哈工大2013数值分析试卷
哈尔滨工业大学2013秋数值分析试题及答案
xi
f xi
-1 1
0 0
2 16
-1 , 2 1）试求 f ( x) 在 上的 Hermite 插值多项式 H ( x) ,使之满足下列条件：
H ( xi ) f ( xi ), i 0,1, 2
，
H ( x1 ) 0
R( x) f ( x) H ( x ) f ( 4 )( ) ( x 1) x 2 ( x 2) 4! ，
（1）求出该格式的局部截断误差首项和首项系数； （2）分析该格式的收敛性； （3）讨论该格式的绝对稳定性，指出绝对稳定区间。
Cr
（在局部截断误差中 （参考定理： 设
p p 1 r r 1 1 [ (i) ai r (i) bi ] , r 2,3, r! i 0 i 1
(1) 0, (0) 0, (2) 0, '(0) 0, ( x) 0
故 (t ) 有 5 个零点， (4) (t ) 至少有一个零点 ：
(4) ( ) f (4) ( ) 4!k ( x) 0
所以 k ( x)
f (4) ( ) ，余项表达式为 4!
0.15625 0.15625 x0 [1.6,1.2] ， H 0 F '[ x 0 ]1 0.208333 0.208333
x1 [1.58125,1.225] y 0 [0.000976562, 0.120273] r 0 [0.01875, 0.025] 0.154345 0.154345 H1 0.206428 0.210238 x 2 [1.58114,1.22474] y1 [0.000977866, 0.000291477] r1 [0.000108524, 0.000259077] 0.150145 0.150145 H2 0.202228 0.214438
哈工大数值分析上机实验报告 2013年
实验报告一题目：Gauss列主元消去法摘要：求解线性方程组的方法很多，主要分为直接法和间接法。
本实验运用直接法的Guass消去法,并采用选主元的方法对方程组进行求解。
前言：（目的和意义）1.学习Gauss消去法的原理。
2.了解列主元的意义。
3.确定什么时候系数阵要选主元数学原理：由于一般线性方程在使用Gauss 消去法求解时，从求解的过程中可以看到，若)1(-k kk a =0，则必须进行行交换，才能使消去过程进行下去。
有的时候即使≠-)1(k kk a 0，但是其绝对值非常小，由于机器舍入误差的影响，消去过程也会出现不稳定得现象，导致结果不正确。
因此有必要进行列主元技术，以最大可能的消除这种现象。
这一技术要寻找行r ，使得)1()1(max ||->-=k ik ki k rk a a 并将第r 行和第k 行的元素进行交换，以使得当前的)1(-k kk a 的数值比0要大的多。
这种列主元的消去法的主要步骤如下：1. 消元过程对k =1,2,…,n -1,进行如下步骤。
1) 选主元，记ik ki rk a a >=max || 若||rk a 很小，这说明方程的系数矩阵严重病态，给出警告，提示结果可能不对。
2) 交换增广阵A 的r ，k 两行的元素。
kj rj a a ↔ (j=k,…,n +1)3) 计算消元kk kj ik ij ij a a a a a /-= (i=k+1,…,n ; j =k +1,……,n +1)2. 回代过程对k = n , n -1,…,1,进行如下计算)/(11,∑-=+-=nk j kk j kj n k k a x a a x至此，完成了整个方程组的求解。
程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。
Gauss消去法源程序：cleara=input('输入系数阵：>>\n')b=input('输入列阵b：>>\n')n=length(b);A=[a b]x=zeros(n,1);%%%函数主体for k=1:n-1;%%%是否进行主元选取if abs(A(k,k))<yipusilong;%事先给定的认为有必要选主元的小数yzhuyuan=1;else yzhuyuan=0;endif yzhuyuan;%%%%选主元t=A(k,k);for r=k+1:n;if abs(A(r,k))>abs(t)p=r;else p=k;endend%%%交换元素if p~=k;for q=k:n+1;A(k,q)=A(p,q);A(p,q)=s;endendend%%%判断系数矩阵是否奇异或病态非常严重if abs(A(k,k))< yipusilongdisp(‘矩阵奇异，解可能不正确’)end%%%%计算消元,得三角阵for r=k+1:n;m=A(r,k)/A(k,k);for q=k:n+1;A(r,q)=A(r,q)-A(k,q)*m;endendend%%%%求解xx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for k=n-1:-1:1;s=0;for r=k+1:n;s=s+A(k,r)*x(r);endt=(A(k,n+1)-s)x(k)=(A(k,n+1)-s)/A(k,k)end结果分析和讨论：例：求解方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321643.5072.12-623.4712.31-32108-z y x 。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析考试题
山东科技大学2008-2009学年第一学期《数值分析》考试一、设x =9.1234, y =10.486均具有5位有效数字。
试分析x - y和x3 y啲绝对误差限和相对误差限。
二、求一条拟合3点A(0,1), B(1,3),C(2,2)的直线。
三、设n _ 2为正整数，c为正数，记x*二n.c1) 说明不能用下面的迭代格式1 _nx k 1 = cx k ,k =Q1,2：= = " =求x*的近似值。
2) 构造一个可以求x*的迭代格式，证明所构造迭代格式的收敛性，并指出收敛阶数四、给定线性方程组_4 -1 0卩1 一2〕-1 a 1 x2 = 64」］X3」：2J】0 1其中a为非零常数。
1) 写出Jacobi迭代格式与Gauss-Seidel迭代格式并分析其收敛性。
2) 分析a在什么范围取值时以上迭代格式收敛。
五、做一个5次多项式H (x)使得H(1) =3,H (2) = —1, H(4) =3,H'(1) =2, H'(2) =1, H *(2) =2,六、求f (x) =x2在区间0,1上的一次最佳一致逼近多项式。
七、给定积分公式:1f(x)d x ：Af (-1) Bf (0) f (1)■ -41) 试确定求积系数A,B,C，使其具有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。
2) 试判断该求积公式是否为高斯型求积公式，并说明理由。
3) ................................................................................................ 将区间-1,作n等分，并记h=2,X j =-1 ih,i =0,1,............................................................ ，n,利用该求积公式n 构造一个复化求积公式。
数值分析报告试卷及问题详解
模拟试卷（一）—、填空题（每小题3分，共30分）1•有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.■ 1 5 -2' ，2 .设A = -2 1 0 / x =-4_ 1 -4 2. 12 > ，则⑷J—,同广14 is 913 •已知尸心）的均差（差商）/[如,％]“] = —, f[x x yX] = — , f[x,x^x\ =—,8/ [x o,x2,x3 ] = —#那么均差 / [x4,X2^Y3]=4.已知n=4时Newton - Cotes求积公式的系数分别是：C計=[,C；“ =^,C列=丄,7 \J 1 J 1 J则C『）二5・解初始值问题＜y = f（X，y）的改进的Euler方法是.）心0）=儿阶方法；6.求解线性代数方程组＜5%| - 3X2-0.1X3 = 3-2x, + 6X2+ 0.7® = 2的高斯一S德尔迭代公式为Xj +2X2+3.5X3 = 1若取捫＞=（1,71）,则利）=7•求方程x = f（x）根的牛顿迭代格式是 ____________ .8. f0（A）, £（x）,…,仁（X）是以整数点兀），西,…,俎，为节点的Lagrange插值基函数,则1＞0（忑）= ___________ •1-010・设/（・1） = 1J（O） = OJ（1） = 1J（2） = 5 ,则/（X）的三次牛顿插值多项式为 __________________ ，其误差估计式为______________________ .二.综合题（每题10分，共60分）1 .求一次数不超过4次的多项式“(X)满足："⑴=15 , "(1) = 20 , /「(1) = 30 p(2) = 57 , p‘⑵= 72.其代数精度.3 .用Newton法求方程x-Inx = 2在区间(2,s)的根要求忙 #I <10-8. 1^14・用最小二乘法求形如y = a + hx2的经验公式拟合以下数据：5・用矩阵的直接三角分解法解方程组y f = f(\ y)6试用数值积分法建立求解初值问题•小、丿的如下数值求解公式卜(0)=儿儿+1 = y»-i + - (£+1 + 4人 + A-i)，其中ft = /(兀,X), i = n-1,”，n + \.三.证明题(10分)设对任意的;V ,函数/(X)的导数广w都存在且0v/S广(QSM,对于满足2OvQv三的彳壬意几，迭代格式仏严九一兄/(忑)均收敛于/(%) = 0的根x・参考答案—s填空题1.5;2. & 9;3. — ;4. 一 ; 5•二;1545尤严)=(3 + 3 时)+o.lxf )/5 6. < 垮刖=(2 + 2屮初 _0.7歧))/6 ,(0.02,0.22,0.1543)£Z=(l — x ；Z —2x ；z)*2/7 • ■7・汕=入 _；二：］8-厂；° 以3) vl;10. —.V + x" —x, f (f)(x + 1)X (A * — l)(x — 2)/ 24 c s (—1,2) 6 6二综合题1・差商表：p{x) = 15 + 20(x -1) +15(x -1)2 + 7(x -1)' + (x - l)3(x - 2) = 5 + 4x + 3x 2 +2x 3+x其他方法：设 p(x) = 15 + 20(x 一 1) +15(x -1)2 + 7(x 一 1尸 + (x -1)3 (ax+b) 令 “(2) = 57 r⑵=72 ,求出 a 和b.2・取f(x) = 1, x ,令公式准确成立，得：2809I寸Eomom寸COMN CM"61II -二比三Eds H e•寸心Ix 三Ix H(X)J®Y寸・0)叵凶股皿眉•巾卑◎—€□((s 叵凶田ss H m ・m.^n s s gs ...寸r I S寸"H -WPQ 石 X H (X)： iH p -W ^gH<+<1・ I H<+<-0-£3启孑刃咲&讯篠世迎ffl®議・s•§38.O H ^・zzr,肖6・0口9去监s §s .o「991寸In -11解下三角方程组;有” =5 ,匕=3 ,1 >'23 2 1 V3171 0 17解初值问题等价于如下形式y （x ）=y （兀1）+匸几不）'，取 Y =耳+i ，有 y(©+i ) = yCji)+「z fa 、y(x)\ix f 利用辛卜森求积公式可得儿+严畑+ g （/；1+1 + 4/；_ + /；,_.）.三.证明题 证明 将 f(x) = 0 写成 x = x-/Lf(x) =(p(x) t 由于 ^(x) = [x-2/(x)r = l-2/r (x),所以 10(力曰1 一/lf(x)lvl 所以迭代格式札| =忑- A fM 均收敛于/(x) = 0的根F ・模拟试卷（二）一.填空题（每小题3分，共30分）1 .分别用2.718281和2.718282作数〔的近似值，则具有效位数分别有 _______ 位和再解上三角方程组得原方程组的解为“ 10 2 0'丁1 0 1 v 23 2 1兀362. 兰4.4=1 t = 1 t X3 =2 t X4 = 2 ・10 -2"2 .设4 =1 1 0 ■ x = 33-821>?3 =6，>4 =4・位；3•对于方程组Jacobi迭代法的迭代矩阵是G,=〔10刁-4七=3 J4.设f(jv) = H+x_l，则差商/[0,1,2,3]= _______________ , /[0, 1, 2, 3,4]= _________ •1 25・已知A=() ] f贝ij条件数Co认(A) ______________ ・6.为使两点的数值求积公式[f(x)dx = f(x0) + /(x,)具有最高的代数精确度,则具求积基点应为X。
数值分析考试卷及详细答案解答
数值分析考试卷及详细答案解答姓名班级学号⼀、选择题1.()2534F,,,-表⽰多少个机器数(C ).A 64B 129C 257D 2562. 以下误差公式不正确的是( D)A ．()()()1212x *x *x *x *εεε-≈+B ．()()()1212x *x *x *x *εεε+≈+C ．()()()122112x *x *x *x *x x *εεε?≈+ D ．()()()1212x */x *x *x *εεε≈-3. 设)61a =, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪⼀个在数值计算上将给出a 较好的近似值？(D )A6)12(1+ B 27099- C 3)223(- D3)223(1+4. ⼀个30阶线性⽅程组, 若⽤Crammer 法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )A 31×29×30!B 30×30×30!C 31×30×31!D 31×29×29!5. ⽤⼀把有毫⽶的刻度的⽶尺来测量桌⼦的长度, 读出的长度1235mm, 桌⼦的精确长度记为（ D ）A 1235mmB 1235-0.5mmC 1235+0.5mmD 1235±0.5mm⼆、填空1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。
2.⼗进制123.3转换成⼆进制为1111011.01001。
3.⼆进制110010.1001转换成⼗进制为 50.5625 。
4. ⼆进制0101.转换成⼗进制为57。
5.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限 5% 。
6. ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是 0.693 。
7.31415926x .π==，则131416*x .=，23141*x .=的有效数位分别为5 和3 。
8.设200108030x*.,y*.==-是由精确值x y 和经四舍五⼊得到的近似值，则x*y*+的误差限 0.55×10-3 。
哈尔滨工程大学试卷2013级《高等数学下》期末试题
1{1,1,13n =(1,2,3)|u n ∂=∂ (,)z x y =在(1,1,1)处的全22(Lxy x y ++⎰(C) ), 且n ∞=∑收敛, 则级数n ∑绝对收敛 (B) (D) 32)x +展成3. 计算曲线积分222(esin )d (2e )d y y Lx x x y xy y ++++⎰, 其中L 为沿抛物线21y x =+从点(0,1)A 到点(1,0)B -的一段.4. 求微分方程sin y y x ''+=的通解.3. 求幂级数11(1)n n x n n +∞=+∑的收敛域及和函数.''∑∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2223()d 1d d x y z v x y 'Ω∑=++-⎰⎰⎰⎰⎰ ................................................2分214203d d sin d 1d d Dr r x y ππθϕϕ=+⎰⎰⎰⎰⎰ .............................................3分115π=.............................................................................................1分 2. 解答：（1）将()f x 进行周期为2的周期延拓得()F x ，则101(1)d 2a x x -=-=⎰ ................................................................................1分11(1)cos d 0n a x n x x π-=-=⎰ ....................................................................1分11(1)sin d n b x n x x π-=-⎰12dcos x n x n ππ=⎰110022cos cos d x n x n x x n n ππππ=-⎰2(1)n n π-= ......................................2分 由于()F x 在1x =±处均不连续，故12(1)()1sin nk f x n x n ππ∞=-=+∑(11)x -<< ....................................2分（2）(10)(10)02(2013)(1)122F F S S -+++====. .............................................2分 3. 解答：收敛半径(1)(2)lim 1(1)n n n R n n →∞++==+，级数11(1)n n x n n +∞=+∑在1±=x 处收敛，故幂级数的收敛域为[1,1]-。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。