2019年无穷小与无穷大.doc
第6讲无穷小与无穷大
( 无穷大的倒数为无穷小, x 0 )
1 (2) lim . x 0 x
( 无穷小的倒数为无穷大, x 0 )
定理
在某一极限过程中
若 f ( x) 是一个无穷大,
1 则 为无穷小 . f ( x)
若 f ( x) 是一个无穷小且 f ( x) 0,
1 则 为无穷大 . f ( x)
证
设 , 为 x x0 时的两个无穷小量 , 则 0 , 1 0 , 当 0 | x x0 | 1 时, | | , 2 2 0 , 当 0 | x x0 | 2 时, | | , 2 取 min{1, 2} , 则当 0 | x x0 | 时, 有
例9
有界函数与无穷大的乘积
是否一定为无穷大？ 不一定再是无穷大！ 不着急, 看个例题:
1 当 x (不妨设 | x | 1) 时, | g ( x) | 2 1, x
f1 ( x) x ( x ) , f 2 ( x) x3 ( x ) ,
而 1 1 f1 ( x) g ( x) x 2 0 ( x ) . x x 3 1 f 2 ( x) g ( x) x 2 x ( x ) . x
证
设 lim f ( x) a , a 0 ; ( x) 0 ( x x0 ) .
x x0
|a| 取 , 则 0 0, 当 0 | x x0 | 0 时, 有 2 |a| | f ( x) a | , 2 |a| 1 2 故 | a | | f ( x) | x U( x0 , 0 ) , 2 f ( x) | a | 1 即 x x0 时, 有界 . f ( x) ( x) 有界函数与无穷小之积！ 故 lim 0. x x0 f ( x)
无穷大与无穷小
无穷大与无穷小无穷大和无穷小是数学中常常提到的概念。
它们在数学的各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍无穷大和无穷小的定义、性质以及一些常见的例子。
无穷大是指在数列或函数中，当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值无限增大的情况。
换句话说，无穷大是指某个数在数轴上无限远离原点的时候。
在数学符号表示中，我们常用符号∞来表示无穷大。
当一个数a的绝对值大于任意实数M时，我们可以说这个数a是无穷大，表示为|a|>M或者a→∞。
无穷大在解析几何、极限理论、微积分等数学分支中都起着重要的作用。
在解析几何中，无穷大可以用来描述平行线的情况。
在极限理论和微积分中，无穷大常常用于研究函数的极限和趋势。
与无穷大相对应的是无穷小。
无穷小是指当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值逐渐趋于零。
换句话说，无穷小可以理解为比任何实数都小的数。
在数学符号表示中，我们常用符号ε来表示无穷小。
当一个数a的绝对值小于任意正实数ε时，我们可以说这个数a是无穷小，表示为|a|<ε或者a→0。
无穷小在微积分和函数论等领域中得到广泛应用。
在微积分中，无穷小常用于描述函数的变化趋势、导数和积分的定义。
在函数论中，无穷小可以用于衡量一个函数在某个点的连续性和可导性。
下面我们来看几个具体的例子。
例子1：考虑函数f(x)=1/x，当x趋向于0时，函数f(x)的值趋近于正无穷大。
这可以用极限表示为lim(x→0)1/x=∞。
例子2：考虑函数g(x)=1/x，当x趋向于正无穷大时，函数g(x)的值趋近于0。
这可以用极限表示为lim(x→∞)1/x=0。
例子3：考虑数列an=1/n，当n趋向于正无穷大时，数列an的值逐渐趋近于0。
这可以用极限表示为lim(n→∞)1/n=0。
通过以上例子，我们可以看出无穷大和无穷小是两个相关但又不同的概念。
无穷大描述的是函数或数列绝对值的无限增大，而无穷小描述的是函数或数列绝对值的逐渐趋近于零。
无穷小与无穷大,极限运算法则
y 1 x1
只要 x 1 1 , 取 1 ,
M
M
当0 x 1 1 时, 就有 1 M . lim 1 .
M
x1
x1 x 1
定义 : 如果 lim x x0
f ( x) ,则直线x
x0是函数y
f (x)
的图形的铅直渐近线.
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
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22
例4
求
lim
x
3x2 2x 1 x3 3x 5
(
型
)
无穷小因子分出法
解 x 时,分子,分母的极限均为无穷大.
方 法 先用 x 3去除分子分母, 分出无穷小,
再求极限.
lim
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
2019/10/13
1
一、无穷小
1. 定义 (无穷小): 如果函数 f (x)当 xx0 (或x ) 时的极限为零, 则称函数 f (x) 当 xx0 (或 x)时 为无穷小.
2019/10/13
2
例如,
limsin x 0, sin x当x 0时是无穷小.
但n个 1 之和为1不是无穷小. n
2019/10/13
13
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1 都是无穷小
无穷小和无穷大
2
sin x → 0 与 x → 0 快慢相仿; 1 2 x sin → 0 与 x 2 → 0 的快慢不可比. x
为此, 即有下面无穷小的阶的比较的定义. 为此 即有下面无穷小的阶的比较的定义
设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0.
β 如果 lim = 0, 就说 β 是比α 高阶的无穷小 , 记作 α β = o(α ); β 如果 lim = ∞ , 就说 β 是比 α 低阶的无穷小 ; α β 如果 lim = c ≠ 0, 就说 β 与α 是同阶无穷小 ; α β 如果 lim k = c ≠ 0, k > 0, 就说 β 是关于 α 的k阶无穷小 . α β 如果 lim = 1, 就说β 与α 是等价无穷小, 记作 α ~ β . α
注意 1.无穷小是变量 不能与很小的数混淆 无穷小是变量, 不能与很小的数混淆; 无穷小是变量 2.零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数
2. 无穷大(infinity)的定义
定义2 定义 设函数 f ( x ) 在 x0 的某一去心邻域内有
定义( 或 x 大于某一正数时有定义 ). 如果对于任 意给定的正数 M ( 不论它多么大 ), 总存在正数 δ (或正数 X ), 只要 x 适合不等式 0 < x − x0 < δ (或 x > X ), 对应的函数值 f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) > M , 则称 f ( x ) 为当 x → x0 ( 或x → ∞ )时 的无穷大 .
等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形. 等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形 关于等价无穷小的定理 定理 1 β 与α 是等价无穷小的充分必 要条件为 β = α + o(α ). 证 必要性 设 α ~ β ,
第3节无穷小量与无穷大量
1/30/2019 9:55 PM
M
(2)
第2章
极限与连续
在上述两个时刻中较晚的那个时刻以后， （1）和（2）都成立。 因此，在那个较晚的时刻以后， 恒有
y y M
M
成立，所以 y 是无穷小量。 证毕。
【推论】常量与无穷小量的乘积是无穷
小量。
1/30/2019 9:55 PM
即 lim 0 ,
故 是无穷小量，且 y A
1/30/2019 9:55 PM
证毕。
第2章
极限与连续
【定理】有界变量与无穷小量的乘积是 无穷小量。
证明 设 y 在某个时刻之后是有界变量， 在这一时刻之后， 即存在一个正数 M ， 恒有
y M (1)
即 0 ， 又设 是无穷小量， 总存在那 么一个时刻，在那个时刻以后，恒有
在那个时刻之后，恒有 总有那么一个时刻，
y 1
即
1 1 , 因此 是无穷小量。 y y
1/30/2019 9:55 PM
第2章
极限与连续
同理可证（2），证毕。 由此定理知， 无穷大和无穷小的问题是可 以相互转化的。 例
lim x
2 x
lim x 2 0
x 0
第2章
极限与连续
1 1 3.证明 函数 y sin 在区间 (0,1] 上无界， x x 但函数不是 x 0 时的无穷大量。 M 1 2 时 ,当 n 证 M 0 , 取x 2 2n 2 y M , 所以函数无界。 1 当 x 时，y 0 , 而 n 时， x 0 2n
1 lim 2 0 x x 1 lim 2 x 0 x
第3节无穷小量与无穷大量
所以，x 时，函数 f(x)xcosx不是
无穷大量。
11/10/2019 4:11 AM
第2章 极限与连续
3. 无穷小量与无穷大量的关系
【定理】在变量 y 的变化过程中
（1）若 y 是无穷大量，则 1 是无穷小量；
y
（2）若
y( 0) 是无穷小量，则 1
y
是无穷大量。
证明（1）若 y 是无穷大量，则对 0,
故 是无穷小量，且 yA 证毕。
11/10/2019 4:11 AM
第2章 极限与连续
【定理】有界变量与无穷小量的乘积是 无穷小量。
证明 设 y 在某个时刻之后是有界变量， 即存在一个正数 M ，在这一时刻之后，恒有
yM (1)
又设 是无穷小量，即 0，总存在那 么一个时刻，在那个时刻以后，恒有
y
1 2 x 为当
x
x0
证 M0 要使
y12x2112 M
x
xx
只要
x
1 M2
,
取
1 M 2
,
当 0 x 时
有 y M , 即函数 y 1 2 x 是无穷大量。
x
11/10/2019 4:11 AM
第2章 极限与连续
2.根据无穷大量的定义，填写下表
M 0 ,X 0 当 xX 时 有 f(x)M
M 0 ,X 0 当 xX 时 有 f(x)M
11/10/2019 4:11 AM
第2章 极限与连续
3.证明 函数y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界，
xx
但函数不是 x0时的无穷大量。
证
M0, 取x
第二章第6节无穷小和无穷大
2.
f ( x) lim c0 x x0 g ( x )
则称 f ( x )与 g( x ) 是 x x0 时的同阶无穷小. 例如: 当 x 0 时, 1 cos x 与 x 2是同阶无穷小;
f ( x) L, g( x )
3. 若两个无穷小量在 U ( x0 ) 内满足:
的无穷小量.
00:02
的等价无穷大量，记为 f ( x ) ~ g( x ) ,
x x0 .
下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系,
直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系.
定理
(1) 若 f 为 xx0 时的无穷小量, 且不等于零, 则
1 为 x x0 时的无穷大量 . f
1 ( 2) 若 g 为 x x0 时的无穷大量 , 则 g 为 x x0 时
( x x0 ) 表示 g( x ) 的所有高阶无穷小量的集合． 也就是说，这里的 “=” 类似于 “” .
00:02
f ( x) 4. 若 lim 1, 则称 f ( x ) 与 g( x ) 为 x x0 时的 x x0 g ( x )
等价无穷小，记作
f ( x ) ~ g( x ) ( x x0 ).
2 1
yx
y sin x
3
2
1
0
1
2
3
1
2
00:02
4
tan x ~ x
y tan x
3 2
yx
1 1 0 1
1
2
3
00:02
4
1.5
y arcsin x
1
yx
0.5
1
0.5
无穷小与无穷大
正切函数 y=tan x
y
3
2
2
O
2
3 x
2
lim tan x , x
2
lim tan x , x
2
lim tan x . x
2
定义 如果 lim f ( x) , 或( lim f ( x) , lim f ( x) )
x x0
x x0
x x0
则直线x = x0称为函数y=f(x)的图形的铅直渐近线.
|f(x)−A|< .
令 f(x)A=(x) , 则 lim(x)=0.
因此f(x)A是一个无穷小量.
即
f(x)=A+(x).
充分性 设 f(x)=A+(x), 其中 lim(x)=0. 则 >0, 存在一个时刻, 从此时刻后, 有|(x)|<.
从而有 |f(x)−A|=|(x)|< .
故
lim f(x)=A.
1、定义 绝对值无限增大的变量称为无穷大量.简称无穷大.
即: M >0(不论它多大), 某个时刻, 从此时刻后, 恒有
| f (x) |>M . 则称函数 f (x)为无穷大量, 或简称为无穷大.
记作 lim f (x) = 特殊情形: 正无穷大, 负无穷大．
记作 lim f (x) = +, 或 lim f (x) = .
1 函数极限的统一定义
lim f(x)=A >0, 某个时刻,从此时刻后,恒有 |f(x)−A|< .
定理1 lim f (x) A lim f ( x) lim f ( x) A.
x
x
x
定理2
lim
x x0
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1.4 无穷小与无穷大1.4.1 无穷小1．无穷小量的定义定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。
例如：因为0)1(lim 1=-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。
因为01lim=∞→xx ，所以函数x 1是当x →1时的无穷小。
因为011lim=--∞→xx ，所以函数x -11是当x →－∞时的无穷小。
以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小，n 1，n 32都是n →∞时的无穷小。
注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。
⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。
⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。
2.无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质：⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。
⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。
⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。
⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。
例1．求xxx sin lim∞→ 解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而01lim=∞→xx∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
∴xxx sin lim∞→＝0 3．函数极限与无穷小的关系定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。
4．无穷小的比较例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, xx 1sin 2都是无穷小。
观察各极限：032lim=→xx x x 2比3x 要快得多 1sin lim=→xxx sinx 与x 大致相同 ∞=⋅=→→x xxx x x x sin 1sin lim lim020sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1sinlim lim220→→= 不存在 不可比极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。
得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小⑴如果αβlim＝0，则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果αβlim＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果αβlim＝k （k ≠0），则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果αβlim＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。
例2．比较当x →0时，无穷小x x---111与x 2阶数的高低。
解：因为111)1()1()1)(1(1111lim lim lim lim02202020=-=---+-=---→→→→xx x x x x x x x x x x x x x 所以x x---111～x 2例3．当x →1时，无穷小1－x 与1-x 3是否同阶，是否等价？ 解：31)1)(1(1112131lim lim=++--=--→→x x x x x x x x 故同阶但不等价。
常用的等价无穷小：当x →0时，sinx ～ x ； arcsinx ～x ； tanx ～x ；arctanx ～ x ； 1-cosx ～221x ，ln(1+x)～x ; e x -1～x ；(1+x)a ～1-ax 1.4.2无穷大1．无穷大量的定义如果当x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的绝对值无限增大,那么函数f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷大量，简称无穷大。
注：⑴说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋向。
如函数x1是当x → 0 时的无穷大，当x → ∞时，它就不是无穷大，而是无穷小了。
⑵不要把绝对值很大的常数说成是无穷大，因为常数在x →x 0(或x →∞)时极限为常数本身，并不是无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系定理：在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则)(1x f 为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则)(1x f 为无穷大。
例4．求453221lim+--→x x x x 解：当x →1时，分母x 2-5x+4→0，因此不能直接使用商的极限法则，但f(x)的倒数的极限03245)(1211lim lim=-+-=→→x x x x f x x 由无穷大与无穷小的关系可得∞=→)(lim1x f x1．5函数的连续性1.5.1函数连续性的概念1．函数的增量定义：在函数y=f (x )中，当x 由x 0（初值）变化到x 1（终值）时，终值与初值之差x 1-x 0叫做自变量的增量（或改变量），记为Δx= x 1-x 0.相应的，函数终值f (x )与初值 f (x 0)之差Δy ，叫做函数的增量。
注意：增量Δx 可正、可负；增量Δy 可正、可负或为零。
2．函数y=f (x ) 在x 0的连续性 先观察两个函数的图像的特点当Δx →0时，Δy →0。
当Δx →0时，Δy 不趋向于零。
定义：设函数y=f(x)在点x 0及其近旁有定义，如果当自变量x 在点x 0处的增量Δx 趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x 0连续。
用极限表示，就是0lim 0=∆→∆y x或[]0)()(00lim =-∆+→∆x f x xf x定义2：设函数y=f(x)在点x 0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x 1→x 0时的极限存在，且等于它在x 0处的函数值f(x 0),即)()(0limx f x f x x =→那么就称函数f(x)在点x 0处连续。
函数f(x)在点x 0处连续必须满足三个条件： ⑴函数f(x)在点x 0及其左右近旁有定义； ⑵)(limx f x x →存在； ⑶)()(0limx f x f x x =→例5 试证函数⎩⎨⎧=≠=0,1sin 0,0)(x x x x x f ，在x ＝0处连续。
证明：函数)(x f 在x ＝0及其左右近旁有定义∵01sinlim=→x x x f(0)=0 )0()(lim 0f x f x =→ ∴函数)(x f 在x ＝0处连续。
3．函数y=f(x)在区间(a,b)内的连续设函数)(x f 在区间(a ，b]内有定义，如果左极限)(limx f bx -→存在且等于)(b f ，即)(limx f bx -→＝)(b f ，就说函数)(x f 在点b 左连续。
设函数)(x f 在区间[a ，b ）内有定义，如果左极限)(limx f a x +→存在且等于)(a f ，即)(limx f a x +→＝)(a f ，就说函数)(x f 在点a 右连续。
定理：函数)(x f 在点x 0处连续⇔)(x f 在点x 0处既左连续又右连续⇔)()()(000x f x f x f ==-+在区间(a,b)内任一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数，区间(a,b)叫做函数的连续区间。
连续函数的图像是一条连续不断的曲线。
4．复合函数的连续性设函数)(u f y =在点0u 处连续，函数)(x u ϕ=在点0x 处连续，且)(00x u ϕ=，则复合函数()[]x f y ϕ=在点0x 处连续，即()[]()[]()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==→→x x x x x f x f x f ϕϕϕlim lim000 例6 求()xx a x +→1log lim解：原式＝()xa x x 101log lim+→＝aa e e a ln 1ln ln log ==可以推出：当0→x 时，()x a +1log ～ax ln 1．5．2函数的间断点函数)(x f 在0x 点连续必须满足三个条件，如果这三个条件有一个不满足，则称)(x f 在0x 点不连续（或间断），并称0x 点为)(x f 的不连续点或者间断点。
间断点的分类： 第一类间断点：⑴()()+-=00x f x f ，但()()()0x f x f x f ≠=+-，或者()0x f 无意义。
⑵()()+-≠0x f x f不是第一类间断点的其他间断点都称为第二类间断点。
1.5.3 闭区间上连续函数的性质性质1 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。
注意：⑴若区间是开区间，定理不一定成立。
⑵若区间内有间断点，定理不一定成立。
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界。
性质2 如果函数)(x f 在[]b a ,上连续，且())(b f a f ⋅＜0，那么至少存在一点ξ∈(a,b)，使得()0=ξf 。
对于方程)(x f ＝0，若满足性质2中的条件，则方程在(a,b)内至少存在一个实根ξ，ξ又称为函数)(x f 的零点。
例7 证明方程01423=+-x x 在区间（0，1）内至少有一个根。
证明：设)(x f ＝1423+-x x ，)(x f 在[]1,0上是连续的，又因为)0(f ＝1＞0 )1(f ＝－2＜0根据性质2，至少存在一点ξ∈（0，1），使()0=ξf 即 01423=+-ξξ从而证得方程01423=+-x x 在区间（0，1）内至少有一个根。
判断命题是否正确：如果函数)(x f 在[]b a ,上有定义，在(a,b)内连续，且())(b f a f ⋅＜0，那么 )(x f 在(a,b)内必有零点。
解答：不正确。
例如函数)(x f 在（0，1）内连续，)0(f ·)1(f ＝－2e ＜0，但)(x f 在（0，1）内无零点。
,01()2,e xf x x <≤⎧=⎨-=⎩。