：第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ) (7)

第二章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第五节指数与指数函数A级·基础过关|固根基|1.设a>0，将a2a·3a2表示成分数指数幂，其结果是()A．a12 B．a56C．a76 D．a32解析：选C由题意a2a·3a2＝a2－12－13＝a76.故选C．2.函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，0<b<1D．0<a<1，b<0解析：选D解法一：由题图可知0<a<1，当x＝0时，a－b∈(0，1)，故－b>0，得b<0.故选D．解法二：由图可知0<a<1，f(x)的图象可由函数y＝a x的图象向左平移得到，故－b>0，则b<0.故选D．3．(2019届广州市模拟)设a＝0.70.4，b＝0.40.7，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．a<c<bC．b<c<a D．c<b<a解析：选C ∵函数y ＝0.4x 在R 上单调递减，∴0.40.7<0.40.4，即b <c .∵y ＝x 0.4在(0，＋∞)上单调递增，∴0.40.4<0.70.4，即c <a ，∴b <c <a .故选C ．4．(2019届日照模拟)若x ∈(2，4)，a ＝2x 2，b ＝(2x )2，c ＝22x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c解析：选B ∵b ＝(2x )2＝22x ，∴比较a ，b ，c 的大小，只需比较当x ∈(2，4)时x 2，2x ，2x 的大小即可．用特殊值法，取x ＝3，容易知x 2>2x >2x ，则a >c >b .故选B ．5.(2019届北京丰台模拟)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：选D 由题图知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x ，故选D ．6．二次函数y ＝－x 2－4x (x >－2)与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的交点有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选C 因为二次函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x >－2)，且x ＝－1时，y ＝－x 2－4x ＝3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝2，当x ＝－2时，y ＝－x 2－4x ＝4，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝4，在坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x >－2)与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的大致图象，由图可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C ．7．已知f (x )＝2x －2－x ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )解析：选B 易知f (x )＝2x －2－x在R 上为增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．故选B ．8．已知函数f (x )＝a x ＋1－2(a ＞0且a ≠1)，且函数y ＝f (－x )的图象经过定点(－1，2)，则实数a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵f (x )＝a x ＋1－2，∴f (－x )＝a －x ＋1－2， ∵函数y ＝f (－x )的图象经过定点(－1，2)， ∴a 1＋1－2＝2，∴a ＝2(负值舍去)，故选B ． 9．不等式2x 2－x <4的解集为________．解析：不等式2x 2－x <4可转化为2x 2－x <22，利用指数函数y ＝2x 的单调性可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．答案：{x |－1<x <2}10．若函数f (x )＝a x －2－2a (a >0且a ≠1)的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13，则函数f (x )在[0，3]上的最小值等于________．解析：令x －2＝0，得x ＝2，且f (2)＝1－2a ，所以函数f (x )的图象恒过定点(2，1－2a )，因此x 0＝2，a ＝13，于是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2－23，f (x )在R 上单调递减，故函数f (x )在[0，3]上的最小值为f (3)＝－13.答案：－1311．已知函数f (x )＝132x ＋k ，若函数f (x )的图象过点(－1，3)． (1)求k 的值；(2)若f (a )≥27，求实数a 的取值范围；(3)若函数y ＝f (|x |)－b 有两个零点，求实数b 的取值范围． 解：(1)∵f (－1)＝3， ∴13－2＋k ＝3，∴k －2＝－1，解得k ＝1.(2)由(1)及题意得，f (a )＝132a ＋1≥27， ∴2a ＋1≤－3，解得a ≤－2.故实数a 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由(1)知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x ＋1，∴当x ≥0时，f (|x |)＝132x ＋1是减函数，值域为0，13.∵y ＝f (|x |)是偶函数，∴当x ≤0时，y ＝f (|x |)是增函数，值域为0，13， ∴函数y ＝f (|x |)－b 有两个零点时，b ∈0，13.12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1， 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知，f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13， 故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.B 级·素养提升 |练能力|13.已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )解析：选B y ＝|f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥1，2－2x ，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1，0)，(0，1)，|f (x )|≥0.又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B ．14．已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B设2 017a＝2 018b＝t，如图所示，由函数图象可得，若t>1，则有a>b>0；若t＝1，则有a＝b＝0；若0<t<1，则有a<b<0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立.15．(2019届皖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝a x－a－x(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________(只需写出所有真命题的编号)．①函数f(x)的图象关于原点对称；②函数f(x)在R上不具有单调性；③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；④当0<a<1时，函数f(|x|)的最大值是0；⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①为真命题；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当0<a<1时，f(x)在R上为减函数，②为假命题；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，③为真命题；当0<a<1时，y＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，④为真命题；当a>1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤为假命题．综上，真命题是①③④.答案：①③④16．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－14x＋12x，则此函数的值域为________．解析：设t＝12x，当x≥0时，2x≥1，∴0<t≤1，f(t)＝－t2＋t＝－⎝⎛⎭⎪⎫t－122＋14，∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14。