高中数学人教A版选修4-1章末综合测评2 pdf版含解析

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高中数学人教A版选修4-1 (10)

【解】因为∠BAC＝60°，所以∠BOC＝120°. 设B(cos ¸ ，sin ¸ )(0°＜¸ ＜240°)，则有C(cos(¸ ＋120°)，sin(¸ ＋120°))．设重心坐标为(x，y)，则所以即消去¸ ＋60°，得(3x－1)2＋9y2＝1， ∵0°＜¸ ＜240°， ∴－1≤cos(¸ ＋60°)＜， ∴0≤＜，即0≤x＜.
∴△ABC的重心的轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0≤x<)．
图4－4－3 5．如图4－4－3，过抛物线y2＝4x上任一点M作MQ垂直于准线l，垂足为Q，连接OM和QF(F为焦点)相交于点P，当M在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程．【解】设直线OM的方程为y＝kx(k≠0)，由得或所以M(，)，则Q(－1，)，于是直线QF的方程为 y＝(x－1)，即y＝－(x－1)．由消去k，得2x2＋y2－2x＝0. 所以点P的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(y≠0)．
1．从参数方程的概念来看，参数t的作用是什么？什么样的量可以当参数？
【提示】参数t是联系变数x，y的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．在选择参数时，要注意什么？【提示】在选择参数时，要注意以下几点：①参数与动点坐标x，y有函数关系，且x，y便于用参数表示； ②选择的参数要便于使问题中的条件明析化； ③对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x，y取值范围的制约； ④若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消参．
＝±＋bcos ¸ ，得到点M(x，y)的坐标满足方程组即为点M的轨迹方程． 2．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向上的分速度分别为9 m/s和12 m/s，运动开始时，点M位于A(1,1)，求点M的轨迹方程．【解】设t s后点M的坐标为(x，y)，则所以点M的轨迹方程为 (t≥0)． 3．以椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A与椭圆上任意一点连线的斜率k为参数，将椭圆方程化为参数方程．【解】椭圆＋y2＝1的长轴的左端点A的坐标为(－2,0)．设P(x，y)为椭圆上任意一点(除点A)，则点P的坐标满足将＝k代入＋y2＝1，消去x，得(＋4)y2－y＝0. 解得y＝0，或y＝. 由y＝，解得x＝；由y＝0，解得x＝2. 由于(2,0)满足方程组所以椭圆＋y2＝1的参数方程为 4．△ABC是圆x2＋y2＝1的内接三角形，已知A(1,0)，∠BAC＝60°，求△ABC的重心的轨迹方程．

高中数学人教A版选修4-4章末综合测评2 Word版含解析

章末综合测评(二) 参数方程(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列点不在直线(\\(＝－－(())＝＋(())))(为参数)上的是( )．(－)．(，－)．(－)．(，－)【解析】直线的普通方程为＋－＝，因此点(－)的坐标不适合方程＋－＝.【答案】．圆的参数方程为(\\(＝ θ，＝ θ)) (θ为参数，≤θ<π)，若(－)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )πππ【解析】∵点(－)在圆上，∴(\\(－＝θ，()＝θ))且≤θ<π，∴θ＝π.【答案】．直线(\\(＝＋，＝－))(为参数)的斜率为( )．－．．－【解析】直线的普通方程为＋－＝，∴斜率＝－.【答案】．已知为原点，当θ＝－时，参数方程(\\(＝ θ，＝ θ))(θ为参数)上的点为，则直线的倾斜角为( )【解析】当θ＝－时，＝，＝－，∴＝α＝＝－，且≤α<π，因此α＝.【答案】．已知( θ，θ)，(－θ，θ)，当θ为一切实数时，线段的中点轨迹为( )．圆．直线．双曲线．椭圆【解析】设线段的中点为(，)，则(\\(＝θ－θ，＝θ＋θ))(θ为参数)，∴(\\(＋＝θ，－＝－θ.))∴(＋)＋(－)＝，整理得＋＝，表示椭圆．【答案】．椭圆(\\(＝ θ，＝ θ))(θ为参数)的离心率是( )【解析】椭圆(\\(＝θ，＝θ))的标准方程为＋＝，∴＝.故选.【答案】．(·汕头月考)已知圆：＋－－＝，则圆心到直线(\\(＝＋，＝＋))(为参数)的距离为( )．．．．【解析】由题意易知圆的圆心()，由直线的参数方程化为一般方程为－－＝，所以圆心到直线的距离为＝＝.【答案】．若直线(\\(＝ α，＝ α))(为参数)与圆(\\(＝＋ φ，＝ φ))(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( )或或或．－或－【解析】直线的普通方程为＝α·，圆的普通方程为(－)＋＝，由于直线与圆相切，则α,(＋))＝.。

人教A版2019高中数学选修4-1教学案：第一讲一平行线等分线段定理_含答案

一平行线等分线段定理[对应学生用书P1]1．平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)用符号语言表述：已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、C ′(如图)，如果AB ＝BC ，那么A ′B ′＝B ′C ′.[说明](1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线；它是由三条或三条以上的平行线组成的．(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等． 2．平行线等分线段定理的推论[对应学生用书P1][例1] 已知如图，直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，l ，l ′分别交l 1，l 2，l 3，l 4于A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1，AB ＝BC ＝CD .求证：A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.[思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可． [证明] ∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝BC ， ∴A 1B 1＝B 1C 1.∵直线l 2∥l 3∥l 4且BC ＝CD ， ∴B 1C 1＝C 1D 1， ∴A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．1．已知：如图，l1∥l 2∥l 3，那么下列结论中错误的是( ) A ．由AB ＝BC 可得FG ＝GH B ．由AB ＝BC 可得OB ＝OG C ．由CE ＝2CD 可得CA ＝2BC D ．由GH ＝12FH 可得CD ＝DE解析：OB 、OG 不是一条直线被平行线组截得的线段．答案：B2．如图，已知线段AB ，求作线段AB 的五等分点．作法：如图，(1)作射线AC ；(2)在射线AC 上依任意长顺次截取AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ；(3)连接HB ；(4)过点G ，F ，E ，D 分别作HB 的平行线GA 1，F A 2，EA 3，DA 4，分别交AB 于点A 1，A 2，A 3，A 4.则A 1，A 2，A 3，A 4就是所求的五等分点．证明：过点A 作MN ∥HB ，则MN ∥DA 4∥EA 3∥F A 2∥GA 1∥HB . 又AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ，∴AA 4＝A 4A 3＝A 3A 2＝A 2A 1＝A 1B (平行线等分线段定理)．[例2] 交AD 的延长线于E .求证：AG ＝2DE .[思路点拨] AF ＝FC ，GF ∥EC →AG ＝GE →△BDG ≌△CDE →AG ＝2DE [证明] 在△AEC 中， ∵AF ＝FC ，GF ∥EC ， ∴AG ＝GE . ∵CE ∥FB ，∴∠GBD ＝∠ECD ，∠BGD ＝∠E . 又BD ＝DC ， ∴△BDG ≌△CDE .故DG ＝DE ，即GE ＝2DE ，因此AG ＝2DE .此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．3.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE 平行于AB 交BC 于E ，AD ＝6，求BE 的长．解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ，BC ＝AD . 又因为AB ∥DC ，OE ∥AB ，所以DC ∥OE ∥AB . 又因为AD ＝6，所以BE ＝EC ＝12BC ＝12AD ＝3.4．已知：AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F . 求证：AF ＝13AC .证明：如图，过D 作DG ∥BF 交AC 于G .在△BCF 中，D 是BC 的中点， DG ∥BF ，∴G 为CF 的中点．即CG ＝GF .在△ADG 中，E 是AD 的中点，EF ∥DG ， ∴F 是AG 的中点．即AF ＝FG . ∴AF ＝13AC .[例3] 已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，M 是CD的中点，求证： AM ＝BM .[思路点拨] 解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． [证明] 过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E ， ∵AD ∥BC ， ∴AD ∥EM ∥BC .又∵M 是CD 的中点， ∴E 是AB 的中点． ∵∠ABC ＝90°， ∴ME 垂直平分AB . ∴AM ＝BM .有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．5．若将本例中“M 是CD 的中点”与“AM ＝BM ”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．解：结论成立．证明如下：过点M 作ME ⊥AB 于点E ， ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB . ∵ME ⊥AB ，∴ME ∥BC ∥AD . ∵AM ＝BM ，且ME ⊥AB ，∴E 为AB 的中点，∴M 为CD 的中点．6．已知：如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点A ，B ，C ，D ，O 分别作直线a 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，D ′，O ′；求证：A ′D ′＝B ′C ′.证明：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵AA ′⊥a ，OO ′⊥a ，CC ′⊥a ， ∴AA ′∥OO ′∥CC ′.∴O ′A ′＝O ′C ′. 同理：O ′D ′＝O ′B ′.∴A ′D ′＝B ′C ′.[对应学生用书P3]一、选择题1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且EF ＝2 cm ，则AB ＋CD 等于( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm解析：由梯形中位线定理知EF ＝12(AB ＋CD )，∴AB ＋CD ＝4 cm. 答案：D2．如图，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝13BD ，那么FC 是BF 的( )A.53倍 B.43倍 C.32倍 D.23倍解析：∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD . 又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点，即BF ＝FD .又DC ＝13BD ，∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .答案：A3．梯形的中位线长为15 cm ，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：如图，设MP ∶PN ＝2∶3，则MP ＝6 cm ，PN ＝9 cm.∵MN 为梯形ABCD 的中位线，在△BAD 中，MP 为其中位线， ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm. 答案：A4．梯形的一腰长10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2解析：如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ，∴AD ＋BC ＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面积S ＝12(AD ＋BC )·AE＝12×5×24＝60 (cm 2)．答案：D 二、填空题5．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析：直接利用平行线等分线段定理．答案：326.如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝______；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析：由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F 、D 是AC 的三等分点，则AC ＝3EG ＝6(cm)．由EF ∥BD ，得EF ＝12BD ＝5(cm)．答案：6 cm 5 cm7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥BC ，G 是BC 边上任一点，如果S △GEF ＝2 2 cm 2，那么梯形ABCD 的面积是________cm 2.解析：因为E 为AB 的中点，EF ∥BC ，所以EF 为梯形ABCD 的中位线，所以EF ＝12(AD ＋BC )，且△EGF 的高是梯形ABCD 高的一半，所以S 梯形ABCD ＝4S △EGF ＝4×2 2 ＝82(cm 2)．答案：8 2 三、解答题8．已知△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 的三等分点(BE >CE )，AE 、CD 交于点F . 求证：F 是CD 的中点．证明：如图，过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，在△ABE 中，∵AD ＝BD ，DG ∥AE ， ∴BG ＝GE .∵E 是BC 的三等分点， ∴BG ＝GE ＝EC .在△CDG 中，∵GE ＝CE ，DG ∥EF ， ∴DF ＝CF .即F 是CD 的中点．9．如图，先把矩形纸片ABCD 对折后展开，并设折痕为MN ；再把点B 叠在折痕线上，得到Rt △AB 1E .沿着EB 1线折叠，得到△EAF .求证：△EAF 是等边三角形．证明：因为AD∥MN∥BC，AM＝BM，所以B1E＝B1F.又因为∠AB1E＝∠B＝90°，所以AE＝AF，所以∠B1AE＝∠B1AF.根据折叠，得∠BAE＝∠B1AE，所以∠BAE＝∠B1AE＝∠B1AF＝30°，所以∠EAF＝60°，所以△EAF是等边三角形．10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.求证：EF＝FC.证明：法一：如图，连接BE交AF于O，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BO＝OE.又∵AF∥BC，∴EF＝FC.法二：如图，延长ED交BC于点H，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥ED，AB∥DH，AB＝ED.又∵AF∥BC，∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图，延长EA交CB的延长线于M，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥EA，AE＝BD.又AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM＝BD.∴AM＝AE. ∴EF＝FC.。

高中数学第二章随机变量及其分布章末综合检测(二)(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次，若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )A.12 B ．23 C.34D ．45解析：选B.法一：记事件A ＝{第一次取到合格的高尔夫球}，事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球.由题意可得P (AB )＝3×24×3＝12，P (A )＝3×34×3＝34，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1234＝23.法二：记事件A ＝{}第一次取到合格的高尔夫球，事件B ＝{}第二次取到合格的高尔夫球，由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (AB )＝3×2＝6，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9.所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝69 ＝23.2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a (13)i(i ＝1，2，3)，则a 的值为( )A ．1B ．913 C.1113D ．2713解析：选D.因为P (X ＝1)＝a 3，P (X ＝2)＝a 9，P (X ＝3)＝a 27.所以a 3＋a 9＋a 27＝1，所以a ＝2713.3．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A ．0.95B ．0.6C ．0.05D ．0.4解析：选A.法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故至少有一颗卫星预报准确的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻两颗卫星预报都不准确”，故至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.4．已知随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9解析：选A.因为D (2X ＋1)＝D (X )×22＝4D (X )，D (X )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32，所以D (2X ＋1)＝4×32＝6.5.如果随机变量X 表示抛掷一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，则随机变量X 的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4解析：选C.P (X ＝k )＝16(k ＝1，2，3，…，6)，所以E (X )＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋…＋6)＝16×6×（1＋6）2＝3.5.6．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD ．2π解析：选C.由正态分布密度曲线上的最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12知12π·σ＝12，即σ＝2π，所以D (X )＝σ2＝2π.7．已知随机变量ξ的分布列如下：若E (ξ)＝2，则D (ξ)A ．0 B ．2 C ．1D ．12解析：选A.由题意得a ＝1－13＝23，所以E (ξ)＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (ξ)＝13×(m －2)2＋23(n －2)2＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (ξ)取最小值为0.8．设随机变量X ～N (μ，σ2)且P (X ＜1)＝12，P (X ＞2)＝p ，则P (0＜X ＜1)的值为( )A ．12pB ．1－pC ．1－2pD ．12－p 解析：选D.由正态曲线的对称性知P (X ＜1)＝12，故μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (X ＜0)＝P (X ＞2)，所以P (0＜X ＜1)＝P (X ＜1)－P (X ＜0)＝P (X ＜1)－P (X ＞2)＝12－p .9．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A ．49B ．827C ．1927D ．4081解析：选C.最后乙队获胜的概率含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13＋23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23×13＝1927，故选C. 10．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如表所示的分布列若进这种鲜花500A ．706元 B ．690元 C ．754元D ．720元解析：选A.因为E (X )＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，所以利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706元，故选A. 11.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为( )A ．516B ．532C ．16D ．以上都不对解析：选A.由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516.12．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1X ，每X 奖券中奖的概率为15，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元．小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2X 奖券，于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3X 奖券．设小王这次消费的实际支出为ξ元，则E (ξ)＝( )A ．1 850B ．1 720C ．1 560D ．1 480解析：选A.根据题意知，ξ的可能取值为2 450，1 450，450，－550，且P (ξ＝2 450)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝64125，P (ξ＝1 450)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝48125，P (ξ＝450)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫15·⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125，P (ξ＝－550)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝1125，所以E (ξ)＝2 450×64125＋1 450×48125＋450×12125＋(－550)×1125＝1 850.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．邮局工作人员整理，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.314．一批产品的二等品概率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.解析：X ～B (100，0.02)，所以D (X )＝np (1－p )＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案：1.9615．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数字之积的数学期望是________．解析：设ξ表示两次向上的数字之积，则P (ξ＝1)＝13×13＝19，P (ξ＝2)＝C 12×13×16＝19，P (ξ＝4)＝16×16＝136，P (ξ＝0)＝34，所以E (ξ)＝1×19＋2×19＋4×136＝49.答案：4916．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)解析：由a 4＝2，a 7＝－4可得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1，2，3，…)．{a n }的前10项分别为8，6，4，2，0，－2，－4，－6，－8，－10.由题意知三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为25，取得负数的概率为12，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫25⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝625. 答案：625三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)某一射手射击所得环数X 的分布列如下：(1)求m (2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m ＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28. (2)P (射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.18．(本小题满分12分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A —2A 3)＋P (A —1A 2A 3)＝P (A 1)P (A —2)P (A 3)＋P (A —1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.19．(本小题满分12分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(i)用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； (ii)设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)(i)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k3C 37(k ＝0，1，2，3)．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×435＝127.(ii)设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由(i)知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)，故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以，事件A 发生的概率为67.20．(本小题满分12分)进货商当天以每份1元的进价从报社购进某种报纸，以每份2元的价格售出．若当天卖不完，剩余报纸以每份0.5元的价格被报社回收．根据市场统计，得到这个月的日销售量X (单位：份)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)若进货量为n (单位：份)，当n ≥X 时，求利润Y 的表达式； (3)若当天进货量n ＝400，求利润Y 的分布列和数学期望E (Y )．解：(1)由题图可得，100a ＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a ＝0.001 5.(2)因为n ≥X ，所以Y ＝(2－1)X －0.5(n －X )＝1.5X －0.5n .(3)销售量X 的所有可能取值为200，300，400，500，由第二问知对应的Y 分别为100，250，400.由频率分布直方图可得P (Y ＝100)＝P (X ＝200)＝0.20， P (Y ＝250)＝P (X ＝300)＝0.35， P (Y ＝400)＝P (X ≥400)＝0.45.利润Y 的分布列为Y 100 250 400 P0.200.350.45所以E (Y )21．(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X 、Y 分别表示这4个人去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解：(1)依题意，这4人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i .这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0，2，4.由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781，所以ξ的分布列是22.(本小题满分12分)该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1－2324＝124，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p 1)(1－p 2)＝124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34，所以三种都买的概率为1－34＝14，即23p 1p 2＝14.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝12，p 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧p 1＝34，p 2＝12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1＝12，p 2＝34.(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0，5，10，15.则P (X ＝0)＝124，P (X ＝5)＝23×12×14＋13×12×14＋13×12×34＝14，P (X ＝10)＝23×12×14＋23×12×34＋13×12×34＝1124， P (X ＝15)＝23×12×34＝14.所以X 的分布列为则E (X )＝0×124＋5×14＋10×24＋15×4＝12.。

高中数学人教A版选修4-1学业分层测评2 平行线分线段成比例定理 Word版含解析

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1-2-16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F.下列结论：①ECCD＝EFAF；②FGAG＝BGGD；③AEAG＝BDDG；④AF CD＝AEDE.其中正确的个数是()图1-2-16 A．1B．2 C．3D．4 【解析】∵BC∥AD，∴ECCD＝EFAF，AFAE＝CDDE，故①④正确．∵BF∥AD，∴FGAG＝BGGD，故②正确．【答案】 C2．如图1-2-17，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且DCBE＝32，则ADBF＝()图1-2-17A.32 B.23C.52 D.25【解析】∵CD∥AB，∴CDBE＝FDEF＝32，又AD∥BC，∴BFAD＝EFED.由FDEF＝32，得FD＋EFEF＝3＋22，即EDEF＝52，∴ADBF＝EDEF＝52.故选C.【答案】 C3．如图1-2-18，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则BCBM－ABBN为()【导学号：07370009】图1-2-18A.12B．1C.32 D.23【解析】∵AD∥BM，∴ABBN＝DMMN.又∵DC∥AN，∴DMMN＝MCBM，∴DM＋MNMN＝MC＋BMBM，∴DNMN＝BCBM，∴BCBM－ABBN＝DNMN－DMMN＝MNMN＝1.【答案】 B4．如图1-2-19，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F ，则AF ∶FD 为( )图1-2-19A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1【解析】过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，如图，因为D 是BC 的中点，所以DG ＝12EC ，又AE ＝2EC ，故AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC ∶12EC ＝4∶1. 【答案】 C5．如图1-2-20，将一块边长为12的正方形纸ABCD 的顶点A ，折叠至边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM 和MQ 的比是( )图1-2-20A ．5∶12B ．5∶13C ．5∶19D ．5∶21【解析】如图，作MN ∥AD 交DC 于点N ， ∴DN NE ＝AM ME . 又∵AM ＝ME ， ∴DN ＝NE ＝12DE ＝52， ∴NC ＝NE ＋EC ＝52＋7＝192. ∵PD ∥MN ∥QC ，∴PMMQ＝DNNC＝52192＝519.【答案】 C二、填空题6．(2016·乌鲁木齐)如图1-2-21，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝CE，若AB∶AC＝3∶2，BC＝10，则DE的长为__________．图1-2-21【解析】∵DE∥BC，∴AD∶AE＝AB∶AC＝3∶2.∵AD＝CE，∴CE∶AE＝3∶2.∵AE∶AC＝2∶5，∴DE∶BC＝2∶5.∵BC＝10，∴DE∶10＝2∶5，解得DE＝4.【答案】 47．如图1-2-22，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，则AD∶DF＝________.图1-2-22【解析】如图，过D作DG∥AC交FC于G.则DGBC＝EDEB＝23，∴DG＝23BC.又BC＝13AC，∴DG＝29AC.∵DG∥AC，∴DFAF＝DGAC＝29，∴DF＝29AF.从而AD＝79AF，∴AD∶DF＝7∶2.【答案】7∶28．如图1-2-23，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.图1-2-23【解析】∵AD∥EF∥BC，∴EOAD＝BEAB＝CFCD＝FOAD，∴EO＝FO，而EOBC＝AEAB＝AB－BEAB，EOAD＝BEAB，BC＝20，AD＝12，∴EO20＝1－BEAB＝1－EO12，∴EO＝7.5，∴EF＝15.【答案】15三、解答题9．线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P.如图1-2-24，当OA＝OB，且D为OA中点时，求APPC的值．图1-2-24 【解】过D作DE∥CO交AC于E，因为D为OA中点，所以AE＝CE＝12AC，DECO＝12，因为点C为OB中点，所以BC＝CO，DEBC＝12，所以PEPC＝DEBC＝12，所以PC＝23CE＝13AC，所以APPC＝AC－PCPC＝23AC13AC＝2.10．如图1-2-25，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于F，求证：1AB＋1CD＝1EF. 【导学号：07370010】图1-2-25【证明】∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴AB∥EF∥CD，∴EFAB＝DFBD，EFCD＝BFBD，∴EFAB＋EFCD＝DFBD＋BFBD＝DF＋BFBD＝BDBD＝1，∴1AB＋1CD＝1EF.[能力提升]1．如图1-2-26，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则EFFC＋AFFD的值为()图1-2-26A.12B．1C.32D．2【解析】过点D作DG∥AB交EC于点G，则DG BE＝CD BC＝CGEC＝13.而AEBE＝13，即AEBE＝DGBE，所以AE＝DG，从而有AF＝FD，EF＝FG＝CG，故EFFC＋AFFD＝EF2EF＋AFAF＝12＋1＝32.【答案】 C2．如图1-2-27，已知P，Q分别在BC和AC上，BPCP＝25，CQQA＝34，则ARRP＝()图1-2-27 A．3∶14 B．14∶3 C．17∶3 D．17∶14 【解析】过点P作PM∥AC，交BQ于M，则ARRP＝AQPM.∵PM∥AC且BPCP＝25，∴QCPM＝BCBP＝72.又∵CQQA＝34，∴AQPM＝QCPM·AQQC＝72×43＝143，即ARRP＝143.【答案】 B3.如图1-2-28所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为__________．图1-2-28【解析】如图，延长AD，BC交于点O，作OH⊥AB 于点H.∴xx＋h1＝23，得x＝2h1，x＋h1x＋h1＋h2＝34，得h1＝h2.∴S梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h2＝72h1，S梯形EFCD＝12×(2＋3)×h1＝52h1，∴S梯形ABFE ∶S梯形EFCD＝7∶5.【答案】7∶54．某同学的身高为1.6 m，由路灯下向前步行4 m，发现自己的影子长为2 m，求这个路灯的高．【解】如图所示，AB表示同学的身高，PB表示该同学的影长，CD表示路灯的高，则AB＝1.6 m，PB＝2 m，BD＝4 m.∵AB∥CD，∴PBPD＝ABCD，∴CD＝AB×PDPB＝1.6×(2＋4)2＝4.8(m)，即路灯的高为4.8 m.。

高中数学第一章常用逻辑用语章末综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中是命题的为()①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？③3＋1＝5；④∀x∈R,5x－3>6．A．①③B．②③C．②④D．③④D[①不能判断真假，②是疑问句，都不是命题；③④是命题．]2．命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是() A．若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等B．若△ABC中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形C．若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形D．若△ABC中任何两个内角相等，则它是等腰三角形C[将原命题的条件否定作为结论，为“△ABC是等腰三角形”，结论否定作为条件，为“有两个内角相等”，再调整语句，即可得到原命题的逆否命题，为“若△ABC中有两个内角相等，则它是等腰三角形”，故选C．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[根据特称命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B．]4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[命题“若p，则q”的逆否命题为：“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．]5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于()A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)≤0成立C ．∀x ∈R ，使得f (x )＞0成立D ．∀x ∈R ，f (x )≤0成立A [“关于x 的不等式f (x )＞0有解”等价于“存在实数x 0，使得f (x 0)＞0成立”．故选A ．]6．若命题(p ∨(q ))为真命题，则p ，q 的真假情况为( )A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假C [由(p ∨(q ))为真命题知，p ∨(q )为假命题，从而p 与q 都是假命题，故p 假q 真．]7．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1B [因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，p (x )，故p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1．]8．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0．下列选项中为真命题的是( )A ．pB ．p ∨qC ．q ∧pD ．qC [很明显命题p 为真命题，所以p 为假命题；由于函数y ＝2x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以q 是真命题．所以p ∨q 为假命题，q ∧p 为真命题，故选C ．]9．条件p ：x ≤1，且p 是q 的充分不必要条件，则q 可以是( )A ．x >1B ．x >0C ．x ≤2D ．－1<x <0B [∵p ：x ≤1，∴p ：x >1，又∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q 推不出p ，即p 是q 的真子集．]10．下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真，且“p ”为真的是( )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B ；q ：函数y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R )；q ：不等式|x |>x 的解集为(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：过点M (0,1)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条C [A 中，p 、q 均为假命题，故“p ∨q ”为假，排除A ；B 中，由在△ABC 中，cos 2A ＝cos 2B ，得1－2sin 2A ＝1－2sin 2B ，即(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝0，所以A －B ＝0，故p 为真，从而“p ”为假，排除B ；C 中，p 为假，从而“p ”为真，q 为真，从而“p ∨q ”为真；D 中，p 为真，故“p ”为假，排除D ．故选C ．] 11．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值X 围为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]A [由题意知p ，q 均为假命题，则p ，q 为真命题．p ：∀x ∈R ，mx 2＋1>0，故m ≥0，q ：∃x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0，则Δ＝m 2－4≥0，即m ≤－2或m ≥2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2得m ≥2．故选A ．] 12．设a ，b ∈R ，则“2a ＋2b ＝2a ＋b ”是“a ＋b ≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [利用基本不等式，知2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ·2b ，化简得2a ＋b ≥22，所以a ＋b ≥2，故充分性成立；当a ＝0，b ＝2时，a ＋b ＝2,2a ＋2b ＝20＋22＝5,2a ＋b ＝22＝4，即2a ＋2b ≠2a ＋b ，故必要性不成立．故选A ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”的逆否命题是________．若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0[“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或x >2”即为：“若x 2＋x －6>0，则x <－3或x >2”，根据逆否命题的定义可得：若－3≤x ≤2，则x 2＋x －6≤0．]14．写出命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为________．若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2 [命题“若x 2＝4，则x ＝2或x ＝－2”的否命题为“若x 2≠4，则x ≠2且x ≠－2”．]15．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________． (－∞，－1][命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题．则∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1．∴实数a 的取值X 围是(－∞，－1]．]16．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围是________．[－1,6][p ：－4<x －a <4⇔a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇔2<x <3．因为p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，所以q 是p 的充分条件，即q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．[解]“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．(真命题)逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．(真命题) 否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．(真命题)逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．(真命题)18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q ：所有的矩形都是正方形；(2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；(3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0．[解](1)q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题． (2)r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0． 19．(本小题满分12分)(1)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？[解](1)欲使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}，则只要－m 2≤－1，即m ≥2，故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x <－1或x >3}，则这是不可能的，故不存在实数m 使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．20．(本小题满分12分)已知p ：x 2－8x －33>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0(a >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．[解]解不等式x 2－8x －33>0，得p ：A ＝{x |x >11或x <－3}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q p ，说明A B ．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤11，1－a >－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a <11，1－a ≥－3，解得0<a ≤4，所以正实数a 的取值X 围是(0,4]．21．(本小题满分12分)证明：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． [证明](充分性)若a ＝1，则函数化为f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．因为f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝12x－112x ＋1＝1－2x 1＋2x＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． (必要性)若函数f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1，所以a ＋(a －2)·2x 2x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1，所以a ＋(a －2)·2x ＝－a ·2x －a ＋2，所以2(a －1)(2x ＋1)＝0，解得a ＝1．综上所述，函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a ＝1． 22．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ．若p ∨q 为真，q 为假，某某数m 的取值X 围．[解]由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，得Δ＝m 2－4>0，解得m >2或m <－2． ∴命题p 为真时，m >2或m <－2；命题p 为假时，－2≤m ≤2．由不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R ，得方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0的根的判别式Δ′＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3．∴命题q 为真时，1<m <3；命题q 为假时，m ≤1或m ≥3．∵p ∨q 为真，q 为假，∴p 真q 假，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－2，m ≤1或m ≥3，解得m <－2或m ≥3． ∴实数m 的取值X 围为(－∞，－2)∪[3，＋∞)．。

高中化学人教版选修4：第2章章末综合检测

章末综合检测(二)一、选择题(本题包括15小题，每小题3分，共45分)1．5.6 g铁粉投入到盛有100 mL 2 mol/L稀硫酸的烧杯中，2 min 时铁粉刚好溶解(溶解前后溶液体积变化忽略不计)，下列表示这个反应的速率正确的是()A．v(Fe)＝0.5 mol/(L·min)B．v(H2SO4)＝1 mol/(L·min)C．v(H2SO4)＝0.5 mol/(L·min)D．v(FeSO4)＝1 mol/(L·min)解析：选C。

铁粉为固体，其物质的量浓度可视为常数，不用铁粉表示化学反应速率，A错误；铁粉是0.1 mol，参加反应的H2SO4为0.1 mol，所以v(H2SO4)＝1 mol/L÷2 min＝0.5 mol/(L·min)，v(FeSO4)＝0.5 mol/(L·min)，B、D项错。

2．(2011年江苏南通调研)已知常温常压下，N2(g)和H2(g)生成2 mol NH3放出92.4 kJ 热量。

在同温、同压下向密闭容器中通入1 mol N2和3 mol H2，达到平衡时放出热量为Q1 kJ，向另一个体积相同的容器中通入0.5 mol N2、1.5 mol H2和1 mol NH3，相同条件下达到平衡时放出热量为Q2 kJ，则下列关系式正确的是()A．2Q2＝Q1＝92.4B．Q2<Q1<92.4C．Q1<Q2<92.4 D．Q2＝Q1<92.4解析：选B。

对于反应N2(g)＋3H2(g)2NH3(g)，ΔH＝－92.4 kJ/mol，而在密闭容器中通入1 mol N2和3 mol H2时，实际过程N2和H2不能完全转化，故生成n(NH3)<2 mol，放出的热量Q1<92.4，而另一容器中通入0.5 mol N2、1.5 mol H2和1 mol NH3，是从中间过程建立的平衡体系，达平衡时虽然与上述平衡相同，但生成的NH3比上述平衡体系还要少，故Q2<Q1，所以Q2<Q1<92.4。

最新精编高中人教A版选修4-1高中数学章末综合测评1和答案

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图1，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列式子：图1①AE EC ＝BF FC ；②AD BF ＝AB BC ；③EF AB ＝DE BC ；④CE CF ＝EA BF . 其中正确式子的个数有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个【解析】由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选B. 【答案】 B2．如图2，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )【导学号：07370024】图2A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5【解析】由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC .∵⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB 2＝S △ADE S △ABC ＝19， ∴AD AB ＝13， ∴AD ∶DB ＝1∶2. 【答案】 C3．如图3所示，将△ABC 的高AD 三等分，过每一分点作底面平行线，这样把三角形分成三部分，则这三部分的面积为S 1，S 2，S 3，则S 1∶S 2∶S 3等于( )图3A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．1∶3∶5D ．3∶5∶7【解析】如图所示，E ，F 分别为△ABC 高AD 的三等分点，过点E 作BC 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，过点F 作BC 的平行线交AB ，AC 于点G ，H .△AMN ∽△ABC ，S △AMN S △ABC ＝19，∴S 1＝19S △ABC .又△AGH ∽△ABC ，S △AGH S △ABC ＝49，S △AGH ＝S 1＋S 2，∴S 1＋S 2＝49S △ABC ，∴S 2＝39S △ABC ，∴S 3＝59S △ABC ，∴S 1∶S 2∶S 3＝1∶3∶5，故选C. 【答案】 C4．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD ＝3CE ，DE 交BC 于F ，则DF ∶FE 等于( )图4A．5∶2 B．2∶1C．3∶1 D．4∶1【解析】过D作DG∥AC，交BC于G，则DG＝DB＝3CE，即CE∶DG＝1∶3.易知△DFG∽△EFC，∴DF∶FE＝DG∶CE，所以DF∶FE＝3∶1.【答案】 C5．如图5所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：图5①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；④S△AOD＝S△BOC.其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确．由①知，DCAB＝OCOA.S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正确．∵S△ADC＝S△BCD，∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，∴S△AOD＝S△BOC，④正确．故①③④正确．【答案】 C6．如图6所示，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高( )图6A．11.25 m B．6.6 mC．8 m D．10.5 m【解析】本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1 m，OB＝16 m，高CE＝0.5 m，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝8 m.【答案】 C7．如图7所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40 cm2，S△ABE∶S △DBA＝1∶5，则AE的长为( )图7A．4 cm B．5 cmC．6 cm D．7 cm 【解析】∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA.∴S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5，∴AB2∶DB2＝1∶5，∴AB∶DB＝1∶ 5.设AB＝k，DB＝5k，则AD＝2k.∵S矩形＝40 cm2，∴k·2k＝40，∴k＝25，∴BD＝5k＝10，AD＝45，S△ABD ＝12BD·AE＝20，即12×10·AE＝20，∴AE＝4 cm.【答案】 A8．如图8，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝2，则此三角形移动的距离AA′是( ) 【导学号：07370025】图8A.2－1B.2C．1 D.1 2【解析】由题意可知，阴影部分与△ABC相似，且等于△ABC面积的1 2，∴A ′B ∶AB ＝12＝1∶ 2. 又∵AB ＝2，∴A ′B ＝1， ∴AA ′＝2－1. 【答案】 A9．如图9所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，则BD ∶AD ＝( )图9A.13 B.14 C.23D.25【解析】设CD ＝3，则AD ＝3，BD ＝1，∴BD AD ＝13.【答案】 A10．已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD >BD )，若CD ＝6，则AD 的长为( )A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】如图，连接AC ，CB.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ，由射影定理得CD 2＝AD ·DB ，即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9.∵AD>BD，∴AD＝9.【答案】 B11.某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图10所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC 地带种植同样的太阳花，还需资金( )图10A．500元B．1 500元C．1 800元D．2 000元【解析】在梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AMD∽△BMC，AD＝10 m，BC＝20 m，S△AMD S△BMC ＝⎝⎛⎭⎪⎫10202＝14，∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)，∴S△BMC＝200 m2，则还需要资金200×10＝2 000(元)．【答案】 D12．如图11所示，将一个矩形纸片BADC沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为( )图11A．1∶ 2 B．1∶ 3C.2∶1D.3∶1【解析】∵矩形AEFB∽矩形ABCD，∴BF∶AB＝AB∶AD.∵BF ＝12AD ，∴AB 2＝12AD 2，∴AD ∶AB ＝2∶1.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．如图12，已知DE ∥BC ，且BF ∶EF ＝4∶3，则AC ∶AE ＝________.图12【解析】 ∵DE ∥BC ，∴BC DE ＝BFEF ，同理AC AE ＝BC DE ，∴AC AE ＝BC DE ＝BF EF ＝43. 【答案】 4∶314．如图13，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于________米. 【导学号：07370026】图13【解析】如图，GC ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴GC ∥AB.∴△GCD ∽△ABD ，∴DC DB ＝GCAB.设BC ＝x ，则1x ＋1＝1.5AB ，同理，得2x ＋5＝1.5AB .∴1x ＋1＝2x ＋5，∴x ＝3，∴13＋1＝1.5AB ， ∴AB ＝6(米)．【答案】 615．如图14所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE 是AC 边上的中线，且AD ，BE 交于点G ，那么S △BDGS △ABC＝________.图14【解析】 ∵AD ，BE 是△ABC 的中线，且AD 交BE 于G ，∴G 是△ABC 的重心，∴DG AD ＝13，∴S △BDG S △ABD ＝13，又∵D 为BC 的中点，∴S △ABD S △ABC ＝12，∴S △BDG S △ABC ＝16. 【答案】 1616．如图15，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则DE ＝________.图15【解析】法一：因为AB ＝3，BC ＝3，所以AC ＝32＋32＝23，tan ∠BAC ＝33＝3，所以∠BAC ＝π3.在Rt △BAE 中，AE ＝AB cos π3＝32，则CE ＝23－3＝33.在△ECD 中，DE 2＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD cos ∠ECD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋(3)2－2×332×3×12＝214，故DE ＝212.法二：如图，作EM ⊥AB 交AB 于点M ，作EN ⊥AD 交AD 于点N .因为AB ＝3，BC ＝3，所以tan ∠BAC ＝33＝3，则∠BAC ＝π3，AE ＝AB cos π3＝3，NE ＝AM ＝AE cos π3＝32×12＝34，AN ＝ME ＝AE sin π3＝32×32＝34，ND ＝3－34＝94.在Rt △DNE 中，DE ＝NE 2＋ND 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝212. 【答案】212三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图16，点E 是四边形ABCD 的对角线上一点，且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE .图16 (1)求证：BE·AD＝CD·AE；(2)根据图形的特点，猜想BCDE可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想．【解】(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠DAC.∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴BECD＝AE AD，即BE·AD＝CD·AE.(2)猜想：BCDE＝ABAE⎝⎛⎭⎪⎫ACAD.证明：∵由(1)△ABE∽△ACD，∴ABAC＝AE AD，又∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD，∴BCDE＝ABAE⎝⎛⎭⎪⎫ACAD.18．(本小题满分12分)如图17，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的一点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，试求PQ的长．图17【解】∵PQ⊥PC，∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°，∴∠APQ ＝∠BCP ，∴Rt △APQ ∽Rt △BCP .∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1，∴AP BC ＝AQ BP，即AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝ 916＋1＝54. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2＝BD ·DC ，求∠BCA 的度数．【解】 (1)当AD 在△ABC 内部时，如图(1)，由AD 2＝BD ·DC ，可得△ABD ∽△CAD .∴∠BCA ＝∠BAD ＝65°；(2)当AD 在△ABC 外部时，如图(2)，由AD 2＝BD ·DC ，得△ABD ∽△CAD ，∴∠B ＝∠CAD ＝25°，∴∠BCA ＝∠CAD ＋∠ADC ＝25°＋90°＝115°.故∠BCA 等于65°或115°.20．(本小题满分12分)如图18所示，CD 为Rt △ABC 斜边AB 边上的中线，CE ⊥CD ，CE ＝103，连接DE 交BC 于点F ，AC ＝4，BC ＝3.求证：图18(1)△ABC ∽△EDC ；(2)DF ＝EF .【证明】 (1)在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，则AB ＝5.∵D 为斜边AB 的中点，∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ＝2.5， ∴CD CE ＝2.5103＝34＝BC AC，∴△ABC ∽△EDC . (2)由(1)知，∠B ＝∠CDF ，∵BD ＝CD ，∴∠B ＝∠DCF ，∴∠CDF ＝∠DCF .∴DF ＝CF .①由(1)知，∠A ＝∠CEF ，∠ACD ＋∠DCF ＝90°，∠ECF ＋∠DCF ＝90°， ∴∠ACD ＝∠ECF .由AD ＝CD ，得∠A ＝∠ACD .∴∠ECF ＝∠CEF ，∴CF ＝EF .②由①②，知DF ＝EF .21．(本小题满分12分)已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，直线MN 是梯形的对称轴，P 是MN 上的一点，直线BP 交直线DC 于F ，交CE 于E ，且CE ∥AB.(1)若点P 在梯形内部，如图19(1)．求证：BP 2＝PE ·PF .(2)若点P 在梯形的外部，如图19(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(1) (2)图19【解】(1)证明：连接PC，因为MN是梯形ABCD的对称轴，所以PB＝PC，∠PBC＝∠PCB.因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠ABC＝∠DCB，即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，所以∠ABP＝∠DCP.又因为CE∥AB，所以∠E＝∠ABP＝∠DCP，而∠CPE＝∠FPC，所以△CPE∽△FPC.所以PEPC＝PCPF，即PC2＝PE·PF，又因为PC＝BP，所以BP2＝PE·PF.(2)结论成立．证明如下：连接PC，由对称性知PB＝PC，所以∠PBC＝∠PCB.因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠ABC＝∠DCB，所以∠ABC＋∠PBC＝∠DCB＋∠PCB，即∠ABP＝∠DCP.因为CE∥AB，所以∠ABP＋∠PEC＝180°，而∠DCP＋∠PCF＝180°，所以∠PEC＝∠PCF.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△EPC∽△CPF.所以PE PC ＝PC PF，即PC 2＝PE ·PF ，所以BP 2＝PE ·PF .22．(本小题满分12分)如图20，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上的一点，BF AF ＝m n(m ，n >0)．取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于E .图20(1)求BE EC的值； (2)如果BE ＝2EC ，那么CF 所在的直线与边AB 有怎样的位置关系？证明你的结论；(3)E 点能否为BC 中点？如果能，求出相应的m n 的值；如果不能，证明你的结论．【导学号：07370027】【解】 (1)如图所示，作CG ∥AB 交AE 的延长线于G .在△GCD 与△AFD 中，∠G ＝∠FAD ，∠CDG ＝∠FDA ，DC ＝DF ，∴△GCD ≌△AFD ，∴GC ＝AF .在△ABE 和△GCE 中，∠BAE ＝∠G ，∠AEB ＝∠GEC ，∴△ABE ∽△GCE .∵BF AF ＝m n(m ，n >0)， ∴BE EC ＝AB GC ＝BF ＋AF AF ＝BF AF ＋1＝m n＋1.(2)∵BE＝2EC，∴BEEC＝2.由(1)知BEEC＝mn＋1，∴mn＝1.∴BF＝AF，F为AB的中点．∵AC＝BC，∴CF⊥AB，∴CF所在的直线垂直平分边AB.(3)不能．∵BEEC＝mn＋1，而mn>0，∴BEEC>1，∴BE>EC.∴E不能为BC的中点．。

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图 10
A．1
2 B. 2
C. 3－1
D. 2
【解析】如图，过点 B 作 BB′⊥MN，交⊙O 于点
B′，连接 AB′交 MN 于点 P′，即点 P 在点 P′处时， AP＋BP 最小．
易知 B 与 B′点关于 MN 对称，
依题意∠AON＝60°，
则∠B′ON＝∠BON＝30°，
所以∠AOB′＝90°， AB′＝ OA2＋OB′2＝ 2. 故 PA＋PB 的最小值为 2，故选 D.
B．4
C．6
D．8
【解析】 ∵AT 为⊙O 的切线，
∴AT2＝AD·AC.
∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.
∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，
DE AE
DE·AC 2 × 9
即BC＝AC，∴BC＝ AE ＝ 3 ＝6.
【答案】 C
10．如图 9，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于 D 点，
【答案】 A
6．如图 5，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，
∠A＝80°，则∠BIC 等于( )
A．80° C．120° 【解析】 ∵∠A＝80°，
图5 B．100° D．130°
∴∠ABC＋∠ACB＝100°.
1
1
∵∠IBC＝2∠ABC，∠ICB＝2∠ACB，
1 ∴∠IBC＋∠ICB＝2(∠ABC＋∠ACB)＝50°，
APD≌Rt△BHD，得 AP＝BH，③成立；对于④，不能判定 DH 是圆的切线，故应选 .
【答案】 D 11.如图 10，在⊙O 中，MN 为直径，点 A 在⊙O 上，且∠AON＝60°，点 B 是的中点，点 P 是直径 MN 上一动点，⊙O 的半径为 1，则 AP＋BP 的最小值为( )
【答案】 D
12．如图 11 所示，PT 与⊙O 切于 T，CT 是⊙O 的直径，PBA 是割线，与 ⊙O 的交点是 A，B，与直线 CT 的交点 D，已知 CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么 PB＝( )
图 11
A．10 C．5
B．20 D．8 5
【解析】根据相交弦定理，可得
AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得 DT＝6，
章末综合测评(二)
(时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在⊙O 中，∠AOB＝84°，则弦 AB 所对的圆周角是( )
【导学号：07370050】
A．42°
B．138°
C．84°
∠AO1B＋∠ADB＝180°， ∴∠AO1B＝180°－∠ADB＝180°－α.
1 ∵∠ACB＝2∠AO1B，
1 ∴β＝2(180°－α)，故选 D. 【答案】 D 4.如图 3 所示，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD 是⊙O 的直径，则∠AEB 等于
( )
图3
A．70°
B．110°
C．90°
∵AB＋CD＝26，∴AB＋BC＋CD＋AD＝52. 【答案】 B
3．如图 2，⊙O 经过⊙O1 的圆心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，则 α 与 β 之间的关系是( )
图2 A．β＝α
B．β＝180°－2α 1
C．β＝2(90°－α) 1
D．β＝2(180°－α) 【解析】如图所示，分别连接 AO1，BO1. 根据圆内接四边形的性质定理，可得
∴PO＝2CO， 53
∴ 3CO＝5，即 CO＝ 3 . 【答案】 A
8．(2016·焦作模拟)如图 7，已知 AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB 于 P，EF 是
过点 P 的弦，已知 AB＝10，PA＝2，PE＝5，则 CD 和 EF 分别为( )
A．8 和 7 C．7 和 8
图7 41
B．7 和 5 41
∴圆的半径 r＝4，AB＝7，不妨设 PB＝x，则 PA＝x＋7，根据切割线定理，
DP⊥AC，垂足是 P，DH⊥BH，垂足是 H，下列结论：①CH＝CP；② ＝；③AP＝BH；④DH 为圆的切线．其中一定成立的是( )
图9
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③
【解析】显然①可由△PCD≌△HCD 得到；因为四边
形 ABCD 为圆的内接四边形，所以
∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，故②成立；而③，连接 BD，则 AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以 Rt△
D．8 和 5
【解析】 ∵PA·PB＝PC2， ∴PC2＝16，PC＝4，∴CD＝8.
16 ∵PE·PF＝PC2，∴PF＝ 5 ，
16 41 ∴EF＝ 5 ＋5＝ 5 . 【答案】 D 9．如图 8，已知 AT 切⊙O 于 T.若 AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则 BC＝( )
图8
A．3
∴∠BIC＝180°－50°＝130°.
【答案】 D
7．如图 6，已知⊙O 的直径与弦 AC 的夹角为 30°，过 C 点的切线 PC 与
AB 的延长线交于 P，PC＝5，则⊙O 的半径为( )
5 A.3 3 C．10
图6 5
B.6 3 D．5
【解析】连接 OC，则有∠COP＝60°，OC⊥PC，
图4
10
2
A. 3
B.3
4
C．1
D.3
【解析】 ∵MN 为⊙O 的切线，∴∠BCM＝∠A.
∵MN∥BE，∴∠BCM＝∠EBC，
∴∠A＝∠EBC.
又∠ACB＝∠BCE，
AB BC ∴△ABC∽△BEC，∴BE＝EC.
64 ∵AB＝AC，∴BE＝BC，∴4＝EC.
8
8 10
∴EC＝3，∴AE＝6－3＝ 3 .
D．120°
【解析】由题意知，∠D＝∠A＝50°，
∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝90°－50°＝40°，又∠ACB＝180°－50°－60°＝70°，
∴∠AEB＝∠CBD＋∠ACB＝40°＋70°＝110°. 【答案】 B
5．如图 4，△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，直线 MN 切⊙O 于点
C，BE∥MN 交 AC 于点 E，若 AB＝6，BC＝4，则 AE＝( )
D．42°或 138°
【解析】弦 AB 所对的弧的度数为 84°或 276°，故其所对的圆周角为 42°
或 138°.
【答案】 D
2．如图 1，一圆内切四边形 ABCD，且 AB＝16，CD＝10，则四边形的周
长为( )
图1
A．50
B．52
C．54
D．56
【解析】由切线长定理知 CD＋AB＝AD＋BC.