再利用(1)的结果和三角函数的和差公式即可求得答案. 【详解】(1)由题意可得∠ADC=π-∠CAD -∠ACD =(θ)θ236ππππ---=+，∠BCA=θ3π-，在△ACD 中，由正弦定理可得：AD ACsin ACD sin ADC∠∠=，则AC=AD sin ADC θsin ACD 6π∠∠⎛⎫⨯=+ ⎪⎝⎭，在△ABC 中，由正弦定理可得：AB ACsin BCA sin ABC∠∠=，则AB=AC sin BCA sin BCA sin ABC 3∠∠∠⨯=⨯32sin θsin θ36ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭126ππθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭.即得32sin θsin θ36h ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭126ππθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭.(2)由(1)得AC=θ6π⎛⎫+⎪⎝⎭，AB=32sin θsin θ36ππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在△ABC 中，由正弦定理可得：AC BCsin ABC sin BAC∠∠=，则AC BC sin BAC 32sin θsin θsin ABC 6π∠∠⎛⎫=⨯=+ ⎪⎝⎭，所以AB BC 32sin θsin θ32sin θsin θ16sin 2366πππθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由126ππθ≤≤可得263ππθ≤≤，可得当26πθ=，即12πθ=时()AB BC 8min +=+即当公司设置θ的值为12π时，灯柱AB 和灯杆BC 所用材料的总长度最小，最小值为8+【点睛】本题借助实际应用考查了利用正弦定理解三角形，考查了三角函数的和差公式及其应用，属于中档题.7．（2018·上海长宁区·高一期末）已知函数()()()1122()sin sin sin (0)n n n f x a x a x a x ωϕωϕωϕω=++++++>，其中数列{}n a 是公比为2的等比数列，数列{}n ϕ是公差为2π的等差数列． （1）若11a =，12ϕπ=，分别写出数列{}n a 和数列{}n ϕ的通项公式； （2）若2()f x 是奇函数，且1(0,)ϕ∈π，求1ϕ；（3）若函数()n f x 的图像关于点(,0)2π对称，且当x π=时，函数()n f x 取得最小值，求ω的最小值． 【答案】（1）12n na ，2n n ϕπ=；（2）1arctan 2ϕ=π-；（3）1 【分析】(1)根据等差数列、等比数列的通项公式111,(1)n n n a a q b b n d -==+-即可求解；(2)根据奇函数的定义得出22()()0f x f x -+=，化简得1111sin 2cos 0a a ϕϕ+=，解方程可得1arctan 2ϕ=π-(3)将()n f x 化成()sin cos )n m x n x f x x ωωωϕ=+=+的形式，依题意有()02n f π=，从而得到11,2k k ωϕπ+=π∈Z ，因为当x π=时，函数()n f x 取得最小值，所以222,2k k ωϕ3ππ+=π+∈Z ，两式相减即可求解. 【详解】（1）由等差数列、等比数列的通项公式111,(1)n n n a a q b b n d -==+-可得12n n a ，2n n ϕπ=； （2）()()211221122()cos cos sin sin sin cos f x a a x a a x ϕϕωϕϕω=+++ 因为22()()0f x f x -+=，所以1122sin sin 0a a ϕϕ+= 即1111sin 2cos 0a a ϕϕ+=，所以1tan 2ϕ=- 又由1(0,)ϕ∈π，得1arctan 2ϕ=π-（3）()()()1122()sin sin sin n n n f x a x a x a x ωϕωϕωϕ=++++⋅⋅⋅++()()11221122cos cos cos sin sin sin sin cos n n n n a a a x a a a x ϕϕϕωϕϕϕω=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+记1122cos cos cos n n a a a m ϕϕϕ++⋅⋅⋅+=，1122sin sin sin n n a a a n ϕϕϕ++⋅⋅⋅+=则()sin cos )n m x n x f x x ωωωϕ=+=+，其中220m n +≠；因为()n f x 的图像关于点(,0)2π对称，所以11,2k k ωϕπ+=π∈Z ①因为当x π=时，函数()n f x 取得最小值，所以222,2k k ωϕ3ππ+=π+∈Z ② ②-①得21423k k ω=-+，因为12,k k Z ∈，0>ω 当20k =，11k =时，ω取得最小值为10【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、三角函数的化简以及正弦型函数图像的性质，考查较全面，属于难题.8．（2019·上海市向明中学高一期中）如图，点A ，B 单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π到OB .（1）若点A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，求1sin 21cos 2αα++的值；（2）若ABC ∆α的大小； （3）用锐角α表示BC ，并求BC 的取值范围. 【答案】（1）4918；（2）3π；（3）⎛ ⎝⎭. 【分析】（1）由三角函数的定义，得sin cos αα，的值，再对原式化简计算即可； （2）考虑将ABC ∆进行分割，再用三角形面积公式in 12s S ab C =求解； （3）先用余弦定理写出BC 关于α的表达式，再求BC 的取值范围. 【详解】（1）因为锐角α的终边OA ，点A 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以434355sin cos 1515αα====,， 所以224324347sin 22cos 255255525αα⎛⎫⎛⎫=⋅⋅==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，所以2411sin 2492571cos 218125αα++==+-. （2）所以11sin sin 22344παα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以sin sin 3παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为α是锐角，所以3πααπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 所以3πα=.（3）在OBC ∆中，222=2cos BC OB OC OB OC BOC +-⋅⋅∠，所以222=11211cos 22cos 33BC ππαα⎛⎫⎛⎫+-⋅⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为α是锐角，所以02πα<<，所以5336πππα， 所以1cos 32πα⎛⎫<+< ⎪⎝⎭， 所以212BC <<+，所以BC ⎛∈ ⎝⎭. 【点睛】本题考查三角函数的定义、三角形的面积公式、求三角函数值域，将三角函数的性质与解三角形结合，综合性较强，同时考查学生的推理和计算能力，属于难题. 9．（2018·上海普陀区·曹杨二中高一期中）已知函数()cos sin .333x x x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(1)将()f x 化为()sin 0022A x H A ππωφωφ⎛⎫⎛⎫++∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，＞，，的形式,并写出其最小正周期和图象对称轴方程,并判断函数的奇偶性(不需证明)； (2)若三角形三边a b c 、、满足2b ac b =，所对为B ，求B 的范围； (3)在(2)的条件下，求()f B 的取值范围. 【答案】（1）()23332f x sin x T ππ⎛⎫=++=⎪⎝⎭，对称轴方程为()342x k k Z ππ=+∈，非奇非偶；（2）(0,]3π；（3）12⎤+⎥⎦. 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，由正弦型函数的图象与性质求解（2）利用余弦定理及均值不等式求解（3）由（1）（2）及正弦函数的性质可求出.【详解】（1）()212cos sin sin 333233x x x x f x x ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭1222sin (1cos )sin()2323332x x x π=+=+++, 所以2323T ππ==，由2,332x k k Z πππ+=+∈， 知对称轴方程为()342x k k Z ππ=+∈， 函数是非奇非偶函数.（2）由余弦定理得222221211cos 222222a cb ac ac B ac ac ac +-+==-≥-=，当且仅当a c =时取等号，因为0B π<<， 所以03B π<≤.（3）由()23,332f x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭03B π<≤，所以()233f B sin B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭03B π<≤，因为253339B πππ<+≤，2133sin B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭()1f B <≤+，所以()f B 的取值范围为12⎤+⎥⎦. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦型函数的图象与性质，余弦定理，均值不等式，由角的范围求函数值域，属于中档题.10．（2018·上海普陀区·曹杨二中高一期中）已知函数()sin 210.3f x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，＞ (1)当12ω=时,求函数()f x 的单调递减区间； (2)对于(]x a a a π∈+，，为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；(3)在(2)的条件下,若不等式()1f x t +＜在03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，内恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1；（3） (0,1). 【分析】（1）当12ω=时,写出函数解析式，由正弦型函数性质可求解（2）由题意可知sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在(]x a a a π∈+，，为任意实数，有两不等实根，知其周期为π，即可求解（3）求出()f x 的值域，原不等式可转化为1()1t f x t --<<-恒成立，()f x 的值域是(1,1)t t ---的子集即可.【详解】（1）当12ω=时，()sin 13f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令322232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 解得722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递减区间为72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为对于(]x a a a π∈+，，为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根， 所以sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在(]x a a a π∈+，，为任意实数，有两不等实根， 所以22T ππω==,即1ω=. （3）因为()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以233x πππ≤+≤，0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 故1()0f x -≤≤，又因为()1f x t +＜恒成立， 所以1()1t f x t --<<-恒成立，所以1110t t --<-⎧⎨->⎩，解得01t <<.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性，周期，值域，绝对值不等式恒成立，属于难题.11．（2019·上海杨浦区·复旦附中高一期末）设函数()5sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，(0,)2πϕ∈.（1）设2ω=，若函数()f x 的图象的一条对称轴为直线35x π=，求ϕ的值； （2）若将()f x 的图象向左平移2π个单位，或者向右平移π个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的ω和ϕ的值； （3）设4ω=，6π=ϕ，已知函数()()3F x f x =-在区间[0,6]π上的所有零点依次为123,,,,n x x x x ，且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，求123212222n n n x x x x x x --+++++的值.【答案】（1）310π；（2）643n ω+=，13ϕπ=；（3）3913π 【分析】（1）根据对称轴对应三角函数最值以及(0,)2πϕ∈计算ϕ的值；（2）根据条件列出等式求解ω和ϕ的值；（3）根据图象利用对称性分析待求式子的特点，然后求值. 【详解】（1）()5sin(2)f x x ϕ=+，因为35x π=是一条对称轴，36()2sin()55f ππϕ=+对应()f x 最值；又因为(0,)2πϕ∈，所以6617()(,)5510πππϕ+∈，所以63()52πϕπ+=，则310πϕ=；（2）由条件知：5sin((0))025sin((0))0πωϕωπϕ⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩ ，可得1122,2,k k Z k k Zπωϕππωϕπ⎧+=∈⎪⎨⎪-+=∈⎩，则1212(2)(,)3k k k k Z πϕ+=∈，又因为(0,)2πϕ∈，所以3πϕ=，则1122,23,3k k Z k k Zππωπππωπ⎧+=∈⎪⎪⎨⎪-+=∈⎪⎩，故有：112262,313,3k k Z k k Z ωω-⎧=∈⎪⎪⎨-⎪=∈⎪⎩，当2k 为奇数时，令221()k m m Z =-∈，所以 13(21)46,33m mm Z ω---==∈，当2k 为偶数时，令22()k m m Z =∈，所以13(2)16,33m m m Z ω--==∈，当11k m +=-时，1116(1)26446(,)333k k m m k Z +-+-==∈，又因为0>ω，所以64()3n n N ω+=∈；（3）分别作出()f x （部分图像）与35y =图象如下：因为242T ππ==，故[0,6]π共有12个T ；记()f x 对称轴为(1,2,3...,23)i x a i ==，据图有：1212x x a +=，2322x x a +=，3432x x a +=，......，232423x x a +=，则12321122322222(...)n n n x x x x x x a a a --+++++=+++，令4,62x k k Z πππ+=+∈，则,412k x k Z ππ=+∈，又因为[0,6]x π∈，所以[0,23]k ∈，由于()f x 与35y =仅在前半个周期内有交点，所以max 22k =， 则1232101221139122222(...)223444123n n n x x x x x x πππ--+++++=++++⋅⋅=.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.12．（2019·上海中学高一期中）已知函数()()()sin 20f x x φφπ=+＜＜，其图像的一个对称中心是012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，将()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图像．(1)求函数()g x 的解析式；(2)若对任意[]120x x t ∈，，，当12x x ＜时，都有()()()()1212f x f x g x g x --＜，求实数t 的最大值；(3)若对任意实数()()0a y g x ωω=，＞在4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上与直线12y 的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数ω的取值范围．【答案】（1）()5sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）4π； （3）[)12,20. 【分析】（1）由图像的一个对称中心是012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，列方程012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可求得6π=ϕ，即可求得()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用平移规律得()3g x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，问题得解． （2）由题可得()()f x g x -在[]0,t 上单调递增，求得()()f x g x -的增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，利用[]()0,,44t k k k Z ππππ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦即可求得0,4t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，问题得解．（3）()y g x ω=的最小正周期为T πω=，由题可得：4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，的区间长度满足3454T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解不等式即可．【详解】（1）由题意，得sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得()6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，∴6π=ϕ， ∴()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 从而()3g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5sin 2sin 2366x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （2）对任意[]12,0,x x t ∈，且12x x <，()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，即()()f x g x -在[]0,t 上单调递增，()()5sin 2sin 266f x g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 易得其单调增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，由于[]()0,,44t k k k Z ππππ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦，∴当0k =时，[]0,,44t ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，从而0,4t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴实数t 的最大值为4π；（3）()5sin 26y g x x πωω⎛⎫==+⎪⎝⎭，其最小正周期为22T ππωω==，而区间,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π， 要满足题意，则3454T T ππ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，∴2012T πππω<=≤，解得[)12,20ω∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象特点及函数图象平移规律，还考查了函数单调性概念及求三角函数的增区间知识，考查复合函数的单调性规律，属于难题． 13．（2017·上海松江区·高一期末）若函数()f x 满足()32f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭且()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则称函数()f x 为“M 函数”． （1）试判断()4sin3f x x =是否为“M 函数”，并说明理由； （2）函数()f x 为“M 函数”，且当,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间； （3）在(2)的条件下，当()3,22k x k N πππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()(f x a a =为常数)有解，记该方程所有解的和为()S k ，求()S k ． 【答案】（1）不是“M 函数”；（2）,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）()()()()222341,(01)223341,423411k k a a S k k k a k k a πππ⎧++≤<=⎪⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪++<<⎪⎪⎩.【分析】()1由不满足()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫+≠-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()4sin 3f x x =不是“M 函数”，()2可得函数()f x 的周期32T π=，()()2f x f x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， ①当33,242x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()33sin 22f x f x k x k ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ②当33,2224x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()33cos 222f x f x k x k πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间：,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()3由()2可得函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，根据图象可得：①当02a ≤<或1时，()(f x a a =为常数)有2个解，其和为2π②当2a =时，()(f x a a =为常数)有3个解，其和为34π．③1a <<时，()(f x a a =为常数)有4个解，其和为π 即可得当()3,22k x k N πππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，记关于x 的方程()(f x a a =为常数)所有解的和为()S k ，【详解】()()41sin3f x x =不是“M 函数”． 44sin sin 43433f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，44sin sin 43433f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫∴+≠-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4sin3f x x ∴=不是“M 函数”． ()2函数()f x 满足()32f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的周期32T π=()44f x f x x R ππ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2f x f x x R π⎛⎫∴=-∈ ⎪⎝⎭， ①当33,242x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()33sin 22f x f x k x k ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当33,2224x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦时，()33cos 222f x f x k x k πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()333,22224333,2242cos x k k x k f x sin x k k x k ππππππππππ⎧⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+≤≤+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间：,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ()3由()2可得函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象为：①当0a ≤<或1时，()(f x a a =为常数)有2个解，其和为2π.②当2a =时，()(f x a a =为常数)有3个解，其和为34π．③当12a <<时，()(f x a a =为常数)有4个解，其和为π ∴当()3,22k x k N πππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，记关于x 的方程()(f x a a =为常数)所有解的和为()S k ，则()()()()222341,(01)223341,43411k k a a S k k k a k k a πππ⎧++≤<=⎪⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪++<<⎪⎪⎩． 【点睛】本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．14．（2015·上海金山区·高一期中）某种波的传播是由曲线()sin()(0)f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()sin()f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“ A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波11()sin()f x x ϕ=+与22()sin()f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求12ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个波是，从A 类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相ϕ都不同），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后是0y =，并说明理由． 【答案】（1）1222,3k k Z πϕϕπ-=±∈（2）2324()sin(),()sin(),33f x A x f x A x ππ=+=+ 试题分析：（1）将两函数式相加化简找到最大值为1，建立关于12,ϕϕ的关系式，进而求得角12ϕϕ-的大小；（2）中首先设出所找的波，采用待定系数法，将三个不同的波叠加化简后与0y =对比，找到满足的条件，求出对应的ϕ值，从而确定所求的波试题解析：（1）1212()()sin()sin()f x f x x x ϕϕ+=+++1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ=+++=1=，即121cos(),2ϕϕ-=-所以1222,3k k Z πϕϕπ-=±∈ （2）设2132()sin(),()sin(),f x A x f x A x ϕϕ=+=+则12312()()()sin sin()sin()f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++ =1212sin (1cos cos )cos (sin sin )0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立则12121cos cos 0{sin sin 0ϕϕϕϕ++=+=，消去2ϕ可得11cos 2ϕ=-若取12,3πϕ=可取243πϕ=（或223πϕ=-等） 此时12312()()()sin sin()sin()0f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=是平波 考点：1．三角函数式的化简；2．三角函数求最值15．（2019·上海市实验学校高一期末）已知对任意x R ∈，cos cos210a x b x ++≥恒成立（其中0b >），求的最大值.【答案】+a b 的最大值为2.试题分析：利用二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，利用换元法()cos 11t x t =-≤≤，将原不等式转化为二次不等式2210bt at b ++-≥在区间[]1,1-上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出+a b 的最大值，但是在对01b <≤时的情况下，主要对二次函数的对称轴4at b=-是否在区间[]1,1-进行分类讨论，再将问题转化为2288a b b ≤-的条件下，求+a b 的最大值，试题解析：由题意知，令cos x t =，[]1,1t ∈-，则当()2210f t bt at b =++-≥，[]1,1t ∈-恒成立，开口向上，①当1b >时，()010f b =-<，不满足()2210f t bt at b =++-≥，[]1,1t ∈-恒成立，②当01b <≤时，则必有()()()1101{{11101f a b a b a b f b a a b =++≥≥-+⇒⇒≤+-=-+≥≤+（1） 当对称轴[]1,14at b=-∉-时，即14a b ≥，也即4a b ≥时，有41b a b ≤≤+， 则13b ≤，413a b ≤+≤，则53a b +≤，当43a =，13b =时，()max 53a b +=. 当对称轴[]1,14at b=-∈-时，即14a b ≤，也即4a b ≤时， 则必有()2810a b b ∆=--≤，即()228188a b b b b ≤-=-，又由（1）知()221a b ≤+，则由于()()()2222188961310b b b b b b +--=-+=-≥，故只需2288a b b ≤-成立即可，问题转化为2288a b b ≤-的条件下，求+a b 的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求+a b 的最大值.法一：（三角换元）把条件配方得：2214122a b ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，()cos {011sin 2a r r b θθ=≤≤+=，所以()sin 13131cos sin 2222222r a b r r θθθϕ+=++=++≤+≤， ()max 2a b ∴+=；法二：（导数）令则即求函数的导数,椭圆的上半部分；法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：，当且仅当,即及时等号成立.即当时，+a b 最大值为2.综上可知.考点：1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式 16．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A B C <<，cos a B =，若C 角满足()1f C =-，求a b c ++的取值范围；（3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在(0,)n π内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =；（2）()1；（3）1λ=-，1347n =. 【分析】（1）由函数的周期公式可求出ω的值，求出函数()y f x =的对称轴方程，结合直线2x π=-为一条对称轴结合ϕ的范围可得出ϕ的值，于此得出函数()y f x =的解析式； （2）由()1f C =-得出2C π=，再由cos a B =结合锐角三角函数得出1c =，利用正弦定理以及内角和定理得出14a b c A π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由条件得出04A π<<，于此可计算出a b c ++的取值范围；（3）令()0F x =，得22sin sin 10x x λ--=，换元得出[]sin 1,1t x =∈-，得出方程2210t t λ--=，设该方程的两根为1t 、2t ，由韦达定理得出1212t t =-，分（ii ）101t <<、202t <<；（ii ）11t =，2102t -<<；（iii ）11t =-，2102t <<三种情况讨论，计算出关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在一个周期区间()0,2π上的实根个数，结合已知条件得出λ与n 的值. 【详解】（1）由三角函数的周期公式可得22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=+， 令()22x k k Z πϕπ+=+∈，得()422k x k Z πϕπ=-+∈， 由于直线2x π=-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()2422k k Z ππϕπ-=-+∈， 得()32k k Z πϕπ=+∈，由于0ϕπ<<，1k ∴=-，则2ϕπ=， 因此，()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）A B C <<，由三角形的内角和定理得3A B C C π=++<，3C ππ∴<<.()cos21f C C ==-，且2223C ππ<<，2C π∴=，2C π∴=. cos cos sin 2B A A π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，由cos a B =，得sin a A =，由锐角三角函数的定义得sin a A c =，1sin ac A∴==，由正弦定理得1sin sin b a B A ==，sin sin cos 2b B A A π⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，sin cos 114a b c A A A π⎛⎫∴++=++=++ ⎪⎝⎭，2C π=，且22A B A π+=>，04A π∴<<，442A πππ∴<+<，sin 124A π⎛⎫∴<+< ⎪⎝⎭.21a b c ∴<++<，因此，a b c ++的取值范围是()1；（3）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位， 得到函数cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t 、2t ，则1212t t =-，则1t 、2t 异号， （i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()0,n n N π*∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()0,n n N π*∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =，则2102t -<<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上只有一个根，在区间()1367,1368ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数解，在区间()1367,1368ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合乎题意；（iii ）当11t =-时，则2102t <<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1367ππ上无实数根，在区间()1367,1368ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1367ππ上有两个实数解，在区间()1367,1368ππ上无实数解， 因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根，此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-.综上所述：1λ=-，1347n =.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.17．（2017·上海市实验学校高一期中）已知函数()()sin2R x x f xπ=∈，任取t R ∈，若函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-. （1）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当[]2,0t ∈-时，求函数()g t 的解析式； （3）设函数()2x kh x -=，()28H x x x k k =-+-，其中k 为参数，且满足关于t的不等式()40g t -≤有解，若对任意[)14,x ∈+∞，存在(]2,4x ∈-∞，使得()()21h x H x =成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）4T =，21x k =+(k Z ∈)； （2）()[]3sin 1,2,223cos 1,,122cos sin ,1,022t t g t t t t t t ππππ⎧⎡⎫+∈--⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫=+∈--⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪-∈-⎪⎩. （3）7,2k ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.【分析】(1)根据正弦型函数()f x 的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程；(2)分类讨论32,2t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭、3,12t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭、[]1,0t ∈-时，求出对应函数()g t 的解析式；(3)根据()f x 的最小正周期求出函数()g t 的最小正周期，研究函数()g t 在一个周期内的性质，求出()g t 的解析式，画出()g t()40g t -≤求出k 的取值范围，再把“若对任意[)14,x ∈+∞，存在(]2,4x ∈-∞，使得()()21h x H x =成立”转化为“()H x 在[)4,+∞上的值域是()h x 在(],4-∞上的值域的子集”，从而求出k 的取值范围. 【详解】(1)函数()f x 的最小正周期为242T ππ==，令()22x k k Z πππ=+∈，解得对称轴为21()x k k Z =+∈；(2)①当3[2,)2t ∈--时，在区间[],1t t +上，()()sin2M t f t t π==，()(1)1m t f =-=-，所以()()()1sin2g t M t m t t π=-=+②当3[,1)2t ∈--时，在区间[],1t t +上，()(1)sin[(1)]cos22M t f t t t ππ=+=+=，()(1)1m t f =-=-，所以()()()1cos2g t M t m t t π=-=+，③当[1,0]t ∈-时，在区间[],1t t +上，()(1)sin[(1)]cos22M t f t t t ππ=+=+=，()()sin2m t f t t π==，所以()()()cossin22g t M t m t t t ππ=-=-，所以当[]2,0t ∈-时，()[]3sin 1,2,223cos 1,,122cos sin ,1,022t t g t t t t t t ππππ⎧⎡⎫+∈--⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫=+∈--⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪-∈-⎪⎩；(3)因为函数()f x 的最小正周期为4，所以()4(),(4)()M t M t m t m t +=+=，所以(4)(4)(4)()()()g t M t m t M t m t g t +=+-+=-=即函数()g t 的周期为4，由(2)可得3sin1,2,223cos1,,122cos sin,[1,0)22()11sin,[0,)2211cos,[,1)22sin cos,[1,2]22t tt tt t tg tt tt tt t tππππππππ⎧⎡⎫+∈--⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫+∈--⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪-∈-⎪=⎨⎪-∈⎪⎪⎪-∈⎪⎪⎪-∈⎩，画出函数()g t的部分图像如图所示，函数()g t的值域为[12-，()40g t-≤max4()g t≤=，则4k≤，若对任意[)14,x∈+∞，存在(]2,4x∈-∞，使得()()21h x H x=成立，则()H x在[)4,+∞上的值域是()h x在(],4-∞上的值域的子集，()2,22,x kx kk xx kh xx k---⎧≥==⎨<⎩，当4k≤时，()h x在(,)k-∞上单调递减，在(,4]k上单调递增，所以min()()1h x h k==，因为()28H x x x k k=-+-在[)4,+∞上单调递增，所以min()(4)82H x H k==-，所以821k-≥，即72k≤.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，涉及周期性、对称性与单调性，考查不等式恒成立问题，分段函数的单调性与值域，属于难题.。
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三角函数大题压轴题练习1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+- s i n (2)6x π=- 2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，当12x π=-时，()f x 取最小值2-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得 ,663A A πππ-==（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=； （2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。
5.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f tg x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos xxg x xxx x--=+++2222(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x xxx x--=+1sin 1cos cos sin .cos sin x xxx x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x xg x xx x x--∴=+--sin cos 2x x =+-2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦），即1sin()2)23424x x ππ-≤+-≤+--＜，＜， 故g (x )的值域为)2,3.⎡-⎣6．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c解：由tantan 422A B C ++=得cot tan 422C C+= ∴cos sin224sin cos22C C C C+= ∴14sin cos 22C C = ∴1sin 2C =，又(0,)C π∈∴566C C ππ==，或由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -= ∴B C =6B C π==2()3A B C ππ=-+=由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==得1sin 2sin Bb c a A ====7.在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3c C π==.⑴若ABC △求,a b ;⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． ························ 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ·············································· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ········································································· 8分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =3b =．所以ABC △的面积1sin 23S ab C ==． ····················································· 12分 1.已知函数()sin()sin()cos (,)66f x x x x a a R a ππ=++-++∈为常数. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ)若函数()f x 在[-2π，2π]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 解：（Ⅰ）∵()2sin cos cos 6f x x x a π=++cos x x a =++2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……………………5分∴函数()f x 的最小正周期2T π=………………………7分(Ⅱ)∵,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2363x πππ-≤+≤()min 2f x f a π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭……9分()max 23f x f a π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭……11分由题意，有()(2)a a ++=∴1a =……12分2.（本小题12分）已知函数.21)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-+=πf f x x b x a x f 且 （1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的单调增区间；解：（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==21)4(23)0(πf f 得⎪⎩⎪⎨⎧==123b a …………3分)32sin(2sin 212cos 2323cos sin cos 3)(2π+=+=-+=x x x x x x x f ……6分 故最小正周期π=T （2）由)(223222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得 )(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 故)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ …………12分3．已知x x a x x f cos sin 34cos 4)(2+-=，将)(x f 的图象按向量)2,4(π-=→b 平移后，图象关于直线12π=x 对称．（Ⅰ）求实数a 的值，并求)(x f 取得最大值时x 的集合； （Ⅱ）求)(x f 的单调递增区间．解：（Ⅰ）22cos 22sin 32)(--=x x a x f ，将)(x f 的图象按向量)2,4(π-=→b 平移后的解析式为2)4()(++=πx f x g x a x 2cos 322sin 2+=．……………………………3分)(x g 的图象关于直线12π=x 对称，∴有)6()0(πg g =，即a a 3332+=，解得1=a ． ……………………………5分则2)62sin(422cos 22sin 32)(--=--=πx x x x f ．……………………………6分 当2262πππ+=-k x ，即3ππ+=k x 时，)(x f 取得最大值2．………………………7分因此，)(x f 取得最大值时x 的集合是},3{Z k k x x ∈+=ππ．…………………………8分（Ⅱ）由226222πππππ+≤-≤-k x k ，解得36ππππ+≤≤-k x k ．因此，)(x f 的单调递增区间是]3,6[ππππ+-k k )(Z k ∈．……………………………12分4.已知向量= (θθsin ,cos ) 和=(θθcos ,sin 2-)，θ∈［π，2π］．(1) 求||+的最大值；(2)当||+=528时，求cos 28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．4．解：(1) ()cos sin sin m n θθθθ+=-++ (2分)(cos m n +=(4分)∵θ∈［π，2π］，∴49445ππθπ≤+≤，∴)4cos(πθ+≤1 ||n m +max =22． (6分)(2) 由已知825m n +=,得7cos 425πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (8分) 又2cos 2cos ()1428πθπθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ∴216cos ()2825θπ+= (10分) ∵θ∈［π，2π］∴898285ππθπ≤+≤，∴4cos 285θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． (12分) 。