2019年高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段自我小测

2019年高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比
例线段自我小测
自我小测
1．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC 交于点E，则( )
A．CE·CB＝AD·DB
B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2
D．CE·EB＝CD2
2．如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE ＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( ) A．①② B．③④
C．①②③ D．①②④
3．如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB，PCD分别为这两圆的割线，若PA＝3，PB＝6，PC＝2，则PD等于( ) A．4 B．8 C．9 D．12
4．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，PA＝7，在劣弧上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，则△PDE的周长是( )A B
A．7 B．10 C．14 D．28
5．如图，两个等圆⊙O和⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，则∠AOB等于( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
6．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.
7．过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝__________.
8．如图，⊙O中的弦CD与直径AB相交于点E，M为AB延长线上一点，MD为⊙O的切线，D为切点，若AE＝2，DE＝4，CE＝3，DM＝4，求OB和MB的长．
9．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O 相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
(1)BE＝EC；
(2)AD·DE＝2PB2.
10．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径作圆，在AB上截取AE＝AD，其中AD为⊙O的切线，过E作AB的垂线交AC的延长线于F，求证：＝.
参考答案
1．解析：由切割线定理得，CD2＝CE·CB，
又在Rt△CAB中，△ACD∽△CBD，
∴CD2＝AD·DB，∴CE·CB＝AD·DB.
答案：A
2．解析：由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠DBC.
∴∠FBD＝∠CBD，即BD平分∠CBF，∴①正确；
由切割线定理知，∴②正确；
由相交弦定理知，AE·ED＝BE·EC，∴③不正确；
∵△ABF∽△BDF，∴＝.
∴AF·BD＝AB·BF，∴④正确．故选D.
答案：D
3．解析：PT2＝PA·PB＝PC·PD，
则PD＝＝＝9.
答案：C
4．解析：∵DA，DC为⊙O的切线，
∴DA＝DC.同理EB＝EC.
∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝(PD＋DC)＋(PE＋CE)＝(PD＋DA)＋(PE＋EB)＝PA＋PB＝7＋7＝14.
答案：C
5．解析：如图，连接OO′，O′A.
∵OA为⊙O′的切线，∴∠OAO′＝90°.
又∵⊙O与⊙O′为等圆且外切，∴OO′＝2O′A.
∴sin∠AOO′＝＝，
∴∠AOO′＝30°.
又由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60°.
答案：B
6．解析：由题意知PA＝PB.
PA切⊙O于点A，由切割线定理可得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4.∴QA＝2，∴PA＝2×2＝4＝PB.
答案：4
7．解析：如图所示：
根据切割线定理，得PA2＝PB·PC，
又因为PC＝(PB＋BC)，且PA＝6，BC＝9，
所以36＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3.
在△PAC中，根据余弦定理cos∠ACP＝，即cos∠ACP＝＝，在△ACB中，根据余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝82＋92－2×8×9×＝16，所以AB＝4.
答案：4
8．解：由于AB和CD是⊙O的两条相交弦，
则AE·EB＝CE·ED.
即2EB＝3×4.
所以EB＝6，故AB＝AE＋EB＝2＋6＝8.
所以OB＝AB＝4.
由于MD为⊙O的切线，
则MD2＝MB·MA＝MB·(MB＋AB)，
所以42＝MB·(MB＋8)，
解得MB＝－4±4.
由于MB＞0，则MB＝4－4.
9．分析：(1)欲证BE＝EC，由于在圆O中，可证＝，利用相等的圆周角所对的弧相等，则可证∠DAC＝∠BAD，故应由条件转化为角的关系上去寻找，我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理．对于(2)，由结论中出现AD·DE，而D是AE与BC两弦之交点，联想到相交弦定理可得AD·DE＝BD·DC.从而使问题转化为证明2PB2＝BD·DC，而P，B，D，C在一条直线上，且D又是PC的中点，而PA＝PD，PA是切线，又联想到切割线定理得PA2＝PB·PC，充分利用关系转化可得答案．B E E C
证明：(1)连接AB，AC，由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.B E E C
因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
10．证明：在Rt△ACB和Rt△AEF中，
∠ACB＝∠AEF＝90°，∠BAC＝∠FAE，
∴Rt△ACB∽Rt△AEF.
∴＝.
又AC，AD均为⊙O的切线，且AD＝AE，
∴AE＝AC.可得AB＝AF.
∴＝.
备选习题
解：如图，设⊙O与△ABC各边的切点分别为F，G，H，则
AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，且AF＋BF＝9，BG＋CG＝8，CH＋AH＝10，
∴AF＝AH＝5.5，BF＝BG＝3.5，
CG＝CH＝4.5.
又DE是⊙O的切线，
∴DI＝DF，EI＝EH.
∴△ADE的周长＝AD＋DE＋EA＝AD＋DI＋EI＋EA＝AF＋AH＝2AF＝2
×5.5＝11.。