第六章 方差分析与正交试验设计(4)1

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水平试验， 这是一个 5 因素 2 水平试验，应选用正交表 L (2 ) 。表 头设计、试验结果见下表。 头设计、试验结果见下表。现用方差分析法检验各因 素对试验结果的影响是否显著。 素对试验结果的影响是否显著。
因素 列号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8
A 1 1 1 1 1 2 2 2 2
S e = S e / f e = 703.13
S A× B = S 3 / f 3 = 78.13 / 1 = 78.13 < S e
S D = S 7 / f 7 = 78.13 / 1 = 78.13 < S e
故将 S A×B , S D 并入误差平方和 S e 中，得
S e = S e + S A× B + S D = 703.13 + 78.13 + 78.13 = 859.39
应的自由度
f j 与 f e 合并作为 S e ∆ 的自由度 f e ∆ ， 然后再构
造检验统计量
Fj =
∆ ∆
∆
Sj / fj Se / fe
∆ ∆
~ F( f j , fe )
∆
若 Fj ≥ Fα ( f j , f e ) ，则认为该列安排的因素对试验结果影 响显著。否则，认为影响不显著。 响显著。否则，认为影响不显著。
检验第 j 列因素对试验结果是否有显著影响的统 计量是
Fj = Sj Se ~ F( f j , fe )
其中
S j = S j / f j , Se = Se / fe
对于给定的显著性水平 α ，若由样本观察值计算 出的 F j ≥ Fα ( f j , f e ) ，则认为该列安排的因素对试验结果 影响显著。否则，认为影响不显著。 影响显著。否则，认为影响不显著。
正交试验 试验设计 §6.4 正交试验设计 的方差分析
前面介绍了对正交试验的结果进行直观分析的 方法，其优点是简单、直观、计算量较小， 方法，其优点是简单、直观、计算量较小，便于普及 和推广， 和推广，对于生产实际中的一般问题用直观分析法能 够得到很好地解决。 但 够得到很好地解决。 直观分析法不能估计试验过程 中以及试验结果测定中必然存在的误差大小， 因而不 中以及试验结果测定中必然存在的误差大小， 能真正区分某因素各水平所对应的试验结果的差异 究竟是由于水平的改变所引起的， 还是由于试验误差 究竟是由于水平的改变所引起的， 所引起的。 所引起的。
n n n
其中
n 1 n y = ∑ yi , T = ∑ yi n i =1 i =1
记
S j = t ∑ ( K ij − y ) 2 = t ∑ K ij
i =1 i =1 r r 2
1 1 r T2 2 − ∑ y i = ∑ K ij − n i =1 t i =1 n
通过前面的分析可以看出， 设计试验时若正交表上 通过前面的分析可以看出， 没有空白列，一般不能做方差分析。 没有空白列，一般不能做方差分析。为了做方差分析 通常是把因素的偏差平方和明显偏小的列作为误差列 来处理，或是取较大的正交表做试验， 来处理，或是取较大的正交表做试验，但这要增加试 验次数，因此在实际问题中应视具体情况采用相应的 验次数， 数据分析方法。 数据分析方法。
∆
相应的自由度也并入 f e 中，得
f e = f e + f A× B + f D = 1 + 1 + 1 = 3
∆按Βιβλιοθήκη 4 中类似地算出各列的 F 值，分别是
S1 / f1 22578.13 / 1 = ∆ = = 78.82 > F0.01 (1,3) = 34.12 ∆ 859.39 / 3 Se / f e
苯酚合成工艺条件试验。 例 4 苯酚合成工艺条件试验。某化工厂为提高苯酚的 个水平作试验， 产率选了合成工艺条件中的 5 个因素 2 个水平作试验， 数据列于下表中。 数据列于下表中。
因素 水平 1 2 B C D E A 反应时间（ 反应温 反应时间（分） 压力 催化剂种类 NaOH 用 度（℃） （Pa） ） 量（L） ） 300 20 200 甲 80 320 30 250 乙 100
S T = 67.34
K2 j
Rj
Sj
42.78 18.30 0.91
列为空白列， 由于第 3 列、第 7 列为空白列，其方差 S 3 , S 7 是由随机 误差引起的， 误差引起的，因此
S e = S 3 + S 7 = 0.91 + 0.03 = 0.94
fe = f3 + f7 = 1 + 1 = 2
= fA × fB 。
正交表上空白列的偏差平方和不是由任何因素 引起的，因此应是误差引起的。 引起的，因此应是误差引起的。故误差平方和 S e 为 所有空白列的偏差平方和之和。 所有空白列的偏差平方和之和。
S e 的自由度为
f e = f T − 各因素 包括交互作用） 各因素（包括交互作用）的自由度之和 （
n
2
称为第 列因素的偏差平方和， 称为第 j 列因素的偏差平方和，若因素 A 安排 列上， 在第 j 列上，也记 S A = S j 。可以证明
ST = ∑ S j
j =1 m
且 S T 与 S j 的自由度分别为 f T
= n − 1, f j = r − 1 ， A×B ×
交
互作用列偏差平方和 S AB 的自由度 f A×B
S e = S e / f e = 0.94 / 2 = 0.47
又由于
S D = S 5 / f 5 = 0.06 / 1 = 0.06 < S e
故将 S D 并入误差平方和 S e 中，得
S e = S e + S D = 0.94 + 0.06 = 1.00
∆
相应的自由度也并入 f e 中，得
Ln (r m ) 安排试验， 安排试验， 若用正交表 且每列同水平的试
验次数为 t ， 总试验次数为 n ， 试验结果为 y1 , y 2 ,L, y n ， 试验结果的总偏差平方和记为 试验结果的总偏差平方和记为 总偏差平方和
T2 S T = ∑ ( y i − y ) 2 = ∑ y i2 − ny 2 = ∑ y i2 − n i =1 i =1 i =1
在实际应用中， 在实际应用中，一般先计算出各列的 S ，若 S j ≤ S e ，
j
列影响不显著， 就认为第 j 列影响不显著，并把 S j 当做误差平方和与 S e 合并；若有几列都是如此， 合并；若有几列都是如此，则把这些列的 S j 加起来当做
S e 合并在一起作为新的误差平方和 S e ∆ ， 误差平方和与 相
因此，直观分析法得到的结论不够精确。而且， 因此，直观分析法得到的结论不够精确。而且， 对影响试验结果的各因素的重要程度， 不能给出精确 对影响试验结果的各因素的重要程度， 的数量估计，也不能提供一个标准来考察、 的数量估计，也不能提供一个标准来考察、判断因素 对试验结果的影响是否显著。 对试验结果的影响是否显著。 下面介绍的方差分析法能够弥补这些不足。 下面介绍的方差分析法能够弥补这些不足。 方差分析法能够弥补这些不足
∆
故因素 A、B 对试验结果的影响是高度显著的，而因 、 对试验结果的影响是高度显著的， 对试验结果的影响是显著的。 素 E 对试验结果的影响是显著的。因素 C、D 对试验 、 结果无显著影响。 结果无显著影响。
例 5 对例 3 花莱留种培育问题的正交试验结果作方差 分析。 分析。下表给出例 3 中的表头及经上述公式计算的各 列的偏差平方和。 列的偏差平方和。
FA
∆
FB
∆
S2 / f 2 17578.13 / 1 = ∆ = = 61.36 > F0.01 (1,3) = 34.12 ∆ 859.39 / 3 Se / f e
FC
∆
S4 / f 4 1953.13 / 1 = ∆ = = 6.82 < F0.05 (1,3) = 10.13 ∆ 859.39 / 3 Se / f e
因素 列号
Sj
A 1
B 2
A×B 3
78.13
C 4
A×C 5
6
D 7
产 量
22578.13 17578.13
1953.13 3828.13 703.13 78.13
列为空白列， 是由随机误差引起的， 由于第 6 列为空白列，其方差 S6 是由随机误差引起的， 因此 又由于
S e = S 6 = 703.13, fe = 1
∆
FA×C
S5 / f 5 3828.13 / 1 = ∆ = = 13.36 > F0.05 (1,3) = 10.13 ∆ 859.39 / 3 Se / f e
故因素 A、B 对试验结果的影响是高度显著的，而交互 、 对试验结果的影响是高度显著的， 作用 A×C 对试验结果的影响是显著的。因素 C、D 和 × 对试验结果的影响是显著的。 、 交互作用 A×B 对试验结果无显著影响。 × 对试验结果无显著影响。
FC
FE
∆
S4 / f 4 1.20 / 1 = ∆ = = 3.60 < F0.05 (1,3) = 10.13 ∆ 1.00 / 3 Se / f e
S6 / f 6 4.06 / 1 = ∆ = = 12.18 > F0.05 (1,3) = 10.13 ∆ 1.00 / 3 Se / f e
B 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 1 1
C 4 1 2 1 2 1 2 1 2
D 5 1 2 1 2 2 1 2 1
E 6 1 2 2 1 1 2 2 1 7 1 2 2 1 2 1 1 2