高中数学 2.4.1 线性回归方程教案 苏教版必修3
2019-2020年高中数学 2.4线性回归方程第2课时教案 苏教版必修3
2019-2020年高中数学 2.4线性回归方程第2课时教案 苏教版必修3【学习导航】学习要求1.进一步了解非确定性关系中两个变量的统计方法；2.进一步掌握回归直线方程的求解方法． 【课堂互动】自学评价1.相关关系: 当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系 .2.回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法 .3. 求线性回归方程的步骤：(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，计算与的积，求，计算，，∑∑∑x y i i 22(4)将上述有关结果代入公式，求，写出回归直线方程．【精典范例】例1一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组数据：【解】1）画出散点图：x2）设回归直线方程，利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 121221211212,计算a ，b ，得b ≈1.215, a=≈0.974， ∴回归直线方程为：例2(（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线度且画出图形．【解】（1）图略（2）1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++= 1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =+++++++++= 设回归直线方程为，则10110221100.17510i ii i i x y x y b xx ==-==-∑∑，=所以所求回归直线的方程为追踪训练（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线．【解】（１）散点图（略）网]（２）55115,545,109,116,23.2,i i i i n x x y y =======∑∑ 5521160952,12952i i i i i xx y ====∑∑ 25129525451160.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=≈=-⨯≈⨯- 所以，线性回归方程为．2、一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与月产量x( 单位：万件)之间有如下一组数据：(2)求出月总成本与月产量x 之间的线性回归方程。
2019-2020年高中数学 2.4《线性回归方程》学案 苏教版必修3
2019-2020年高中数学 2.4《线性回归方程》学案 苏教版必修3【目标引领】1．学习目标：了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握 回归直线方程的求解方法。
2．学法指导：①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a 、b ，由于求a 、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．【教师在线】1．解析视屏：1．相关关系的概念在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。
例如正方形的面积S 与其边长之间的函数关系（确定关系）；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。
例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系）相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系。
不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。
2．求回归直线方程的思想方法观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？引导学生分析，最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征：即n 个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：设所求的直线方程为，其中a 、b 是待定系数。
高中数学 2.4线性回归方程教案(1) 苏教版必修3
2.4《线性回归方程》教案(1)教学目标:（1）收集现实问题中两个有关联变量的数据作散点图，利用散点图直观认识变量间的相关关系；（2）在两个变量具有线性相关关系时，在散点较长中作出线性直线，用线性回归方程进行预测；（3）理解最小二乘法的含义及思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
教学重点:散点图的画法，回归直线方程的求解方法。
教学难点:回归直线方程的求解方法。
教学过程:一、问题情境问题1：客观事物是相互联系的，存在着一种确定性关系，过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系即非确定性关系——相关关系。
你能举出一些这样的事例吗？问题2：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：-0C，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？如果某天的气温是5二、学生活动为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系?我们有多种思考方案:(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； ……………… 怎样的直线最好呢? 三、建构数学 1、最小平方法：用方程为ˆybx a =+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近.那么怎样衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量x 的六个值代入直线方程,得到相应的六个值：26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+它们与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和22222222(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)12866140382046010172Q a b b a b a b a b a b a b a b a ab b a =+-++-+-++-++-+-+-=++--+ (,)Q a b 是直线ˆybx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线ˆybx a =+与图中六个点的接近程度。
高中数学第2章统计2.4线性回归方程(1)教案苏教版必修3
2.4 线性回归方程 1整体设计教材分析在实际问题中，变量之间关系有两类：一类是确定性关系，变量之间关系可以用函数表示.例如，正方形面积S与边长a之间就是确定性关系，可以用函数s=a2表示.还有一类是非确定性关系，例如“学生数学成绩与物理成绩之间关系〞“粮食产量与施肥量之间关系〞“商品销售额与广告费支出之间关系〞“人体脂肪百分比与年龄之间关系〞等贴近学生实际问题，它不能由一个变量数值准确地确定另一个变量数值.像这种自变量取一定值时，因变量取值带有一定随机性，这样两个变量之间关系，我们称之为相关关系.“线性回归方程〞这一节是为了帮助我们了解变量之间相关关系，使学生学会区别变量之间函数关系与变量相关关系，从而到达正确判断实际生活中两个变量之间相关关系并会作出变量相关关系散点图；通过散点图直观性，看各点是否在某条直线附近摆动来为判断两个变量之间相关关系打下坚实根底.通过对人体脂肪百分比与年龄之间关系散点图分析，引入描述两个变量之间关系线性回归方程〔模型〕，使学生通过探索用多种方法确定线性回归直线，学会类比寻求新突破方法，体会最小二乘法思想，掌握计算回归方程斜率与截距方法，求出回归直线方程.通过典型求解，强化回归思想建立，理解回归直线与观测数据关系. 通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会类比寻求新突破方法，体会最小二乘法思想，培养学生创新精神，不断收取信息，学会用统计知识对实际问题进展数学分析.通过课堂目标检测到达强化所学知识点，提高学生对现代化教学工具应用能力.三维目标1.通过实例，使学生感受到现实世界中变量之间除了函数关系外，还存在着虽无确定函数关系，但却有一定关联性相关关系，相关关系是一种非确定性关系.2.通过收集实际问题中两个有关联变量数据作出散点图，直观认识变量间相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关过程，运用最小二乘法思想，发现可用线性回归方程近似地表示两个具有相关关系变量之间关系，并能根据给出线性回归方程系数公式建立线性回归方程.重点难点教学重点：1.会区别变量之间函数关系与变量相关关系；会举例说明现实生活中变量之间相关关系.2.会作散点图，并由此对变量间关系作出直观判断，会求回归直线.教学难点：1.对变量之间相关关系理解；变量之间函数关系与变量相关关系区别.2.了解最小二乘法思想，能根据给出线性回归方程系数公式建立回归方程.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课〔多媒体播放四个问题，组织学生分析、思考〕问题1：将汽油以均匀速度注入桶里，注入时间t与注入油量y 如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间函数关系式为________________.问题2：圆面积S与半径r之间函数关系式为________________.问题3:小麦产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间关系如下表：从表里数据能得出小麦产量y与施肥量x之间函数关系式吗？问题4：人体重y与身高x之间有什么关系呢？分析问题1：因为是以均匀速度注入桶里，所以注入油量y与注入时间t成正比例关系，由表格数据知，注入油量y与注入时间t之间函数关系式为y=2x(x≥0).因为是实际问题，所以要特别注意自变量取值范围要有实际意义.分析问题2：这是大家熟悉面积公式，所以圆面积S与半径r之间函数关系式为S=πr2(r>0).第1、2两个问题中变量间函数关系是确定，在我们现实生活，两个变量之间存在确定性关系是极少，而两个变量之间存在不确定性关系是很普遍，那么问题3中两个变量之间是确定性函数关系，还是不确定性关系呢？学生甲分析问题3：此问中两个变量之间是确定性函数关系，设为y=kx+b，当x=10时，函数值y为420；当x=20时，函数值y 为440，代入可得函数关系式为y=2x+400(x≥0).学生乙：学生甲答复是错误，假设函数关系式为y=20x+400(x≥0)，当x=30时，函数值为460，而不是470.但是可以感觉到施肥量越大，小麦产量就越高.教师分析：从表格里容易发现施肥量越大，小麦产量就越高.但是，施肥量并不是影响小麦产量唯一因素，小麦产量还与土壤质量、降雨量、田间管理等诸多因素影响有关，更何况当施肥量超出一定范围时，还会造成小麦倒塌，以致颗粒无收.这时两个变量之间就不是确定性函数关系，那么这两个变量之间终究是什么关系呢？这就是我们本节课所要研究问题——变量之间相关关系.(引入新课，书写课题)推进新课新知探究由学生举出现实生活中相关关系例子，教师归纳概念！1.变量之间有一定联系，但不能完全用函数来表达，即当自变量一定时，因变量取值带有一定随机性两个变量之间关系称为相关关系.相关关系是非随机变量与随机变量之间关系，函数关系是两个非随机变量之间关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系〔有因果关系，也有伴随关系〕.通过上述三个问题请学生思考相关关系与函数关系有什么区别与联系？相关关系与函数关系异同点如下：一样点：均是指两个变量关系.不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间关系，这种关系是两个非随机变量关系；而相关关系是非随机变量与随机变量关系.注意：问题3中小麦产量是在土壤质量、降雨量、田间管理等诸多变量共同作用下结果，本节课只研究其中两个主要变量之间相关关系.我们只能得出经历性结论：施肥量越大，小麦产量就越高.但是经历再丰富，也容易犯经历性错误.施肥量过大，反而容易造成粮食减产.由学生解决问题4, 人体重y与身高x之间是一种非确定关系相关关系，因为，一般说来，身高越高，体重就越重，而无法写出具体函数关系.应用例如例1 某班学生在一次数学测验与物理测验中，学号1到20学生成绩如下表：从表里数据你能得出什么样经历性结论呢？分析：即是考虑两门学科成绩之间是否具有一定相关关系.解：数学成绩好同学那么物理成绩就好，反之，数学成绩差同学那么物理成绩就差.点评：注意，只是问“得出什么样经历性结论〞，并不完全绝对.例2 下面提供四个问题，让各组同学共同探究：第一小组探究问题是：调查一下本组所有成员视力与各自学习成绩关系.第二小组探究问题是：商品销售额与广告费支出之间关系.第三小组探究问题是：调查一下本组所有成员身高与各自体重之间关系.第四小组探究问题是：气温上下与空调销售量间关系.分析：根据变量相关关系讨论.解：第一小组：通过对本组所有成员调查我们得到结论是：学习成绩好同学视力都不太好，都佩带了近视眼镜，但是，我们发现这个结论对我们全班来说就不成立，例如，我们班第一名同学视力却是很棒，所以我们只能说学习成绩好同学视力一般都不太好，人视力还与用眼卫生习惯、遗传因素等有密切关系.第二小组：通过本组所有成员共同探讨，我们得到结论是：商品销售额与广告费支出之间有密切关系，但商品销售额不仅与广告费支出多少有关，还与商品质量、居民收入以及售后效劳质量等诸多因素有关.第三小组：通过对本组所有成员调查我们得到结论是：身材高同学体重一般来说大多都比拟大，但是，人体重还与饮食习惯、遗传因素等有密切关系.第四小组：通过本组所有成员共同探讨，我们得到结论是：气温上下与空调销售量之间有密切关系，但空调销售量不仅与气温上下有关，还与空调质量、居民收入以及售后效劳质量等诸多因素有关.点评：通过此例使学生养成考虑问题要多方面思考习惯.例3 以下两个变量之间关系哪个不是函数关系〔〕解析：利用变量函数关系与相关关系解决问题.角度与它余弦值是一个确定函数关系y=cosx；正方形边长与面积：s=a2；正ｎ边形边数与它内角与：s=(n-2)×180°，而人年龄与身高具有相关关系.答案：D点评：函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间关系，这种关系是两个非随机变量关系，而相关关系是非随机变量与随机变量关系.例4 “强将手下无弱兵〞可以理解为将军本领越高，他手下士兵本领也越高.那么，将军本领与士兵本领成什么相关关系？你能举出更多描述生活中两个变量相关关系成语吗？分析：这是与生活、生产、工作、学习息息相关相关关系，语言功底好同学更显优势.解：此题与“名师出高徒〞相对应.另外举例有：水涨船高.点评：此题加强了与其他学科联系，学生会对数学很有亲切感.知能训练1.在一次对人体脂肪含量与年龄关系研究中，研究人员获得了一组样本数据：根据上述数据，人体脂肪含量与年龄之间有怎样关系？2.某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶杯数与当天气温比照表：根据上述数据，气温与热茶销售量之间有怎样关系？解答：1.观察表中数据，大体上来看，随着年龄增加，人体中脂肪百分比也在增加.2.观察表中数据，大体上来看，气温越高，卖出去热饮杯数越少.点评：使学生学会全面考察现实生活中变量之间相关关系，并为下一节课作铺垫.课堂小结(让学生进展小结，帮助他们回忆反思、归纳概括.)1.变量之间相关关系；2.变量之间函数关系与变量相关关系区别；3.学会全面考察现实生活中变量之间相关关系.作业阅读、预习课本中本节下一局部内容.举出生活中具有相关关系例子.设计感想通过生活中存在相关关系一些典型事例，如“学生数学成绩与物理成绩之间关系〞“粮食产量与施肥量之间关系〞“商品销售额与广告费支出之间关系〞等贴近学生实际问题，介绍与函数关系不同两个变量之间相关关系，在教学设计时，通过复习变量之间函数关系引出变量相关关系，由熟悉到生疏过程便于学生理解，同时分成四个小组同学共同探究以下四个问题：〔1〕调查一下本组所有成员视力与各自学习成绩关系；〔2〕商品销售额与广告费支出之间关系；〔3〕调查一下本组所有成员身高与各自体重之间关系；〔4〕气温上下与空调销售量间关系.通过讨论来强化学生对所学内容理解.。
高中数学 第2章 统计 2.4 线性回归方程讲义 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学教案
2.4 线性回归方程学 习 目 标核 心 素 养1.了解两个变量之间的相关关系并与函数关系比较． 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系．3．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，并能由回归方程对总体进行预测、估计．(重点、难点)通过对已有数量的分析、运算培养学生数据分析、数学运算的核心素养.1．变量之间的两类常见关系在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示．另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示．2．相关关系的分类相关关系分线性相关和非线性相关两种． 3．线性回归方程系数公式能用直线方程y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫线性回归方程．给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…， (x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝n ∑i ＝1n x i y i －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n x i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n y i n ∑i ＝1nx 2i －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n x i2，a ＝y －b x .上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i－n x －y －∑i ＝1n x 2i －n x 2＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ＝y －b x .1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中具有相关关系的是________． ①③④ [②⑤为确定关系不是相关关系．]2．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．③ [散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.]3．工人工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1 000元时，工资为130元； ②劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元时，工资提高130元； ④当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元．② [回归直线斜率为80，所以x 每增加1，y ^增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高80元．]4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：广告费用(千元) 1 4 6 10 14 销售额(千元)1944405253销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝2.3x ＋a (a 为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．15 [x ＝7，y ＝41.6，则a ＝y －2.3x ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)．]变量间相关关系的判断【例1】 在下列两个变量的关系中，具有相关关系的是________． ①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系．②④[两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]1．函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．准确理解变量间的相关关系是解答本题的关键．要准确区分两个变量间的相关关系和函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系．两者区别的关键点是“确定性”还是“不确定性”．1．下列两个变量中具有相关关系的是________(填写相应的序号)．①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量；③日照时间与水稻的亩产量．③[正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；单产为常数a公斤/亩，土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选③.]2．下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题为________．③④⑤[两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．]散点图的画法及应用学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462利用散点图判断它们是否具有线性相关关系？如果有线性相关关系，是正相关还是负相关？思路点拨：本题涉及两个变量(数学成绩与物理成绩)，以x轴表示数学成绩、y轴表示物理成绩，可得相应的散点图，再观察散点图得出结论．[解] 把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在平面直角坐标系中描点(x i，y i)(i＝1,2，…，5)．从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有线性相关关系，且当数学成绩减小时，物理成绩也由大变小，即它们正相关．1．判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以认为这两个变量不具有相关关系．2．正相关、负相关线性相关关系又分为正相关和负相关．正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图上看，因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看，一个变量会随另一个变量变大而变小．从散点图上看，因变量随自变量的增大而减小，图中的点分布在左上角到右下角的区域．提醒：画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．3．如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？思路点拨：观察图中点的分布情况作出判断．从散点图上看，点的分布散乱无规律，故不具有相关关系．[解] 不具有相关关系，因为散点散乱地分布在坐标平面内，不呈线形．4．有个男孩的年龄与身高的统计数据如下：思路点拨：描点(1,78)，(2,87)，(3,98)，(4,108)，(5,115)，(6,120)．观察点的分布，作出判断．[解] 作出散点图如图：由图可见，具有线性相关关系，且是正相关．线性回归方程的求法及应用【例3】 某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下表所对应的数据．广告支出x /万元 1 2 3 4 销售收入y /万元12284256(1)画出表中数据的散点图；(2)求出y 对x 的回归直线方程y ^＝bx ＋a ，并解释b 的意义； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 思路点拨：画散点图→列表处理数据→计算x ，y ，n ∑i ＝14x 2i ，∑i ＝14x i y i →计算b →计算a →线性回归方程→销售收入[解] (1)散点图如图．(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以便计算回归系数a ，B ．序号 xyx 2y 2xy1 1 12 1 144 12 2 2 28 4 784 563 3 42 9 1 764 126 4 4 56 16 3 136 224 ∑10138305 828418于是x ＝52，y ＝692，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14y 2i ＝5 828，∑i ＝14x i y i ＝418，代入公式得，b ＝∑i ＝14x i y i －4xy∑i ＝14x 2i －4x 2＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735，a ＝y －b x ＝692－735×52＝－2.故y 对x 的回归直线方程为y ^＝735x －2，其中回归系数b ＝735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元．(3)当x ＝9万元时，y ^＝735×9－2＝129.4(万元)，即若广告费为9万元，则销售收入约为129.4万元． 1．求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行： 第一步，计算平均数x ，y ；第二步，求和∑i ＝1nx i y i ，∑i ＝1nx 2i ；第三步，计算b ＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x ；第四步，写出线性回归方程y ^＝bx ＋A ．2．对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的．因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程．提醒：(1)对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，判断变量之间是否线性相关，再由系数a ，b 的计算公式，计算出a ，b ，由于计算量较大，在计算时应借助计算器，仔细计算，以防出现错误．(2)为了方便，常制表对应算出x i y i ，x 2i ，以便于求和．(3)研究变量间的相关关系，求得回归直线方程能帮助我们发现事物发展的一些规律，估计、预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据．5．如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． 注：年份代码1－7分别对应年份2012－2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑ 7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑ 7i ＝1(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ ni ＝1(t i －t )2∑ ni ＝1(y i －y )2，回归方程y ^＝a ＋bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ＝∑ ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ ni ＝1(t i －t )2，a ＝y －－b t . 思路点拨：(1)利用相关系数的大小――→确定y 与t 的线性相关程度 (2)求出回归方程→利用方程进行估计[解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，∑ 7i ＝1(t i －t )2＝28，∑ 7i ＝1(y i －y )2＝0.55，∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑ 7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ＝∑ 7i ＝1(t i －t )(y i －y )∑ 7i ＝1 (t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ＝y －b t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．1．本节课的重点是会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．难点是了解相关关系、线性相关、回归直线的概念．2．本节课要掌握以下几类问题 (1)准确区分相关关系与函数关系．(2)会利用散点图判断两个变量间的相关关系． (3)掌握用线性回归方程估计总体的一般步骤.1．在如图所示的四个散点图中，两个变量具有相关性的是( ) A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④D [由图可知①中变量间是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线附近波动，是线性相关的；③中的点杂乱无章，没有什么关系；④中的所有点在某条曲线附近波动，是非线性相关的．故两个变量具有相关性的是②④.]2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号有( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④B [由正、负相关性的定义知①④一定不正确．]3．某工厂生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：的斜率为0.7，则这组样本数据的线性回归方程是________．y ^＝0.7x ＋0.35 [∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∴a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.]4．2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2018年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)思路点拨：按照求线性回归方程的一般步骤，求出线性回归方程，再根据回归方程作出预测．[解] (1)依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ＝∑i ＝110x i y i －10xy∑i ＝110x 2i －10x 2≈0.17，a ＝y －b x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81. (2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)，可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．。
苏教版·高中数学必修Ⅲ教案 2.4.1线性回归方程
(x,y) 1） 称为样本点的中心 。 2） a , b 的意义是：以 a 为基数， x每增加1 个单位，y相应地平均增加 b 个单位。
ˆ= b
(x
i=1
i
- x)(yi - y) = - x)
2 i
x y - nxy
i i=1 n i
(x
i=1
n
x
i=1
2 i
- nx
2
解（1）列出下表：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yi
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
xiyi
620
1360
2250
3240
4450
5700
7140
8640
10350
1220 0
问题：有时散点图的各点并不集中在一条 直线的附近，仍然可以按照求回归直线方 程的步骤求回归直线，显然这样的回归直 线没有实际意义。在怎样的情况下求得的 回归直线方程才有实际意义？ 即建立的线性回归模型是否合理？ 如何对一组数据之间的线性相关程 度作出定量分析？
35
40
45
330 345
405 445
450 455
施化肥量x
水稻产量y
15
20
25
365
30
35
40
45
330 345
405 445
450 455
y
500 450 400 350 300 10
高中数学 第2章 统计 2.4 线性回归方程教学案 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学教学案
2.4 线性回归方程预习课本P74～75，思考并完成以下问题1．变量间有哪些常见关系？2．什么叫散点图？怎样作出散点图？3.什么叫线性回归方程？[新知初探]1．变量间的常见关系(1)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性关系．(2)相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．[点睛]函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如试验田的施肥量x与水稻的产量y.当自变量x每取一确定值时，因变量y的取值带有一定的随机性，即还受其他环境因素的影响．2.散点图(1)概念：将样本中n个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中，用来表示两个变量的一组数据的图形叫做散点图．(2)作法：建立平面直角坐标系，用横坐标表示一个变量，用纵坐标表示另一个变量，将给出的数据所表示的点在坐标系内描出，即可得到散点图．[点睛]对于散点图要注意以下几点．①假设所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么变量间具有函数关系．②假设所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量间就具有相关关系．③假设散点图中的点的分布没有什么规律，那么这两变量之间不具有相关关系，它们之间是相互独立的．3．线性相关关系能用直线y ^＝bx ＋a 近似表示的相关关系叫线性相关关系． 4．线性回归方程(1)概念：设有n 对观察数据如下：x x 1 x 2 x 3 … x n yy 1y 2y 3…y n当a ，b 使Q ＝(y 1－bx 1－a )2＋(y 2－bx 2－a )2＋…＋(y n －bx n －a )2取得最小值时，就称方程y ^＝bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．(2)用回归直线进行数据拟合的一般步骤 ①作出散点图，判断散点是否在一条直线附近． ②如果散点在一条直线附近，用公式⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i－nx －2＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ＝y －b x求出a ，b ，并写出线性回归方程．[小试身手]1．以下各组变量是相关关系的是________． (1)电压U 与电流I ； (2)圆面积S 与半径R ； (3)粮食产量与施肥量； (4)广告费支出与商品销售额．解析：(1)(2)中两个变量间是函数关系，(3)(5)中两个变量之间有关系，但不能用函数表达，是相关关系．答案：(3)(4)2．5名学生的化学和生物成绩如下表所示：学生A 学生B 学生C 学生D 学生E 化学成绩(分)8075706560生物成绩(分)7065686462 判断化学和生物成绩之间是否具有相关关系________(填“具有〞“不具有〞)．答案：具有相关关系的概念[典例] 在以下各个量与量的关系中：①正方体的表面积与棱长之间的关系；②某同学的数学成绩和物理成绩之间的关系；③家庭的收入与支出之间的关系；④某户家庭用电量与水费之间的关系．其中是相关关系的为________________．[解析] ①正方体的表面积与棱长之间的关系是确定的函数关系；④某户家庭用电量与水费之间无任何关系．②③中，都是非确定的关系，但自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性．[答案] ②③判断两个变量是否具有相关关系，主要有两种方法：一是根据相关关系的定义进行判断，看这两个变量是否具有不确定性．二是利用散点图，看散点图中的点是否都落在某一函数曲线附近．[活学活用]关于人体的脂肪含量(百分比)与年龄关系的研究中，得到如下一组数据：年龄2327394145495053脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.6(1)将上表中的数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现年龄与脂肪含量近似成什么关系吗？ (3)假设成线性相关关系，请你画一条直线近似地表示这种线性关系． 解：(1)以年龄作为x 轴，脂肪含量为y 轴，可得相应散点图，如下图．(2)从散点图可以发现，年龄与脂肪含量之间具有线性相关关系． (3)画出的一条直线如上图．[典例] 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (单位：万元)有如下的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2.23.85.56.57.0假设由资料知y x (1)线性回归方程y ^＝bx ＋a 的系数a ，b ； (2)所求的回归直线必过点P (x －，y －)吗？ (3)使用年限为10年时，试估计维修费用是多少？(4)假设设备的使用年限x 每增加一年，那么所支出的维修费用y 如何变化？ [解] (1)∵x －＝4，y －＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3，∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23. a ＝y －－b x －＝5－1.23×4＝0.08.(2)线性回归方程是y ^＝1.23x ＋0.08，又x －＝4，y －＝5，把点P (4,5)代入线性回归方程知必过点P (x －，y －)．线性回归方程的求法及应用(3)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38， 所以估计使用10年时维修费用是12.38万元．(4)由线性回归方程知，使用年限每增加一年维修费用就提高1.23万元．(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否那么进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具备相关关系或相关性不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的．(2)用公式计算a ，b 的值时，要先算出b ，然后才能算出a .[活学活用]以下是江苏省某城镇收集到的新房屋的销售价格y 和房屋的大小x 的数据：房屋大小x (m 2)11511080135105销售价格y (万元)24.821.618.429.222(1)画出数据的散点图； (2)求回归方程；(3)估算一下96 m 2的房价． 解：(1)散点图如下图．(2)∵x －＝109，y －＝23.2，∑i ＝15x 2i ＝60 975，∑i ＝15x i y i ＝12 952.b ＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝12 952－5×109×23.260 975－5×1092＝154785≈0.196 2，a ＝y －－b x －＝23.2－0.196 2×109≈1.814 2.∴回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (3)当x ＝96时，y ^≈20.6.因此，96 m 2的新房屋大约为20.6万元．层级一 学业水平达标1．对于给定的两个变量的统计数据，以下说法正确的选项是________．(填序号) ①都可以分析出两个变量的关系；②都可以用一条直线近似地表示两者的关系； ③都可以用确定的表达式表示两者的关系； ④都可以作出散点图． 答案：①④2．根据下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．答案：②③3．x 与y 之间的一组数据如下表：x 1 2 3 4 y2357那么x 与y 之间的线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点______．解析：首先可求x －＝2.5，y －＝4.25，又回归直线必过点(x －，y －)，故回归直线必过点(2.5,4.25)．答案：(2.5,4.25)4．某工厂在2015年每月产品的总成本y (万元)与月产量x (万件)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝1.215x ＋0.974，假设月产量增加4万件时，那么估计成本增加______万元．解析：由y ^1＝1.215x 1＋0.974， y ^2＝1.215(x 1＋4)＋0.974，得y ^2－y ^1＝1.215×4＝4.86(万元)． 答案：4.865．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)908483807568(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －－b x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．层级二 应试能力达标1．以下两个变量之间的关系，是函数关系的有________． ①球的体积和它的半径 ②人的血压和体重③底面积为定值的长方体的体积和高 ④城镇居民的消费水平和平均工资 答案：①③2.如图，从5组数据对应的点中去掉点________后，剩下的4组数据的线性相关性就更好了．解析：由散点图知：呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D 点． 答案：D3．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．解析：x －＝10，y －＝40，回归方程过点(x －，y －)， ∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60. ∴y ＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：684．对某台机器购置后的运营年限x (x ＝1,2,3…)与当年利润y 的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为y ＝10.47－1.3x ，估计该台机器使用________年最合算．解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y ≥0，所以10.47－1.3x ≥0，解得x ≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：85．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝2.3x ＋a (a 为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．解析：x －＝7，y －＝41.6，那么a ＝y －－2.3x －＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)． 答案：156．工人月工资y (元)依据劳动生产率x (千元)变化的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，当劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高________元．解析：线性回归方程y ^＝bx ＋a 中b 的意义是当x 增加一个单位时，y 的值平均变化b 个单位，这是一个平均变化率，线性回归方程不是一种确定关系，只能用于预测变量的值，所以当x 增加一个单位1千元时，工资平均提高80元．答案：807．如果在一次试验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，那么y 与x 之间的线性回归方程是________．解析：由题意，得x －＝2.5，y －＝4.5，∑i ＝14x i y i ＝50.2，∑i ＝14x 2i ＝30，∴b ＝1.04，a ＝4.5－1.04×2.5＝1.9，故线性回归方程为y ^＝1.04x ＋1.9.答案：y ^＝1.04x ＋1.98．x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝bx ＋a .假设某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，那么以下结论正确的选项是________．①b ＞b ′，a ＞a ′；②b ＞b ′，a ＜a ′；③b ＜b ′，a ＞a ′；④b ＜b ′，a ＜a ′. 解析：x －＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y －＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝136，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2＝57， a ＝y －－b x －＝－13，b ′＝2－02－1＝2＞b ，a ′＝－2＜a . 答案：③9．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝bx ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：年份－2010 －4 －2 0 2 4 需求量－257－21－111929由处理后的数据，容易算得 x －＝0，y －＝3.2，b ＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5. a ＝y －－b x －＝3.2.由上述计算结果，可知所求回归直线方程为 y ^－257＝b (x －2 010)＋a ＝6.5(x －2 010)＋3.2.即y ^＝6.5(x －2 010)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程，可预测2016年的粮食需求量为6.5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．10．(全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x －y －w －∑i ＝18(x i －x －)2∑i ＝18(w i －w －)2∑i ＝18 (x i －x －)(y i －y －) ∑i ＝18(w i －w －)(y i －y －)46.6563 6.8 289.8 1.61 469108.8表中w i ＝x i ，w －＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答以下问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i －u－v i －v－∑i ＝1nu i －u－2，α^＝v ^－β^u －.解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18w i －w－y i －y－∑i ＝18w i －w－2＝108.81.6＝68， c ^＝y －－d ^w －＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。
高中数学：2.4《线性回归方程课件》课件(苏教版必修三)
Part
02
线性回归方程的建立与求解
线性回归方程的建立方法
STEP 01
散点图观察
STEP 02
确定回归系数
通过绘制散点图，观察自 变量与因变量之间的关系 ，初步判断是否具有线性 关系。
STEP 03
检验残差
通过观察残差图或计算残 差平方和，检验模型的拟 合效果，判断是否需要进 一步调整模型。
根据最小二乘法原理，通 过计算得到回归系数，从 而确定线性回归方程的斜 率和截距。
以是( )
习题
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x + 5
C. ŷ = 1.23x + 4.5 D. ŷ = 1.23x + 3
3、题目：已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方 程可以是( )
习题
01
A. ŷ = 1.23x + 4 B. ŷ = 1.23x +5
预测性
利用线性回归方程可以对 未知数据进行预测。
线性回归方程的应用场景
经济预测
科学实验
通过对历史数据的分析，利用线性回 归方程预测未来经济指标的变化趋势 。
在科学实验中，通过控制变量法来研 究自变量和因变量之间的线性关系， 并利用线性回归方程进行数据分析。
销售预测
根据历史销售数据和市场调查，利用 线性回归方程预测未来产品的销售情 况。
增加自变量
增加自变量可以更好地解释因变 量的变化，从而优化线性回归方 程。
调整模型形式
根据实际情况调整模型形式，可 以更好地拟合数据，从而优化线 性回归方程。
Part
04
线性回归方程的实例分析
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2014高中数学 2.4.1 线性回归方程教案苏教版必修3
某小卖部为了了解热茶销量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温
若某天的气温是，那么你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？
新课教学
1．变量之间的两类关系：
（1）函数关系：
（2）相关关系：
2．线性回归方程：
（1）散点图：
（2）最小平方法（最小二乘法）：
（3）线性相关关系：
（4）线性回归方程、回归直线：
3．公式：
4．求线性回归方程的一般步骤：
例题剖析
下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线
）与年降雨量（单位：mm）的散点图，思考：如图是1991年到2000年北京地区年平均气温（单位：C
根据此图能求出它的回归直线方程吗？如果能，此时求得的回归直线方程有意义吗？
巩固练习
1．某年产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据
（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程．
课堂小结
了解变量之间的两种关系，了解最小平方法的思想，会用公式求解回归系数．
课后训练
班级：高二（）班姓名：____________ 一基础题
10t），试分别估计1996年
1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：8
二提高题
2．一个工厂在某年里每月产品的总成本y（单位：万元）与月产量x（单位：万件）
（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程．。