材料力学-第八章
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《材料力学》第八章课后习题参考答案
解题方法与技巧归纳
受力分析
在解题前首先要对物体进行受力分析， 明确各力的大小和方向，以便后续进 行应力和应变的计算。
图形结合
对于一些复杂的力学问题，可以画出 相应的示意图或变形图，帮助理解和 分析问题。
公式应用
熟练掌握材料力学的相关公式，能够 准确应用公式进行计算和分析。
检查结果
在解题完成后，要对结果进行检查和 验证，确保答案的正确性和合理性。
压杆稳定
探讨细长压杆在压缩载荷作用下的稳定性问题。
解题方法与技巧
准确理解题意
仔细审题，明确题目要求和考查的知识点。
选择合适的公式
根据题目类型和所给条件，选用相应的公式 进行计算。
注意单位换算
在计算过程中，要注意各物理量的单位换算， 确保计算结果的准确性。
检查答案合理性
得出答案后，要检查其是否符合实际情况和 物理规律，避免出现错误。
相关题型拓展与延伸
组合变形问题
超静定问题
涉及多种基本变形的组合，如弯曲与扭转 的组合、拉伸与压缩的组合等，需要综合 运用所学知识进行分析和计算。
超静定结构是指未知力数目多于静力平衡 方程数目的结构，需要通过变形协调条件 或力法、位移法等方法进行求解。
稳定性问题
疲劳强度问题
研究细长压杆在压力作用下的稳定性问题 ，需要考虑压杆的临界力和失稳形式等因 素。
研究材料在交变应力作用下的疲劳破坏行为 ，需要了解疲劳极限、疲劳寿命等概念和计 算方法。
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重点知识点回顾
材料的力学性质
包括弹性、塑性、强度、硬度等基本概念和 性质。
杆件的拉伸与压缩
涉及杆件在拉伸和压缩状态下的应力、应变及 变形分析。
材料力学第八章
t''max
M y z0 Iy M y z1 Iy 42.5 10 m F 0.075m
2
5310 108 m 4
2
c'' max
42.5 10 m F 0.2 0.075 m 5310 108 m 4
例题（续）
' '' 危险点有两处：截面内侧发生最大拉应力 t max t max
FRCx FRCy
FN 35kNm M
3）强度校核。危险点为危险截面上边缘
max
FN M 120.9MPa A W
W
34.64kN
FRA
max 因 0.75% 5% 故安全
材料力学 第八章 组合变形 19
习题三
实心圆轴长l=1m，A端固定、C端自由，在C端受到向下 的集中力P=3kN的作用，并在BC段受到m0=2kN的均布外 力偶矩作用，轴的许用应力[σ]=70MPa。试求：1）确定 危险截面，并用单元体表示出危险点的应力状态；2）按 第三强度理论设计此轴的直径d=?（不计弯曲剪应力）
22
习题四
实心圆轴A端固定、C端自由，在C横截面处受Me=1kNm 的外力偶矩作用，沿BC轴长还受均布荷载q=2kN/m的作 用。轴长为l=1m，轴直径dAB=60mm，dBC=50mm，许用 应力[σ]=70MPa。试按第三强度理论校核轴的强度并画出 危险点的应力状态。(忽略弯曲切应力)
q Me A B l/2 l/2 C
材料力学 Mechanics of Materials
苏文政 土木与安全工程学院 力学教研室 wzhsu@
第八章 组合变形
M y z0 Iy M y z1 Iy 42.5 10 m F 0.075m
2
5310 108 m 4
2
c'' max
42.5 10 m F 0.2 0.075 m 5310 108 m 4
例题（续）
' '' 危险点有两处：截面内侧发生最大拉应力 t max t max
FRCx FRCy
FN 35kNm M
3）强度校核。危险点为危险截面上边缘
max
FN M 120.9MPa A W
W
34.64kN
FRA
max 因 0.75% 5% 故安全
材料力学 第八章 组合变形 19
习题三
实心圆轴长l=1m，A端固定、C端自由，在C端受到向下 的集中力P=3kN的作用，并在BC段受到m0=2kN的均布外 力偶矩作用，轴的许用应力[σ]=70MPa。试求：1）确定 危险截面，并用单元体表示出危险点的应力状态；2）按 第三强度理论设计此轴的直径d=?（不计弯曲剪应力）
22
习题四
实心圆轴A端固定、C端自由，在C横截面处受Me=1kNm 的外力偶矩作用，沿BC轴长还受均布荷载q=2kN/m的作 用。轴长为l=1m，轴直径dAB=60mm，dBC=50mm，许用 应力[σ]=70MPa。试按第三强度理论校核轴的强度并画出 危险点的应力状态。(忽略弯曲切应力)
q Me A B l/2 l/2 C
材料力学 Mechanics of Materials
苏文政 土木与安全工程学院 力学教研室 wzhsu@
第八章 组合变形
材料力学(I)第八章更新版
§8–2 两相互垂直平面内的弯曲—— 斜弯曲
变形后，杆件的轴线弯成一空间曲线称为斜弯曲。斜弯
曲可分解为两个平面弯曲。
分解荷载
z
x
Pz
Py
Py
z
x+
Py y
Py P cos
Pz P sin
大家要学会化繁为简，各 个攻破！
z x Pz y
将复杂的问题细分成一个个简单的小问题 z
x
x
Py
Pz x
max m in
P A
Pe Wz
[
];
三、双向偏心拉伸（压缩）的应力计算
外力作用线与杆轴线平行，且作用点不在截面的任何一个
形心主轴上，而且位于Z、Y轴的距离分别为 和ey 的e某z 一
点K处。这类偏心称为双向偏心拉（压）。下图为双向偏心
拉伸：
x zp ey
ez y
x zP ey
ez y
在双向偏心拉（压）时，杆件横截面上任一点正应力计算方
限切应力除以安全因数确定。
(2) 挤压的实用计算 在实用计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力
（bearing stress）是按某些假定进行计算的。
对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图 b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示，而最大
挤压应力bs的值大致等于把挤压力Fbs除以实际挤压面（接触
z0
o
z
d
f c
P
y
Mz y My z
Iz
Iy
中性轴的位置
P cos
Iz
y0
P sin
Iy
z0
0
tg y0 Iz tg
z0 I y
材料力学第八章
tension or compression)：杆件同时受横向力和轴向力的作用而
F1 F2
产生的变形。
x
F
F y
z
My
x z Mz
Fy My
二、应力分析：
x z Mz F y
F
MZ
My
My
σ xF
=−F A
σ xM z
= − Mzy Iz
σ xM y
= − Myz Iy
σ
x
=
−( F A
+
Mzy Iz
0.2× 0.2
§8. 4 弯曲与扭转的组合 (Combination of Bending and Torsion)
设一直径为d的等直圆杆AB，A端固定，B端具有与AB成 直角的刚臂，并受铅垂力F作用。整个结构位于水平面内。
建立图示杆件的强度条件 解：①外力向形心 简化并分解
=
qyl 2 8
=
358× 32 8
= 403Nm
M y max
=
qzl 2 8
=
715× 32 8
= 804Nm
[ ] σ max
=
Mz Wz
+
My Wy
≤
σ
§8. 3 拉(压)弯组合 ⋅ 偏心拉（压）⋅ 截面核心
一、拉(压)弯组合变形(Composite deformation of bending and
fy
最大正应力
变形计算
σ max
= σ D1
=
Mz Wz
+
My Wy
= −σ D 2
f=
f
2 y
+
f
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
材料力学 第八章
σ max σ min σ x σ y
(8−9)
即对于同一个点所截取的不同方位的单元体，其相互 垂直面上的正应力之和是一个不变量，称之为第一弹性应 力不变量。可利用此关系来校核计算结果。
14
用类似的方法，可以讨论切应力的极值和它们所在 的平面。将式(8—4)对取导数：
d τα (σ x σ y ) cos 2α 2τ x sin 2α dα
不可能总是通过直接试验的方法来确定材料的极限 应力。通过应力状态分析来探求材料破坏的规律，确定 引起材料破坏的决定因素，从而建立相应的强度条件， 即强度理论。
5
§8−2 平面应力状态的应力分析—解析法
一、斜截面应力
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。 现欲求垂直于平面xy的任意斜截面ef上的应力。
例题8−2 图示为某构件某一点的应力
20
σ1
35.8° 30 30
状态，试确定该点的主应力的大小及
方位。 解：由图可知：
σ x 30 MPa , σ y 20 MPa, τ x 30 MPa
σ3
单位：MPa
将其代入式(8−6)有：
2 σ m ax 30 20 55.4MPa 30 20 2 30 σ m in 2 2 5.4MPa
0min表示)，则可按下述规则进行判定：
(1) 若 x＞ y ，则有 |0max|＜45° (2) 若 x＜ y ，则有 |0max|＞45°
45 ( τ x 0) 45 ( τ x 0)
(3) 若 x = y ，则有
(8−7)
α 0 max
σ α σ x cos2 α σ y sin 2 α 2τ x sin α cos α τ α (σ x σ y ) sin α cos α τ x (cos2 α sin 2 α)
材料力学第八章
D2 E2 O2
某实际应力状态：与 包络线相切，1>3， 3 1 有正负。 E3O3 O1O3 D3O3 D1O1 OO1 OO3 E2O2 O1O2 D2O2 D1O1 OO1 OO2 1 3 [ c ] [ t ] D3O3 D2O2 D1O1 2 2 2 1 3 [ c ] [ t ] OO3 OO2 OO1 2 2 2
最大拉应力1，与应力状态无关； 1．断裂原因： 2．强度准则： 1 u / nb 1 [ ] 断裂判据： 1 u 1 b 3．u由单向拉伸断裂条件确定： u b nb [ ] 4．应用情况：符合脆性材料的多向拉断试验，或 压应力不超过拉应力情况，如铸铁单向拉伸和 扭转；不能用于无拉应力的应力状态。
1．屈服原因： 形状改变比能uf，与应力状态无关；
2．强度准则：
1 uf ufu / ns ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 [ ] 2
屈服判据：
1 uf ufu ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 s 2
4．应用情况： 符合表面润滑石料的轴压破坏，某些 脆性材料压应力很大时的双向拉压状态。
§8-2
断裂准则
一、最大切应力理论(第三强度理论，Tresca准则) 不论材料处于何种应力状态，引起材料屈服的 原因是最大切应力max达到共同极限值s。
1．屈服原因： 最大切应力max，与应力状态无关； 2．强度准则： max s / ns 1 3 [ ]
[t]、[c]：许可拉、压应力； [ t ] 1 3 [ t ] 如[t]=[c]，退化为最大切 [ c ] 应力准则。
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单向应力状态
第八章 应力状态分析与强度理论
5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态
Fs S * z bI z
My Iz
平面应力状态
第八章 应力状态分析与强度理论
6 提取横力弯曲变形杆件中性层上一点的应力状态
Fs S * z bI z
纯剪切应力状态
第八章 应力状态分析与强度理论
2
2 2
τ
0
半径为
应力圆 莫尔（Mohr）圆
第八章 应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
下面根据已知单元体上的应力 x、 y、 xy 画应力圆：
y
y
yx
xy x
x
τ
( x , xy )
0
( y , yx )
第八章
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
约定:
微元体的体积为无穷小；
相对面上的应力等值、反向；
三个相互垂直面上的应力。
第八章
应力状态分析与强度理论
一般空间应力状态
z
zy
y
y
z
yz
zx xz
yx xy
x
x
第八章
应力状态分析与强度理论
一般平面应力状态
σy
τyx τxy σx
y
yx xy
x
第八章
应力状态分析与强度理论
y y y
yx
xy
y
yx
x
x
xy
x
x
第八章
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
y
y
yx
n
xy
x
x
σ ：拉应力为正 τ ：顺时针转动为正
xy
x
A
α ：逆时针转动为正
y yx
第八章 应力状态分析与强度理论
A sin
§8.2 平面应力状态分析
第 8 章
§8.1 §8.2
应力状态分析与强度理论
应力状态的概念 平面应力状态分析
§8.3
§8.4
三向应力状态简介
平面应变状态分析
§8.5
§8.6
广义胡克定律
应变能密度
§8.7 强度理论
第八章 应力状态分析与强度理论
§8.1 应力状态的概念
一、什么是一点的应力状态？ 二、为什么要研究一点的应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?
第八章
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力； (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。
40
60
80
60°
应力单位：MPa
第八章 应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
40
解：（一）使用解析法求解
受拉之前,表面斜置的正方形
FP
FP
在受拉后，正方形变成了菱形。
这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。
第八章
应力状态分析与强度理论
受扭之前，圆轴表面的圆
Mx
Mx
受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，
短轴方向缩短。这是为什么？
轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。
第八章 应力状态分析与强度理论
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
x y x y 2 2 xy 2 2
x y 圆心坐标为 0 2 ，
x y 2 xy 2
2
第八章
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
用完全相似的方法可确定切应力的极值：
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 y x sin 2 xy cos 2 2
d x y cos 2 2 xy sin 2 d
圆杆受扭转和拉伸共同作用
F
Me
FN 4F A d2
F Me
T 16M e Wt d3
平面应力状态
第八章
应力状态分析与强度理论
三向应力状态实例
滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态
三向应力状态
第八章
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
平面应力状态分析方法Ⅰ——解析法
应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称
为这一点的应力状态。
第八章
应力状态分析与强度理论
二、为什么要研究一点的应力状态?
低碳钢扭转
铸铁扭转
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
第八章 应力状态分析与强度理论
铸铁拉伸
低碳钢拉伸
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 构件的强度破坏与构件上点的应力状态有关。最容易发生强
第八章 应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
1 105MPa， 2 0， 3 65MPa，
tan2 0 2 xy
40 60
x y
1
22 .5
80
0 22.5或112.5
x y 2 max xy 85MPa 2
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个
互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、σ2 、σ3 表示，按代数值大小顺序排 序，即σ1≥σ2≥σ3。
第八章
应力状态分析与强度理论
应力状态的分类：
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零
二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零 单向应力状态也称为简单应力状态 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
横力弯曲时的应力状态
F
A B C D E
A
B
C
D
E
第八章
应力状态分析与强度理论
7提取工字形截面梁上一点的应力状态
FP S平面
l/2
l/2
第八章
应力状态分析与强度理论
5 4 3 2 1
S平面
5 4
3 2
2
1
1
x1
2
4
2
2
5
x2
x1
3
3 3
2
x2
第八章
应力状态分析与强度理论
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 y x sin 2 xy cos 2 2
和 都是的 周期函数。利用上式便可确定正应
力和切应力的极值。
x y d 2 sin 2 xy cos 2 d 2 d 0 若 0 时，能使 d x y sin 2 0 xy cos 2 0 0 2
（二）使用图解法求解 作应力圆，从应力圆可量出：
第八章 应力状态分析与强度理论
2
§8.2 平面应力状态分析
102MPa， 22MPa
max 105MPa， min 65MPa，0 22.5
第八章 应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
tan 2 0 2 xy
x y
它们确定两个互相垂直的平面，其中一 0、 0 90， 个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所
在平面。
max x y x y 2 xy 2 min 2
下面利用应力圆求任意斜截面上的应力：
y
y
yx
xy
τ
n
x
2
( x , xy )
x
0
( y , yx )
第八章
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
下面利用应力圆求主应力及最大切应力：
y
y
yx
τ
n
xy
( x , xy )
x
x
0
( y , yx )
直杆拉伸应力分析结果表明： 即使同一点不同方向面上的 应力也是各不相同的，此即 应力的面的概念。
p sin
第八章
பைடு நூலகம்
2
sin 2
应力状态分析与强度理论
受轴向拉力作用的杆件，受力之前，表面的正方形
FP
FP
受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。 横截面上没有切应力。
第八章
应力状态分析与强度理论
平面（二向）应力状态实例 圆柱型压力容器
第八章
应力状态分析与强度理论
球型压力容器
第八章
应力状态分析与强度理论
圆筒形薄壁压力容器，平均直径为 D、壁厚为 ，承受内力p 作用。 p p D
pD 1 2
pD 2
pD 4
pD 2 4
平面应力状态 二向不等值拉伸
3 0
第八章
应力状态分析与强度理论
x 80MPa y 40MPa
60
80
60°
xy 60MPa
x y
2 x y
30
x y
2
cos 2 xy sin 2 102MPa
2
sin 2 xy cos 2 22MPa
第八章 应力状态分析与强度理论
5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态
Fs S * z bI z
My Iz
平面应力状态
第八章 应力状态分析与强度理论
6 提取横力弯曲变形杆件中性层上一点的应力状态
Fs S * z bI z
纯剪切应力状态
第八章 应力状态分析与强度理论
2
2 2
τ
0
半径为
应力圆 莫尔（Mohr）圆
第八章 应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
下面根据已知单元体上的应力 x、 y、 xy 画应力圆：
y
y
yx
xy x
x
τ
( x , xy )
0
( y , yx )
第八章
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
约定:
微元体的体积为无穷小；
相对面上的应力等值、反向；
三个相互垂直面上的应力。
第八章
应力状态分析与强度理论
一般空间应力状态
z
zy
y
y
z
yz
zx xz
yx xy
x
x
第八章
应力状态分析与强度理论
一般平面应力状态
σy
τyx τxy σx
y
yx xy
x
第八章
应力状态分析与强度理论
y y y
yx
xy
y
yx
x
x
xy
x
x
第八章
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
y
y
yx
n
xy
x
x
σ ：拉应力为正 τ ：顺时针转动为正
xy
x
A
α ：逆时针转动为正
y yx
第八章 应力状态分析与强度理论
A sin
§8.2 平面应力状态分析
第 8 章
§8.1 §8.2
应力状态分析与强度理论
应力状态的概念 平面应力状态分析
§8.3
§8.4
三向应力状态简介
平面应变状态分析
§8.5
§8.6
广义胡克定律
应变能密度
§8.7 强度理论
第八章 应力状态分析与强度理论
§8.1 应力状态的概念
一、什么是一点的应力状态？ 二、为什么要研究一点的应力状态? 三、如何描述一点的应力状态?
第八章
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力； (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。
40
60
80
60°
应力单位：MPa
第八章 应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
40
解：（一）使用解析法求解
受拉之前,表面斜置的正方形
FP
FP
在受拉后，正方形变成了菱形。
这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。
第八章
应力状态分析与强度理论
受扭之前，圆轴表面的圆
Mx
Mx
受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，
短轴方向缩短。这是为什么？
轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。
第八章 应力状态分析与强度理论
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
x y x y 2 2 xy 2 2
x y 圆心坐标为 0 2 ，
x y 2 xy 2
2
第八章
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
用完全相似的方法可确定切应力的极值：
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 y x sin 2 xy cos 2 2
d x y cos 2 2 xy sin 2 d
圆杆受扭转和拉伸共同作用
F
Me
FN 4F A d2
F Me
T 16M e Wt d3
平面应力状态
第八章
应力状态分析与强度理论
三向应力状态实例
滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态
三向应力状态
第八章
应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
平面应力状态分析方法Ⅰ——解析法
应力状态: ——过同一点不同方向面上应力的集合，称
为这一点的应力状态。
第八章
应力状态分析与强度理论
二、为什么要研究一点的应力状态?
低碳钢扭转
铸铁扭转
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
第八章 应力状态分析与强度理论
铸铁拉伸
低碳钢拉伸
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 构件的强度破坏与构件上点的应力状态有关。最容易发生强
第八章 应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
1 105MPa， 2 0， 3 65MPa，
tan2 0 2 xy
40 60
x y
1
22 .5
80
0 22.5或112.5
x y 2 max xy 85MPa 2
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个
互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、σ2 、σ3 表示，按代数值大小顺序排 序，即σ1≥σ2≥σ3。
第八章
应力状态分析与强度理论
应力状态的分类：
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零
二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零 单向应力状态也称为简单应力状态 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
横力弯曲时的应力状态
F
A B C D E
A
B
C
D
E
第八章
应力状态分析与强度理论
7提取工字形截面梁上一点的应力状态
FP S平面
l/2
l/2
第八章
应力状态分析与强度理论
5 4 3 2 1
S平面
5 4
3 2
2
1
1
x1
2
4
2
2
5
x2
x1
3
3 3
2
x2
第八章
应力状态分析与强度理论
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 y x sin 2 xy cos 2 2
和 都是的 周期函数。利用上式便可确定正应
力和切应力的极值。
x y d 2 sin 2 xy cos 2 d 2 d 0 若 0 时，能使 d x y sin 2 0 xy cos 2 0 0 2
（二）使用图解法求解 作应力圆，从应力圆可量出：
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2
§8.2 平面应力状态分析
102MPa， 22MPa
max 105MPa， min 65MPa，0 22.5
第八章 应力状态分析与强度理论
§8.2 平面应力状态分析
tan 2 0 2 xy
x y
它们确定两个互相垂直的平面，其中一 0、 0 90， 个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所
在平面。
max x y x y 2 xy 2 min 2
下面利用应力圆求任意斜截面上的应力：
y
y
yx
xy
τ
n
x
2
( x , xy )
x
0
( y , yx )
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§8.2 平面应力状态分析
下面利用应力圆求主应力及最大切应力：
y
y
yx
τ
n
xy
( x , xy )
x
x
0
( y , yx )
直杆拉伸应力分析结果表明： 即使同一点不同方向面上的 应力也是各不相同的，此即 应力的面的概念。
p sin
第八章
பைடு நூலகம்
2
sin 2
应力状态分析与强度理论
受轴向拉力作用的杆件，受力之前，表面的正方形
FP
FP
受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。 横截面上没有切应力。
第八章
应力状态分析与强度理论
平面（二向）应力状态实例 圆柱型压力容器
第八章
应力状态分析与强度理论
球型压力容器
第八章
应力状态分析与强度理论
圆筒形薄壁压力容器，平均直径为 D、壁厚为 ，承受内力p 作用。 p p D
pD 1 2
pD 2
pD 4
pD 2 4
平面应力状态 二向不等值拉伸
3 0
第八章
应力状态分析与强度理论
x 80MPa y 40MPa
60
80
60°
xy 60MPa
x y
2 x y
30
x y
2
cos 2 xy sin 2 102MPa
2
sin 2 xy cos 2 22MPa