20.2.1.极差与方差1
极差和方差公式
极差和方差公式
极差和方差是统计学中常用的两种变异度量方法。
极差是指数据集中最大值和最小值之间的差值，它可以用来描述数据分布的范围。
方差是指数据点与其均值的离差平方和的平均值，它可以用来描述数据集中的离散程度。
极差的计算公式为：R = max(x) - min(x)，其中max(x)表示数据集中的最大值，min(x)表示数据集中的最小值。
方差的计算公式为：s^2 = Σ(x - x)^2 / (n - 1)，其中x表示数据点，x表示数据集的均值，n表示数据集的大小。
可以看到，方差的计算需要先求出数据集的均值，因此在实际应用中，通常会先计算均值，再计算方差。
而极差的计算则比较简单，只需要求出最大值和最小值即可。
需要注意的是，极差和方差都是对数据集中的每个数据点进行计算的，因此对于含有异常值的数据集，它们的计算结果可能会受到影响。
此外，在比较两个数据集的变异程度时，应该使用标准差而不是方差，因为标准差可以将变异量与数据集的单位量纲对齐，使得比较更加准确。
- 1 -。
极差方差标准差公式
极差方差标准差公式方差、标准差和极差是统计学中常用的三种描述数据分散程度的指标，它们在数据分析和研究中起着重要的作用。
在本文中，我们将详细介绍极差、方差和标准差的概念、计算公式及其在实际应用中的意义。
首先，我们来介绍极差的概念。
极差是用来衡量一组数据中最大值和最小值之间的差距的统计量。
它可以简单地用最大值减去最小值来计算，即：极差 = 最大值最小值。
极差可以直观地反映出数据的波动程度，但它只考虑了最大值和最小值，对数据的整体分布情况并不十分准确。
因此，我们需要引入方差和标准差这两个指标来更全面地描述数据的分散程度。
接下来，我们将介绍方差的概念及其计算公式。
方差是衡量一组数据离散程度的统计量，它是各数据与其均值之差的平方的平均数。
方差的计算公式如下：方差= Σ（Xi X）^2 / n。
其中，Xi代表第i个数据点，X代表数据的均值，n代表数据的个数。
通过计算各数据与均值之差的平方并求平均数，可以得到数据的方差。
方差越大，数据的离散程度越高，反之则越低。
最后，我们将介绍标准差的概念及其计算公式。
标准差是方差的平方根，它是数据离散程度的一种度量，通常用来衡量数据的波动情况。
标准差的计算公式如下：标准差= √方差。
标准差的计算方法与方差密切相关，通过对方差取平方根，可以得到数据的标准差。
标准差越大，数据的波动越剧烈，反之则越平稳。
在实际应用中，极差、方差和标准差都是重要的统计指标，它们可以帮助我们更准确地了解数据的分布情况，从而进行科学的数据分析和决策。
例如，在财务分析中，我们可以利用这些指标来评估投资组合的风险；在质量控制中，我们可以利用这些指标来评估产品质量的稳定性；在市场营销中，我们可以利用这些指标来评估市场需求的波动情况等等。
综上所述，极差、方差和标准差是描述数据分散程度的重要统计指标，它们在数据分析和研究中具有重要的意义。
通过对这些指标的深入理解和应用，我们可以更好地把握数据的特征和规律，为科学决策提供可靠的依据。
数据分析极差和方差
如果一组数据的方差较大，可能存在异常值，需 要进一步检查。
预测模型评估
在预测模型中，可以使用历史数据的方差来评估 模型的预测准确性。
方差在数据分析中的作用
描述数据分布
方差可以用来描述数据分布的情况， 了解数据的集中趋势和离散程度。
比较数据集
决策依据
在数据分析中，方差可以作为决策的 依据，例如在市场调研中，可以根据 不同产品的方差大小来决定产品的市 场策略。
提高效率
数据分析有助于优化业务流程，提高工作效率，降低 成本。
极差和方差的定义
极差
极差是一组数据中的最大值和最小值之差，用于描述数 据的离散程度。
方差
方差是一组数据与其平均值之差的平方的平均值，用于 描述数据的离散程度。
02
极差
极差的计算方法
01 极差定义
极差是一组数据中最大值与最小值之差，用于衡 量数据的离散程度。
通过比较不同数据集的方差大小，可 以了解它们之间的差异。
04
极差和方差的比较
极差和方差的优缺点
极差 优点：计算简单，容易理解，能够反
映数据的变化范围。
缺点：对异常值敏感，容易受到极端 值的影响，不能反映数据的离散程度。
方差
优点：能够反映数据的离散程度，不 受极端值影响，可以用于比较不同数 据集的离散程度。
极差和方差的计算方法
目前极差和方差的计算方法主要是基于统计学的理论，未来可以 考虑结合机器学习算法，提高计算效率和准确性。
极差和方差的应用领域
目前极差和方差主要应用于统计学和数据分析领域，未来可以考虑 将其应用ห้องสมุดไป่ตู้其他领域，如金融、医学等。
极差和方差的优化算法
目前极差和方差的计算算法较为简单，未来可以考虑优化算法，提 高计算效率。
【精品】2020年中考数学复习 --《极差、方差和标准差》知识点
【精品】2020年中考数学复习 --《极差、方差和标准差》知识点 极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．一、定义理解1、极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．极差＝最大值－最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义．2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况．求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常用2S 表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，1x 、2x 、…n x 表示各数据． 方差计算公式是： s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出2S 的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差． 标准差＝方差，方差＝标准差2．一组数据的标准差计算公式是S =其中x 为n 个数据12n x x x ，，…，的平均数． 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况．二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102（1） 求甲、乙两队的平均分和极差？（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：（1）3.100100101101104103102969997100101）＝（＝甲+++++++++⨯x 3.10010210310410410010295999797101）＝（＝乙+++++++++⨯x甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9（2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(1012222＝甲-++-+-=S 21.9])3.100102()3.10097()3.10097[(1012222＝乙-++-+-= S 甲队的标准差：37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈ 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25，23，28，22，27乙组：27，24，24，27，23（1）10盆花的花期最多相差几天？（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？（3）施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！ 解：（1）28－22＝6（天） 所以，10盆花的花期最多相差6天．（2）由平均数公式得：252722282325(51）＝＝甲++++x252327242427(51）＝＝乙++++x得乙甲＝x x ，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．（3）由方差公式得： 2.5])2527()2522()2528()2523()2525[(101222222＝甲-+-+-+-+-=S 8.2])2523()2527()2524()2524()2527[(51222222＝乙-+-+-+-+-=S 得22S 乙甲<S 故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1.一组数据5，8，x ，10，4的平均数是2x ，则这组数据的方差是________．2.五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm ）：2，－2，－1，1，0， 则这组数据的极差为______cm ．方差是_______，标准差是______3.若样本1，2，3，x 的平均数为5，又样本1，2，3，x ，y 的平均数为6，则样本1，2，3，x ，y 的极差是_______，方差是_______，标准差是______．4.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____， 标准差为________．5.一组数据－8，－4，5，6，7，7，8，9的极差是______，方差是_____，标准差是______．6.若样本x 1，x 2，……，x n 的平均数为 ＝5，方差S 2＝0.025，则样本4x 1，4x 2，……，4x n 的平均数x ＇＝_____，方差S ＇2＝_______．。
极差与方差 PPT
经 和计20算02可年以上看海出地，区对的于平2均月气下温旬相的等这，段都时是间1而2。言C，. 2001年 这是不是说，两个时段的气温情况没有差异呢？
25
20
15
2001年
10
2002年
5
0
极差越大,波动越大
21日 22日 23日 24日 25日 26日 27日 28日
问题1:你会计算一组数据的变化范围吗？
上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？
——与考试次数有关！ 所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性
设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ， 那么我们用它们的平均数，即用
S2=
1
n
[(x1－x)2＋
(x2－x)2
x x 规律；有两组数据，设其平均数分别为
,
1
2
s s 方差分别为 2 , 2
1
2
x s s x (1) 当第二组每个数据比第一组每个数据2增加 2
m个单位时， 则有 2 = 1 +m, 2 = 1
(2) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n
x x s n s n2
2
倍时, 则有
=n
2
1
,
=
2
22 1
＋…＋
(xn－x)2 ]
定义
方差:各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.
S2=
1
n
[(x1－x)2＋
(x2－x)2
＋…＋
(xn－x)2 ]
❖计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差， 平方后，再平均”.
方差用来衡量一批数据的波动大小.(即这批数据 偏离平均数的大小).
20.2.1 数据的波动——极差(1)
2月 4月 6月 8月 10月 12月
乌鲁木齐 10℃ 14℃ 20℃ 24℃ 19℃ 15℃ 昆 明 15℃ 16℃ 18℃ 19℃ 17℃ 17℃
比较两个城市气温的高低，求平均气温是一种 常用的方法。请你求出这两个城市的平均气温。
17℃ 17℃ 这是不是说，两个城市气温情况没有差异呢？
2、小华五次跳远的成绩如下（单位：m）：
3.9，4.1，3.9，3.8，4.2
关于这组数据，下列说法错误的是（ D ）
A. 极差是0.4
B. 众数是3.9
C. 平均数是3.98 D. 中位数是3.98
3、已知一组数据1，2，0，-1，x，1的平均数是1，
则这组数据的极差为 4
能力提升
1、数据a，b，c，d的极差为r，则a+x， b+x，c+x，d+x的极差为（ A）
应用
2月 2月 2月 2月 2月 2月 2月 2月 21日 22日 23日 24日 25日 26日 27日 28日
2001年 12 13 14 22 6 8 9 12
2002年 13 13 12 9 11 16 12 10
问：2001年2月下旬上海的气温的极差是多少？ 22-6=16 （℃） 2002年同期的上海的气温的极差又是多少？16-9=7 （℃）
A. r B. x C. r+x D. r-x 2、若数据2，a，3，4的极差是3， 求a的值及这组数据的平均数。
解：①若a为最小值，则4-a=3 ∴a=1 ∴￣x=2.5
②若a为最大值，则a-2=3 ∴a=5 ∴￣x=3.5
课时（6）
情景引入（二）
在一次女子篮球比赛中，甲乙两队参赛选手的 年龄如下：（单位：岁）
20.2 第1课时 方差
图20－2－1
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第1课时 方差
(1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大； (2)根据图中提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．
解 ： (1) 这 5 天 的 日 最 高 气 温 和 日 最 低 气 温 的 平 均 数 分 别 是 －x 高 ＝ 23＋25＋253＋25＋24＝24， －x 低＝21＋22＋155＋15＋17＝18，
是这组数据的( B )
A．最小值
B.平均数
C．中位数
D.众数
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第1课时 方差
分层作业
1．[2019·潍坊]小莹同学10个周的综合素质评价成绩统计如下：
成绩/分 94 95 97 98 100
周数/个 1 2 2 4 1
这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是( B )
A．97.5 2.8
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第1课时 方差
分层作业
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第1课时 方差
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B.97.5 3
C．97 2.8
D.97 3
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第1课时 方差
2．[2019·绵阳]帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量(单位： 吨)，整理并绘制成如图20－2－3所示的折线统计图．下列结论正确的是( D ) A．极差是6 B.众数是7 C．中位数是5 D.方差是8
20.2数据的波动--极差与方差
10
显然 ，由此可知甲队选手年龄的波动较大，这与我 们从图看到的结果 是一致的．
2 2 s甲 s乙
例1 在一次芭蕾舞的比赛中，甲乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧（天鹅湖） ，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是 甲团 163 164 164 165 165 165 166 167
乙团 163 164 164 165 166 167 167 168
我们可以用“先平均，再求差，然后平方， 最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离 平均值的情况。这个结果通常称为方差。
两组数据的方差分别是：
2 2 2 26 26.9 25 26.9 29 26.9
2 s甲
10
2.29 0.89
2 s乙
2 2 2 28 26.9 27 26.9 26 26.9
x
s
2 1
s
2
1
(2) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍时, 则有
x
2
=n
x
2
n2
1
,
s
x
2 2
=
n
2 2
2
s
(3) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n
倍加 m 时,则有
x
= n
,
1
s
=
n
2
s
2
1
哪个芭蕾舞团的女演员的身高更整齐？ 解: 甲乙两团演员的身高更分别是：
x甲
２ ２ ２ 163 166 164 166 168 166 s２＝ ＝2.75
163 164 2 165 3 166 167 165 8 163 164 2 165 166 167 ２ 168 x乙 166 8
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1
定义
方差:各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.
S2=
2＋ (x －x)2 ＋…＋ (x －x)2 ] [(x － x) 1 2 n n
1
计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，
平方后，再平均”.
方差用来衡量一批数据的波动大小.(即这批数据 偏离平均数的大小).
方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.
100 95
90 85 80
考 试 次 数
0
1
2
3
4
5
甲同学成绩与平均成绩的偏差的和：
（85-90）+（90-90）+（90-90）+（90-90） +（95-90）= 0 怎么办
乙同学成绩与平均成绩的偏差的和：
（95-90）+（85-90）+（95-90）+（85-90） +（90-90）= 0
极差的意义：
极差能够反映数据的变化范围， 它是最简单的一种度量数据波动情况 的量，但它受极端值的影响较大。也 就是说，极差只能反映数据的波动范 围，而不能具体反映所有数据的波动 情况。
老师的烦恼
下星期三就要数学竞赛了，甲，乙两名同学只 能从中挑选一个参加。若你是老师，你认为挑 选哪一位比较适宜？ 甲、乙两个同学本学期五次测验的数学成绩分别 如下（单位：分） 甲 乙
甲同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（85-90）2+（90-90）2+（90-90）2 +（90-90）2+（95-90）2 = 50
乙同学成绩与平均成绩的偏差的平方和：
（95-90）2+（85-90）2+（95-90）2 +（85-90）2+（90-90）2 = 100
上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？
极差的运用：已知数据 1，-3，0， x 的极差是 5，求 x 的值。
你能确定最大值和最小值吗
方差的运用
在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团表演 了舞剧《天鹅湖》,参加表演的女演员的身高 (单位:cm)分别是 甲团 163 164 164 165 165 165 166 167 乙团 163 164 164 165 166 167 167 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐?
1、人生应该如蜡烛一样，从顶燃到底， 一直都是光明的。 2、不要等待机会，而要创造机会。
• 【课标要求】 • 体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平 均数、样本方差推断总体平均数和总体方差。 • 【考纲要求】 • 理解数据的离散程度、方差。
• 1、知道极差的定义，知道极差是用来反映 数据波动范围的一个量；会求一组数据的极 差。 • 2、知道方差的定义和计算公式。理解方差 概念的产生和形成的过程。会用方差计算公 式来比较两组数据的波动大小。
2
.
样本容量 数字10 表示
样本平均数 . ，数字20表示
1.在数据统计中,能反映一组数据变化范围大小的指标是 ( D ) A 平均数 B 众数 C 中位数 D 极差
5 2.数据 0 , -1 , 3 , 2 , 4 的极差是＿＿＿＿＿ . -5 ℃. 3. 某日最高气温是4 ℃, 温差是 9 ℃,则最低气温是＿＿＿
谢谢！
阅读书本：什么是极差？ 利用极差计算某日在不同时段测得乌鲁木齐和广州的 气温情况如下：
0︰00 乌鲁 木 齐 广州 4︰00 8︰00 12︰00 16︰00 20︰00
10℃
20℃
14℃
22℃
20℃
23℃
24℃
25℃
19℃
23℃
16℃
21℃
分别求出这一天两地的温差。 乌鲁木齐：24-10=14(℃) 广州： 25-20=5(℃) Ⅰ.由上述计算你能得到什么信息？ Ⅱ.极差反映了数据的什么情况？ Ⅲ.极差受什么影响较大？
人教版义务教育课程标准实验教材
八年级数学下册第二十章
马集中心学校 孙丽 审核人：郭庙中心校 董倩倩
人生应该如蜡烛一样，从顶燃到底，一直都是光明的。
甲种甜玉米的产量
本章的知识结构图
方差 极差 数据的波 动程度
数据的集中 趋势
标准 差
（算术） 平均数
课题学习
中位数 众数
数 据 的 分章 析 20
• •
_
85 95
90 85
90 95
_
90 8595 90x甲 源自90(分)x 乙 90(分)
老师的烦恼
甲，乙两名同学的测试成绩统计如下： 85 90 90 90 95 甲 乙 95 85 95
_
85
成绩（分）
90
x乙 90(分)
_
⑴ 请分别计算两名同学的平均成绩；x甲 90(分)
⑵ 请根据这两名同学的成绩在 下图中画出折线统计图； ⑶ 现要挑选一名同学参加竞 赛，若你是老师，你认为挑 选哪一位比较适宜？为什么？
——与考试次数有关！
所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性 设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ， 那么我们用它们的平均数，即用
S2=
2＋ (x －x)2 ＋…＋ (x －x)2 ] [(x － x) 1 2 n n
解:甲、乙两团演员的平均身高分别是
163 164 2 165 3 166 167 165 x甲 8 — 163 164 2 165 166 167 2 168 x乙 166 8
—
164165 （ 167 165 （ 163 165 ） （ ） ） 1.36 s 8
2 2 2 2 甲
s
2
乙
(164166) ( 163 166 )
2
2
(168166)
2
8
2.75
由 s甲 s乙 可知，甲芭蕾舞团女演 员的身高更整齐 .
2
2
• 通过本节课的学习， • 你有什么收获？（知识、生活上的启 迪……） • 还有什么困惑？
性质
性质
计算
计算
极差
方差
定义
定义
极 差 与 方 差
20.2.1
A1、样本方差的作用是（ D （A)表示总体的平均水平
）
（B）表示样本的平均水平
（C）准确表示总体的波动大小
（D）表示样本的波动大小
2、样本5、6、7、8、9的方差是 3、 在样本方差的计算公式
2 1 ( x 20) 2 ( x 20) 2 ... ( x 20) 2 s 10 n 2 1