第五章讨论题点评
《大学物理》课后解答题 第五章静电场
第五章 真空中的静电场一、思考讨论题1、电场强度与电势有什么关系？试回答下列问题，并举例说明： （1）场强为零的地方，电势是否一定为零？ （2）电势高的地方，场强是否一定大？ （3）电势相等处，场强是否一定相等？（4）已知某一点的电势，可否求出该点的场强？反之如何？ 解：（1）不一定。
比如两同种点电荷连线中点，场强为零，电势不为零。
（2）不一定。
匀强电场，场强处处相等，而电势不等。
（3）不一定。
点电荷产生的电场线中，电势相等的地方场强方向不一样。
（4）都不可以求。
2、已知某一高斯面所包围的空间内0=∑q ，能否说明穿过高斯面上每一部分的电通量都是0？能否说明高斯面上的场强处处为0？解：由高斯定理∑⎰=⋅=q S d E S1εψ ，0=∑q 仅指通过高斯面的电通量为零，并非场强一定在高斯面处处为零（高斯面外的电荷也在高斯面上各点产生场强）。
3、已知某高斯面上处处E =0，可否肯定高斯面内0=∑q ，可否肯定高斯面处处无电荷？解：可以肯定。
高斯面上处处E =0，0=⋅⎰S d E S，由高斯定理必有0=∑q 。
4、如图1.1所示，真空中有A 、B 两均匀带电平板相互平行并靠近放置，间距为d （d 很小），面积均为S ，带电分别为+Q 和－Q 。
关于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律应有：2024dQ f πε=； 又有人说，根据f QE =，应有：SQ f 02ε=。
他们说得对吗？你认为f 应等于多少？解：（1）2024dQ f πε=是错误的，因为库仑定律只适用于点电荷，两个带电平板不能直接用库仑定律计算。
（2）SQ f 02ε=也错误。
因为用sqE 0ε=计算的场强是两带电平板产生的合场强，而Eq F =中的场强是一个带电板的电荷量乘以另一个所产生的场强，而不是合场强。
电荷与图1.1自身产生的场强作用力恒为零。
正确答案是：Sq q S qEdq F 02022εε=⋅==⎰ 5、在无限大带电平面和无限长带电直线的电场中，确定各点电荷时，可否选无穷远处为0势点？为什么？解：不能。
思修第五章课后思考题参考答案
思修第5xx课后思考题参考答案※公共生活一般而言，公共生活是相对于私人生活而言的。
在公共生活中，一个人的行为，必定与他人发生直接或间接的联系，具有鲜明的开放性和透明性，对他人和社会的影响更为直接和广泛。
人类社会的公共生活是逐步形成和发展起来的。
※xx由一定规则维系的人们公共生活的一种有序化状态。
主要包括工作秩序、教学秩序、营业秩序、交通秩序、娱乐秩序、网络秩序等。
※社会公德社会公德是指在社会交往和公共生活中公民应该遵循的道德准则。
※1．当代社会公共生活有哪些特点？一般而言，公共生活是相对于私人生活而言的，两者既相互区别，又相互联系。
私人生活往往以家庭内部活动和个人活动为主要领域，具有一定的封闭性和隐秘性。
在公共生活中，一个人的行为，必定与他人发生直接或间接的联系，具有鲜明的开放性和透明性，对他人和社会的影响更为直接和广泛。
人类社会的公共生活是逐步形成和发展起来的。
当代社会公共生活的特征主要表现在以下几个方面：活动范围的广泛性。
经济社会的发展，使公共生活的场所和领域不断扩展，从传统的公交车、影剧院、图书馆、公园、集体宿舍等，到新兴的证券交易所、人才市场，网络技术使人们的公共生活进一步扩展到虚拟世界。
人们在足不出户的情况下，可以通过电话、网络等现代通讯工具介入社会公共生活。
交往对象的复杂性。
在很长的历史时期内，人们往往是在“熟人社会”中活动，交往圈子很小；当今社会的公共生活领域，则更像一个“陌生人社会”。
人们在公共生活中的交往对象并不仅限于熟识的人，而是进入公共场所的任何人。
科学技术的迅猛发展和社会分工的日益细化，使人们更多地在陌生的公共环境中与陌生人打交道。
活动方式的多样性。
当代社会的发展使人们的生活方式发生了新的变化，也极大地丰富了人们公共生活的内容和方式。
商场购物、歌厅娱乐、广场漫步、公园休闲、图书馆学习、体育馆健身、互联网冲浪等，人们可以根据自身的需要及年龄、兴趣、职业、经济条件等因素，选择和变换参与公共生活的具体方式。
5.微观第五章 思考题答案详解
第五章思考题A、B、C详解一、思考题A：基础知识题1.1（错）。
它是等产量线与等成本线的切点。
1.2（对）。
正常利润就是经济利润与会计利润的差额，经济利润是在会计利润中再剔除正常利润（或机会成本）后得到的，经济利润也称为超额利润。
1.3 D 经济学上长期和短期的划分标准是企业调整生产要素需要的时间。
1.4 C 这是属于规模报酬问题，与长期生产函数有关。
当长期边际成本高于长期平均成本时，长期平均成本上升，对应的是规模报酬递减。
1.5 A 一定产量下成本最小的投入组合是要求是等产量曲线不变，调整等成本曲线，调整到与等产量曲线相切的位置。
由于题中等成本曲线与等产量曲线没有交点和切点，而等产量曲线固定，只能调整等成本曲线，向外移动（即增加成本），直到与等产量曲线相切。
故是增加投入，选A。
1.6 A 显性成本（Explicit Cost）是指企业在生产要素市场上购买或租用所需要的生产要素的实际支出，即企业支付给企业以外的经济资源所有者的货币额。
本题中企业购买或使用生产要素所发生的成本正是这部分的有形成本，所以是显性成本，选A。
1.7 D AFC=TFC/Q，由于TFC在短期中固定不变，而Q在不断增加，故AFC 是不断减少的，所以它的曲线是一直趋于下降，选D。
1.8 答案：边际报酬递减规律又称边际收益递减规律，是指在其他技术水平不变的条件下，在连续等量地把一种可变要素增加到其他一种或几种数量不变的生产要素上去的过程中，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定的值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递减。
1.9 答案：（1）边际产量递减规律的基本内容是：在技术水平不变的情况下，当把一种可变的生产要素投入到一种或几种不变的生产要素中时，最初这种生产要素的增加会使产量增加，但当它的增加超过一定限度时，增加的产量将要递减，最终还会使产量绝对减少。
第五章习题与思考题
第五章思考题与习题1．写出下列各酸的共轭碱：H2O，H2C2O4，H2PO4-，HCO3-，C6H5OH，C6H5NH3+，HS-，Fe(H2O)63+，R-NH+CH2COOH.答：2. 写出下列各碱的共轭酸：H2O，NO3-，HSO4-，S2-，C6H5O-，C u(H2O)2(OH)2，(CH2)6N4，R—NHCH2COO-，COO-C O O-。
答：3．根据物料平衡和电荷平衡写出（1）(NH4)2CO3，（2）NH4HCO3溶液的PBE，浓度为c（mol·L-1）。
答：4．写出下列酸碱组分的MBE、CEB和PBE（设定质子参考水准直接写出），浓度为c （mol·L-1）。
（1）KHP （2）NaNH4HPO4（3）NH4H2PO4（4）NH4CN答：5. （1）讨论两种一元弱酸混合溶液的酸碱平衡问题，推导其H+浓度计算公式。
（2）0.10 mol·L-1NH4Cl和0.10 mol·L-1H3BO3混合液的pH值。
答：6．根据图5—3说明NaH2PO4—Na2HPO4缓冲溶液适用的pH范围。
答：7．若要配制（1）pH=3.0，（2）pH=4.0 的缓冲溶液，现有下列物质，问应该选那种缓冲体系？有关常数见附录一之表1。
（1）COO-C O O-（2）HCOOH （3）CH2ClCOOH （4）NH3+CH2COOH（氨基乙酸盐）答：8．下列酸碱溶液浓度均为0.20 mol·L-1，能否采用等浓度的滴定剂直接准确进行滴定？（1）HF （2）KHP （3）NH3+CH2COONa （4）NaHS （5）NaHCO3 （6）(CH2)6N4 （7）(CH2)6N4·HCl （8）CH3NH2答：9．强碱（酸）滴定一元弱酸（碱），c sp K a（K b）≥10-8就可以直接准确滴定。
如果用K t表示滴定反应的形成常数，那么该反应的c sp K t应为多少？解：因为c sp K a≥10-8，K a=K t•K w，故：c sp K t≥106(答案不正确,特此说明)10．为什么一般都用强酸（碱）溶液作酸（碱）标准溶液？为什么酸（碱）标准溶液的浓度不宜太浓或太稀？答：11．下列多元酸（碱）、混合酸（碱）溶液中每种酸（碱）的分析浓度均为0.10 mol·L-1（标明的除外），能否用等浓度的滴定剂准确进行分布滴定或分别滴定？如能直接滴定（包括滴总量），根据计算的pH sp选择适宜的指示剂。
物理学教程(第二版)[上册]第五章课后习题答案解析详解
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物理学教程第二版第五章课后习题答案第五章 机械振动5-1 一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）题5-１图分析与解（B ）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A /2，且投影点的运动方向指向Ox 轴正向，即其速度的x 分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（B ）．5-2 一简谐运动曲线如图（a ）所示，则运动周期是（ ）(A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s（D ）2.00 s题5-２图分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为A /2，且向x 轴正方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为-3/π2．振动曲线上给出质点从A /2 处运动到x =0处所需时间为1 s ，由对应旋转矢量图可知相应的相位差65232πππϕ=+=∆，则角频率1s rad 65Δ/Δ-⋅==πϕωt ，周期s 40.22==ωπT .故选（B ）． 5-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a ）所示， x 1的相位比x 2的相位（ ）（A ）落后2π（B ）超前2π（C ）落后π（D ）超前π分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b ）即可得到答案为（B ）．题5 -３图5-4 两个同振动方向、同频率、振幅均为A 的简谐运动合成后，振幅仍为A ，则这两个简谐运动的相位差为（ ）（A ）60 （B ）90 （C ）120 （D ）180分析与解 由旋转矢量图可知两个简谐运动1和2的相位差为120 时，合成后的简谐运动3的振幅仍为A .正确答案为（C ）．题5-4图5-5 若简谐运动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4ππ20cos 10.0t x ，式中x 的单位为m ，t 的单位为s.求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s 2=t 时的位移、速度和加速度．分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()ϕω+=t A x cos 作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t 值后，即可求得结果．解 （1）将()()m π25.0π20cos 10.0+=t x 与()ϕω+=t A x cos 比较后可得：振幅A ＝0.10m ，角频率1s rad π20-⋅=ω，初相ϕ＝0.25π，则周期s 1.0/π2==ωT ，频率Hz /1T =v ．（２）s 2=t 时的位移、速度、加速度分别为()m 1007.7π25.0π40cos 10.02-⨯=+=t x()-1s m 44.4π25.0π40sin π2d /d ⋅-=+-==t x v()-22222s m 1079.2π25.0π40cos π40d /d ⋅⨯-=+-==t x a5-6 一远洋货轮，质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S ．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F 与位移x 间的关系，如果满足kx F -=，则货轮作简谐运动．通过kx F -=即可求得振动周期k m ωT /π2/π2==． 证 货轮处于平衡状态时［图（a ）］，浮力大小为F ＝mg ．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O ，竖直向下为x 轴正向，如图（b ）所示．则当货轮向下偏移x 位移时，受合外力为∑'+=F P F其中F '为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为gSx mg gSx F F ρρ+=+='题5-6图则货轮所受合外力为kx gSx F P F -=-='-=∑ρ式中gS k ρ=是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动．由∑=t x m F 22d d /可得货轮运动的微分方程为0d d 22=+m gSx t x //ρ令m gS /ρω=2，可得其振动周期为gS ρm πωT /2/π2==5-7 如图（a ）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为1k 、2k ．当物体在光滑斜面上振动时．（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率．题5-7图分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b ）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O ，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率υ．证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为1x 、2x ，则由物体受力平衡，有2211sin x k x k mg ==θ（1）按图（b ）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x 时，两弹簧又分别被拉伸1x '和2x '，即21x x x '+'=．则物体受力为 ()()111222sin sin x x k mg x x k mg F '+-='+-=θθ（２） 将式（1）代入式（2）得1122x k x k F '-='-=（３） 由式（3）得11k F x /-='、22k F x /-='，而21x x x '+'=，则得到()[]kx x k k k k F -=+-=2121/式中()2121k k k k k +=/为常数，则物体作简谐运动，振动频率 ()m k k k k πm k ωv 2121/21/π21π2/+=== 讨论 （1）由本题的求证可知，斜面倾角θ对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2）如果振动系统如图（c ）（弹簧并联）或如图（d ）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为()m k k v /π2121+=，读者可以一试．通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．5-8 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50ｓ．当t ＝0 时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置、向负方向运动；（3）物体在x ＝-1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x 0和v ＝v 0来确定φ值．（2）旋转矢量法：如图（a ）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初始位置x 0和速度v 0的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．题5-8图解 由题给条件知A ＝2.0 ×10-2 m ，1s π4/2-==T ω，而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求．解析法：根据简谐运动方程()ϕω+=t A x cos ，当0t =时有()ϕω+=t A x cos 0，sin 0ϕωA -=v ．当（1）A x =0时，1cos 1=ϕ，则01=ϕ；（2）00=x 时，0cos 2=ϕ，2π2±=ϕ，因00<v ，取2π2=ϕ；（3）m 100120-⨯=.x 时，50cos 3.=ϕ，3π3±=ϕ，由00<v ，取3π3=ϕ；（4）m 100120-⨯-=.x 时，50cos 4.-=ϕ，3ππ4±=ϕ，由00>v ，取3π44=ϕ． 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b ）所示，它们所对应的初相分别为01=ϕ，2π2=ϕ，3π3=ϕ，3π44=ϕ． 振幅A 、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为（1）()m t πcos4100.22-⨯=x（2）()()m /2πt π4cos 100.22+⨯=-x（3）()()m /3πt π4cos 100.22+⨯=-x（4）()()m0.22+10=-xcos⨯/3π44tπ5-9有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1）当t＝0 时，物体在平衡位置上方8.0 ×10-2ｍ处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2）当t＝０时，物体在平衡位置并以0.6ｍ·s-1的速度向上运动，求运动方程．分析求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、ω和φ．其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m及弹簧劲度系数k）决定的，即k mω=/，k可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A和初相φ需要根据初始条件确定．题5-9图解物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即F＝mg．而此时弹簧的伸长量Δl＝9.8 ×10-2m．则弹簧的劲度系数k＝F／Δl ＝mg／Δl．系统作简谐运动的角频率为1ωmk//g=s=l10-∆=（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向．由初始条件t ＝0 时，x10＝8.0 ×10-2m、v10＝0 可得振幅()m 10082210210-⨯=+=./ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相π1=ϕ［图（a ）］．则运动方程为()()m π10t cos 100.821+⨯=-x（2）t ＝０时，x 20＝0、v 20＝0.6 ｍ·s -1，同理可得()m 100622202202-⨯=+=./ωv x A ；2/π2=ϕ［图（b ）］．则运动方程为 ()()m π5.010t cos 100.622+⨯=-x5-10 某振动质点的x -t 曲线如图（a ）所示，试求：（1）运动方程；（2）点P 对应的相位；（3）到达点P 相应位置所需的时间．分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量A 、ω和0ϕ，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便．解 （1）质点振动振幅A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出t 0＝0 和t 1＝4 ｓ时旋转矢量，如图（b ）所示．由图可见初相3/π0-=ϕ（或3/π50=ϕ），而由()3201//ππω+=-t t 得1s 24/π5-=ω，则运动方程为()m 3/π24π5cos 10.0⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t x题5-10图（2）图（a ）中点P 的位置是质点从A ／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c ）所示．当初相取3/π0-=ϕ时，点P 的相位为()000=-+=p p t ωϕϕ（如果初相取成3/π50=ϕ，则点P 相应的相位应表示为()π200=-+=p p t ωϕϕ．（3）由旋转矢量图可得()3/π0=-p t ω，则s 61.=p t ．5-11 质量为10 g 的物体沿x 的轴作简谐运动，振幅A =10 cm ，周期T =4.0 s ，t =0 时物体的位移为，cm 0.50-=x 且物体朝x 轴负方向运动，求（1）t =1.0 s 时物体的位移；（2）t =1.0 s 时物体受的力；（3）t =0之后何时物体第一次到达x =5.0 cm 处；（4）第二次和第一次经过x =5.0 cm 处的时间间隔.分析根据题给条件可以先写出物体简谐运动方程)cos(ϕω+=t A x .其中振幅A ，角频率Tπ2=ω均已知，而初相ϕ可由题给初始条件利用旋转矢量法方便求出. 有了运动方程，t 时刻位移x 和t 时刻物体受力x m ma F 2ω-==也就可以求出. 对于（3）、（4）两问均可通过作旋转矢量图并根据公式t ∆=∆ωϕ很方便求解.解由题给条件画出t =0时该简谐运动的旋转矢量图如图（a ）所示，可知初相3π2=ϕ.而A =0.10 m ，1s 2ππ2-==T ω.则简谐运动方程为m )3π22πcos(10.0+=t x (1)t =1.0 s 时物体的位移m 1066.8m )3π22π0.1cos(10.02-⨯-=+⨯=x（2）t =1.0 s 时物体受力N1014.2N)1066.8()2π(101032232---⨯=⨯-⨯⨯⨯-=-=x m F ω （3）设t =0时刻后，物体第一次到达x =5.0 cm 处的时刻为t 1，画出t =0和t =t 1时刻的旋转矢量图，如图（b ）所示，由图可知，A 1与A 的相位差为π，由t ∆=∆ωϕ得s 2s 2/ππ1==∆=ωϕt （4）设t =0时刻后，物体第二次到达x =5.0 cm 处的时刻为t 2,画出t =t 1和t = t 2时刻的旋转矢量图，如图（c ）所示，由图可知，A 2与A 1的相位差为3π2，故有 s 34s 2/π3/π212==∆=-=∆ωϕt t t题 5-11 图5-12 图（a ）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm ，求（1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）运动方程． 分析 根据v -t 图可知速度的最大值v max ，由v max ＝Aω可求出角频率ω，进而可求出周期T 和加速度的最大值a max ＝Aω2．在要求的简谐运动方程x ＝A cos （ωt ＋φ）中，因为A 和ω已得出，故只要求初相位φ即可．由v －t 曲线图可以知道，当t ＝0 时，质点运动速度v 0＝v max /2 ＝Aω/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x 轴正向向着平衡点运动．利用v 0＝－Aωsinφ就可求出φ． 解 （1）由ωA v =max 得1s 51-=.ω，则s 2.4/π2==ωT（2）222max s m 1054--⋅⨯==.ωA a（3）从分析中已知2/sin 0ωA ωA =-=v ，即21sin /-=ϕ6/π5,6/π--=ϕ因为质点沿x 轴正向向平衡位置运动，则取6/π5-=，其旋转矢量图如图（b ）所示．则运动方程为()cm 6π55.1cos 2⎪⎭⎫⎝⎛-=t x题5-12图5-13 有一单摆，长为1.0m ，最大摆角为5°，如图所示．（1）求摆的角频率和周期；（2）设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；（3）摆角为3°时的角速度和摆球的线速度各为多少？题5-13图分析 单摆在摆角较小时（θ＜5°）的摆动，其角量θ与时间的关系可表示为简谐运动方程()ϕωθθ+=t cos max ，其中角频率ω仍由该系统的性质（重力加速度g 和绳长l ）决定，即l g /=ω．初相φ与摆角θ，质点的角速度与旋转矢量的角速度（角频率）均是不同的物理概念，必须注意区分． 解 （1）单摆角频率及周期分别为s 01.2/π2;s 13.3/1====-ωT l g ω（2）由0=t 时o max 5==θθ可得振动初相0=ϕ，则以角量表示的简谐运动方程为t θ13.3cos 36π=（３）摆角为3°时，有()60cos max ./==+θθϕωt ，则这时质点的角速度为()()1max 2max max s2180800cos 1sin /d d --=-=+--=+-=..ωθϕωωθϕωωθθt t t线速度的大小为1s m 218.0/d d -⋅-==t l v θ讨论 质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别．这是因为在导出简谐运动方程时曾取θθ≈sin ，所以，单摆的简谐运动方程仅在θ较小时成立．*5-14 一飞轮质量为12kg ，内缘半径r ＝0.6ｍ，如图所示．为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃口摆动，在摆角较小时，测得周期为2.0s ，试求其绕质心轴的转动惯量．题5-14图分析 飞轮的运动相当于一个以刃口为转轴的复摆运动，复摆振动周期为c /π2mgl J T =，因此，只要知道复摆振动的周期和转轴到质心的距离c l ，其以刃口为转轴的转动惯量即可求得．再根据平行轴定理，可求出其绕质心轴的转动惯量．解 由复摆振动周期c /π2mgl J T =，可得22π4/m g r TJ =（这里r l C ≈）．则由平行轴定理得222220m kg 83.2π4⋅=-=-=mr mgrT mr J J 5-15 如图（a ）所示，质量为 1.0 ×10-2kg 的子弹，以500m·s -1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg ，弹簧的劲度系数为8.0 ×103 N·m -1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方程．题5-15图分析 可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v 0，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量m 1＋m 2和弹簧的劲度系数k 确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v 0和初位移x 0）求得．初相位仍可用旋转矢量法求． 解 振动系统的角频率为()121s 40-=+=m m k /ω由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v 0为12110s m 0.1-⋅=+=m m v m v又因初始位移x 0＝0，则振动系统的振幅为()m 105.2//202020-⨯==+=ωωx A v v图（b ）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位2/π0=ϕ，则简谐运动方程为()()m π0.540cos 105.22+⨯=-t x5-16 如图（a ）所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，其下挂有一质量为m 1的空盘．现有一质量为m 2的物体从盘上方高为h 处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动．问：（1）此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？（2）此时的振幅为多大？题5-16图分析 原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由m 1变为m 1 + m 2，因此新系统的角频率（或周期）要改变．由于()2020/ωx A v +=，因此，确定初始速度v 0和初始位移x 0是求解振幅A 的关键．物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘与物体的共同初速度v 0，这也是该振动系统的初始速度．在确定初始时刻的位移x 0时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置．因此，本题中初始位移x 0，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移．解 （1）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为k m ωT /π2/π21== ()k m m ωT /π2/π221+='='可见T ′＞T ，即振动周期变大了．（2）如图（b ）所示，取新系统的平衡位置为坐标原点O ．则根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即g kmg k m m k g m l l x 2211210-=+-=-= 式中k g m l 11=为空盘静止时弹簧的伸长量，l 2＝g km m 21+为物体粘在盘上后，静止时弹簧的伸长量．由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度gh m m m m m m 22122120+=+=v v 式中gh 2=v 是物体由h 高下落至盘时的速度．故系统振动的振幅为()gm m khk g m x A )(21/2122020++='+=ωv 本题也可用机械能守恒定律求振幅A ．5-17 质量为0.10kg 的物体，以振幅1.0×10-2 m 作简谐运动，其最大加速度为4.0 ｍ·s -1求：（1）振动的周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）物体在何处其动能和势能相等？（4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？分析 在简谐运动过程中，物体的最大加速度2max ωA a =，由此可确定振动的周期T ．另外，在简谐运动过程中机械能是守恒的，其中动能和势能互相交替转化，其总能量E ＝kA 2/2．当动能与势能相等时，E k ＝E P ＝kA 2/4．因而可求解本题． 解 （1）由分析可得振动周期s 314.0/π2/π2max ===a A ωT（2）当物体处于平衡位置时，系统的势能为零，由机械能守恒可得系统的动能等于总能量，即J 100221213max22k -⨯====.mAa mA E E ω （3）设振子在位移x 0处动能与势能相等，则有42220//kA kx =得m 100772230-⨯±=±=./A x（４）物体位移的大小为振幅的一半（即2x A =/）时的势能为4221212P /E A k kx E =⎪⎭⎫⎝⎛==则动能为43P K /E E E E =-=5-18 一劲度系数k =312 1m N -⋅的轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量kg 3.00=m 的物体，放在光滑的水平面上，上面放一质量为kg 2.0=m 的物体，两物体间的最大静摩擦系数5.0=μ.求两物体间无相对滑动时，系统振动的最大能量.分析简谐运动系统的振动能量为2p k 21kA E E E =+=.因此只要求出两物体间无相对滑动条件下，该系统的最大振幅max A 即可求出系统振动的最大能量.因为两物体间无相对滑动，故可将它们视为一个整体，则根据简谐运动频率公式可得其振动角频率为mm k+=0ω.然后以物体m 为研究对象，它和m 0一起作简谐运动所需的回复力是由两物体间静摩擦力来提供的.而其运动中所需最大静摩擦力应对应其运动中具有最大加速度时，即max 2max A m ma mg ωμ==，由此可求出max A . 解根据分析，振动的角频率mm k+=0ω 由max 2max A m ma mg ωμ==得kgm m g A μωμ)(02max +=则最大能量J1062.92)(])([212132220202max max -⨯=+=+==kg m m kg m m k kA E μμ5-19 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为()()m π75.010cos 05.01+=t x ；()()m π25.010cos 06.02+=t x ．求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐运动()()m 10cos 07033ϕ+=t x .，则3ϕ为多少时，x 1＋x 3的振幅最大？又3ϕ为多少时，x 2＋x 3的振幅最小？题5-19图分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅()12212221cos 2ϕϕ-++=A A A A A ，其大小与两个分振动的初相差12ϕϕ-相关．而合振动的初相位()()[]22112211cos cos sin sin arctan ϕϕϕϕϕA A A A ++=/解 （1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为2/πΔ12-=-=ϕϕϕ，故合振动振幅为()m 1087cos 2212212221-⨯=-++=.ϕϕA A A A A合振动初相位()()[]rad1.48arctan11cos cos sin sin arctan 22112211==++=ϕϕϕϕϕA A A A /（2）要使x 1＋x 3振幅最大，即两振动同相，则由π2Δk =ϕ得,...2,1,0,π75.0π2π213±±=+=+=k k k ϕϕ要使x 1＋x 3的振幅最小，即两振动反相，则由()π12Δ+=k ϕ得(),...2,1,0,π25.1π2π1223±±=+=++=k k k ϕϕ5-20 两个同频率的简谐运动1 和2 的振动曲线如图（a ）所示，求（1）两简谐运动的运动方程x 1和x 2；（2）在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3）若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程．分析 振动图已给出了两个简谐运动的振幅和周期，因此只要利用图中所给初始条件，由旋转矢量法或解析法求出初相位，便可得两个简谐运动的方程．解 （1）由振动曲线可知，A ＝0.1 ｍ，T ＝2ｓ，则ω＝2π／T ＝πｓ-1．曲线1表示质点初始时刻在x ＝0 处且向x 轴正向运动，因此φ1＝－π／2；曲线2 表示质点初始时刻在x ＝A /2 处且向x 轴负向运动，因此φ2＝π／3．它们的旋转矢量图如图（b ）所示．则两振动的运动方程分别为()()m 2/ππcos 1.01-=t x 和()()m 3/ππcos 1.02+=t x（2）由图（b ）可知振动2超前振动1 的相位为5π／6． （3）()ϕω+'=+=t A x x x cos 21其中()m 0520cos 212212221.=-++='ϕϕA A A A A()12π0.268arctan cos cos sin sin arctan22112211-=-=++=ϕϕϕϕϕA A A A则合振动的运动方程为 ()()m π/12πcos 052.0-=t x题5-20 图5-21 将频率为348 Hz 的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz ．若在待测频率音叉的一端加上一小块物体，则拍频数将减少，求待测音叉的固有频率．分析 这是利用拍现象来测定振动频率的一种方法．在频率υ1和拍频数Δυ＝|υ2－υ1|已知的情况下，待测频率υ2可取两个值，即υ2＝υ1 ±Δυ．式中Δυ前正、负号的选取应根据待测音叉系统质量改变时，拍频数变化的情况来决定．解 根据分析可知，待测频率的可能值为υ2＝υ1 ±Δυ＝（348 ±3） Hz因振动系统的固有频率mkπ21=v ，即质量m 增加时，频率υ减小．从题意知，当待测音叉质量增加时拍频减少，即｜υ2－υ1｜变小．因此，在满足υ2与Δυ均变小的情况下，式中只能取正号，故待测频率为υ2＝υ1＋Δυ＝351 Hz*5-22 图示为测量液体阻尼系数的装置简图，将一质量为m 的物体挂在轻弹簧上，在空气中测得振动的频率为υ1，置于液体中测得的频率为υ2，求此系统的阻尼系数．题5-22图分析 在阻尼不太大的情况下，阻尼振动的角频率ω与无阻尼时系统的固有角频率ω0及阻尼系数δ有关系式220δωω-=．因此根据题中测得的υ1和υ2（即已知ω0、ω），就可求出δ．解 物体在空气和液体中的角频率为10π2v =ω和2π2v =ω，得阻尼系数为2221220π2v v -=-=ωωδ。
近世代数(吴品三)习题解答第五章 群的进一步讨论
第五章 群的进一步讨论练习§1. Sylow 子群1. 写出三种12阶的非交换群的乘法表,找出其共轭的Sylow 子群. [解] 根据例3给出的关系,可直接写出群G 的乘法表.(1)1H ={e ,a ,2a ,3a }是G 的一个子群,3C ={e ,c ,2c }是G 的一个正规子群.并由关系ac =a c 2,得出乘法表如下(见表一):22222233323222222232333222222332332233322222222233232222222323322222233322222222323322222233232222233322222222332322222232332222223233222222a ca a c acaac ecc a ca a c a c a c a ca a c a ca c e c a c a ca ca ca a c a ca a c a c c e ca a c a a ca a a c c e c ca a a c ca a a c a c a a c ca e c c a a c ca a a c ca ca a c ca a c c e a c ca a a c ca a a e c c a ca a c a ca a c a ca a c a c c e c a c a ca a c a ca a c a ca ca c c e ca a c a ca a c a ca a c a a ca a a c ca a a c ca a a c c e c c a a c ca a a c ca a a c ca e c c c a c ca a a c ca a a c ca a c c e e a c ca a a c ca a a c ca a c c e 由乘法表可知与1H 共轭的另外两个Sylow 子群是2H =c H c 12={e ,ca ,2a ,3ca }及3H =21c cH ={e ,a c 2,2a ,32a c }.(2)1H ={e ,a ,b ,ab }是G 的一个子群,3C ={e ,c ,2c }是G 的一个正规子群.并有关系ac =ca ,bc =b c 2.首先,我们减少生成元素的个数.命x =ac ,因a 的周期为2,c 的周期为3,而ac =ca ,故x 的周期为6.因为a =33c a =3x ,c =44c a =4x ,所以G 由x 和b 生成.因为x b x =)()(ac b ac =c ba ac )(=c ab ac )(=bc ac a )( =cbc a 2=)(bc c =)(2b c c =b ,所以存在关系bx =b x 5.反过来,用6x =e ,2b =e ,bx =b x 5,命3x =a ,4x =c ,可以推出原来的全部关系,即2a =e ,2b =e ,3c =e ,ab =ba ,ac =ca ,bc =b c 2.因此,这两组关系等价.我们可以得到乘法表如下(见表二):ex x x x x b xb b x b x b x b x b x x e x x x x b x b xb b x b x b x b x x x e x x x b x b x b xb b x b x b x x x x e x x b x b x b x b xb b x b x x x x x e x b x b x b x b x b xb xb x x x x x e xb b x b x b x b x b b b x b x b x xb b b x x x x x e x x b x b x xb b b x b x x x x e x x x b x xb b b x b x b x x x e x x x x xb b b x b x b x b x x e x x x x x b b x b x b x b x xb e x x x x x x b x b x b x b x xb b x x x x x e e b x b x b x b x xb b x x x x x e 2345234555234523444523452333452345222345234523452345432543255325432544254325433543254322543254325432543254325432 此时,1H ={e ,3x ,b ,b x 3},3C ={e ,4x ,2x },则与1H 共轭的另外两个Sylow 子群是2H =412x H x ={e ,3x ,b x 4,xb };3H =214x H x ={e ,3x ,b x 2,b x 5}.(3)4B ={e ,a ,b ,ab }是G 的一个正规子群,3C ={e ,c ,2c }是G 的一个子群.并有关系ca =bc ,cb =c ab )(,)(ab c =ac (见表三):acaac bcbbc cec abcababc abc b bc bc e c c a ac ac ab abc abc abc c c e ac ac a bc bc b abc abc ab ab c e c abc ab abc ac a ac bc b bc bc ab abc abc a ac ac e c c b bc bc bc ac ac a c c e abc abc ab bc bc b b abc ab abc c e c bc b bc ac a ac ac e c c b bc bc ab abc abc a ac ac ac bc bc b abc abc ab c c e ac ac a a bc b bc ac a ac abc ab abc c e c c a ac ac ab abc abc b bc bc e c c c abc abc ab bc bc b ac ac a c c e e abc abc ab bc bc b ac ac a c c e 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222与3C 共轭的另外三个Sylow 子群是a aC 3={e ,abc ,2bc},与b bC 3={e ,ac ,2abc },及)()(3ab C ab ={e ,bc ,2ac }.2. 写出10阶的非交换群的乘法表,找出其共轭的Sylow 子群.[解] 因为|G |=10,所以的2-Sylow 子群是2阶循环群2C ,G 的5-Sylow 子群是5阶循环群5C .5-Sylow 子群的个数5k =5l +1,5k |10,所以5k =1,5C 是G 的正规子群.2-Sylow 子群的个数2k =2l +1,2k |10,所以2k =1,5.如果2k =1,则G =2C ×5C =10C ,是10阶循环群,所以2k =5.设1H ={e ,a }是G 的一个子群,5C ={e ,c ,2c ,3c ,4c }是G 的正规子群.设ca a 1-=i c ,则c =22ca a -=a c a i 1-=2i c ,因此2i ≡1(mod 5),i =1,4.如果i =1,则ac =ca ,从而G 是可换群,因此i =4,有关系ac =a c 4,G 是10阶二面体群.乘法表如下:ec c c c a ca a c a c a c a c c e c c c a c a ca a c a c a c c c e c c a c a c a ca a c a c c c c e c a c a c a c a ca ca c c c c e ca a c a c a c a a a c a c ca a a c c c c e c c a c ca a a c a c c c e c c c ca a a c a c a c c e c c c c a a c a c a c ca e c c c c c a c a c a c ca a c c c c e e a c a c ac ca a c c c c e 234234442342333423422234234234234324324424324334324322432432432432432432 与1H 共轭的Sylow 子群为2H =c H c 14={e ,a c 3},3H =213c H c ={e ,ca ,},与4H =312c H c ={e ,a c 4},5H =41c cH ={e ,a c 2}.(根据乘法表对角线上的e ,可得到G 的5个周期为2的元素,从而即可得到全部2-Sylow 子群.)3. 设A 是有限群G 的子集,证明,G 中与A 共轭的子集的个数等于[G :)(A N ].[证] 由P.261引理3可知,G 中与A 共轭的子集的个数等于[G :G ∩)(A N ],是即[G :)(A N ].4. 设P 是G 的p -Sylow 子群,H 是G 的正规子群,且[G :H ]与p 互素,证明H P ⊆.[证] 设|G |=m p r ,p ∤m .因为p ∤[G :H ],所以rp |H |,H 的p -Sylow 子群P '是r p 阶子群,因而是G 的p -Sylow 子群,P '与P 在G 中共轭,1-'x P x =P .但由于H 是G 的正规子群,1-'xP x ⊆1-xHx =H ,所以P ⊆H .5. 证明35阶的群一定是循环群.[证] 设|G |=35,因为35=5×7,所以G 的5-Sylow 子群为5阶循环群5C ,G 的7-Sylow 子群为7C .5-Sylow 子群的5k =5l +1,5k |35,故5k =1.7-Sylow 子群的个数7k =7l +1,7k =35,故7k =1.5C 和7C 都是G 的正规子群,故G =5C ×7C =35C 是循环群.6. 设有限群G 的阶数为np ,p 是素数,n <p .证明,G 含有阶数p 的不变子群.[证] 因为2p ∤np ,故G 的p -Sylow 子群是p 阶循环群p C .p -Sylow 子群的个数p k =pl +1,p k |np ,即(pl +1)|np .但由于(pl +1,p )=1,所以(pl +1)|n ,由于n <p ,故l =0,p k =1,因而p C 是G 的正规子群.§2. 有限交换群1. 利用数学归纳法证明定理2(两个有限交换群同构的充分必要条件是有相同的初等因子组).[证] 充分性:设A ,B 是两个有限交换群,具有相同的初等因子组{11αp ,22αp ,…,s s p α},则A =(1a )×(2a )×…×(s a ),B =(1b )×(2b )×…×(s b ),位里m a 和m b 的周期都是m m p α,m =1,2,…,s .命ϕ:s is iia a a 2121 s i s i ib b b 2121,0≤m i <m m p α,m =1,2,…,s .显然ϕ是A 到B 的一个双射.∀1x =s i s i i a a a 2121,2x =s j s j j a a a 2121,设21x x =s k s kk a a a 2121,位里0≤m i ,m j ,m k <m m p α,m =1,2,…,s ,显然m i +m j ≡m k (mod m m p α),m =1,2,…,s .显然)(1x ϕ=s is iib b b 2121,)(2x ϕ=s js jjb b b 2121,)(21x x ϕ=s ks kkb b b 2121.因为m b 的周期是m m p α,而m i +m j ≡m k (mod m m p α),所以)(1x ϕ)(2x ϕ=)(21x x ϕ,A 和B 同构.必要性:设有限交换群A 的B 同构,A 具有初等因子组{11αp ,22αp ,…,s s p α},今对初等因子的个数用数学归纳法加以证明.当s =1时,A 是11αp 阶循环群,由于同构关系,B 也是11αp 阶循环群,因而B 和A 具有相同的初等因子组{11αp }.假定对于衽因子的个数<s 的有限交换群,必要性成立.今设A =(1a )×(2a )×…×(s a ),令1A ={1a },2A ={2a }×{3a }×…×{s a },则A =1A ×2A .设1B ,2B 分别为1A 和2A 在B 中的同构象,显然,A =1A ×2A 在B 中的同构象是1B ×2B ,因此B =1B ×2B .由于1A 和2A 的初等因子的个数小于s ,根据归纳假设可知,1B 和1A 有相同的初等因子组,2B 和2A 有相同的初等因子组.故1B =(1b ),2B =(2b )×(3b )×…×(s b ),并且m b 的周期和m a 相等,都等于mmp α,m =1,2,…,s .因而B =1B ×2B =(1b )×(2b )×…×(s b ),这意味着B 和A 有相同的初等因子组{11αp ,22αp ,…,s s p α}.定理得到证明.2. 设G =(a )×(b ),|a |=8,|b |=4,命c =ab ,d =b a 4,证明G =(c )×(d ). [证] 用[m ,n ]表示非负整数m 和n 的最小公倍数.因为a ,b 分属于G 的两个不同的直积因子,所以|c |=[|a |,|b |]=[8,4]=8,|d |=[|4a |,|b |]=[2,4]=4,故(c )是8阶循环群,(d )是4阶循环群. x ∈(c )∩(d ),则x =i ab )(=j b a )(4,即x =ii b a =jjb a 4,由于G =(a )×(b ),故i ≡4j (mod 8),i ≡j (mod 4).由此可知j ≡0(mod 4),因而x =jjb a 4=e ,即(c )∩(d )={e },(c )×(d )是G 的32阶子群,由于G =(a )×(b )是32阶群,所以G =(a )×(b ).3. 写出45阶交换群的一切可能类型.[解] 因为45=5×23,初等因子组有两种{5,3,3},{5,23},因而45阶交换群仅有两种类型:5C ×3C ×3C ,2C ×9C .4. 写出108阶交换群的一切可能类型.[解] 108阶交换群的初等因子组有:{2,2,3,3,3},{2,2,3,23},{2,2,33},与{22,3,3,3},{22,3,23},{22,33}.故108阶交换群有6种:2C ×2C ×3C ×3C ×3C ,2C ×2C ×3C ×9C ,2C ×2C ×27C ,4C ×3C ×3C ×3C ,4C ×3C ×9C ,4C ×27C .5. 设G 是n2阶交换群,G 中指数为2的子群仅存在一个,证明,G 是循环群. [证] 由P.259定理2知G 是2群,故由P.274例6知G 是循环群(p =2). 6. 设交换群G 的初等因子组为{3p ,2p },求G 中阶数为2p 的子群的个数. [解] G 的2p 阶子群的初等因子驵可能是{p ,p }和{2p }. 令p G ={x |x ∈G ,px =e },2p G ={x |x ∈G ,2p x=e }.容易验证,p G 和2p G 都是G 的子群,并且p G 包含G 的初等因子组为{p ,p }的一切子群,2p G 包含G 的一切2p 阶子群.易知|p G |=2p ,故p G 的初等因子组是{p ,p },因而p G 是G 的初等因子组为{p ,p }的唯一子群.现在考虑G 的2p 阶循环子群的个数.因为2p 阶循环子群(c )中,元素i c (0≤i ≤p -1)是2p 阶元素,当且仅当p ∤i ,故G 中2p 阶元素的个数等于|2p G |-|p G |=4p -2p ,而每个2p 阶元素属于且仅属于一个2p 阶循环群,每个2p 阶循环群含有2p -p 个2p 阶元素,因此G 的2p 阶循环子群的个数等于pp p p --224=2p +p ,故G 的2p 阶子群的个数为2p +p +1. 7. 写出144阶交换群的一切可能类型.[解] 初等因子组有:{3,3,2,2,2,2},{3,3,22,2,2},{3,3,22,22}, {3,3,32,2},{3,3,42},{23,2,2,2,2},{23,22,2,2},{23,22,22},{23,32,2},{23,42}.对应的不变因子组为{2,2,6,6},{2,6,12},{12,12},{6,24}, {3,48},{2,2,2,18},{2,2,36},{4,36},{2,72},{144}.故144阶交换群有十种:2C ×2C ×6C ×6C ,2C ×6C ×12C ,12C ×12C ,6C ×24C ,3C ×48C ,2C ×2C ×2C ×18C ,2C ×2C ×36C ,4C ×36C ,2C ×72C ,144C .8. 证明,对任意素数1p ,2p ,…,r p ,任意自然数1α,2α,…,r α,存在交换群G ,其初等因子组为{11αp ,22αp ,…,r r p α}. [证] 实际上,G =11αp C ×22αp C ×…×r rp C α就是所要求的交换群.§3. 具有有限生成元的交换群1. 利用数学归纳法,写出定理2的末一部分证明.[证] 设A ,B 是两个同构的交换群:A =(1a )×(2a )×…×(h a )×(1u )×…×(n u ),n ≥1.B =(1b )×(2b )×…×(k b )×(1v )×…×(m v ),m ≥0.此处|(i a )|为有限,i =1,2,…,h ;且|)(||)(|1i i a a -,i =2,3,…,h ;(i u )是无限循环群,i =1,2,…,n ;|(j b )|为有限,j =1,2,…,k ;且|)(||)(|1j j b b -,j =2,3,…,k ;而(j v )是无限循环群,j =1,2,…,m .今对n 用数学归纳法证明h =k ,m =n ,且(i a )≅(i b ),i =1,2,…,h .由于n ≥1,故首先可知必有m ≥1,当n =1时,由P.273引理2知:(1a )×(2a )×…×(h a )≅(1b )×(2b )×…×(k b )×(1v )×…×(1-m v ), 故m -1=0,且(1a )×(2a )×…×(h a )≅(1b )×(2b )×…×(k b ).由§2中的定理4知h =k ,且(i a )≅(i b ),i =1,2,…,h ,故当n =1时命题成立.假定命题对n -1成立,则由(1a )×…×(h a )×(1u )×…×(1-n u )≅(1b )×…×(k b )×(1v )×…×(1-m v ), 可知h =k ,n -1=m -1,且(i a )≅(i b ),i =1,2,…,h .故命题对n 也成立.命A =B =G ,就得到定理2的末一部分的证明.2. 利用数学归纳法证明定理3(两个有限生成元的自由交换群同构的充分必要条件是生成元的个数相同).[证] 设A ,B 是两个有限生成的自由交换群,生成元的个数分别为n 和m ,则A =(1a )×(2a )×…×(n a ),B =(1b )×(2b )×…×(m b ),若m =n ,命ϕ:n in iia a a 2121 n in i i b b b 2121,容易验证A ≅B . 必要性.当n =1时,A ={e }×(1a ),由引理2可知,{e }≅(1b )×(2b )×…×(1-m b ),因而B =(m b ),m =1.当n >1时,由引理2可知,(1a )×(2a )×…×(1-n a )≅(1b )×(2b )×…×(1-m b ),但此时根据归纳假定可知m -1=n -1,因而m =n ,定理得到证明.3. 设G 是无限循环群,找出G 的所有基.[解] 根据书中关于基的定义,命题应仅限于不含单位元e 的基.设G =(a ),显然{a }是G 的一个基.今设S 是G 的任一个基,我们证明S 是一个元素的集合.否则,任取S 的两个不同的元素1s ,2s ,则存在整数1m ,2m ,使得1s =1m a,2s =2m a.显然1221m m s s -=1221)()(mm m m a a -=e .因为1s ∈S ,2s ∈S ,所以1s ≠e ,2s ≠e ,1m ≠0,2m ≠0,又因为a 的周期无限,所以21m s =21)(m m a =21m m a ≠e ,这与基的定义相矛盾,故S 中仅含有一个元,从而是G 的生成元.因此{a }及{1-a }就是G 的所有的基.4. 设1a ,2a ,…,n a 是自由交换群n F 的一个基,证明对任意整数k ,ka a 21,2a ,…,n a 仍是n F 的一个基. [证] 因为n in iiia a a a 321321=n i ni ki i ik a a a a a 31213221)(-,所以ka a 21,2a ,…,n a 是n F 的一个生成元系.设n in iiik a a a a a 3213221)(=e ,即ni ni ki i ia a a a 3121321+=e ,由于1a ,2a ,…,n a 是n F 的一个基,故1i =2i +k i 2=3i =…=n i =0,即1i =2i =3i =…=n i =0,因而ka a 21,2a ,…,n a 仍是n F 的一个基.5. 证明,n F 的任一基都含有n 个元素.[证] 按原书对于基的定义,此处应限于不含单位元e 的基,故下面只考虑不含单位元e 的基.首先可以证明n F 没有无限基.因若n F =(1a )×(2a )×…×(n a )有一基S 含无限个元,则可取n +1个元1b ,2b ,…,1+n b ∈S .设i b =ni i i n a a a ααα2121,i =1,2,…,n +1,其中i 1α,i 2α,…,ni α(i =1,2,…,n +1)都是整数.易知整系数齐次线性方程组∑+=11n i j ijx α=0,i =1,2,…,n ……………………(*)有非零有理数解,从而有非零整数解.设(1x ,2x ,…,1+n x )是(*)的一个整数解,则有121121++n x n x x b b b =e ,从而应有i x ib =e ,i =1,2,…,n +1,于是有i ni i i i i x n x x a a a ααα 2121=e ,从而应有i ki xk a α=e ,k =1,2,…,n ,于是有i ki x α=0,k =1,2,…,n .但i b ≠e ,故i 1α,i 2α,…,ni α不全为0,故x =0,i =1,2,…,n +1.这与“(1x ,2x ,…,1+n x )是(*)的一个非零整数解”矛盾,故n F 没有无限基.用完全同样的方法可以证明,若{1b ,2b ,…,s b }及{1c ,2c ,…,t c }是n F 的任意两个基,则必有t ≤s ,而又有s ≤t ,故s =t .令n F 已有一基{1a ,2a ,…,n a }恰含n 个元,故n F 的任一基恰含n 个元. 6. 指出引理2的证明中哪几步利用A 是交换群的条件.[解] (5)式K =(u )×(K ∩1H )的成立需要A 是交换群的条件.因为虽然(u )∩(K ∩1H )={e },(u )(K ∩1H )=K ,K ∩1H 是K 的正规子群.但(5)式的成立,仍需要(u )是K 的正规子群.而B (从而A )是交换群的条件保证了(5)式的成立.同样(6)式1H =(v )×(K ∩1H )也需要B (从而A )是交换群这一条件.习题1. 设p S 是有限群G 的p -Sylow 子群,N 是G 的不变子群,证明,N S p /N 是G /N 的p -Sylow 子群.[证] 设|G |=mn p α,|N |=n p β,(p ,mn )=1,则|p S |=αp ,可知|p S ∩N |=γp ,γ≤β.故|N S p /N |=|p S /p S ∩N |=NS S p p =γα-p ,其中α-γ≥α-β.而|G /N |=m p βα-,故|N S p /N |=βα-p ,所以N S p /N 是G /N 的一个p -Sylow 子群.2. 设p S 是有限群G 的p -Sylow 子群,)(p S N 表示p S 的正规化子,证明: ①含于)(p S N 的p S 的共轭子群只有一个;②)(p S N =))((p S N N .[证] ①设p S '是)(p S N 中的在G 中与p S 共轭的一个子群,则p S '和p S 同是)(p S N 的p -Sylow 子群,因而在)(p S N 中共轭,但p S 是)(p S N 的正规子群,故p S '=p S ,即证.②显然)(p S N ⊆))((p S N N ,))((p S N N x ∈∀,则由于p S ⊆)(p S N ,所以x S x p 1-⊆x S N x p )(1-=)(p S N .由①可知x S x p 1-=p S ,故x ∈)(p S N ,从而)(p S N ⊇))((p S N N ,即)(p S N =))((p S N N .3. 设p S 是有限群G 的p -Sylow 子群,K ,L 是p S 的子集,适合下面条件:①p S a ∈∀:Ka a 1-=K ,La a 1-=L ;②G b ∈∃:L =Kb b 1-.证明,)(p S N c ∈∃:L =Kc c 1-.[证] 设)(K N ,)(L N 分别是K 和L 在G 中的正规化子,则p S ⊆)(K N ,p S ⊆)(L N ,由Kb b 1-=L ,容易推得b K N b )(1-=)(L N ,故b S b p 1-⊆b K N b )(1-⊆)(L N ,因此b S b p 1-和p S 是)(L N 的两个Sylow 子群,故)(L N x ∈∃,使x b S b x p )(11--=p S ,令c =bx ,则)(p S N c ∈,且Kc c 1-=x Kb b x )(11--=Lx x 1-=L .4. 设K 是有限群G 的子群,H 是K 的子群,且K 中与H 同构的子群均与H 在K 中共轭.证明,)(K N =()(H N ∩)(K N ),[证] 由于K 是)(K N 的正规子群,)(H N ∩)(K N 是)(K N 的子群,故()(H N ∩)(K N )K 是)(K N 的子群.∈∀x )(K N ,由于K ⊇H ,故K ⊇Hx x 1-.根据条件,Hx x 1-和H 在K 中共轭,故K b ∈∃,使得11)(--b Hx x b =H ,a =1-xb ,则a ∈()(H N ∩)(K N ),而x =ab ,x ∈()(H N ∩)(K N )K ,所以,)(K N )(K N ⊆()(H N ∩)(K N )K ,即)(K N =()(H N ∩)(K N )K .5. 设G 不是循环群,|G |=2p ,证明,G 可分解成两个p 阶循环群的直积.[证] 由G 不是循环群可知,G 中任意元素,除e 外,周期均等于p .任取G 中p 阶元素a ,则(a )是p 阶循环群,由例6可知,(a )是G 的正规子群.G b ∈∀,a b ∉,则(b )是p 阶循环群,是G 的正规子群.由于a b ∉,所以(b )⊃((a )∩(b )),因而(a )∩(b )={e }.故(a )×(b )是G 的2p 阶子群,即G =(a )×(b ).6. 设有限交换群G 的阶数被任一素数的平方都除不尽,则G 是循环群.[证] 设G 的不变因子组为{1h ,2h ,…,n h },任取1h 的素因子p ,则有p |i h ,i =1,2,…,n ,因而||G p n .由于2p ∤|G |,故n =1,G 的不变因子组为{h },因而G 是循环群.7. 设G 是p 群,|G |=m p ,则G 至少含有p -1个周期为p 的元,属于G 的中心.[证] 设C 是G 的中心,a N 是a 在G 中的正规化子,∑表示对共轭元素类的代表元求和.根据群的类方程,|G |=|C |+∑∉C a a N G ]:[.||C p ,因而C 中至少含有1个周期为p 的元素,设为a ,则C ⊇(a ),(a )为p 阶循环群,故C 至少含有p -1个周期为p 的元素.8. 设G 是p 群,且G 含有指数p 的循环子群,则G 是不可分解的,或G 是交换群.[证] 设(a )是G 的指数为p 的循环子群,a 的周期为m p ,则|G |=1+m p .若G 中含有周期为1+m p 的元素,则G 是1+m p 阶循环群,不可分解.今设G 可分解,则G 中元素周期的最大值为m p .设G =H ×K ,H 中元素周期的最大值为i p ,K 中元素周期的最大值为j p ,i ≥j ,则ip a =e ,所以i ≥m ,但显然i ≤m ,故i =m ,||H p m .因为K ≠{e },所以H 是m p 阶循环群,K 是p 阶循环群,因此G =H ×K 是交换群.9. 设p ,q 是素数,且p <q ,p ,q 适合何种条件时,pq 元群一定是循环群?你找出的这个条件是不是必要的?[解] 设G 是pq 元群,则G 存在p -Sylow 子群p C ,q -Sylow 子群q C ,且G 中q -Sylow 子群的个数q k =ql +1,q k |pq .由于(ql +1,q )=1,故q k |p ,由于p <q ,故q k =1,q C 是G 的正规子群.同样可知,G 中p -Sylow 子群的个数p k =pl +1,p k |q .如果对于任意自然数l :(pl +1)∤q ,则p k =1,p C 是G 的正规子群,因而G =p C ×q C =pq C 是循环群.条件不是必要的.因为命G =p C ×q C ,且(pl +1)∤q ,对任意自然数l ,G 仍是循环群.例如G =35C .10. 证明,n 个生成元的自由交换群的子群仍是自由交换群.[证] 此处所说子群应不等于{e },其中e 是群的单位元.设n F =(1a )×(2a )×…×(n a ),并设V 是n F 的任意子群,但V ≠{e }.对于e ≠x ∈n F ,有唯一表示式x =n k nk k a a a 2121,其中1k ,2k ,…,n k 不全为0. 若m k ≠0,而1+m k =…=n k =0,则称x 的长度是m ,记作)(x l =m ,并称m k 是x 的最后指数;可知有1≤)(x l ≤n ,e ∀≠x ∈n F .再规定)(x l =0⇔x =e .我们先证明存在1b ∈V 满足:①(1b )是无限循环群;②V ⊇(1b );③当v ∈V ,且)(v l ≤)(1b l 时,必有v ∈(1b ).设V 中不等于e 的元的长度中最小者是m ,易知V 中有长度是m 且最后指数是正整数的元,这种元中总有一个元1b 其最后指数为最小,设1b =km k m k a a a m 1111-- .当然V ⊇(1b ),且因k >0,可知(1b )是无限循环群.当v ∈V ,且)(v l ≤)(1b l 时,若)(v l <)(1b l ,则可知v =e ∈(1b ).若)(v l =)(1b l ,则可设v =L m L m L a a a m 1111-- .设l =kq +r ,0≤r <k ,则有q vb -1=rm m a a a m 1111--αα ∈V ,其中1α,…,1-m α是整数,由1b 的选法知r 不能大于0,故r =0,于是)(1q vb l -<m ,从而q vb -1=e ,故v =q b 1∈(1b ).今设已有1b ,2b ,…,s b ∈V ,满足:①(i b )是无限循环群,i =1,2,…,s ,且)(1b l <)(2b l <…<)(s b l ;②V ⊇(1b )×(2b )×…×(s b );③当v ∈V ,且)(v l ≤)(s b l 时,必有v ∈(1b )×(2b )×…×(s b ),这里s ≥1.若V =(1b )×(2b )×…×(s b ),则V 即是自由交换群.若V ⊃(1b )×(2b )×…×(s b ),记V '=(1b )×(2b )×…×(s b ),则V -V '≠φ,且V -V '中有不等于e 的元.设V -V '中不等于e 的元的长度中最小者是r ,则可知r >)(s b l ,又易知V -V '中有长度为r 且最后指数是小正整数的元,这种元中总有一个元1+s b ,其最后指数最小,设1+s b =k r kr k a a a r 1111-- ,可知(1+s b )是无限循环群,且)(s b l ≤)(1+s b l ,又V ⊇(1+s b ),所以当x ∈((1b )×(2b )×…×(s b ))∩(1+s b )时,易知必有x =e ,故有直积(1b )×(2b )×…×(s b )×(1+s b ).且当然V ⊇(1b )×(2b )×…×(s b )×(1+s b ).当v ∈V ,且)(v l ≤)(1+s b l 时,若)(v l <)(1+s b l ,则当v =e 时,有v ∈(1b )×(2b )×…×(s b )×(1+s b ),而当v ≠e 时,据1+s b 的选法可知v ∉V -V '.但v ∈V ,故v ∈V ',从而v ∈(1b )×(2b )×…×(s b )×(1+s b );若)(v l =)(1+s b l ,设v =l r l r l a a a r 1111-- ,则当l =qk +h ,0≤h <k 时,有q s vb -+1=h r r a a a r 1111--αα ∈V ,若h >0,则)(1q s vb l -+=r ,由1+s b 的选法知q s vb -+1∈V ',故v ∈(1b )×(2b )×…×(s b )×(1+s b ).若h =0,则q s vb -+1=1111--r r a a αα ,故)(1q s vb l -+<r =)(1+s b l ,因此q s vb -+1=e ,或qs vb -+1∈V ',总之有v ∈(1b )×(2b )×…×(s b )×(1+s b ).由于)(1b l <)(2b l <…<)(s b l <)(1+s b l <n ,而n 是定自然数,诸)(i b l 是正整数,故此过程不能无限继续,是即总有正整数m ,使V =(1b )×(2b )×…×(m b ),而(1b ),(2b ),…,(m b )都是无限循环群,故V 是自由交换群.11. 证明,n 个生成元的交换群一定是n 个生成元的自由交换群的同态象.[证] 设n F =(1a )×(2a )×…×(n a )是自由交换群,B 是由{1b ,2b ,…,n b }生成的交换群.命ϕ:n i n i i a a a 2121 n i n i i b b b 2121.容易验证ϕ是n F 到B 的同态满射,故B 是n F 的同态象.12. 设G 是交换群,G =A ×(a )=B ×(b ),此处(a ),(b )是p 阶循环群,p 是素数.①证明,存在p 阶循环群(c )⊆G ,使G =A ×(c )=B ×(c );②证明,A ≌B ;③举例说明,A ×(c )=B ×(c ),未必有A =B .[证] ①如果a ∉B ,则(a )⊃B ∩(a ),从而B ∩(a )={e }.G ⊇B ×(a )⊃B .因为B 在G 中的指数p 是素数,故G =B ×(a )=A ×(a ).同样可以证明,如果b ∉A ,则G =A ×(b )=B ×(b ).今设a ∈B ,b ∈A ,因为a ∉A ,故ab ∉A ,否则就要推出a ∈A .显然ab 的周期为p ,是个素数,因而A ∩(ab )={e },由A 在G 中的指数为素数,有G =A ×(ab ),同样可知G =B ×(ab ).②由G =A ×(c )=B ×(c ),可知A ≌G /(c )≌B .③设G =(a )×(b ),其中(a ),(b )都是p 阶循环群.显然ab ∉(b ),因为ab 的周期p 是素数,故(b )∩(ab )={e },又由于G 的阶数是2p ,因而G =(ab )×(b )=(a )×(b ),显然(ab )≠(a ).13. 设G 是交换群,G =A ×(a )=B ×(b ),此处(a ),(b )是np 阶循环群,p 是素数.证明A ≌B .[证] 我们讨论以下三种情形:①A ∩(b )={e }.此时,A ×(b )是G 的子群,即G ⊇A ×(b )⊃A ,因而[G :A ]=[G :A ×(b )][A ×(b ):A ].由于[G :A ]=n p =[A ×(b ):A ],故[G :A ×(b )]=1,因而G =A ×(b )=B ×(b ),A ≌G /(b )≌B .②B ∩(a )={e }.与情形①相同,可知A ≌B .③A ∩(b )≠{e },B ∩(a )≠{e }.由于A ∩(b )≠{e },而A ∩(b )是(b )的子群,可知A ∩(b )是k p 阶循环群,1≤k ≤n .故A ∩(b )=(k n p b -),所以1-n p b =1)(--k p k n b ∈A .由于1-n p a ∉A ,故1)(-n p ab ∉A .当然有1)(-n p ab ≠e .由于a ,b 的周期都是n p ,故ab 的周期是n p 的一个约数.但1)(-n p ab ≠e ,故ab 的周期是n p ,从而(ab )是n p 阶循环群.如果A ∩(ab )≠{e },则必有1)(-n p ab ∈A .现在已经证明了1)(-n p ab ∉A ,故A ∩(ab )={e },A ×(ab )是G 的一个子群.由于[A ×(ab ):A ]=n p ,故G =A ×(ab ).同理可知,G =B ×(ab ),因而A ≌G /(ab )≌B .14. 证明,阶数为255的群一定是循环群.[证] 因为255=3×5×17,故255阶群G 含有3-Sylow 子群3C ,5-Sylow 子群5C ,17-Sylow 子群17C .设这些Sylow 子群的个数分别为3k ,5k ,17k .由3k =3l +1,3k |255,得3k =1,85.同理可得,5k =1,51,17k =1.下面分四种情形讨论:①3k =85,5k =51,17k =1.此时周期为3的元素有85×2=170个,周期为5的元素有51×4=204个,但107+204=374>255,所以此种情形不能存在.②3k =85,5k =1,17k =1.3C 的正规化子在G 中的指数3k =85,故3C 的正规化子是3阶循环群,因此,设3C =(a ),5C =(b )时,必有ba ≠ab ,因为否则b 将属于3C 的正规化子,而这不可能.由于5k =1,故5C 在G 中正规.因此可设ba a 1-=i b ,于是有b =33ba a -=3i b ,故3i ≡1(mod 5).但此时得出i =1,从而ba a 1-=b ,即ba =ab .导出矛盾.③3k =1,5k =51,17k =1.同情形②一样导出矛盾.④3k =1,5k =1,17k =1.此时3C ,5C ,17C 均是G 的正规子群,且是阶数两两互素的循环群,因而G =3C ×5C ×17C =255C ,所以阶数为255的群必定是循环群.15. 证明,阶数为45的群一定是交换群.[证] 设|G |=45,则G 的3-Sylow 子群K 是一个9阶群,G 的5-Sylow 子群是一个5阶循环群5C .设3-Sylow 子群的个数为3k ,5-Sylow 子群的个数为5k ,则3k =3l +1,3k |45;5k =5l +1,5k |45,因此3k =5k =1,K 和5C 都是G 的正规子群.显然K ∩5C ={e },故G =K ×5C .由第5题可知,9阶群K ,或者是9阶循环群,或者是两个3阶循环群的直积.在这两种情形下,K 都是交换群.由于K 和5C 都是交换群,故G =K ×5C 是交换群.16. 决定所有18阶的群.[解] 设|G |=18,因为18=2×23,故G 的2-Sylow 子群是2C ,G 的3-Sylow 子群是9阶群,故有两种可能,9C 或9B (两个3阶循环群的直积).2-Sylow 子群的个数2k =2l +1,2k |18.故2k =1,3或9.3-Sylow 子群的个数3k =3l +1,3k |18,故3k =1.从而G 只能有以下三种情形:①一个2-Sylow 子群,一个3-Sylow 子群.此时G 含有不变子群2C ,又含有不变子群9C 或9B .此时,G 有两种情形,G =2C ×9C =18C ,或G =2C ×9B ,二者都是可换群.②三个2-Sylow 子群,一个3-Sylow 子群.此时G 含有三个共轭的2阶子群(2C )和一个9阶不变子群(9C 或9B ).这四个子群两两交成{e },因此这四个子群共含有12个元素,即G 中尚有6个元素不属于任何Sylow 子群.任取一个这样的元素x ,则x 的周期只能为6.令a =2x ,c =3x ,则a 的周期为3,c 的周期为2,且ac =ca .我们证明G 的唯一的3-Sylow 子群不是9C .因为假定它是9C =(b '),则因a 的周期为3,由第二Sylow 定理可知a ∈9C ,从而又可知a =3b '或a =6b '.当a =3b '时,命b =b ';当a =6b '时,命b =2b ',则9C =(b ),a =3b .设bc c 1-=i b ,则2i ≡1(mod 9),所以i =1或8.当i =1时,bc =cb ,而b 的周期9和c 的周期2互素,故bc 的周期为18,从而G 是18阶循环群,与G 含有三个共轭的2-Sylow 子群矛盾.当i =8时,ac c 1-=c b c 31-=31)(bc c -=24b =6b =2a ,但ac =ca ,即ac c 1-=a ,故有a =2a ,这与a ≠e 矛盾.故G 的唯一的3-Sylow 子群不能是9C ,从而是9B .此时a ∈9B .设a N 是a 在G 中的正规化子,由于9B 是交换群,a ∈9B ,故a N ⊇9B .由于ac =ca ,故c ∈a N ,但c 的周期是2,故c ∉9B ,因此,a N ⊃9B .由于[G :9B ]=2,故[G :a N ]=1,从而G =a N .设G 的中心为C ,则a ∈C .d ∀∈9B ,但d ∉(a ),由于9B 是交换群,而d ∈9B ,故d 在G 中的正规化子a N ⊇9B .若d N =G ,则d ∈C ,从而9B =(a )×(d )⊆C .再由[G :9B ]=2,易知G 应为交换群,矛盾.因此d N ≠G ,故d N =9B ,从而[G :d N ]=[G :9B ]=2,即d 共有两个共轭元,故G 中全部8个周期为3的元中,除a 和2a 外,其余6个周期为3的元两两共轭.设这6个元素为u ,2u ,v ,2v ,w ,2w .如果u 与v 共轭,则必有2u 与2v 共轭,这时必有w 与2w 共轭.同样,如果u 与w 共轭,则必有2u 与2w 共轭,这时必有v 与2v 共轭.因此,在u ,v ,w 中至少有一个元与自己的平方共轭.设此元是g ,则(g )是G 的子群,而且9B =(a )×(g ).g 在G 中的正规化子g N =9B .设gc c 1-=i g ,则2i ≡1(mod 3),所以i =1或 2.但当i =1时,gc =cg ,c ∈g N ,这与g N =9B 矛盾.故i =2时,即gc c 1-=2g .所以G 是由关系式3a =e ,3g =e ,2c =e ,ag =ga ,ac =ca ,gc =2cg 所决定的18阶群.为了证明这个乘法表确实是群的乘法表,命a ((1),(123)),g ((123),(1)),及c ((12),(1)),则{((1)，(123)),((123),(1)),((12),(1))}在3S ×3C 中生成的子群3S ×3C 恰好与G 同构.③九个2-Sylow 子群,一个3-Sylow 子群.此时G 含有九个共轭的2阶子群(2C )和一个9阶不变子群(9C 或9B ).设G 含有2C 和9C ,并设2C =(c ),9C =(a ).因为9C 是G 的不变子群,设ac c 1-=i a ,则2i ≡1(mod 9),所以i =1或8.但当i =1时，G 含有周期为18的元素ac ,这不可能.故i =8时,ac c 1-=8a .因而由关系9a =e ,2c =e ,ac =8ca 定义群G .为了证明这个乘法表确实是群的乘法表,命a ((1),(123)),g ((123),(1)),及c ((12),(1)),则{((1)，(123)),((123),(1)),((12),(1))}在3S ×3C 中生成的子群3S ×3C 恰好与G 同构.这样就证明了群G 的存在,G 是18阶二面体群.设G 含有2C 和9B .由于G 中含有九个共轭的2阶子群(2C )和一个9阶不变子群(9C 或9B ).而这些子群两两交成{e }，共有18个元,因而G 中只有周期为1,2及3的元素，因此不存在周期为6的元素,故周期为3的元素和周期为2的元素不能交换,因而G 的中心为C ={e }.设9B =(a )×(b ),c ∀∈G ,但c ∉9B ,因而c 的周期为 2.由于a ∈9B ,而9B 是G 的正规子群,故ac c 1-∈9B .命x =a (ac c 1-),则x ∈9B .且因9B 是交换群,有a (ac c 1-)=(ac c 1-)c ,于是xc c 1-=1-c (ac ac 1-)c =11--acc c (ac c 1-)c =ac c 1-(22ac c -)=(ac c 1-)a =a (ac c 1-)=x .因为x ∈9B ,而9B 是交换群,故x 在G 中的正规化子x N ⊇9B .由于xc c 1-=x ,故c ∈x N ,但c ∉9B ,因此x N ⊃9B ,从而x N =G ,因而x ∈C ,但c ={e },故x =e ,即ac ac 1-=e ,ac c 1-=2a .同理可得bc c 1-=2b ,故G 由关系式3a =e ,3b =e ,2c =e ,ab =ba ,ac =2ca ,bc =2cb 所确定.命a (123),b (456),c (12)(45),则{(123),(456),(12)(45)}在6S 中生成的子群与G 同构.这就证明了G 的存在性.由以上讨论可知,18阶的群,就同构的意义来讲,共有五个,其中两个是交换群,三个是非交换群.17. 决定所有20阶的群.[证] 设|G |=20,由于20=22×5,故G 的2-Sylow 子群为4阶群,存在两种可能:4C 或4B (Klein 四元群),G 的5-Sylow 子群是一个5阶循环群5C .2-Sylow 子群的个数2k =2l +1,2k |20,故2k =1或5;5-Sylow 子群的个数5k =5l +1,5k |20,故5k =1.下面分两种情形讨论:情形 1.G 含有不变子群4C 或4B ,又含有不变子群5C .此时,G 有两种情形,G =4C ×5C =20C ,或G =4B ×5C .二者都是可换群.情形2.G 含有不变子群5C 和五个共轭的4阶子群.此时又可分为两种情形: ①G 含有不变子群4C .设4C =(a ),5C =(c ).因为5C 是G 的正规子群,故可设ca a 1-=i c ,则4i ≡1(mod 5),所以i =1,2,3或4.但当i =1时,ac 的周期为20,G 为循环群,与G 含有五个共轭的2-Sylow 子群矛盾.故i =2,3或4.当i =2时,ca a 1-=2c .因而G 由关系4a =e ,5c =e ,ca =2ac 所定义.命a (1243)，c (12345),则{(1243),(12345)}在5S 中生成的子群与G 同构.这样就证明了群G 的存在性.当i =3时,ca a 1-=3c .但这时33ca a -=31)(ca a -=33c =27c =2c ,而4C =(a )=(3a ),因此同i =2时一样.当i =4时,ca a 1-=4c ,G 由关系4a =e ,5c =e ,ca =4ac 所定义.命a ((15)(24),(1234)),c ((12345),(1)),则{((15)(24),(1234)),((12345),(1))}在5S ×4C 中生成的子群G 同构,这就证明了G 的存在性.②G 含有4B .设5C =(c ),x ∀∈4B ,由于5C 是G 的正规子群,故可设cx x 1-=i c ,则2i ≡1(mod 5),所以i =1或4.我们证明4B 中必存在周期为2的元素和c 可交换.首先可以设4B 中周期为2的元素是x ,y ,xy .若x ,y 与c 不可换,则cx x 1-=4c ,cy y 1-=4c ,故)()(1xy c xy -=y cx x y )(11--=y c y 41-=41)(cy y -=16c =c ,第五章 群的进一步讨论·１６３·所以c xy )(=)(xy c .这就证明了4B 中存在周期为2的元素和c 可交换.设该元素为a ,并设a N 是a 在G 中的正规化子.因为4B 是交换群,而a ∈4B ,故a N ⊇4B .又因为ac =ca ,故c ∈a N ,但c ∉4B ,因此,a N ⊃4B .再由5=[G :4B ]=[G :a N ][a N :4B ]及[a N :4B ]>1,可知G =a N ,故a 在G 的中心C中.b ∀∈4B ,但b ∉(a ),则4B =(a )×(b ).如果cb b 1-=c ,则同样由b N ⊇4B ,及c ∈b N ,而c ∈4B ,就有b N ⊃4B ,从而b N =G ,于是有b ∈C .而已有a ∈C ,故4B =(a )×(b )⊆C .这样,4B 在G 中正规,这与G 含有五个共轭的4阶子群相矛盾.因而cb b 1-=4c .故G 由关系式2a =e ,2b =e ,5c =e ,ab =ba ,ac =ca ,cb =4bc 所定义.命a ((12),(1)),b ((1),(15)(24)),c ((1),(12345)),则{((12),(1)),((1),(15)(24)),((1),(12345))}在2C ×5S 中生成的子群与G 同构,并可知G 是一个20阶二面体群.由以上讨论可知,20阶的群,就同构的意义来讲,共有五个,其中两个是交换群,三个是非交换群.18. 设G 的阶数为q p 2,p ,q 是互异素数,证明,G 含有一个不变子群H ,且H 是Sylow 子群.[证] ①设p >q ,G 的p -Sylow 子群的个数p k =pl +1,p k |q p 2.由于(pl +1,2p )=1,故(pl +1)|q .由p >q ,知l =0,p k =1.因而G 的p -Sylow 子群是不变子群.②设p <q ,G 的q -Sylow 子群的个数q k =ql +1,q k |q p 2.由于(ql +1,q )=1,故(ql +1)|2p .如果l =0,则q k =1,G 的q -Sylow 子群是不变子群.如果l ≠0,由于p <q ,故p <ql +1≤2p .由于p 是素数,(ql +1)|2p ,故ql +1=2p ,ql =2p -1=(p +1)(p -1).2p -1中的任意素因子不大于p +1,故2p -1中不大于p +1的素因子的唯一可能是p +1,因而q =p +1.但由于p ,q 都是素数,故第五章 群的进一步讨论·１６４· p =2,q =3.G 为12阶群.如果3-Sylow 子群在G 中不正规,则3-Sylow 子群的个数3k =3l +1=4,则G 含有四个共轭的3阶循环群.显然这四个3阶循环群两两交成{e },故G 中至少有8个周期为3的元素.这些元素当然不能属于2-Sylow 子群.但G 必含有4阶的2-Sylow 子群,故另外4个元素组成唯一的2-Sylow 子群,是G 的不变子群.综上所述,G 的Sylow 子群中,必有一个是G 的不变子群.19. 证明阶数是200的群必含有不变子群H ,且H 是Sylow 子群.[证] 设|G |=200,G 的5-Sylow 子群的个数5k =5l +1,5k |200.由于200=8×25,且(5l +1,25)=1,故(5l +1)|8,由此可得l =0,5k =1,G 的5-Sylow 子群是G 的不变子群.20. 设G 是一个群,a ∈G ,a ≠e ,证明,G 中存在不含a 的极大子群M .即M 具有性质:1)M 是G 的不含a 的子群,2)1M 是G 的子群,1M ⊃M ,则a ∈1M .[证] 命S ={K |K 是G 的子群,a ∉K }.由于{e }∈S ,故S 非空.其次,S 关于包含关系“⊆”作成一个偏序集.易知S 中任一有序子集T ={αK |α∈J }的并JK ∈αα仍在S 中.故由Zorn 引理知,S 含有极大元M ,M 就是G 中不含a 的极大子群.21. 设H 是G 的子群,S 是G 的子集,且H ∩S =D .证明,存在G 的极大子群M ,M 含有H ,且与S 的交为D .[证] 命∑={K |K 是G 的子群,K ⊇H ,K ∩S =D }.因为H ∈∑,故∑非空.并且∑关于包含关系“⊆”作成一个偏序集.设T ={αK |α∈J }是∑中任一有序子集,易知 J K ∈αα是G 的子群,且 JK ∈αα⊇H ,再由( J K ∈αα)∩S = J S K ∈αα)(=D ,可知 J K ∈αα∈∑.故由Zorn 引理知,∑含有极大元M ,M 即为所求的极大子群.22. 设R 是一个环,a ∈R ,a ≠0,证明,R 中存在不含a 的极大理想I .[证] 命S ={K |K 是R 的子环,a ∉K }.因{0}∈S ,故S 非空.又S 关于包含关系“⊆”作成一个偏序集.易知S 中任一有序子集T ={αK |α∈J }的并JK ∈αα仍在S 中.由Zorn 引理知,S 含有极大理想I ,I 就是R 中不含a 的极大理想.。
九年级上册 第五单元 口语交际 讨论 教学设计
第五单元口语交际讨论教学目标1.了解讨论的意义和作用。
2.掌握讨论的特点与规则3.学习并运用常见的讨论方法。
教学重点1.掌握讨论的含义与原则。
2.掌握在讨论过程中应遵守的具体的规则。
3.结合所学，完成“口语实践”活动。
教学难点1.掌握讨论的含义，并与辩论、争论、评论相区分。
2.掌握在讨论过程中应遵守的具体的规则。
教学过程新课导在生活和学习中，我们经常会就某些问题与他人进行讨论，以表达意见，寻求共识或解决问题。
那么，讨论要注意哪些问题，遵守哪些规则呢？新知探究一、探究讨论原则【活动内容】1.以小组为单位进行交流，说说什么是讨论，讨论应当遵循哪些规则。
教师出示三则材料，引导学生区分讨论与辩论、争论、评论的不同，以此引领学生思考讨论的特点。
3.在讨论的过程中，需要遵循哪些具体的规则？【设计意图】引导学生区分讨论与辩论、争论、评论的不同，明确讨论的特点，掌握讨论的基本原则与具体规则。
二、口语实践【活动内容】1.教师出示课件，引导学生结合课上所学，评价四位学生在讨论过程中的表现，并与同学合作完成这一实践活动。
2.教师出示课件，引导学生从给出的两个问题中选择一个，以小组为单位进行讨论，在讨论结束后，还要整理出讨论报告，在班级内展示。
问题1：怎样才算是“有教养”？如何做一个有教养的人？问题2：中学生上学应不应该带手机？为什么？【设计意图】检验所学内容，通过口语实践活动将所学知识转化为能力，提高学生参与讨论的兴趣。
课堂小结本节课，我们明确了讨论的基本要求，掌握了讨论的基本规则，并通过一系列的口语实践，对讨论有了深入的了解。
讨论是多向表达，所以，我们在讨论问题时，要做到有中心、有条理、有根据，这样才会让讨论更加精彩和有效！。
高中生物2019新教材选择性必修一第五章旁栏问题及课后练习答案
第 5 章植物激素调节第 1 节植物生长素(一)问题探讨1.弯向窗外生长。
2.是较长时间的单侧光刺激引起植株弯向窗外有阳光处生长。
这样,可以使植株获得更多阳光,从而可以通过光合作用合成更多的有机物,满足自身生长发育的需要。
3.植株的弯曲生长发生在幼嫩部位。
(二)旁栏思考题 1提示分别遮盖胚芽鞘尖端和它下面一段,是采用排除法,观察某一部分不受单側光刺激时系统的反应,从而确定是哪一部分在起作用。
胚芽鞘弯曲生长的是顶端下面的一段,感受光刺激的是顶端。
这说明,是胚芽鞘顶端接受单侧光照射后,产生某种刺激传递到下面,引起下面弯曲生长。
(三)旁栏思考题 2提示因为该影响(生长素)在向光一侧和背光一侧(浓度分布)存在差异,因而引起两侧的生长不均匀。
(四)旁栏思考题 3提示没有。
他是在对实验结果进行严密分析的基础上作出这样推断的。
要得出这样的结论,既需要以事实为依据进行严密的逻辑推理,还需要一定的想象力(五)思考・讨论植物激素与动物激素的异同1.提示二者都是调节生命活动的化学物质,都能从产生部位运输到作用部位发挥作用且都具有微量、高效的特点。
2.提示二者的主要区别如下页表格所示。
（略）(六)旁栏思考题 4提示生长素在细胞水平上发挥作用是在器官水平上发挥作用的基础。
(七)思考・讨论植物生长素的作用特点1.“促进”或“抑制”,是相对于生长素处于最低浓度时各器官的生长速度而言, 当生长素浓度过高而“抑制”生长时,器官表现为生长速度减慢,甚至生长停滞。
2.一般表现为较低的浓度促进生长,浓度过高则抑制生长。
3.对于不同的器官来说,生长素促进生长的最适浓度不同。
（八）思维训练1.提示不严密,没有考虑将胚芽鞘倒过来放置时的情况2.提示结论2不严谨。
没有实验证明生长素不能从形态学下端运输到形态学上端。
3.提示应该增加一组胚芽鞘形态学上端朝下的实验,以研究生长素能不能从形态学下端输到形态学上端。
(九)练习与应用概念检测1.(1)(V);(2)(V);(3)(x)。
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第五章讨论题点评
1、社会主义制度的建立并不意味着我国的社会主义建设可以一帆风顺地进行。
从1956到1976年，二十年的探索过程中我们遭受到了严重的挫折。
为帮助大家回顾那段历史，推荐大家读一读余华的小说《活着》。
根据这部小说改编的电视剧《福贵》第18-19集（见课件资源）较为生动地再现了我国上世纪五六十年代大办人民公社、大炼钢铁的场景。
在了解历史的基础上，谈谈你对我国社会主义建立初期的这段艰辛探索历程的认知吧，并试对其中的历史经验教训进行反思和总结。
注意：本题可参考教材第五章第一节的分析。
提示：
一方面，总的来看，建国初期我国的社会主义过渡及社会主义建设均出现了较严重的失误和偏差，这主要是因为：当时党对我国社会主义发展阶段的问题还没有来得及形成科学的理论，对什么是社会主义还没有搞清楚；党内普遍存在左倾冒进主义的情绪，急于在较短时间内就建成社会主义。
另一方面，我们也需要承认，这一时期我党的理论与实践探索也取得了一些积极的成果。
（1）从理论探索方面看，中共第一代领导集体在探索中国自己的社会主义建设道路方面取得了一些积极思想成果。
如毛泽东提出了“以苏为鉴”、正确处理“十大关系”以及社会矛盾、“三个世界”理论等方面的思想；刘少奇提出用经济办法管理经济、在农业中实行生产责任制；陈云提出了“三个主体，三个补充”的思想等等。
（2）从实践发展进程看，尽管党在社会主义建设的探索过程中犯过包括“大跃进”、“文化大革命”等严重的错误，遭受了重大挫折，但我们不能因
此而简单否定“文革”前几十年的历史，这段时期我国的社会主义建设取得了一定的成就。
从大家的回复看，同学们均有自己的见解。
2、对照传统的社会主义观，邓小平关于社会主义本质的理论描述有何创新之处？
基本分析思路：（1）了解马克思、恩格斯的经典社会主义（前提：高度发达的生产力。
经济基础：生产资料公有制；按劳分配；计划管理；产品经济
上层建筑：自由人联合体的自觉管理；精神文明的高度发展。
目的：实现人的自由和全面的发展），把握毛泽东的传统社会主义（社会主义有三大经济特征：公有制、按劳分配、计划经济），理解邓小平“本质论”中的社会主义。
（2）进行比较：马克思、恩格斯从基本特征方面回答“什么是社会主义”。
毛泽东对社会主义的认识是多种观念的混合：
①马克思主义理论关于社会主义的规定性
②以苏联社会主义模式和经验为参照系
③中国传统文化中关于大同世界的设想
毛泽东对社会主义的认识来源主要有两个：理论上，主要来源于马克思、恩格斯、列宁、斯大林等人的著作；就实践模式而言，则是苏联模式，尤其是1936年斯大林宣布建成社会主义社会以后，毛泽东对社会主义的认识基本上就是以苏联模式为蓝本。
邓小平关于社会主义本质理论的创新：①生产力方面：根本任务—“解放生产力，发展生产力”（生产力目标）从生产力角度界定了社会主义本质。
②生产关系方面：根本要求（基本原则）—消灭剥削，消除两极分化（价值目标）从生产关系角度界定了社会主义本质。
③根本目的方面：根本目标—“最终达到共同富裕”（共同富裕是社会主义终极的价值取向和奋斗目标）（价值目标），
是人民利益方面的目标。
④社会主义本质体现了发展生产力与完善生产关系的辩证统一。
邓小平关于社会主义本质的理论，一方面它突出了解放和发展生产力在社会主义本质中的基础地位；另一方面阐明了社会主义生产关系的本质内容，体现了从生产力和生产关系相统一的角度认识社会主义。
（3）加深理解，综合分析，得出结论：
邓小平对社会主义本质所作的理论概括，既体现了对老祖宗的“没有丢”和“不能丢”，又在总结实践经验和时代发展基础上讲出了一番具有科学根据的新话。
社会主义本质的核心是公有制。
社会主义本质与社会主义特征是两个不同深度、不同层面的概念。
社会主义特征是社会主义社会的外部表征；而社会主义本质则是社会主义社会的质的规定性，是高于社会主义特征的概念。
社会主义本质论的贡献：在坚持科学社会主义成果的基础上，把我们对社会主义的认识提高到了新的科学水平:（1）突破“社会主义贫穷”论，（2）突破“一大二公”论。
（3）突破“平均分配”论。
（4）突破“单一计划经济”论。
结论：邓小平关于社会主义本质的概括体现了坚持马克思主义与发展马克思主义的有机统一。
从同学们的回帖情况看，绝大多数同学能认真研读教材和相关资源，但在审题方面需要加强。
3、邓小平指出：发展才是硬道理。
江泽民指出：发展是党执政兴国的第一要务，中国共产党必须始终代表中国先进生产力的发展要求。
胡锦涛则强调：发展必须是以人为本、全面协调可持续的发展。
试结合对上述观点的理解谈谈你对发展的认识。
提示：在上述观点中，邓小平和江泽民的观点实际上是在强调发展对我国和执政党的重大意义；而胡锦涛的观点则侧重于关注发展的科学内涵以及方式。
与此相适应，大家的论述也应从三个层次进行：（1）发展的科学内涵；（2）发展的重要性和必要性；（3）联系我国实际谈如何发展。
从大家的回复看，绝大多数同学们对教材把握得较好，有自己的理解。
但需要加强概括能力。