广东省江门市2019届高三高考模拟(第一次模拟)考试数学(文科)试卷(解析版)
广东省江门市2019年普通高中高三第一次模拟测试文科数学试卷
江门市2019年高考模拟考试数 学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ⒈已知集合{}3|≤=x x M ，N 是自然数集，则集合N M 元素的个数是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ⒉复数)1(i i Z +⋅=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 ⒊下列函数中，既是偶函数又在) , 0(∞+单调递增的是A ．x y =B ．x y cos =C ．x e y =D ．||ln x y = ⒋已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 32-=，若它的第k 项满足52<<k a ，则=k A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ⒌下列结论，不．正确．．的是 A ．若命题p ：R x ∈∀，1≥x ，则命题p ⌝：R x ∈∀，1<x ． B ．若p 是假命题，q 是真命题，则命题p ⌝与命题q p ∨均为真命题． C ．方程122=+ny mx （m ，n 是常数）表示双曲线的充要条件是0<⋅n m ． D ．若角α的终边在直线x y =上，且00360360<≤-α，则这样的角α有4个．⒍有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A ．31B ．21C ．32D ．43⒎已知向量)2 , 1(=a ，)3 , 1(-=b ，//a c 且0≠c ，则c 与b 的夹角是 A ．0 B ．π C ．4π D ．4π或43π⒏以x 轴为对称轴，以坐标原点为顶点，焦点在直线1=-y x 上的抛物线的方程是A ．x y 42-=B ．x y 42=C ．x y 22-=D ．x y 22= ⒐如图1是某个正方体的侧面展开图，1l 、2l 是两条 侧面对角线，则在正方体中，1l 与2lA B DFEA ．互相平行B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为3π D ．相交且夹角为3π ⒑设V 是平面向量的集合，映射f ：V V →满足⎪⎩⎪⎧≠==.0 , ,0 , 0 ) (a a a f ，则对a ∀、V b ∈，R ∈∀λ，下列结论恒成立的是 A ．)()()(b f a f b a f +=+ B ．)]()([)|| |(|b f a f f b b a a f +=+⋅ C ．)() |(|a f a a f =⋅ D ．)]()([)|| |(|b f a f f b a a b f +=+⋅ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题（11～13题）⒒执行如图2的程序框图，输出的=S ．⒓已知x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧≤≤+≤.1||,31x y x ，则y x +2的最大值是 ． ⒔已知函数x x x f 2sin )2cos 1()(+=，R x ∈．若41)(=αf ，则=+)8(παf ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕（几何证明选讲选做题）如图3，E 、F 是梯形ABCD 的腰AD 、BC 上的点，其中AB CD 2=，AB EF //，若EF CD AB EF =，则=EDAE．⒖（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，经过点)3, 2(πA 且垂直于OA （O 为极点）的直线的极坐标方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）如图4，四边形ABCD 中，5=AB ，3=AD ，cos BCD ∆是等边三角形．1⑴求四边形ABCD 的面积； ⑵求ABD ∠sin ．⒘（本小题满分14分）某年某省有23万多文科考生参加高考，除去成绩为670分（含670分）以上的6人与成绩为350分（不含350分）以下的38390人，还有约4.19万文科考生的成绩集中在)670 , 350[内，其成绩的频率分布如下表所示：⑴请估计该次高考成绩在)670 , 350[内文科考生的平均分（精确到1.0）；⑵考生A 填报志愿后，得知另外有4名同分数考生也填报了该志愿。
2019年广东省高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{x|1＜2x＜16}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）2．（5分）复数z＝（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±，0）B．（0，）C．（±5，0）D．（0，±5）4．（5分）若sin（）＝，则cos2α＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A＝1，则cos B 的取值范围为（）A．（）B．[）C．（，1）D．[，1）9．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣310．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，直线y＝x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB＝（）A．B．C．D．212．（5分）函数f（x）＝（kx﹣2）lnx，g（x）＝2lnx﹣x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A．[1﹣，﹣）B．（1﹣，﹣]C．[﹣，2﹣）D．（﹣，2﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC ＝2，∠EAD＝30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”． （1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； （2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程＝x +，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），……，（x n ，y n ），其回归直线＝x +的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝．20．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C ：＝1（a ＞b ＞0）上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上． 21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥﹣4a2+4a(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线∁l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a的值．2019年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝（﹣∞，3），B＝{x|1＜2x＜16}＝（0，4）∴A∩B＝（0，3）．故选：D．2．【解答】解：∵z＝＝，∴z＝的虚部为．故选：B．3．【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：，可得a＝，b＝，c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．4．【解答】解：sin（）＝﹣cosα＝，则cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣，故选：B．5．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．6．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，故选：A．7．【解答】解：根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，∵＝（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．8．【解答】解：∵cos C+cos A＝1，∴由余弦定理可得：•+•＝1，化简可得：b2＝ac，由余弦定理可得；cos B＝＝≥＝，∴≤cos B＜1，即：cos B∈[，1）．故选：D．9．【解答】解：由题意，可知：对于A：＝＝，整理上式，可得：16﹣12﹣3＝，这与题干中条件相符合，故选：A．10．【解答】解：设BC＝a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，故选：B．11．【解答】解：抛物线C：x2＝4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2﹣2x﹣4＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝2，y1+y2＝3由抛物线的性质可知：|AB|＝p+y1+y2＝2+3＝5，点O到直线y＝x+1的距离d，d＝．∴则△OAB的面积S，S＝•|AB|•d＝．故选：C．12．【解答】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx﹣2）lnx＜2lnx﹣x，即kx﹣2＜2﹣，即kx＜4﹣，设h（x）＝4﹣，则h′（x）＝﹣＝﹣，由h′（x）＞0得﹣（lnx﹣1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得﹣（lnx﹣1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x＝e时，h（x）取得极大值h（e）＝4﹣＝4﹣e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→﹣∞，h（3）＝4﹣，h（4）＝4﹣＝4﹣，即A（3，4﹣），B（4，4﹣），当直线y＝kx过A，B点时对应的斜率k A＝＝﹣，k B＝＝1﹣，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x＝2，和x＝3，即直线y＝kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1﹣＜k≤﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，﹣]，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．【解答】解：f（2）＝ln2，∴f（f（2））＝f（ln2）＝e ln2＝2．故答案为：2．14．【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y﹣z＝0过点A时，z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．15．【解答】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，得，∴，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r＝．∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为S＝．故答案为：．16．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|＝|QR|＝，解得|PQ|＝，∴T＝|PQ|+|QR|＝π，∴ω＝＝2，设P（x0，m），则Q（﹣x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|＝﹣2x0，|QR|＝+2x0，∴2（﹣2x0）＝+2x0，解得x0＝＝，∴m＝sin（2×）+＝+＝1，∴ω+m＝2+1＝3．故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）①．当n＝1时，解得：，当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1．②①﹣②得：2a n＝a n﹣1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n＝log2a n＝﹣n．所以：b n+1＝﹣（n+1），则：，故：＝．18．【解答】解：（1）证明：因为AD＝2，DC＝4，AC＝2，所以AD2+DC2＝AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE＝2，AD＝2，AB＝2，∠EAD＝30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°＝，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F﹣BCH的体积，可得＝4＝．19．【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，所以，，所以．当x＝10时，，当x＝11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．20．【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵A1（0，2），A2（0，﹣2），∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2，则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2，由，消x可得＝，整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y＝4上21．【解答】（1）解：f′（x）＝e x﹣2a，f′（0）＝1﹣2a＝2，解得：a＝﹣，∴f（x）＝e x+x，则f（0）＝1．∴切线方程为y＝2x+1；（2）证明：f′（x）＝e x﹣2a，由f′（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a．∴当x∈（﹣∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（ln2a）＝e ln2a﹣2aln2a＝2a﹣2aln2a．令g（a）＝2a﹣2aln2a+4a2﹣4a＝2a2﹣2a﹣2aln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a﹣1﹣ln2a≥0，令h（a）＝a﹣1﹣ln2a，则h′（a）＝1﹣＝，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）＝0，即a﹣1﹣ln2a≥0．∴f（x）≥﹣4a2+4a．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4，设M（x，y）则P（2x﹣4，2y）在曲线C1上，所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4，即（x﹣2）2+y2＝1，即x2+y2﹣4x+3＝0，C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在直角三角形CMA中，CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2，①在直角三角形CMO中，CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2，②由①②得AB＝，∴OM＝，CM＝，k＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）＝，∴x＝1时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）﹣5＜0的解集为（a﹣3，﹣），∴﹣﹣a+3＝﹣＝，∴a＝3符合，当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集为（﹣﹣1，﹣），∴﹣++1＝≠．综上可得a＝3．。
广东省江门市2019年高考模拟(第一次模拟)考试数学(文科)试卷(解析版)
广东省江门市2019年高考模拟（第一次模拟）考试数学（文科）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.R是实数集，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，或；．故选：C．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．2.i是虚数单位，A. iB.C. 1D.【答案】B【解析】解：，．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质计算．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．3.甲、乙、丙、丁四所学校分别有150、120、180、150名高二学生参加某次数学调研测试为了解学生能力水平，需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析，记这项调查为；在丙校有50名数学培优生，需要从中抽取10名学生进行失分分析，记这项调查为完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是A. 分层抽样法、系统抽样法B. 分层抽样法、简单随机抽样法C. 系统抽样法、分层抽样法D. 简单随机抽样法、分层抽样法【答案】B【解析】解：，四所学校，学生有差异，故使用分层抽样，在同一所学校，且人数较少，使用的是简单随机抽样，故选：B．根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可．本题主要考查简单抽样的应用，根据分层抽样的定义是解决本题的关键．4.在直角坐标系Oxy中，若抛物线的准线经过双曲线的焦点，则双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：抛物线的准线：，双曲线的左焦点，可得：可得，解得，双曲线的渐近线方程为：．故选：D．求出抛物线的准线方程，求出双曲线的焦点坐标，然后推出mn的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．5.“”是“两直线和平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：两直线和平行的充要条件为，即或，又“”是“或的充分不必要条件，即“”是“两直线和平行”的充分不必要条件，故选：A．由两直线和平行的充要条件为，即或，再判断“”与“或的充要性即可得解．本题考查了两直线平行的充要条件，属简单题．6.中，，，，，垂足为D，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，可得：，，，由图可知：，解得：，又，所以，，所以，故选：C．由平面向量基本定理、向量共线及垂直的运算得：，解得：，又，所以，，所以，得解本题考查了平面向量基本定理及向量共线、垂直的运算，属中档题．7.、、、、成等差数列，公差是5，这组数据的标准差为A. 50B.C. 100D. 10【答案】B【解析】解：、、、、成等差数列，公差是5，这组数据的标准差为：．故选：B．利用等差数列的性质、标准差公式直接求解．本题考查标准差的求法，考查等差数列的性质、标准差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.正方体的平面展开图如图，AB、CD、EF、GH四条对角线两两一对得到6对对角线，在正方体中，这6对对角线所在直线成角的有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【答案】D【解析】解：根据题意，如图为平面展开图对应的正方体，其中AB与GH、AB与EF、GH与CD、EF与CD所成的角为，共有4组；故选：D．根据题意，作出平面展开图对应的正方体，分析其中6条对角线所在直线成角的情况，综合即可得答案．本题考查正方体的几何性质，涉及异面直线所成的角，属于基础题．9.函数在区间上的零点的个数是A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】A【解析】解：画出图象函数和的图象，根据图象可得函数在区间上的零点的个数是10，故选：A．画出函数和的图象，通过图象读出即可．题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．10.能把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为周易函数已知函数：；；；，在这些函数中，周易函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得，“周易函数”能把圆的周长和面积同时分为相等的两部分，则其图象经过圆心，且是奇函数；据此依次分析选项：对于，为奇函数，但不过原点，不符合题意；对于，，有，过原点，且，为奇函数，符合题意；对于，，为正切函数，过原点且是奇函数，符合题意；对于，，不经过原点，不符合题意；则是周易函数；故选：D．根据题意，分析可得周易函数的图象经过圆心，且是奇函数；据此依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断以及应用，关键是分析周易函数的性质，属于基础题．11.实数x、y满足，若的最大值为1，则有A. 最大值9B. 最大值18C. 最小值9D. 最小值18【答案】C【解析】根据，可得点满足的图形为、、、为顶点的正方形，可知，时取得最大值，故，所以，当取得．故选：C．根据，求出点满足的图形，根据的最值，求出a，b的关系，再根据基本不等式求解．本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12.是定义在R上的奇函数，若时，，则______．【答案】【解析】解：根据题意，时，，则，又由是定义在R上的奇函数，则；故答案为：2．根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性分析求出的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意利用函数奇偶性的定义进行分析，属于基础题．13.在直角坐标系Oxy中，直线与坐标轴相交于A、B两点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程是______．【答案】【解析】解：在直角坐标系Oxy中，直线与坐标轴相交于A、B两点，、，则经过O、A、B三点的圆的圆心为直角三角形AOB的斜边AB的中点，半径为AB的一半，即，则经过O、A、B三点的圆的标准方程是，故答案为：．先求出A、B的坐标，根据圆心为直角三角形AOB的斜边AB的中点C，半径为AB的一半，写出圆的标准方程．本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．14.数列、中，，，且、、成等差数列，则数列的前n项和______．【答案】【解析】解：数列、中，，，且、、成等差数列，则：，所以：，所以：，故答案为：．首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前n项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.在直角坐标系Oxy中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率______．【答案】【解析】解：由约束条件作出可行域如图，作出直线，区域表示三角形OAB，满足的点在三角形ABC内，联立，解得，联立，解得，，，．的概率．故答案为：．由约束条件作出可行域，求出满足的点M所在区域，再由测度比是面积比得答案．本题考查简单的线性规划，考查几何概型概率的求法，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）16.平面四边形ABCD中，边，，对角线．Ⅰ求内角C的大小；Ⅱ若A、B、C、D四点共圆，求边AD的长．【答案】解：Ⅰ在中，分列式分，计算1分分Ⅱ因为A、B、C、D四点共圆，所以分在中，分，解得或分，所以，分【解析】Ⅰ利用余弦定理，真假求内角C的大小；Ⅱ、B、C、D四点共圆，求出A，然后利用余弦定理，转化求解即可．本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．17.如图，三棱柱的底面ABC是等边三角形，侧面，．Ⅰ求证：；Ⅱ、N分别是棱、上一点，若，，求四棱锥的体积．【答案】Ⅰ证明：作，垂足为D，连接CD因为面，，所以分，所以分不妨设的边长为a，因为，所以，由得，分因为，所以分因为，所以平面分平面ACD，所以分Ⅱ解：方法一由Ⅰ知，分由Ⅰ知平面ACD，平面ACD，所以侧面平面分在中，作，垂足为E，则面分DE是等腰直角斜边上的高，分四棱锥的体积分方法二连接AN，三棱锥的体积分分分同理可得，三棱锥的体积分四棱锥的体积分【解析】Ⅰ作，垂足为D，连接CD证明，，证明，即可证明平面ACD，推出．Ⅱ方法一推出侧面平面ACD，作，垂足为E，则面，然后求解四棱锥的体积．方法二连接AN，三棱锥的体积，同理可得，三棱锥的体积，然后求解即可．本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力．18.随着生活质量不断提高，人们越来越重视身材保养根据统计，我国大多数男性体重与身高之间近似满足关系式、c为大于0的常数按照某项指标测定，当体重与身高的比值在区间内时为优等身材现随机抽取6位成年男性，测得数据如下：Ⅰ从抽取的6位男性中再随机选取2位，求恰有一位优等身材的概率；Ⅱ对测得数据作如下处理：，，得相关统计量的值如表：根据所给统计量，求y关于x的回归方程；已知某成年男性身高为180cm，求其体重的预报值结果精确到参考公式和数据：对于样本2，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；．【答案】解：Ⅰ已知6位成年男性中，优等身材有4位，记为、、、，另外两位记为、，从中选取2位，不同的选取结果有：、、、、、、、、、、、、、、，共15种分恰有一位优等身材的结果有：、、、、、、、，共8种分因为随机选取，不同结果等可能，所以恰有一位优等身材的概率分Ⅱ由得，分由、得，，其中分由已知公式和数据得，分，分所求y关于x的回归方程为分由得，当时，分答：预测这个成年男性体重为分【解析】Ⅰ已知6位成年男性中，优等身材有4位，记为、、、，另外两位记为、，从中选取2位，利用列举法能求出恰有一位优等身材的概率．Ⅱ由得，，由、得，，其中，由此能求出y关于x的回归方程．当时，，由此能预测这个成年男性体重．本题考查概率的求法，考查回归直线方程的求法及应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.在直角坐标系Oxy中，椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ是椭圆与y轴负半轴的交点，经过F的直线l与椭圆交于点M、N，经过B且与l平行的直线与椭圆交于点A，若，求直线l的方程．【答案】解：Ⅰ设椭圆的标准方程为分依题意，，分所以，，所求椭圆的标准方程为分Ⅱ因为，所以MN与x轴不垂直，设直线l的方程为分由得，分设、，则，分分依题意，直线AB的方程为分设、，同理可得，分因为，所以分从而，，直线l的方程为分【解析】Ⅰ设椭圆的标准方程为，求出c，利用e求解a，然后求解椭圆的标准方程．Ⅱ因为，所以MN与x轴不垂直，设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，设、，利用韦达定理，直线AB的方程为，设、，转化求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．20.已知函数，是常数．Ⅰ证明：曲线在处的切线经过定点；Ⅱ证明：函数有且仅有一个零点．【答案】解：Ⅰ分曲线在处的切线为分即，当时，，即切线过定点分Ⅱ当时，分单调递增，根据对数函数与幂函数性质，当x是充分小的正数时，，当x是充分大的正数时，，所以，有且仅有一个零点分当时，解得，，分，其中，所以分所以，任意，，在区间无零点分取，则，，所以，在区间有零点分由的单调性知，在区间有且仅有一个零点综上所述，函数有且仅有一个零点分【解析】Ⅰ求出函数的导函数，求出切线的斜率，推出切线方程，然后求解直线经过的定点．Ⅱ当时，，判断函数的单调性，推出零点的个数．当时，解得，，，利用函数的单调性结合函数的极值，求解函数的零点．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．21.在直角坐标系Oxy中，曲线：为参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ分别求曲线的普通方程和的直角坐标方程；Ⅱ是曲线和的一个交点，过点P作曲线的切线交曲线于另一点Q，求．【答案】解：Ⅰ由得，曲线的普通方程为．由、得，曲线的直角坐标方程为，Ⅱ解得，，．根据圆的对称性，不妨设，则，．直线PQ的方程为，即．圆心到直线PQ的距离，所以，．【解析】Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离的公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.已知函数，，，是常数．Ⅰ解关于x的不等式；Ⅱ若曲线与无公共点，求m的取值范围．【答案】解：Ⅰ依题意，分由，得，分，解得，分解得，或分不等式的解集为分Ⅱ依题意，无零点，分的最小值为4，所以，即m的取值范围是分【解析】Ⅰ得到关于的不等式，求出x的范围即可；Ⅱ令，求出的分段函数的形式，求出的最小值，从而求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。
广东省江门市鹤城中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析
广东省江门市鹤城中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆与圆的位置关系为(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离参考答案：B2. 已知函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，则f（2）+f（）=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2参考答案：A【考点】函数的值．【分析】利用函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，求出相应函数值，即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，∴f（2）=f（﹣2）=﹣f（2），∴f（2）=0，f（）=f（﹣）=﹣f（）=log22=1，∴f（2）+f（）=1，故选：A．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，比较基础．3. 设集合，集合。
若中恰含有一个整数u，则实数a的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：B4. 设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A5. “是真命题”是“是假命题”的（）A、必要不充分条件B、充分不必要条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件参考答案：A略6. 已知z是纯虚数，复数是实数，则z=（）A. －2iB. 2iC.D.参考答案：【分析】根据复数的运算及复数相等，即可得到结论．【详解】∵是实数，∴设a，a是实数，则z+1＝a（2﹣i）＝2a﹣ai，∴z＝2a﹣1﹣ai，∵z为纯虚数，∴2a﹣1＝0且﹣a≠0，即a，∴z＝2a﹣1﹣ai，故选：D．7. 若复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A. iB. －iC. 1D. －1参考答案：B【分析】利用已知求得，再利用复数的乘法、除法运算计算即可得解．【详解】，复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，故选:B【点睛】本题主要考查了复数的对称关系，还考查了复数的除法、乘法运算，属于基础题．8. 如图，已知P，Q是函数的图象与x轴的两个相邻交点，R是函数的图象的最高点，且=3，若函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式是（）A．B．C．D．参考答案：C由已知，得，则，，于是，得，又，∴，，由，及，得，故，因为与的图象关于对称，则．9. 设都有上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”。
2019年广东省江门市高2019届高2016级文科数学一模试卷
2019年广东省江门市高2016级数学一模试卷文科数学试题及详细解析一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)R 是实数集,{|37}A x x =<…,{|410}B x x =<<,则()(R A B =ð )A.[3,10)B.(4,7)C.[7,10)D.[3,4]2.(5分)i 是虚数单位,20191()(1i i+=- )A.iB.i -C.1D.1-3.(5分)甲、乙、丙、丁四所学校分别有150、120、180、150名高二学生参加某次数学调研测试.为了解学生能力水平,需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析,记这项调查为①；在丙校有50名数学培优生,需要从中抽取10名学生进行失分分析,记这项调查为②.完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A.分层抽样法、系统抽样法 B.分层抽样法、简单随机抽样法 C.系统抽样法、分层抽样法 D.简单随机抽样法、分层抽样法4.(5分)在直角坐标系Oxy 中,若抛物线212y nx =的准线经过双曲线22221(0,0)23x y m n m n-=>>的焦点,则双曲线的渐近线方程是( )A.2y x =±B.12y x =±C.y =D.y = 5.(5分)“2a =”是“两直线320ax y a ++=和2(1)20x a y ++-=平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)函数()|sin cos |f x x x =-的最小正周期为( ) A.2πB.32π C.π D.2π 7.(5分)ABC ∆中,90ACB ∠=︒,3AC =,4BC =,CD AB ⊥,垂足为D ,则(CD = ) A.4377CA CB + B.3477CA CB + C.1692525CA CB + D.9162525CA CB +8.(5分)1a 、2a 、3a 、4a 、5a 成等差数列,公差是5,这组数据的标准差为( ) A.50B.C.100D.109.(5分)正方体的平面展开图如图,AB 、CD 、EF 、GH 四条对角线两两一对得到6对对角线,在正方体中,这6对对角线所在直线成60︒角的有( )A.1对B.2对C.3对D.4对10.(5分)函数()2sin x f x x =-在区间[10π-,10]π上的零点的个数是( ) A.10B.20C.30D.4011.(5分)能把圆229x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为周易函数.已知函数：①1y x =；②11412x y =-+；③tan ()22y x x ππ=-<<；④sin cos y x x =+,在这些函数中,周易函数是( ) A.①②B.①③C.③④D.②③12.(5分)实数x 、y 满足||||2x y x y ++-=,若4(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1,则11a b+有( ) A.最大值9B.最大值18C.最小值9D.最小值18二、填空题：本题共4小题,每小题5分.13.(5分)()f x 是定义在R 上的奇函数,若0x …时,2()log (1)f x x =+,则(3)f -= . 14.(5分)在直角坐标系Oxy 中,直线124x y-=与坐标轴相交于A 、B 两点,则经过O 、A 、B 三点的圆的标准方程是 .15.(5分)数列{}n a 、{}n b 中,*n N ∀∈,2n n a =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,则数列{}n b 的前n 项和n S = .16.(5分)在直角坐标系Oxy 中,记0201x x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩………表示的平面区域为Ω,在Ω中任取一点0(M x ,0)y ,0031x y -…的概率P = .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)平面四边形ABCD 中,边5AB BC ==,8CD =,对角线7BD =. (Ⅰ)求内角C 的大小；(Ⅱ)若A 、B 、C 、D 四点共圆,求边AD 的长.18.(12分)如图,三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等边三角形,侧面1111ABB A BCC B ⊥,145B BA ∠=︒.(Ⅰ)求证：1AC BB ⊥；(Ⅱ)M 、N 分别是棱1AA 、1CC 上一点,若12BB =,112AM C N ==,求四棱锥B A M N C -的体积.19.(12分)随着生活质量不断提高,人们越来越重视身材保养.根据统计,我国大多数男性体重()y kg 与身高()x cm 之间近似满足关系式(b y c x b =、c 为大于0的常数).按照某项指标测定,当体重与身高的比值在区间(0.36,0.38)内时为优等身材.现随机抽取6位成年男性,测得数据如下：(Ⅰ)从抽取的6位男性中再随机选取2位,求恰有一位优等身材的概率； (Ⅱ)对测得数据作如下处理：i i u lny =,i i v lnx =,得相关统计量的值如表：(1)根据所给统计量,求y 关于x 的回归方程；(2)已知某成年男性身高为180cm ,求其体重的预报值.(结果精确到0.1)参考公式和数据：对于样本(i v ,)(1i u i =,2,⋯,)n ,其回归直线u b v a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()nnii i i i i nniii i vv u u v unvu bvv vnv ====---==--∑∑∑∑,ˆˆau b v =-； 6.1420.00215e -≈. 20.(12分)在直角坐标系Oxy 中,椭圆的中心在原点,,一个焦点是(1,0)F -. (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)B 是椭圆与y 轴负半轴的交点,经过F 的直线l 与椭圆交于点M 、N ,经过B 且与l 平行的直线与椭圆交于点A,若MN AB =,求直线l 的方程. 21.(12分)已知函数21()2f x lnx x ax =+-,a R ∈是常数. (Ⅰ)证明：曲线()y f x =在1x =处的切线经过定点； (Ⅱ)证明：函数()f x 有且仅有一个零点.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系Oxy 中,曲线144cos :(4sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为24cos 40ρρθ--=. (Ⅰ)分别求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 是曲线1C 和2C 的一个交点,过点P 作曲线1C 的切线交曲线2C 于另一点Q ,求||PQ . [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()||f x x =,()|4|g x x m =--+,x R ∈,m R ∈是常数. (Ⅰ)解关于x 的不等式(||)30g x m +->；(Ⅱ)若曲线()y f x =与1()2y g x =无公共点,求m 的取值范围.2019年广东省江门市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)R 是实数集,{|37}A x x =<…,{|410}B x x =<<,则()(R A B =ð )A.[3,10)B.(4,7)C.[7,10)D.[3,4]【解答】解：{|3R A x x =<ð,或7}x …； ()[7R A B ∴=ð,10).故选：C .2.(5分)i 是虚数单位,20191()(1i i+=- )A.iB.i -C.1D.1-【解答】解：21(1)1(1)(1)i i i i i i ++==--+, ∴20192019450431()()1i i i i i i+===--. 故选：B .3.(5分)甲、乙、丙、丁四所学校分别有150、120、180、150名高二学生参加某次数学调研测试.为了解学生能力水平,需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析,记这项调查为①；在丙校有50名数学培优生,需要从中抽取10名学生进行失分分析,记这项调查为②.完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A.分层抽样法、系统抽样法 B.分层抽样法、简单随机抽样法 C.系统抽样法、分层抽样法 D.简单随机抽样法、分层抽样法【解答】解：①,四所学校,学生有差异,故①使用分层抽样, ②在同一所学校,且人数较少,使用的是简单随机抽样, 故选：B .4.(5分)在直角坐标系Oxy 中,若抛物线212y nx =的准线经过双曲线22221(0,0)23x y m n m n-=>>的焦点,则双曲线的渐近线方程是( )A.2y x =±B.12y x =±C.y =D.y = 【解答】解：抛物线212y nx =的准线：3x n =-,双曲线22221(0,0)23x y m n m n-=>>的左焦点(,0),可得：3n =可得223n m =,解得m =,双曲线的渐近线方程为：y ==. 故选：D .5.(5分)“2a =”是“两直线320ax y a ++=和2(1)20x a y ++-=平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：两直线320ax y a ++=和2(1)20x a y ++-=平行的充要条件为(1)23(2)22a a a a ⨯+=⨯⎧⎨⨯-≠⨯⎩,即2a =或3a =-, 又“2a =”是“2a =或3a =-的充分不必要条件,即“2a =”是“两直线320ax y a ++=和2(1)20x a y ++-=平行”的充分不必要条件, 故选：A .6.(5分)函数()|sin cos |f x x x =-的最小正周期为( )A.2πB.32π C.πD.2π【解答】解：函数()|sin cos |)|4f x x x x π=-=-的最小正周期为1221ππ=,故选：C .7.(5分)ABC ∆中,90ACB ∠=︒,3AC =,4BC =,CD AB ⊥,垂足为D ,则(CD = ) A.4377CA CB + B.3477CA CB + C.1692525CA CB + D.9162525CA CB + 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系,可得：(0,0)C , (0,3)A ,(4,0)B ,由图可知：BD BA λ=,解得：(1)(44,3)CD CA CB λλλλ=+-=-,又CD AB ⊥,(4,3)AB =-所以4(44)(3)30λλ⨯-+-⨯=,1625λ=, 所以1692525CD CA CB =+, 故选：C .8.(5分)1a 、2a 、3a 、4a 、5a 成等差数列,公差是5,这组数据的标准差为( )A.50B.C.100D.10【解答】解：1a 、2a 、3a 、4a 、5a 成等差数列,公差是5, ∴这组数据的标准差为：=. 故选：B .9.(5分)正方体的平面展开图如图,AB 、CD 、EF 、GH 四条对角线两两一对得到6对对角线,在正方体中,这6对对角线所在直线成60︒角的有( )A.1对B.2对C.3对D.4对【解答】解：根据题意,如图为平面展开图对应的正方体,其中AB 与GH 、AB 与EF 、GH 与CD 、EF 与CD 所成的角为60︒, 共有4组； 故选：D .10.(5分)函数()2sin x f x x =-在区间[10π-,10]π上的零点的个数是( ) A.10B.20C.30D.40【解答】解：画出图象函数2x y =和sin y x =的图象,根据图象可得函数()2sin x f x x =-在区间[10π-,10]π上的零点的个数是10,故选：A .11.(5分)能把圆229x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为周易函数.已知函数：①1y x =；②11412x y =-+；③tan ()22y x x ππ=-<<；④sin cos y x x =+,在这些函数中,周易函数是( ) A.①②B.①③C.③④D.②③【解答】解：由题意可得,“周易函数”能把圆229x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分,则其图象经过圆心(0,0),且是奇函数； 据此依次分析选项：对于①,1y x=为奇函数,但不过原点,不符合题意； 对于②,11412x y =-+,有(0)0f =,过原点, 且1111()()()412412x x f x f x --=-=--=-++,为奇函数,符合题意； 对于③,tan ()22y x x ππ=-<<,为正切函数,过原点且是奇函数,符合题意；对于④,sin cos )4y x x x π=++,不经过原点,不符合题意；则②③是周易函数； 故选：D .12.(5分)实数x 、y 满足||||2x y x y ++-=,若4(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1,则11a b+有( ) A.最大值9B.最大值18C.最小值9D.最小值18【解答】根据||||2x y x y ++-=,可得点(,)x y 满足的图形为(1,1)A 、(1,1)B -、(1,1)C --、(1,1)D -为顶点的正方形,可知1x =,1y =时4z ax by =+取得最大值,故41a b +=,所以11114()(4)59a b a b a b a b b a +=++=++…,当11,63a b ==取得. 故选：C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分.13.(5分)()f x 是定义在R 上的奇函数,若0x …时,2()log (1)f x x =+,则(3)f -= 2- . 【解答】解：根据题意,0x …时,2()log (1)f x x =+,则f (3)2log 42==, 又由()f x 是定义在R 上的奇函数,则(3)f f -=-(3)2=； 故答案为：2.14.(5分)在直角坐标系Oxy 中,直线124x y-=与坐标轴相交于A 、B 两点,则经过O 、A 、B 三点的圆的标准方程是 22(1)(2)5x y -++= . 【解答】解：在直角坐标系Oxy 中,直线124x y-=与坐标轴相交于A 、B 两点,(2,0)A ∴、(0,4)B -,则经过O 、A 、B 三点的圆的圆心为直角三角形AOB 的斜边AB 的中点(1,2)C -,半径为AB 的一半,即||2AB r == 则经过O 、A 、B 三点的圆的标准方程是22(1)(2)5x y -++=,故答案为：22(1)(2)5x y -++=.15.(5分)数列{}n a 、{}n b 中,*n N ∀∈,2n n a =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,则数列{}n b 的前n 项和n S = 323n ⨯- .【解答】解：数列{}n a 、{}n b 中,*n N ∀∈,2n n a =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列, 则：1222n n n b +=+, 所以：322nn b =, 所以：123133(2222)(22)32322n n n n S +=+++⋯+=-=-,故答案为：323n -.16.(5分)在直角坐标系Oxy 中,记0201x x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩………表示的平面区域为Ω,在Ω中任取一点0(M x ,0)y ,0031x y -…的概率P =45. 【解答】解：由约束条件0201x x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩………作出可行域如图,作出直线31x y -=,区域Ω表示三角形OAB ,满足0031x y -…的点0(M x ,0)y 在三角形ABC 内,联立201x y x y -=⎧⎨-=⎩,解得(2,1)B ,联立2031x y x y -=⎧⎨-=⎩,解得2(5C ,1)5,||5OB =||OC =∴45ABC OAB S S ∆∆=. 0031x y ∴-…的概率45P =. 故答案为：45. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)平面四边形ABCD 中,边5AB BC ==,8CD =,对角线7BD =. (Ⅰ)求内角C 的大小；(Ⅱ)若A 、B 、C 、D 四点共圆,求边AD 的长.【解答】解：(Ⅰ)在BCD ∆中,2221cos 22BC CD BD C BC CD +-==⋯⋯⨯⨯(3分)(列式(2分),计算1分)3C π=⋯⋯(5分)(Ⅱ)因为A 、B 、C 、D 四点共圆,所以23A C ππ=-=⋯⋯(6分) 在ABD ∆中,2222cos BD AB AD AB AD A =+-⨯⨯⨯⋯⋯(8分) 249255AD AD =++,解得3AD =或8AD =-⋯⋯(11分) 0AD >,所以,3AD =⋯⋯(12分)18.(12分)如图,三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等边三角形,侧面1111ABB A BCC B ⊥,145B BA ∠=︒.(Ⅰ)求证：1AC BB ⊥；(Ⅱ)M 、N 分别是棱1AA 、1CC 上一点,若12BB =,112AM C N ==,求四棱锥B A M N C-的体积.【解答】(Ⅰ)证明：作1A D B B ⊥,垂足为D ,连接CD 因为面1111A B B A B C C B⊥,11111ABB A BCC B BB =,所以11AD BCC B ⊥⋯⋯(1分)11CD BCC B ⊂,所以AD CD ⊥⋯⋯(2分)不妨设ABC ∆的边长为a ,因为145B BA ∠=︒,所以AD BD ==,由AD CD ⊥得,CD =⋯⋯(3分) 因为2222BD CD a BC +==,所以BD CD ⊥⋯⋯(4分) 因为ADCD D =,所以1BB ⊥平面ACD ⋯⋯(5分)AC ⊂平面ACD ,所以1AC BB ⊥⋯⋯(6分)(Ⅱ)解：(方法一)由(Ⅰ)知1AC AA ⊥,1()2AMNC S AM CN AC =⨯+⨯(8分)由(Ⅰ)知1BB ⊥平面ACD ,1AA ⊥平面ACD ,所以侧面11ACC A ⊥平面ACD ⋯⋯(9分) 在ACD ∆中,作DE AC ⊥,垂足为E ,则DE ⊥面11ACC A ⋯⋯(10分)DE 是等腰直角ACD ∆斜边上的高,12DE AC ==(11分) 四棱锥B AMNC -的体积111333AMNC V Sh S DE ==⨯⨯=⋯⋯(12分)(方法二)连接AN ,三棱锥B ANC -的体积113A BCN BCN V V S AD -∆==⨯⨯⋯⋯(7分)1324BCN S CN CD ∆=⨯⨯=⋯⋯(8分)11311344V =⨯⨯=⋯⋯(9分)同理可得,三棱锥B AMN -的体积211312N ABM ABM V V S CD -∆==⨯⨯=⋯⋯(11分)四棱锥B AMNC -的体积1213V V V =+=⋯⋯(12分)19.(12分)随着生活质量不断提高,人们越来越重视身材保养.根据统计,我国大多数男性体重()y kg 与身高()x cm 之间近似满足关系式(b y c x b =、c 为大于0的常数).按照某项指标测定,当体重与身高的比值在区间(0.36,0.38)内时为优等身材.现随机抽取6位成年男性,测得数据如下：(Ⅰ)从抽取的6位男性中再随机选取2位,求恰有一位优等身材的概率； (Ⅱ)对测得数据作如下处理：i i u lny =,i i v lnx =,得相关统计量的值如表：(1)根据所给统计量,求y 关于x 的回归方程；(2)已知某成年男性身高为180cm ,求其体重的预报值.(结果精确到0.1)参考公式和数据：对于样本(i v ,)(1i u i =,2,⋯,)n ,其回归直线u b v a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()nnii i i i i nniii i vv u u v unvu bvv vnv ====---==--∑∑∑∑,ˆˆau b v =-； 6.1420.00215e -≈. 【解答】解：(Ⅰ)已知6位成年男性中,优等身材有4位,记为1U 、2U 、3U 、4U ,另外两位记为1V 、2V ,从中选取2位,不同的选取结果有： 12U U 、13U U 、14U U 、32U U 、42U U 、34U U 、11U V 、12U V 、12VU 、22V U 、31U V 、32U V 、41U V 、42U V 、12V V ,共15种⋯⋯(2分)恰有一位优等身材的结果有：11U V 、12U V 、12VU 、22V U 、31U V 、32U V 、41U V 、42U V ,共8种⋯⋯(4分)因为随机选取,不同结果等可能,所以恰有一位优等身材的概率815P =.⋯⋯(5分) (Ⅱ)(1)由b y c x =得,lny lnc blnx =+⋯⋯(6分)由i i u lny =、i i v lnx =得,u bv a =+,其中a lnc =⋯⋯(7分) 由已知公式和数据得,0.024ˆ20.012b==⋯⋯(8分) 25.035230.943ˆˆ 6.1426au bv -⨯=-=≈-, 6.1420.00215c e -=≈⋯⋯(9分) 所求y 关于x 的回归方程为20.00215y x =⋯⋯(10分)(2)由(1)得,当180x =时,20.0021518069.6669.7y =⨯=≈⋯⋯(11分)答：预测这个成年男性体重为69.7kg ⋯⋯(12分)20.(12分)在直角坐标系Oxy 中,椭圆的中心在原点,,一个焦点是(1,0)F -. (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)B 是椭圆与y 轴负半轴的交点,经过F 的直线l 与椭圆交于点M 、N ,经过B 且与l 平行的直线与椭圆交于点A ,若MN AB =,求直线l 的方程.【解答】解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>⋯⋯(1分)依题意,1c =,c e a ==(2分)所以a 2221b a c =-=,所求椭圆的标准方程为2212x y +=⋯⋯(3分)(Ⅱ)因为MN AB AB =>,所以MN 与x 轴不垂直,设直线l 的方程为(1)y k x =+⋯⋯(4分)由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得,22221()2102k x k x k +++-=⋯⋯(5分)设1(M x ,1)y 、2(N x ,2)y ,则2122421k x x k +=-+,21222221k x x k -=⋯⋯+(6分)12x x -=(7分)依题意,直线AB 的方程为1y kx =-⋯⋯(8分) 设3(A x ,3)y 、4(B x ,4)y ,同理可得,342421k x x k -=⋯⋯+(10分)因为MN AB ,1234x x --⋯⋯(11分)k,k =直线l的方程为1)y x =+⋯⋯(12分) 21.(12分)已知函数21()2f x lnx x ax =+-,a R ∈是常数. (Ⅰ)证明：曲线()y f x =在1x =处的切线经过定点； (Ⅱ)证明：函数()f x 有且仅有一个零点. 【解答】解：(Ⅰ)1()f x x a x'=+-⋯⋯(1分)曲线()y f x =在1x =处的切线为y f -(1)f ='(1)(1)x -⋯⋯(2分) 即1()(2)(1)2y a a x --=--,3(2)2y a x =--当0x =时,32y =-,即切线过定点3(0,)2-⋯⋯(3分)(Ⅱ)(1)当2a …时,1()20f x x a a x'=+--⋯⋯厖(4分) ()f x 单调递增,根据对数函数与幂函数性质,当x 是充分小的正数时,()0f x <,当x 是充分大的正数时,()0f x >,所以,()f x 有且仅有一个零点⋯⋯(6分)(2)当2a >时,解1()0f x x a x'=+-=得,1x =,2x =⋯⋯(8分)22111()(128f x a =+=--,1<,所以1()0f x <⋯⋯(9分)所以,任意(0x ∀∈,2]x ,()0f x <,()f x 在区间(0,2]x 无零点 ⋯⋯(10分)取021x a =+,则0x e >,00001()(2)02f x lnx x x a =+->,所以,()f x 在区间2(x ,0)x 有零点 ⋯⋯(11分)由()f x 的单调性知,()f x 在区间2(x ,)+∞有且仅有一个零点 综上所述,函数()f x 有且仅有一个零点⋯⋯(12分)请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系Oxy 中,曲线144cos :(4sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为24cos 40ρρθ--=.(Ⅰ)分别求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 是曲线1C 和2C 的一个交点,过点P 作曲线1C 的切线交曲线2C 于另一点Q ,求||PQ . 【解答】解：(Ⅰ)由22sin cos 1αα+=得,曲线1C 的普通方程为22(4)16x y -+=. 由222x y ρ=+、cos x ρθ=得,曲线2C 的直角坐标方程为22440x y x +--=,(Ⅱ)解2222(4)16440x y x y x ⎧-+=⎨+--=⎩得,1x =,y =.根据圆的对称性,不妨设P ,则1PC k =,PQ k =.直线PQ 的方程为1)y x -,即340x +=.圆心2(2,0)C 到直线PQ 的距离52d ==,所以,PQ = [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()||f x x =,()|4|g x x m =--+,x R ∈,m R ∈是常数. (Ⅰ)解关于x 的不等式(||)30g x m +->；(Ⅱ)若曲线()y f x =与1()2y g x =无公共点,求m 的取值范围.【解答】解：(Ⅰ)依题意,(||)3|||4|3g x m x +-=--+⋯⋯(1分) 由(||)3|||4|30g x m x +-=--+>, 得,|||4|33||43x x -<-<-< ⋯⋯(2分) 1||7x <<,解||7x <得,77x -<< ⋯⋯(3分)解||1x >得,1x >或1x <- ⋯⋯(4分) 不等式的解集为(7-,1)(1-⋃,7)⋯⋯(5分) (Ⅱ)依题意,11()()422f xg x x x m -=+--无零点,34,8,211()44,08,2234,0.2x x h x x x x x x x ⎧->⎪⎪⎪=+-=+⋯⋯⎨⎪⎪-+<⎪⎩剟(8分)()h x 的最小值为4,所以4m <,即m 的取值范围是(,4)-∞⋯⋯(10分)。
广东省江门市2019-2020学年高三精编模拟数学文试题Word版含答案
广东省江门市2019-2020学年高三精编模拟数学文试题 第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}0B x x =>，则=A B U （A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x >- （C ）{}0x x ≥ （D ） {}0x x >（2）已知复数(1)(2)i i z i-++=-，则z 在复平面内对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）设,a b ∈R ，若a b >，则 （A ）11a b< （B ）22a b > （C ）lg lg a b > （D ）sin sin a b >（4）若实数,a b 满足0,0a b >>，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）函数()f x 的部分图象如图示，则()f x 的解析式可以是（A ）3()()()22f x x x x ππ=-- （B ）cos ()xf x x=（C ）()sin f x x x =+ （D ）()cos f x x x = （6）执行右图所示的程序框图，输出的x 的值为（A ）0 （B ）3 （C ）6 （D ）8（7）若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 （8）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（A ）（B ）3 （C（D（9）设F 为抛物线24x y =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u v u u u v u u u v v ，则主视图俯视图左视图FA FB FC ++的值为（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （10）已知函数)122sin()(π+=x x f ，()f x '是()f x 的导函数，则函数2()()y f x f x '=+的一个单调递减区间是（A ）]127,12[ππ （B ）5[,]1212ππ-（C ）]32,3[ππ- （D ）5[,]66ππ-（11）已知直线l ：0x y a -+=，点()1,0A -，()1,0B . 若直线l 上存在点P 满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为 （A）[ （B ）[1,1]- （C）[ （D [2,2]- （12）已知函数()xe f x kx x=-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是 （A ）(0,2) （B ）2(0,)4e （C ）(0,)e （D ）(0,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）若非零向量,a b 满足()0⋅+=a a b ，2||||=a b ，则向量,a b 夹角的大小为 . （14）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3221a S =+，4321a S =+，3m n -=，则nma a = . （15）在△ABC 中，已知AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°，||2AC =u u u r ，则||AB uuu r 的取值范围是 .（16）已知点集{(,)||1||2|3}T x y x y =++-≤，数集{2|(,)}M x y x y T =+∈， 则集合M 中最大元素与最小元素之和为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.ABCD 第17题图（17）（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知AB =90CAD ∠=︒，（Ⅰ）若5cos 6BAD ∠=，sin C =，求BC 的长；（Ⅱ）若2BD =，3CD =，求AD 的长.（17）备选1:已知△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a b ≠，22(cos cos )2()cos c a B b A a b C -=-.（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若=c 3CA CB ⋅=u u u r u u u r，求△ABC 的周长.备选2：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且350,5S S ==-，数列{}n b 满足，1=b 1，13(2)n n n b a nb +-=.（n N *∈）（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}3n a n b -的前n 项和n T .备选3：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =，214m S +=()2,m m *≥∈N 且，（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若数列{}n b 满足2log 2nn a b =()n *∈N ，求数列(){}6n n a b +⋅的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推.统计结果如下表：（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时，求a 的值；（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.备选：某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地出现a ,b 两种“共享单车”(以下简称a 型车,b 型车).某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况.（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布2016年全年市场调查报告，小组同学发现3月,4月的用户租车情况呈现下表使用规律.例如：第3个月租用a 型车的人中，在第4个月有60%的人仍租用a 型车.第3个月第4个月租用a 型车 租用b 型车 租用a 型车 60% 50% 租用b 型车40%50%若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同.已知2017年3月该地区租用,a b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例.（19）（本小题满分12分）已知如图1所示的四边形ABCD 中，DA ⊥AB ， 点E 为AD 中点，2BC=2，现将四边形沿 CE 翻折，使得图2中AED θ∠=（03πθ<≤），连结DA ，DB ，BE 得到四棱锥D-ABCE ．（Ⅰ）证明：平面DAE ⊥平面ABCE ；（Ⅱ）记四棱锥D-ABCE 的体积为V ，求V 的最大值及取得最大值时θ的值． 备选1：已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ABCD ⊥平面，2PA AB ==，,E F 分别是,PB PD 的中点.（Ⅰ）求证：PB P 平面FAC ； （Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积； （Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC .备选2：（19）在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为平行四边形，ο60=∠DBA ，ο30=∠SAD 32==SD AD ，4==BS BA .（Ⅰ）证明：BD ⊥面SAD;（Ⅱ）求点C 到平面SAB 的距离.（20）（本小题满分14分）ABD CSFEABDCP已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点.M 判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.（20）备选（本小题满分12分）已知点22122(10),(1,0),:(1)1F F F x y --+=e ，，一动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与 2F e 相外切，设动圆的圆心轨迹为曲线T ．（Ⅰ）求曲线T 的方程；（Ⅱ）设C 、D 是曲线T 上位于x 轴上方的两点，分别过C 、D 作曲线T 的切线，两条切线交于点P ，且分别与x 轴交于点B 、A ，AC 与BD 交于点E ，作EF ⊥x 轴于点F ，试探究P 、E 、F 三点是否共线？ （21）（本小题满分12分）已知函数()sin ,(,[0,2])xf x ex ax a R x π-=+∈∈.（Ⅰ）记()f x 的导函数为()g x ，求()g x 在[0,2]π上的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在(0,2)π上的极大值、极小值恰各有一个，求实数a 的取值范围. （21）备选1：（本小题满分12分）已知函数2()e x f x x ax =-+, 曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()e 21x g x x =--，求函数()g x 的最小值； （Ⅲ）求证：存在0,c <当x c >时，()0.f x >（21）备选2： 已知函数()ln ,f x x x e =为自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线()y f x =在2x e -=处的切线方程；（Ⅱ）关于x 的不等式()()1f x x λ≥-在()0,+∞上恒成立，求实数λ的值； （Ⅲ）关于x 的方程()f x a =有两个实根12,x x ，求证：21221x x a e --<++．（22）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x a a y a ββ=+⎧⎨=⎩，（0a >， β为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l （Ⅰ）若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值； （Ⅱ）,A B 为曲线C 上的两点，且3π=∠AOB ，求OAB ∆的面积最大值．（23）选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+． （Ⅰ）作出函数()f x 的图象；（Ⅱ）设函数()f x 的最大值为m ，若22223a c b m ++=,求2ab bc +的最大值．广东省江门市2019-2020学年高三精编模拟数学文试题参考答案一、选择题：三、解答题：（17）解：（Ⅰ）5sin sin(90)cos 6A BAD BAD =∠+︒=∠=，由sin sin BC AB A C==6，得BC =5； （Ⅱ）设ADC α∠=，在Rt CAD ∆中，3cos AD α=，在ABD ∆22222cos()AD AD πα=+-⨯⋅-，联立得21cos 3α=，显然α为锐角，cos α∴=AD =（17）备选1：解：（Ⅰ）由余弦定理得：222222(cos cos )()22a c b b c a c a B b A c a b ac bc+-+--=⨯-⨯222222()2a cb bc a +--+-=22222()cos a b a b C =-=-∵a b ≠∴1cos 2C =,又0C π<<, ∴3C π=;（Ⅱ）由3CA CB ⋅=u u u r u u u r得cos 36ab C ab =⇒=，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-227a b ab ⇒+-=,∴2()255a b a b +=⇒+=，故5a b c ++=。
2019年广东省高考数学一模试卷(文科)-含详细解析
2019年广东省高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＜2}，B={x|1＜2x＜16}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.3.双曲线9x2-16y2=1的焦点坐标为（）A. B. C. D.4.若sin（）=，则cos2α=（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于x的不等式f（x）＜-1的解集为（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.执行如图的程序框图，依次输入x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A. ，即5个数据的方差为4B. ，即5个数据的标准差为4C. ，即5个数据的方差为20D. ，即5个数据的标准差为208.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A=1，则cos B的取值范围为（）A. B. C. D.9.已知A，B，C三点不共线，且点O满足16-12-3=，则（）A. B.C. D.10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足==≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A. B. C. D.11.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，直线y=x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB=（）A. B. C. D.12.函数f（x）=（kx-2）ln x，g（x）=2ln x-x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=，则f（f（2））=______．14.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．15.在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为______．16.已知函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y=m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|=|QR|=，则ω+m=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18.在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4，AC=2，∠EAD=30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=．20.已知点（1，），（，）都在椭圆C：=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上．21.已知函数f（x）=e x-2ax（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x+2y-2=0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥-4a2+4a22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线C l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y=kx与曲线C2交于A，B两点，若=3，求k的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+2|x-1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）-5＜0的解集为（m，n），且n-m=，求a的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x-1＜2}=（-∞，3），B={x|1＜2x＜16}=（0，4）∴A∩B=（0，3）．故选：D．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z=的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线9x2-16y2=1的标准方程为：，可得a=，b=，c==，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：sin（）=-cosα=，则cos2α=2cos2α-1=-，故选：B．利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4；∴f（-1）=-1；∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜-1得，f（x）＜f（-1）；∴x＞-1；∴不等式f（x）＜-1的解集为（-1，+∞）．故选：D．根据条件可得出f（-1）=-1，根据f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜-1得出f（x）＜f（-1），从而得到x＞-1，即得出原不等式的解集．考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7.【答案】A【解析】解：根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，∵=（17+19+20+21+23）=20，∴由方差的公式S=[（17-20）2+（19-20）2+（20-20）2+（21-20）2+（23-20）2]=4．故选：A．根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵cosC+cosA=1，∴由余弦定理可得：•+•=1，化简可得：b2=ac，由余弦定理可得；cosB==≥=，∴≤cosB＜1，即：cosB∈[，1）．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，结合余弦函数的性质即可得解．本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由题意，可知：对于A：==，整理上式，可得：16-12-3=，这与题干中条件相符合，故选：A．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．10.【答案】B【解析】解：设BC=a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，故选：B．先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，得解．本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11.【答案】C【解析】解：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2-2x-4=0，由韦达定理可知：x1+x2=2，y1+y2=3由抛物线的性质可知：|AB|=p+y1+y2=2+3=5，点O到直线y=x+1的距离d，d=．∴则△OAB的面积S，S=•|AB|•d=．故选：C．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线y=x+1的距离d，根据三角形的面积公式S=•|AB|•d，即可求得则△OAB的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx-2）lnx＜2lnx-x，即kx-2＜2-，即kx＜4-，设h（x）=4-，则h′（x）=-=-，由h′（x）＞0得-（lnx-1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得-（lnx-1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x=e时，h（x）取得极大值h（e）=4-=4-e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→-∞，h（3）=4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线y=kx过A，B点时对应的斜率k A==-，k B==1-，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x=2，和x=3，即直线y=kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1-＜k≤-，即实数k的取值范围是（1-，-]，故选：B．将不等式f（x）＜g（x）转化为kx＜4-，设h（x）=4-，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．13.【答案】2【解析】解：f（2）=ln2，∴f（f（2））=f（ln2）=e ln2=2．故答案为：2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y-z=0过点A时，z=2x+y取得最大值为2×3+1=7．故答案为：7．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r=．∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|=|QR|=，解得|PQ|=，∴T=|PQ|+|QR|=π，∴ω==2，设P（x0，m），则Q（-x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|=-2x0，|QR|=+2x0，∴2（-2x0）=+2x0，解得x0==，∴m=sin（2×）+=+=1，∴ω+m=2+1=3．故答案为：3．根据题意求出函数f（x）的最小正周期T，得出ω的值，再求出m的值，即可求出ω+m的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）①．当n=1时，解得：，当n≥2时，S n-1=1-a n-1．②①-②得：2a n=a n-1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n=log2a n=-n．所以：b n+1=-（n+1），则：，故：=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：因为AD=2，DC=4，AC=2，所以AD2+DC2=AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE=2，AD=2，AB=2，∠EAD=30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F-BCH的体积，可得=4=．【解析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，，，所以，，所以．当x=10时，，当x=11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．【解析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2，故椭圆C的方程为+=1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y=kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx-3=0，∴x1+x2=-，x1x2=-，∵A1（0，2），A2（0，-2），∴直线A1P的方程为y=x+2=•x+2=（k-）x+2，则直线A2Q的方程为y=x-2=（k+）-2，由，消x可得=，整理可得y===+4=+4=4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y=4上【解析】（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2得椭圆方程，（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x整理可得y=，根据韦达定理化简整理可得直线y=4 本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-2a，f′（0）=1-2a=2，解得：a=-，∴f（x）=e x+x，则f（0）=1．∴切线方程为y=2x+1；（2）证明：f′（x）=e x-2a，由f′（x）=e x-2a=0，解得x=ln2a．∴当x∈（-∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（-∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（ln2a）=e ln2a-2a ln2a=2a-2a ln2a．令g（a）=2a-2a ln2a+4a2-4a=2a2-2a-2a ln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，则h′（a）=1-=，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）=0，即a-1-ln2a≥0．∴f（x）≥-4a2+4a．【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），得到关于a的方程，求得a，得到函数解析式，求得f（0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明f（x）≥-4a2+4a转化为证f（x）的最小值大于等于-4a2+4a，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，求其最小值大于等于0即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2=4，设M （x ，y ）则P （2x -4，2y ）在曲线C 1上，所以（2x -4）2+（2y ）2=4，即（x -2）2+y 2=1，即x 2+y 2-4x +3=0，C 2轨迹的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ+3=0． （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，CM 2=CA 2-（ AB ）2=1-AB 2，① 在直角三角形CMO 中，CM 2=OC 2-OM 2=4-（ AB ）2=4-AB 2，②由①②得AB = ，∴OM =，CM =，k ===．【解析】（1）消去θ得曲线C 1的普通方程为：x 2+y 2=4；设出M 的坐标后利用中点公式得到P 的坐标后代入C 1德轨迹C 2的直角坐标方程，再化成极坐标方程； （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM ，OM 后可得斜率．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）= ， ， ＜ ＜ ，，∴x =1时，f （x ）的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时，f （x ）-5＜0的解集为（a -3，1-），∴1--a +3=4- =，∴a =2符合，当2a +2≤5即0＜a ≤时，f （x ）的解集为（ --1，1-），∴1- ++1=2≠． 综上可得a =2． 【解析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
精品解析：【市级联考】广东省江门市2019届高三高考模拟(第一次模拟)考试数学(文科)试题(原卷版)
广东省江门市2019年高考模拟（第一次模拟）考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.R是实数集，，，则A. B. C. D.2.i是虚数单位，A. iB.C. 1D.3.甲、乙、丙、丁四所学校分别有150、120、180、150名高二学生参加某次数学调研测试为了解学生能力水平，需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析，记这项调查为；在丙校有50名数学培优生，需要从中抽取10名学生进行失分分析，记这项调查为完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是A. 分层抽样法、系统抽样法B. 分层抽样法、简单随机抽样法C. 系统抽样法、分层抽样法D. 简单随机抽样法、分层抽样法4.在直角坐标系Oxy中，若抛物线的准线经过双曲线的焦点，则双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.5.“”是“两直线和平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.中，，，，，垂足为D，则A. B. C. D.7.、、、、成等差数列，公差是5，这组数据的标准差为A. 50B.C. 100D. 108.正方体的平面展开图如图，AB、CD、EF、GH四条对角线两两一对得到6对对角线，在正方体中，这6对对角线所在直线成角的有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对9.函数在区间上的零点的个数是A. 10B. 20C. 30D. 4010.能把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为周易函数已知函数：；；；，在这些函数中，周易函数是A. B. C. D.11.实数x、y满足，若的最大值为1，则有A. 最大值9B. 最大值18C. 最小值9D. 最小值18二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12.是定义在R上的奇函数，若时，，则______．13.在直角坐标系Oxy中，直线与坐标轴相交于A、B两点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程是______．14.数列、中，，，且、、成等差数列，则数列的前n项和______．15.在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率_________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）16.平面四边形ABCD中，边，，对角线．Ⅰ求内角C的大小；Ⅱ若A、B、C、D四点共圆，求边AD的长．17.如图，三棱柱的底面ABC是等边三角形，侧面，．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省江门市2019年高考模拟（第一次模拟）考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.R是实数集，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】进行补集、交集的运算即可．【详解】，或；．故选：C．【点睛】考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．2.i是虚数单位，A. iB.C. 1D.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质计算．【详解】，．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．3.甲、乙、丙、丁四所学校分别有150、120、180、150名高二学生参加某次数学调研测试为了解学生能力水平，需从这600名学生中抽取一个容量为100的样本作卷面分析，记这项调查为；在丙校有50名数学培优生，需要从中抽取10名学生进行失分分析，记这项调查为完成这两项调查宜采用的抽样方法依次是A. 分层抽样法、系统抽样法B. 分层抽样法、简单随机抽样法C. 系统抽样法、分层抽样法D. 简单随机抽样法、分层抽样法【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可．【详解】，四所学校，学生有差异，故使用分层抽样，在同一所学校，且人数较少，使用的是简单随机抽样，故选：B．【点睛】本题主要考查简单抽样的应用，根据分层抽样的定义是解决本题的关键．4.在直角坐标系Oxy中，若抛物线的准线经过双曲线的焦点，则双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，求出双曲线的焦点坐标，然后推出mn的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．【详解】抛物线的准线：，双曲线的左焦点，可得：可得，解得，双曲线的渐近线方程为：．故选：D．【点睛】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．5.“”是“两直线和平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由两直线平行的充要条件得或，再根据包含关系判断确定充要性即可得解．【详解】两直线和平行的充要条件为，即或，又“”是“或的充分不必要条件，即“”是“两直线和平行”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，属简单题．6.中，，，，，垂足为D，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建系，设D坐标，再由向量垂直得D坐标，即得结果.【详解】建立如图所示的直角坐标系，可得：，，，由图可知：，解得：，又，所以，，所以，故选：C．【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量共线、垂直的运算，属中档题．7.、、、、成等差数列，公差是5，这组数据的标准差为A. 50B.C. 100D. 10【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质、标准差公式直接求解．【详解】、、、、成等差数列，公差是5，这组数据的标准差为：．故选：B．【点睛】本题考查标准差的求法，考查等差数列的性质、标准差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.正方体的平面展开图如图，AB、CD、EF、GH四条对角线两两一对得到6对对角线，在正方体中，这6对对角线所在直线成角的有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【答案】D【解析】【分析】根据题意，作出平面展开图对应的正方体，分析其中6条对角线所在直线成角的情况，综合即可得答案．【详解】根据题意，如图为平面展开图对应的正方体，其中AB与GH、AB与EF、GH与CD、EF与CD所成的角为，共有4组；故选：D．【点睛】本题考查正方体的几何性质以及异面直线所成的角，属于基础题．9.函数在区间上的零点的个数是A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】A【解析】【分析】画出函数和的图象，通过图象即得结果．【详解】画出图象函数和的图象，根据图象可得函数在区间上的零点的个数是10，故选：A．【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．10.能把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为周易函数已知函数：；；；，在这些函数中，周易函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得周易函数的图象经过圆心，且是奇函数；据此依次分析选项，综合即可得答案．【详解】由题意可得，“周易函数”能把圆的周长和面积同时分为相等的两部分，则其图象经过圆心，且是奇函数；据此依次分析选项：对于，为奇函数，但不过原点，不符合题意；对于，，有，过原点，且，为奇函数，符合题意；对于，，为正切函数，过原点且是奇函数，符合题意；对于，，不经过原点，不符合题意；则是周易函数；故选：D．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断以及应用，关键是分析周易函数的性质，属于基础题．11.实数x、y满足，若的最大值为1，则有A. 最大值9B. 最大值18C. 最小值9D. 最小值18【答案】C【解析】【分析】根据，求出点满足的图形，根据的最值，求出a，b的关系，再根据基本不等式求解．【详解】根据，可得点满足的图形为、、、为顶点的正方形，可知，时取得最大值，故，所以，当取得．故选：C．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12.是定义在R上的奇函数，若时，，则______．【答案】-2【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性分析求出的值，即可得答案．【详解】根据题意，时，，则，又由是定义在R上的奇函数，则；故答案为：-2．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意利用函数奇偶性的定义进行分析，属于基础题．13.在直角坐标系Oxy中，直线与坐标轴相交于A、B两点，则经过O、A、B三点的圆的标准方程是______．【答案】【解析】【分析】先求出A、B的坐标，根据圆心为直角三角形AOB的斜边AB的中点C，半径为AB的一半，写出圆的标准方程．【详解】在直角坐标系Oxy中，直线与坐标轴相交于A、B两点，、，则经过O、A、B三点的圆的圆心为直角三角形AOB的斜边AB的中点，半径为AB的一半，即，则经过O、A、B三点的圆的标准方程是，故答案为：．【点睛】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．14.数列、中，，，且、、成等差数列，则数列的前n项和______．【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出数列的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式求出结果．【详解】数列、中，，，且、、成等差数列，则：，所以：，所以：，故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率_________．【答案】【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，再由几何概率的计算公式得到结果.【详解】根据不等式组得到可行域为图中染色部分，满足的是黑色部分，在中任取一点，的概率黑色部分的面积除以总的染色面积，记直线的交点为,,,故答案为：.【点睛】这个题目考查了简单的线性规划的可行域的画法，以及几何概型的面积型的计算.在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）16.平面四边形ABCD中，边，，对角线．Ⅰ求内角C的大小；Ⅱ若A、B、C、D四点共圆，求边AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3 .【解析】【分析】Ⅰ利用余弦定理，真假求内角C的大小；Ⅱ、B、C、D四点共圆，求出A，然后利用余弦定理，转化求解即可．【详解】Ⅰ在中，Ⅱ因为A、B、C、D四点共圆，所以在中，，解得或，所以，【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．17.如图，三棱柱的底面ABC是等边三角形，侧面，．Ⅰ求证：；Ⅱ、N分别是棱、上一点，若，，求四棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】Ⅰ作，垂足为D，连接CD证明，，证明，即可证明平面ACD，推出．Ⅱ方法一推出侧面平面ACD，作，垂足为E，则面，然后求解四棱锥的体积．方法二连接AN，三棱锥的体积，同理可得，三棱锥的体积，然后求解即可．【详解】Ⅰ证明：作，垂足为D，连接CD因为面，，所以，所以不妨设的边长为a，因为，所以，由得，因为，所以因为，所以平面平面ACD，所以Ⅱ方法一由Ⅰ知，由Ⅰ知平面ACD，平面ACD，所以侧面平面在中，作，垂足为E，则面DE是等腰直角斜边上的高，四棱锥的体积方法二连接AN，三棱锥的体积分同理可得，三棱锥的体积四棱锥的体积【点睛】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力．18.随着生活质量不断提高，人们越来越重视身材保养根据统计，我国大多数男性体重与身高之间近似满足关系式、c为大于0的常数按照某项指标测定，当体重与身高的比值在区间内时为优等身材现随机抽取6位成年男性，测得数据如下：体重身高体重与身高的比Ⅰ从抽取的6位男性中再随机选取2位，求恰有一位优等身材的概率；Ⅱ对测得数据作如下处理：，，得相关统计量的值如表：根据所给统计量，求y关于x的回归方程；已知某成年男性身高为180cm，求其体重的预报值结果精确到参考公式和数据：对于样本2，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）.【解析】【分析】Ⅰ利用列举法能求出恰有一位优等身材的概率．Ⅱ由得，，由、得，，其中，由此能求出y关于x的回归方程．当时，，由此能预测这个成年男性体重．【详解】Ⅰ已知6位成年男性中，优等身材有4位，记为、、、，另外两位记为、，从中选取2位，不同的选取结果有：、、、、、、、、、、、、、、，共15种恰有一位优等身材的结果有：、、、、、、、，共8种因为随机选取，不同结果等可能，所以恰有一位优等身材的概率Ⅱ由得，由、得，，其中由已知公式和数据得，，所求y关于x的回归方程为由得，当时，答：预测这个成年男性体重为【点睛】本题考查概率的求法，考查回归直线方程的求法及应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.在直角坐标系Oxy中，椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ是椭圆与y轴负半轴的交点，经过F的直线l与椭圆交于点M、N，经过B且与l平行的直线与椭圆交于点A，若，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】Ⅰ已知c，利用e求解a，然后求解椭圆的标准方程．Ⅱ联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，求弦长，根据解得结果. 【详解】Ⅰ设椭圆的标准方程为依题意，，所以，，所求椭圆的标准方程为Ⅱ因为，所以MN与x轴不垂直，设直线l的方程为由得，设、，则，依题意，直线AB的方程为设、，同理可得，因为，所以从而，，直线l的方程为【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．20.已知函数，是常数．Ⅰ证明：曲线在处的切线经过定点；Ⅱ证明：函数有且仅有一个零点．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】Ⅰ求出函数的导函数，求出切线的斜率，推出切线方程，然后求解直线经过的定点．Ⅱ讨论函数的单调性，结合零点存在定理，推出零点的个数．【详解】Ⅰ曲线在处的切线为即，当时，，即切线过定点Ⅱ当时，单调递增，根据对数函数与幂函数性质，当x 是充分小的正数时，，当x 是充分大的正数时，，所以，有且仅有一个零点当时，解得，，，其中，所以所以，任意，，在区间无零点取，则，，所以，在区间有零点由的单调性知，在区间有且仅有一个零点综上所述，函数有且仅有一个零点【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．21.在直角坐标系中，曲线：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）分别求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）是曲线和的一个交点，过点作曲线的切线交曲线于另一点，求．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由、得曲线的直角坐标方程，由得，曲线的普通方程；（2）联立两圆的方程得到P点坐标，则，，进而得到直线PQ的直线方程，结合垂径定理得到结果.【详解】（1）由得，曲线的普通方程为 ,由、得，曲线的直角坐标方程为 .（2）解得，，,根据圆的对称性，不妨设，则，,直线的方程为，即,圆心到直线的距离,所以，.【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程的化法，也涉及圆的知识的应用，关于圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。