Chap-9_快速傅里叶变换

第9章 快速傅里叶变换 (FFT) Fast Fourier Transformer
第一节 引言
一、快速傅里叶变换FFT
• 有限长序列通过离散傅里叶变换 (DFT) 将其频 域离散化成有限长序列。但其计算量太大，很 难实时地处理问题，因此引出了快 速傅里叶 变换 (FFT). • FFT并不是一种新的变换形式 ,它只是DFT的 一种快速算法。并且根据对序列分解与选取方 法的不同而产生了 FFT 的多种算法。 • FFT在离散傅里叶反变换 、线性卷积和线性 相关等方面也有重要应用。
其中x(n)为复数，WNkn e
j
也为复数
所以DFT与IDFT二者计算量相同。
2.以DFT为例，计算DFT复数运算量
• 计算一个X(k) (一个频率成分) 值，运算量为 例k = 1则
X (1) x(n)W
n 0
N 1
n N
要进行N次复数乘法 + (N - 1)次复数加法
所以，要完成整个DFT运算，其计算量为：
k 0,, N / 2 1
4.结论1
• 一个N点的DFT被分解为两个N/2点DFT。 X1(k), X2(k)这两个N/2点的DFT按照：
k X（k ) X 1 (k ) WN X 2 (k )
又合成N点DFT中的前半部分k 0,1 N / 2 1
• 再应用W系数的周期性，求出用X1(k), X2(k) 表达的后半部的X(k+N/2)的值。
nk N
k ( N n ) N
[Re x(n) Re x( N n)] Re W
nk N
nk N k ( N n) N
Im x(n) ImW Im x( N n) ImW [Im x(n) Im x( N n)] ImW
nk N
(1) 合并法：步骤4结论
由此找出其它各项的类似归并方法： 乘法次数可以减少一半。
5.求出后半部的表示式
W
rk N /2
W
r ( k N / 2) N /2
2、将长序列DFT利用对称性和 周期性分解为短序列DFT--方法
把N点数据分成二半：
X (k ) N X (k )
其运算量为：
再分二半：
N 2
X (k )
+
N 2
N
2
N 2 ( ) 2
X (k )
N 4
N 2 ( ) 2
X (k )
=
N 2
2
X (k ) N 4 N 2 N 2 N 2 N 2 N ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 4 4 4 4 4 这样一直分下去，剩下两点的变换。 X (k )
) W
(W
)e
2 N j N 2
( N n) k N
W
(WN
k
N 2
) W
k N
cos j sin 1
例子
• 例:
W W
9 4
( 45) 4
17 8
W W
5 4
9 8 1 8
1 4
W
25 8
W
W W
利用以上特性,得到改进DFT直接算法的方法.
(1) 合并法：步骤1分解成虚实部
• 合并DFT运算中的有些项
(W ) W
kn * N
kห้องสมุดไป่ตู้( N n) N
• 对虚实部而言
Re W Im W
k ( N n ) N k ( N n ) N
Re W Im W
kn N kn N
• 所以带入DFT中：
(1) 合并法：步骤2代入DFT中
2 k x2 (r )(WN ) rk WN
W e
e
j
2 N /2
WN / 2
3.求出子序列的DFT
上式得：
X（k )
N / 2 1 r 0
x (r )W
1
rk N /2

N / 2 1 r 0
x (r )W
2
rk N /2
W
k N
k X 1 ( k ) WN X 2 ( k )
k 0,1 N / 2 1
N / 2 1 N / 2 1 rk rk X 1 (k ) x1 (r )WN / 2 x(2r )WN / 2 r 0 r 0 其中： N / 2 1 N / 2 1 rk rk X 2 (k ) x2 (r )WN / 2 x(2r 1)WN / 2 r 0 r 0
N / 2 1
x(1),x(3)…x(2r+1)偶数点
X k) （
N / 2 1
N / 2 1

r 0 j
x(2r )W
2 rk N


r 0
x(2r 1)W
(2 r 1) k N

r 0 2 N
2 x1 (r )(WN ) rk 2 2 N
N / 2 1

r 0
例子
• 例1:当N=1024点时，直接计算DFT需要： N2=(1024)2=1048576次，即一百多万次的复乘运 算这对实时性很强的信号处理(如雷达信号处 理)来讲，它对计算速度有十分苛刻的要求--> 迫切需要改进DFT的计算方法，以减少总的运 算次数。 • 例2：石油勘探，24道记录，每道波形记录长 度5秒，若每秒抽样500点/秒， 每道总抽样点数=500*5=2500点 24道总抽样点数=24*2500=6万点 DFT运算时间=N2=(60000)2=36*108次
• N*N次复数相乘 + N* (N - 1)次复数加法
3.一次复数乘法换算成实数运算量
• 复数运算要比加法运算复杂，需要的运算时 间长。 • 一个复数乘法包括4个实数乘法和2个实数加 法。 (a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)
2次实数加法 4次复数乘法
•
4. 计算DFT需要的实数运算量
k N
2.代入DFT中
X k ) DFT x(n) DFT x(2r ) DFT x(2r 1) （ DFT x1 (r ) DFT x2 (r ) r 0,, N / 2 1
x(0),x(2)…x(2r)奇数点 代入DFT变换式： 生成两个子序列
第三节 基-2按时间抽取的FFT算法 Decimation-in-Time (DIT) (Coolkey-Tukey)
一、算法原理
• 设输入序列长度为N=2M (M为正整数，将该序列 按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称 为基2按时间抽取的FFT算法。也称为CoolkeyTukey算法。
• 其中基数2----N=2M，M为整数.若不满足这个条件， 可以人为地加上若干零值（加零补长）使其达到 N=2M
二、改善DFT运算效率的基本途径
kn 利用DFT运算系数 WN 的固有对称性和周 期性，改善DFT的运算效率。
1.合并法：合并DFT运算中的某些项。
2.分解法：将长序列DFT利用对称性和周期 性，分解为短序列DFT。
利用DFT运算系数 W 的固有对称性 和周期性，改善DFT的运算效率
kn kn 的对称性： N * N kn 的周期性： kn N N 2 j kN kN N 因为： N 2 j Nn Nn N N
三、本章主要内容
• 1. 直接计算DFT算法存在的问题及改进 途径。 • 2. 多种DFT算法 (时间抽取算法DIT算法， 频率抽取算法DIF算法，线性调频Z变换 即CZT法) • 3. FFT的应用
第二节 直接计算DFT算法 存在的问题及改 进途径
一、直接计算DFT计算量
• 问题提出：设有限长序列x(n), 非零值 长度为N, 计算对x(n)进行一次DFT运 算，共需多大的运算工作量？
二、FFT产生故事
当时加文(Garwin)在自已的研究中极需要一个计算 付里叶变换的快速方法。他注意到图基(J.W.Turkey)正 在写有关付里叶变换的文章，因此详细询问了图基关 于计算付里叶变换的技术知识。图基概括地对加文介 绍了一种方法，它实质上就是后来的著名的库利 (Cooley J.W)图基算法。在加文的迫切要求下，库利很 快设计出一个计算机程序。1965年库利和图基在<计算 数学>、Mathematic of Computation 杂志上发表了著名 的“机器计算付里级数的一种算法”文章，提出一种 快速计算DFT的方法和计算机程序--揭开了FFT发展史 上的第一页，促使FFT算法产生原因还有1967年至1968 年间FFT的数字硬件制成，电子数字计算机的条件， 使DFT的运算大简化了。
{ j[Re x(n) Im W Im x(n) ReW ]}
n 0 nk N nk N
N 1
(1) 合并法：步骤3合并有些项 k ( N n ) kn 根据： Re WN Re WN k ( N n ) kn Im WN Im WN
有：
Re x(n) Re W Re x( N n) Re W
N 4 N 4 2
2、将长序列DFT利用对称性和 周期性分解为短序列DFT--结论
• 快速傅里叶变换(FFT)就是在此特性基础上 发展起来的，并产生了多种FFT算法，其基 本上可分成两大类： • 按抽取方法分： 时间抽取法(DIT); 频率抽取法(DIF) • 按“基数”分：基-2FFT算法；基-4FFT算 法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法 • 其它方法：线性调频Z变换(CZT法)
例：
Re x(1) Re W Re x(5 1)W
1 5
( 51) 5
[Re x(1) Re x(4)] Re W [Re x(1) Re x(4)] Re W